精品解析：山东省青岛市莱西区日庄镇中心中学2024-2025学年下学期九年级数学开学摸底考试（A卷）

2024-2025学年度初四第二学期数学开学摸底考试（A卷） 1. 如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　） A. B. C. D. 5. 为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为______． 11. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为_________． 12. 如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于点，．已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为__________． 13. 如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为______． 14. 已知二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如下表： 0 2 6 0 6 下列结论： ①； ②； ③当时，函数最小值为-6； ④若点，点在二次函数图象，则； ⑤方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的序号是______．（把所有正确结论的序号都填上） 三、作图题 15. （1）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上． （2）如图，已知：． 求作：，使点O在上，，且与相切． 四、解答题 16. 在中国共产党成立一百周年之际，某校举行了以“童心向党”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图．其中“”这组的数据如下： 90，92，93，95，95，96，96，96，97，100. 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 平均分 1 8 65 2 75 3 88 4 10 95 请根据以上信息，解答下列问题： （1）__________； （2）“”这组数据的众数是__________分； （3）随机抽取的这名学生竞赛成绩的平均分是___________分； （4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数． 17. 数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，在河岸边的处，兴趣小组令一架无人机沿的仰角方向飞行130米到达点A处，然后无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得此时河对岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．（参考数据：， （1）求无人机的飞行高度； （2）求的长． 18. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯顶端处的俯角是．试求大楼的高度． （参考数据：，，，，，） 19. 某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶． （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 20. 已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)． （1）求m的值； （2）判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 21. 如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点A作轴，垂足为D，． （1）求一次函数的表达式； （2）已知点满足，求a的值． 22. 如图，在中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，． （1）求证：； （2）当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 23. 如图1，河面上架有一座彩虹桥，桥的支撑梁呈抛物线形．建立如图2所示的平面直角坐标系（桥面所在直线为x轴），已知，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当桥面离河面的高度是时，求抛物线形支撑梁在河面上的跨度是多少米？ （3）若点P为线段上一点，以，为邻边做平行四边形，当点Q在抛物线上时，求P点的坐标． 24. 如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ （2）设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度初四第二学期数学开学摸底考试（A卷） 1. 如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解． 【详解】解：∵是的直径 ∴∠ ∵ ∴ ∴∠ ∵ ∴∠ ∴∠ ∴∠ 故选：B． 【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键． 2. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案． 【详解】解：∵AD是⊙O的切线， ∴BA⊥AD， ∵∠ADB=58.5°， ∴∠B=90°-∠ADB=31.5°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC=90°-∠B=58.5°， ∵点A是弧EC的中点， ∴BA⊥EC， ∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 3. 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示： ∵正六边形内接于， ∴∠COD= =60°，则∠COE=120°， ∴∠CME= ∠COE=60°， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键． 4. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长． 5. 为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意、找到等量关系成为解题的关键． 由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可． 【详解】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为， ∴汽车的速度为， 根据题意得：． 故选：B． 6. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 7. 已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】图象开口向下，得a<0， 对称轴为直线，得b=2a，则b<0，图象经过，根据对称性可知，图象经过点，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴a<0， ∵对称轴为直线， ∴b=2a， ∴b<0，故A不符合题意； 根据对称性可知，图象经过， ∴图象经过点， 当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意； ∴c=-a-b， ∴c>0，故B不符合题意； 将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键． 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象确定系数的符号，再根据一次函数、反比例函数的图象与性质解题． 