精品解析：广东省汕头市潮阳林百欣中学2025届高三下学期校模拟考试（2）数学试题

潮阳林百欣中学2025届校模拟考试（2） 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，且，则（ ） A. 1或 B. 或 C. 或 D. 或 3. 已知，为和的等差中项，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 已知棱长为的正方体的中心为，若球的球面与该正方体的棱有公共点，则球的表面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. 21小时 B. 22小时 C. 23小时 D. 24小时 8. 已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 若离散型随机变量满足，则（ ） A. B. C. ， D. ， 10. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 11. 若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列满足：，点在函数的图象上.设，则（ ） A. 为平方递推数列 B. C. D. 使得成立的的最小值为2026 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的有理项个数为______. 13. 已知等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，，则的通项公式为______. 14. 已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求证：； （2）若，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，. （1）若，分别是，的中点，证明：； （2）求二面角的余弦值. 17. 记数列的前项和为，已知，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 已知等轴双曲线的一个焦点为. （1）求双曲线C的方程； （2）已知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值． 19. 对于定义在上的函数，若存在距离为的两条平行直线和，使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道，与分别叫做函数的通道下界与通道上界． （1）若，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程； （2）若，证明：存在宽度为2的通道； （3）探究是否存在宽度为的通道？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳林百欣中学2025届校模拟考试（2） 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：B 2. 已知，若，且，则（ ） A. 1或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由共轭复数的定义及复数乘法运算列方程求参数即可. 【详解】由题设，则. 故选：A 3. 已知，为和的等差中项，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题知，得到， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 4. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，再将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座， 共有种排法； 再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有种排法， 故总共有种排法； 故选：D. 5. 已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，将点坐标代入双曲线方程中可得.求出点坐标代入双曲线的两条渐近线的距离之积，结合化简可得的其次方程，即可求解离心率. 【详解】设. ∵点在双曲线上，，即. 又双曲线的两条渐近线分别为和， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为： ， ，即. 又，，，. 故选：D. 6. 已知棱长为的正方体的中心为，若球的球面与该正方体的棱有公共点，则球的表面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分析得到最小的球为正方体的棱切球，最大的球为正方体的外接球.然后分别求出半径，后求出表面积的范围. 【详解】由题意知，当球是正方体的棱切球时，球与棱有公共点， 如图： 此时球的半径， 当球是正方体的外接球时，球与棱有公共点， 如图： 此时球的半径， 所以球的半径， 故球的表面积. 故选：C. 7. 某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. 21小时 B. 22小时 C. 23小时 D. 24小时 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解. 【详解】当时，，当时，， 所以，； 当时，. 故选：A. 8. 已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的范围，由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论. 【详解】因为，所以时，则有， 因为在区间内有最大值，但无最小值， 结合函数图象，得，解得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 若离散型随机变量满足，则（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分布列的性质列方程来求得，根据概率、期望、方差的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，所以，故A正确； 由得，即， 所以，故B错误； 又， ，故C正确； 因为，所以，，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以 ,即函数关于对称，C正确; 由函数关于对称可知, 又因为为偶函数，所以 ，即函数关于对称， 则, 所以,即, 所以,所以是周期为4的周期函数， 所以,又, 所以,所以,所以,B正确; 是偶函数，A错误; 对任意的,且,都有,不妨设, 则,由单调性的定义可得函数在上单调递增， 又由函数关于对称，所以在上单调递增 又,, 所以,得，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题意，然后逐个选项分析即可． 11. 若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列满足：，点在函数的图象上.设，则（ ） A. 为平方递推数列 B. C. D. 使得成立的的最小值为2026 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可得，可得，结合“平方递推数列”的定义，可判断A；由等比数列的定义和通项公式，可判断B；由等比数列的求和公式和对数的运算性质，可判断C；由等比数列的求和公式和不等式的解法，可判断D. 【详解】对于A，由题意得，所以，所以为平方递推数列，故A正确； 对于B，得，其中， 所以是以2为首项2为公比的等比数列，所以，所以，即，故B错误； 对于C，因为 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 由得，故D错误， 故选：AC. 【点睛】思路点睛：先根据已知条件找到数列相邻两项的关系，再通过变形和相关定义进行证明.求对数形式的数列前项积的对数，先将其转化为对数的和，再结合数列通项和求和公式计算.对于由等差数列和等比数列组成的数列求和，采用分组求和法，求解不等式时结合数列特点和取值范围确定的值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的有理项个数为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据二项式的展开式通项分析求解即可. 【详解】的展开式通项为， 由可得. 故答案为：3. 13. 已知等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，，则的通项公式为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式及等差数列的性质得到和，从而得到或，再分别求出通项公式即可. 【详解】由，，得，解得， 由，，所以，所以或， 当时，，此时； 当时，，此时； 故答案为：或. 14. 已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】转化问题为函数的图象与函数的图象只有一个交点，作出函数图象，结合导数分析求解即可. 【详解】因为函数仅有一个零点， 所以函数的图象与函数的图象只有一个交点. 函数恒过定点，， 同一坐标系内作出两函数图象，如图所示， 两个函数图象已经有一个交点. 时，，其导函数， 当直线与函数在处相切时，只有一个交点， 此时，解得，则当时，有两个交点. 时，，其导函数， 当直线与函数在处相切时，只有一个交点， 此时，解得，则当时，有两个交点. 综上，要使函数仅有一个零点，则实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 因为， 根据正弦定理得： 又，所以， 所以， 即， 所以，或（舍）， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及和差角公式即可证明. （2）根据正弦定理求得，再根据余弦定理求出，利用面积公式求出的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据正弦定理得，即， 有余弦定理，得， 解得或， 当时，，，，则，， 而，矛盾，舍去，故， 所以的面积为 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，. （1）若，分别是，的中点，证明：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：取中点，连接，，因为，分别是，的中点，所以，. 因为，所以.所以，又，所以. 因为，又，平面，所以平面，又因平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，以，，结合勾股定理的逆定理可证，进而可得平面，利用线面垂直可得线线垂直； （2）首先可得，，两两垂直，构建空间直角坐标系，并求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内过点作，交于点， 因为，所以，又因为，所以， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又所以，所以， 则，，，所以，. 设平面的法向量为， 则，令，则. 易知平面的一个法向量为，所以. 由图知，二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 17. 记数列的前项和为，已知，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退一相减法可证数列为等差数列，进而可通项公式； （2）利用分组求和及裂项相消法可得. 【小问1详解】 由已知， 则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 则， 则， 所以 . 18. 已知等轴双曲线的一个焦点为. （1）求双曲线C的方程； （2）已知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值． 【答案】（1） （2），或者， 【解析】 【分析】（1）由等轴双曲线知，再由焦点可得双曲线C的方程； （2）设与点A、P、Q的坐标，由斜率之和为定值建立方程，根据韦达定理化简讨论方程根的情况即可. 【小问1详解】 由题意，解得，所以双曲线C的标准方程为． 故答案为： 【小问2详解】 设，过点的动直线为：． 设，，联立得，- 所以，由且，解得且 因为，即，即，． 化简得 所以，． 化简得 由于上式对无穷多个不同的实数都成立， 所以 如果，那么，此时不在双曲线C上，舍去． 因此，从而，所以，代入 得，解得，此时在双曲线C上． 综上，，，或者，． 故答案为：，，或者，． 19. 对于定义在上的函数，若存在距离为的两条平行直线和，使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道，与分别叫做函数的通道下界与通道上界． （1）若，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程； （2）若，证明：存在宽度为2的通道； （3）探究是否存在宽度为的通道？并说明理由． 【答案】（1）与； （2） 函数的定义域为R，而， 即，则， 取，得通道下界的直线方程：，通道上界的直线方程：， 显然直线与的距离， 所以存在宽度为2的通道. （3）不存在，理由： 函数，求导得，函数在上单调递减， 则，显然当时，恒有，即， 假设存在宽度为的通道，设通道下界与通道上界的直线方程分别为，， 则对任意，恒成立，即， 令， 当时，则，而，不符合题意； 当时，对任意，，函数在上单调递减，值域为， 因此不存在，使得对任意，成立，即不存在宽度为的通道； 当时，对任意，，函数在上单调递增，值域为， 因此不存在，使得对任意，成立，即不存在宽度为的通道， 综上，不存在宽度为的通道. 【解析】 【分析】（1）求出函数的值域，再利用给定定义求解即得. （2）利用辅助角公式求出的值域，再利用不等式的性质可得，结合定义推理即得. （3）利用导数求出函数的值域，假定存在，设出通道下界与通道上界的直线方程，利用定义建立不等式，构造函数，按探讨函数值情况即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，在R上单调递增， 而，则，即，因此， 取，得通道下界的直线方程：，通道上界的直线方程：， 显然直线与的距离为2，因此通道宽度不超过3， 所以通道下界与通道上界的直线方程分别为与. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：函数新定义问题，需结合函数性质来判断是否存在满足定义的直线，也可以结合图象的性质来判断存在性，但不存在时则需结合定义给出矛盾. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $