山东省济宁市2025届高三下学期3月高考模拟考试（一模）数学试题

济宁市2025年高考模拟考试 数学试题 2025.03 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A= (x,y)x2+y2=1 ,B= (x,y)y=x+1 ,则A∩B 中元素的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知复数z= 2-i 1+i+2i ,则|z|= A. 1 2 B. 2 2 C.1 D.2 3.将函数y=2cos(2x- π 6 )的图象向右平移1 4 个周期后,所得图象对应的函数为 A.y=2cos(2x+ π 12 ) B.y=2cos(2x- 5π 12 ) C.y=2cos(2x+ π 3 ) D.y=-2cos(2x+ π 3 ) 4.(2+ 1 x )2x-1 11 的展开式中的常数项为 A.18 B.20 C.22 D.24 5.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用3局2胜制,如果每局比赛甲获胜的概率为0.7,乙获 胜的概率为0.3,且各局比赛结果相互独立,那么在甲获胜的条件下,比赛进行了3局的概率 为 A. 3 16 B. 3 13 C. 3 8 D. 3 4 )页4共(页1第 题试学数 6.设F 为抛物线C:y2=6x 的焦点,过F 的直线交C 于A,B 两点,若|AF|=3|BF|,则|AB|= A.2 B.4 C.6 D.8 7.曲线y= a x (a>0)与y=lnx 和y=ex 分别交于A、B 两点,设曲线y=lnx 在A 处的切线斜 率为k1,y=ex 在B 处的切线斜率为k2,若k1+k2= 5 2 ,则a= A.2ln2 B.2ln3 C.3ln2 D.3ln3 8.若函数f(x)=2sinx+cosx- 3,x∈(0,π)的两个零点分别为x1 和x2,则cos(x1-x2)= A.- 2 5 B.- 1 5 C. 1 5 D. 2 5 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求。全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。 9.已知等比数列 an 的前n 项和为Sn,且an+1=Sn+2,bn 为等差数列,且b2=a1,b8=a3, 记集合A= x∈N* bn≤x≤an 中元素的个数为cn,数列 cn 的前n 项和为Tn,则下列结 论正确的是 A.an=2n B.bn=n C.cn=2n-n D.Tn=2n+1- n(n-1) 2 -2 10.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a= 3,且2c-b=2acosB,则下列结论正 确的是 A.A= π 6 B.△ABC 外接圆的面积为π C.△ABC 面积的最大值为 33 4 D.△ABC 周长的最大值为33 11.若双曲线C:x2-y 2 8=1 的左、右焦点分别为F1,F2,过C 的右支上一点P 作圆(x-3)2+ y2=1的切线,切点为A,B,则下列结论正确的是 A.若PF1 →·PF2 →=0,则△PF1F2 的面积为9 B.若Q 为圆(x-3)2+y2=1上的一动点,则|PF2|+|PQ|的最小值为3 C.四边形PAF2B 面积的最小值为 3 D.PA→·PB→ 的最小值为22-3 )页4共(页2第 题试学数 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知函数f(x)=(a- 2 2x+1 )cosx 是奇函数,则实数a= ▲ . 13.已知正四棱台的高为3,其顶点都在同一球面上.若该球的半径为5,球心在正四棱台的一个 底面上,则该正四棱台的体积为 ▲ . 14.∀x∈[e,+∞),若x2+2a2lnx≥ax(2+lnx)恒成立,则实数a的取值范围是 ▲ . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为了解高三、1班和2班的数学建模水平,现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学 建模能力比赛(满分100分),成绩如下: 数据Ⅰ(高三、1班):68,80,58,75,65,70,54,90,88,92; 数据Ⅱ(高三、2班):72,55,83,59,56,90,83,52,80,95. (1)求数据Ⅰ(高三、1班)的第80百分位数; (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研,设被抽到的3人中来自 于高三、2班的学生人数为X,求X 的概率分布列和数学期望. 16.(15分) 底面为菱形的四棱锥P-ABCD 中,AC 与BD 交于点O,平面PBD⊥平面ABCD, 平面PAC⊥平面ABCD. (1)证明:PO⊥平面ABCD; (2)若OA=2OD=2,直线DC 与平面PBC 所成角的正弦值 为45 15 ,求平面PAC 与平面PBC 夹角的余弦值. 17.(15分) 已知数列 an 和 bn 满足a1=1,nan+1=(n+1)an+1,b1+b2+…+bn=2n-1. (1)求数列 an 和 bn 的通项公式; (2)设数列 an bn 的前n 项和为Sn,求证:Sn<6. )页4共(页3第 题试学数 18.(17分) 已知椭圆E: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的离心率为 1 2 ,A1,A2 分别为E 的左、右顶点,B 为E 的 上顶点,且BA1 →·BA2 →=-2. (1)求E 的方程; (2)过E 的右焦点F 作斜率不为0的直线交E 于M,N 两点,设直线MA1 与NA2 交于点P. ①证明:点P 在定直线上; ②求∠A1PA2 的最大值. 19.(17分) 已知函数y=F(x)的图象上存在A,B 两点,记直线AB 的方程为y=G(x),若直线AB 恰为 曲线y=F(x)的一条切线(A,B 为切点),且∀x∈D(D 为F(x)的定义域)F(x)≥G(x), 则称函数y=F(x)为“切线支撑”函数. (1)试判断函数f(x)= 3sin2x-2cos2x 是否为“切线支撑”函数.若是,求出一组点A,B; 否则,请说明理由; (2)已知g(x)= ax-lnx,x>0, x2,x<0, 为“切线支撑”函数,求实数a 的取值范围; (3)证明:函数h(x)=2x+sin3x 为“切线支撑”函数. )页4共(页4第 题试学数 济宁市2025年高考模拟考试 数学试题参考答案 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。 1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A 8.C 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。 9.ABD 10.BCD 11.BC 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 1 13. 122 14. (-∞, e 2 ]∪ e 2 2 四、解答题:本题共5小题,共77分。 15.解:(1)将数据Ⅰ(高三、1班)从小到大排列为:54,58,65,68,70,75,80,88,90,92. 因为10×80%=8,所以数据Ⅰ(高三、1班)的第80百分位数为 88+90 2 =89. 5 分………… (2)数据Ⅰ(高三、1班)中成绩在60分以下的有54,58,数据Ⅱ(高三、2班)中成绩在60分 以下的有52,55,56,59,所以成绩在60分以下的共有6人,其中高三、1班2人,高三、2班4 人, 6分…………………………………………………………………………………………… 所以X 的所有可能取值为1,2,3. 7分………………………………………………………… P(X=1)= C14C22 C36 = 4 20= 1 5 , 8分……………………………………………………………… P(X=2)= C24C12 C36 = 12 20= 3 5 , 9分……………………………………………………………… P(X=3)= C34 C36 = 4 20= 1 5. 10 分………………………………………………………………… 则X 的分布列为 X 1 2 3 P 15 3 5 1 5 11分……………………………………………………………………………………………… 所以E(X)=1× 1 5+2× 3 5+3× 1 5=2. 13 分……………………………………………… 16.(1)证明:∵底面ABCD 为菱形, ∴AC⊥BD, 1分………………………………………………………………………………… )页6共(页1第 案答考参题试学数 ∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD, ∴AC⊥平面PBD, 2分………………………………………………………………………… 又∵PO⊂平面PBD ∴AC⊥PO, 4分………………………………………………………………………………… 同理可得BD⊥PO, 5分………………………………………………………………………… ∵AC、BD⊂平面ABCD,AC∩BD=O, ∴PO⊥平面ABCD. 6分……………………………………………………………………… (2)解:由(1)知PO⊥AC,PO⊥BD,AC⊥BD,则以O 为原点,以 OB、OC、OP 分别为x 轴、y 轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标 系, 7分………………………………………………………………… 设OP 的长度为h,则 A(0,-2,0),B(1,0,0),C(0,2,0),D(-1,0,0),P(0,0,h), ∴BC→=(-1,2,0),BP→=(-1,0,h),DC→=(1,2,0), 8分………… 设平面PBC 的法向量为n → =(x,y,z), 则 BC→·n → =-x+2y=0, BP→·n → =-x+hz=0, ∴ x=2yx=zh , 令z=2,所以n → =(2h,h,2), 9分……………………………………………………………… ∴DC 与平面PBC 所成角α的正弦值为sinα= DC→·n → DC→ n → = 4h 5 5h2+4 = 45 15 , 解得h=1, 11分………………………………………………………………………………… ∴n → =(2,1,2), 12分…………………………………………………………………………… 又平面PAC 的一个法向量为m→=(1,0,0), 13分…………………………………………… 设平面PAC 与平面PBC 的夹角为θ,所以cosθ= n →·m→ n → · m→ = 2 3 , 14分……………… 所以平面PAC 与平面PBC 夹角的余弦值为 2 3. 15 分……………………………………… 17.解:(1)因为nan+1=(n+1)an+1, 即 an+1 n+1= an n+ 1 n(n+1)= an n+ 1 n- 1 n+1 , 2分……………………………………………… 所以 a2 2=a1+1- 1 2 ,a3 3= a2 2+ 1 2- 1 3 ,a4 4= a3 3+ 1 3- 1 4 ,…,an n= an-1 n-1+ 1 n-1- 1 n , 以上各式相加得 an n=a1+1- 1 n=2- 1 n ,所以an=2n-1. 4分…………………………… 因为b1+b2+…+bn=2n-1, )页6共(页2第 案答考参题试学数 当n=1时,b1=1; 5分………………………………………………………………………… 当n≥2时,b1+b2+…+bn-1=2n-1-1; 6分………………………………………………… 所以bn=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1(*), 7分……………………………………………… 显然b1=1符合(*)式,所以bn=2n-1. 8分………………………………………………… (2)因为 an bn = 2n-1 2n-1 , 9分………………………………………………………………………… 所以Sn= 1 20 + 3 21 + 5 22 + 7 23 +…+ 2n-1 2n-1 , 10分……………………………………………… 1 2Sn= 1 21 + 3 22 + 5 23 +…+ 2n-3 2n-1 + 2n-1 2n , 11分……………………………………………… 两式相减得1 2Sn=1+ 2 21 + 2 22 + 2 23 +…+ 2 2n-1 - 2n-1 2n 12分………………………………… =1+ 1×[1-( 1 2 )n-1] 1- 1 2 - 2n-1 2n =3- 2n+3 2n , 14分……………………………… 所以Sn=6- 2n+3 2n-1 <6. 15分………………………………………………………………… 18.解:(1)由题意知,BA1 →=(-a,-b),BA2 →=(a,-b), 所以BA1 →·BA2 →=b2-a2=-c2=-2,即c= 2. 1分……………………………………… 又e= c a= 1 2 ,所以a=22, 2分……………………………………………………………… 所以b2=a2-c2=6. 3分……………………………………………………………………… 所以E 的方程为 x2 8+ y2 6=1. 4 分……………………………………………………………… (2)①由于直线MN 过点F(2,0)且斜率不为0,所以可设直线MN 的方程为x=my+2. 由 x=my+ 2 x2 8+ y2 6=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得(3m 2+4)y2+62my-18=0, 5分……………………………………… 设M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=- 62m 3m2+4 ,y1y2=- 18 3m2+4 , 6分………………………………………………… 所以my1y2= 32 2 (y1+y2). 7分……………………………………………………………… 因为椭圆E 的左、右顶点分别为A1(-22,0),A2(22,0), )页6共(页3第 案答考参题试学数 所以直线MA1 的方程为y= y1 x1+22 (x+22), 8分……………………………………… 直线NA2 的方程为y= y2 x2-22 (x-22), 9分…………………………………………… 联立直线MA1 与NA2 的方程得 x+22 x-22 = x1+22 y1 · y2 x2-22 = y2(my1+32) y1(my2- 2) = my1y2+32y2 my1y2- 2y1 = 32 2 (y1+y2)+32y2 32 2 (y1+y2)- 2y1 = 32(y1+3y2) 2(y1+3y2) =3, 11分…………………… 解得x=42,所以点P 在定直线x=42上. 12分………………………………………… ②设直线MA1,NA2 的倾斜角分别为α,β,则∠A1PA2=|β-α|, 13分…………………… 由①知 tanβ tanα= y2 x2-22 y1 x1+22 = y2 x2-22 ·x1+22 y1 =3, 所以tanβ=3tanα, 14分………………………………………………………………………… 所以tan∠A1PA2=|tan(β-α)|= |tanβ-tanα| 1+tanβtanα = 2|tanα| 1+3tan2α = 2 1 |tanα|+3|tanα| ≤ 2 23 = 3 3 , 16分…………………………………… 当且仅当|tanα|= 3 3 时取等号,所以∠A1PA2 的最大值为 π 6. 17 分……………………… 19.解:(1)因为 f(x)= 3sin2x-2cos2x= 3sin2x-cos2x-1=2sin(2x- π 6 )-1, 1分………………… 显然f(x)≥-3, 2分…………………………………………………………………………… 令f(x)=-3,得2x- π 6=- π 2+2kπ ,k∈Z,即x=- π 6+kπ ,k∈Z, 所以x=- π 6+kπ ,k∈Z是f(x)的极小值点,且y=-3为曲线y=f(x)的一条切线, 所以f(x)= 3sin2x-2cos2x 为“切线支撑”函数, 3分…………………………………… 可取A(- π 6 ,-3),B( 5π 6 ,-3),满足题意. 4分……………………………………………… )页6共(页4第 案答考参题试学数 (2)当x>0时,g'(x)=a- 1 x ,所以g'(x)在(0,+∞)上为增函数,所以切点A,B 不可能 都在y 轴的右侧;当x<0时,g'(x)=2x,所以g'(x)在(-∞,0)上也为增函数,所以切点 A,B 不可能都在y 轴的左侧,所以切点A,B 必在y 轴的两侧. 5分……………………… 不妨设x1>0>x2,A(x1,ax1-lnx1),B(x2,x22). 当x>0时,g'(x)=a- 1 x ,所以A 点处的切线方程为y-ax1+lnx1=(a- 1 x1 )(x-x1), 即y=(a- 1 x1 )x+1-lnx1. 6分……………………………………………………………… 当x<0时,g'(x)=2x,所以B 点处的切线方程为y-x22=2x2(x-x2), 即y=2x2x-x22. 7分…………………………………………………………………………… 因为A,B 两点处的切线重合,所以 a- 1 x1 =2x2, 1-lnx1=-x22, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以a=2x2+e -x2 2-1, 8分……… 设φ(x)=2x+e-x 2-1,x<0,则φ'(x)=2-2xe-x 2-1>0, 所以φ(x)在(-∞,0)上单调递增, 又当x→-∞时,φ(x)→-∞,所以a<φ(0)= 1 e ,即a∈(-∞, 1 e ). 9分………………… 设A 点处的切线方程为m(x)=(a- 1 x1 )x+1-lnx1, 设p(x)=g(x)-m(x)=-lnx+ 1 x1 x-1+lnx1(x>0), 则p'(x)=- 1 x+ 1 x1 = x-x1 xx1 , 所以,当x∈(0,x1)时,p'(x)<0,p(x)在(0,x1)上单调递减;当x∈(x1,+∞)时, p'(x)>0,p(x)在(x1,+∞)上单调递增. 所以p(x)≥p(x1)=0,所以g(x)≥m(x). 10分…………………………………………… 设B 点处的切线方程为n(x)=2x2x-x22, 则g(x)-n(x)=x2-2x2x+x22=(x-x2)2≥0,即g(x)≥n(x), 所以g(x)为“切线支撑”函数. 综上可知,实数a 的取值范围是(-∞, 1 e ). 11分…………………………………………… (3)因为h'(x)=2+3cos3x,设A(x1,2x1+sin3x1),B(x2,2x2+sin3x2). 所以A,B 点处的切线方程分别为y=(2+3cos3x1)x+sin3x1-3x1cos3x1,………12分 y=(2+3cos3x2)x+sin3x2-3x2cos3x2, 13分……… )页6共(页5第 案答考参题试学数 所以 2+3cos3x1=2+3cos3x2 sin3x1-3x1cos3x1=sin3x2-3x2cos3x2 , 14分……………………………………… 所以cos3x1=cos3x2,3(x2-x1)cos3x1=sin3x2-sin3x1, 不妨取3x2=3x1+2kπ,k∈Z, 15分…………………………………………………………… 则2kπcos3x1=0,所以cos3x1=0,即3x1= π 2+kπ ,k∈Z, 所以sin3x1=±1,不妨取sin3x1=-1,则切线AB 的方程为y=2x-1, 16分…………… 又h(x)=2x+sin3x≥2x-1, 所以函数h(x)=2x+sin3x 为“切线支撑”函数. 17分……………………………………… )页6共(页6第 案答考参题试学数