【详解】二次函数的图象开口向下， 二次函数的图象与y轴交点在x轴上方， 二次函数的图象对称轴在轴的左侧， 同号， 一次函数图象经过第二、一、四象限， 反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质、一次函数图象与性质、反比例函数的图象与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 10. 某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元， ∴乙种劳动工具单价为元． 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 11. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设乘公交车平均每小时走x千米，则乘私家车平均速度是每小时千米，则乘公交车花的时间为小时，乘私家车所花的时间为小时，再利用乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，列方程即可. 【详解】解：设乘公交车平均每小时走x千米，则乘私家车平均速度是每小时千米，则 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设适当的未知数，表示需要的代数式，确定相等关系都是解本题的关键. 12. 如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于点，．已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OM、ON、OA，易证得∠MON=60º，即∠MOE+∠NOF=120º，，再由弧长公式求得半径OM，然后证得Rt△AMO≌Rt△ANO，即∠AOM=30º，进而解得AM，则可得，代入相关数值即可解得阴影面积· 【详解】如图，连接OM、ON、OA，设半圆分别交BC于点E，F， 则OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠AMO=∠ANO=90º， ∵∠BAC=120º， ∴∠MON=60º， ∵的长为， ∴， ∴OM=3， ∵在Rt△AMO和Rt△ANO中， ， ∴Rt△AMO≌Rt△ANO(HL)， ∴∠AOM=∠AON=∠MON=30º， ∴AM=OM·tan30º=， ∴， ∵∠MON=60º， ∴∠MOE+∠NOF=120º， ∴， ∴图中阴影面积为 = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质定理、弧长公式、HL定理、锐角的三角函数定义、扇形面积的计算等知识，解答的关键是熟练掌握基本图形的性质，会根据图形和公式进行推理、计算． 13. 如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 14. 已知二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如下表： 0 2 6 0 6 下列结论： ①； ②； ③当时，函数最小值为-6； ④若点，点在二次函数图象，则； ⑤方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的序号是______．（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键． 任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可． 【详解】解：将，，，代入得， ， 解得， 抛物线的关系式为， ，因此①正确； ，故②错误； 对称轴为直线，即当时，函数的值最小，因此③不正确； 把，，代入关系式得，，，因此④正确； 方程，也就是，即方程，由可得有两个不相等的实数根，因此⑤正确； 正确的结论有：①④⑤， 故答案为：①④⑤． 三、作图题 15. （1）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上． （2）如图，已知：． 求作：，使点O在上，，且与相切． 【答案】 （1）如图，点P为所作． （2）如图，为所作， 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、切线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、切线的判定是解答本题的关键． （1）作的垂直平分线和边上的高，它们的交点为P点． （2）作线段的垂直平分线，交于点，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，结合线段垂直平分线的性质、切线的判定可知，即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 四、解答题 16. 在中国共产党成立一百周年之际，某校举行了以“童心向党”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图．其中“”这组的数据如下： 90，92，93，95，95，96，96，96，97，100. 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 平均分 1 8 65 2 75 3 88 4 10 95 请根据以上信息，解答下列问题： （1）__________； （2）“”这组数据的众数是__________分； （3）随机抽取的这名学生竞赛成绩的平均分是___________分； （4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数． 【答案】（1）12；（2）96；（3）82.6；（4）120人 【解析】 【分析】（1）先由1组的信息求解总人数，再利用总人数乘以，可得的值； （2）由这一组出现次数最多的是：分，从而可得答案； （3）先求解的值，再求解50人的总得分，再除以总人数即可得到答案； （4）由1200乘以96分及96分以上的学生的占比即可得到答案. 【详解】解：（1）由扇形图可得：1组频数为8人，占比 所以总人数为：人， 由2组占 所以：， 故答案为：12 （2）由这一组的数据为：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100. 出现次数最多的是：分， 所以这一组的众数为：分， 故答案为：96 （3）由扇形图可得：3组占： 所以人， 所以随机抽取的这50名学生竞赛成绩的平均分：分， 故答案为： （4）由4组成绩可得96分及96分以上的学生有5人， 所以全校1200名学生中获奖的人数为：人. 【点睛】本题考查的是从扇形图与频数分布表中获取信息，频数与频率，利用样本估计总体，众数的含义，加权平均数的计算，熟悉扇形图与频数分布表之间的关联关系是解题的关键. 17. 数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，在河岸边的处，兴趣小组令一架无人机沿的仰角方向飞行130米到达点A处，然后无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得此时河对岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．（参考数据：， （1）求无人机的飞行高度； （2）求的长． 【答案】（1）无人机的飞行高度为120米 （2）河流的宽度约为172米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法． （1）由题意可得，再代入数据计算即可； （2）过点作，垂足为，先求出米，再在中，根据，求得的长，最后再求解即可． 【小问1详解】 由题意可知，米，， （米）， 无人机的飞行高度为120米； 【小问2详解】 过点作，垂足为， 由题意可得，四边形是矩形， 米，米， （米）， 在中，，即：， （米， （米， （米， 答：河流的宽度约为172米． 18. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯顶端处的俯角是．试求大楼的高度． （参考数据：，，，，，） 【答案】96米 【解析】 【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解． 【详解】延长交于点， 过点作，交于点， 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，. 在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴. 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴. 答：大楼的高度约为96米. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 19. 某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶． （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元 【解析】 【分析】（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶， 由题意可得，， 解得， 经检验是原方程的解. 答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶. （2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶， 则购进乙品牌洗衣液瓶， 由题意可得，， 解得， 由题意可得，， ∵，∴随的增大而增大， ∴当时，取最大值，. 答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20. 已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)． （1）求m的值； （2）判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 【答案】（1）m=1 （2）二次函数的图象与x轴有两个交点， 由（1）知二次函数y=x2+x−2， ∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0， ∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点． 【解析】 【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值； （2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ， ∴4=4+2m+m2−3， 即m2+2m−3=0， 解得：m1=1，m2=−3， 又∵m>0， ∴m=1； 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键． 21. 如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点A作轴，垂足为D，． （1）求一次函数的表达式； （2）已知点满足，求a的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，得，由轴可得，进一步求出点，将A，C点坐标代入一次函数解析式，用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）由勾股定理求出AC的长，再根据且E在x轴上，分类讨论得a的值． 【小问1详解】 解：（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点在一次函数的图象上 ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 在中，由勾股定理得， ∴ 当点E在点C的左侧时， 当点E在点C的右侧时， ∴a的值为或． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理，熟练掌握反比例函数与一次函数的关系是解答本题的关键． 22. 如图，在中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，． （1）求证：； （2）当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，∴ 又∵为边的中点， ∴ ∵，，， ∴ （2）答：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵平分， ∴. 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴是矩形 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，利用中点的性质证明，结合对顶角相等，从而可得结论； （2）先证明 结合 证明四边形是平行四边形，再利用等腰三角形的性质证明 从而可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是证题的关键. 23. 如图1，河面上架有一座彩虹桥，桥的支撑梁呈抛物线形．建立如图2所示的平面直角坐标系（桥面所在直线为x轴），已知，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当桥面离河面的高度是时，求抛物线形支撑梁在河面上的跨度是多少米？ （3）若点P为线段上一点，以，为邻边做平行四边形，当点Q在抛物线上时，求P点的坐标． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把代入得：，求出，，得出，,即可得出（米），即可得出答案； （3）先求出直线的解析式为，设点，则，根据轴，得出，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，，， 设抛物线的解析式为，把，，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵桥面离河面的高度是， ∴点M的纵坐标为， 把代入得：， 解得：，， ∴，, ∴（米）， 即抛物线形支撑梁在河面上的跨度是米； 【小问3详解】 解；设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 设点，则，即， ∵轴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，平行四边形的性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 24. 如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ （2）设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，点A在线段的垂直平分线上 （2） （3）存在使 【解析】 【分析】（1）先表示出，，再根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，据此建立方程求解即可； （2）如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，先由勾股定理得到，再解直角三角形得到，再证明，然后解直角三角形求出的长，最后根据进行求解即可； （3）过点P作于G，解，得到，，则，进而得到；再解得到，由对称性可得，解得到，由平行线的性质得到，则，即可得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图①所示，∵ ， ∴， 如图②所示，由题意得，， ∴， ∵点A在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点A在线段的垂直平分线上； 【小问2详解】 解：如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴； 由（1）可知，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点P作于G， 由（2）可知， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 经检验是原方程的解， ∵， ∴符合题意； 综上所述，存在使． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $