陕西省西安市第八十三中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

1 / 4 西安市第八十三中学 2024—2025 学年度第二学期高二年级第一次月考数学试题 一、单选题（每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的） 1．函数 33y x x  的极大值点是（ ） A．  1,2 B．1 C．  1, 2  D． 1 2．设函数   2π sin 2 3 f x x        ，则曲线  y f x 在 3 0, 2        处的切线方程为（ ） A．2 2 3 0x y   B． 2 3 0x y   C． 2 3 0x y   D．2 2 3 0x y   3．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且 颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然 天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之 为：“回文数”.如 55，696，3773 等，那么用数字 1，2，3，4，5，6，7，8 可以组成 4 位“回文数”的 个数为（ ） A．36 个 B．56 个 C．64 个 D．84 个 4．已知函数   ln 2 x f x ax x    在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A．  , 2  B．  , 2  C．  2,   D． 2,   5．当 0x  时，设函数  f x 存在导数  f x ，且满足     exf x xf x  ，若  1 0f  ，则  1f   （ ） A． 1 e e  B． 1 e  C．0 D． 1 e e  2 / 4 6．已知函数      1 e ,xf x x f x k   有 2 个实数解，则 k 的取值范围是（ ） A． 2 1 , e        B． 2 1 ,0 e       C． 2 1 , e        D．  0,  7．直线 l 与函数    2e 1xf x x  和   lng x x 的图象分别相切于点 ,A B，则 AB （ ） A．2 B．2 2 C． 2 D．2 3 8．已知函数   exf x x  ，   lng x x x  ，若    1 2f x g x ，则 21x x 的最小值为（ ） A． e B． 1 e  C． 1 D． e 2  二、多选题（每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得 6分，部分选对部分分，有错选的得 0分） 9．已知函数   32 6 1f x x x   ，则（ ） A．     1g x f x  为奇函数 B．  f x 的单调递增区间为  1,1 C．  f x 的极小值为 3 D．若关于 x 的方程   0f x m  恰有 3 个不等的实根，则m 的取值范围为  3,5 10．给出定义：若函数  f x 在D上可导，即  f x 存在，且导函数  f x 在D上也可导，则称  f x 在 D上存在二阶导函数，记     f x f x   ．若   0f x  在D上恒成立，则称  f x 在D上是“下凸函 数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A．   2 4 3f x x x   B．   1 2 logg x x C．   2 2cosh x x x  D．   2 lnx x x  11．已知   2 sin π x f x x x   ，则下列说法正确的有（ ） A．  f x 的零点个数为 4 B．  f x 的极值点个数为 3 C．若    1 2f x f x ，则 1 2 πx x  D． x 轴为曲线  y f x 的切线 3 / 4 三、填空题（每小题 5分，共 20分） 12．函数   2 1 ln 2 f x x x  的单调递减区间为 ． 13．乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共 39 支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味.现有 4 名 国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观 看方式有 .（用数字作答） 14．在边长为8 5cm 的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如 图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 3cm . 15．已知函数𝑓(𝑥) = 2sin𝑥 + sin2𝑥，则𝑓(𝑥)的最小值是 ． 四、解答题（本大题共 5小题，共 72分） 16．（本题满分 12分）已知函数    3 2 1 , 3 f x x ax bx a b R    在 3x   处取得极大值为 9. (1)求a b， 的值; (2)求函数 f x（ ）在区间[ 3 3] ，上的最大值. 17．（本题满分 12 分）已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是首项为 2 的等比数列，且 公比大于 0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nbn}的前 n项和(n∈N*)． 4 / 4 18．（本题满分 14分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年 的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：C（x）= (0 10), 3 5 k x x    若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 f（x）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之 和． （1）求 k 的值及 f(x)的表达式． （2）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值． 19．（本题满分 17分）在四棱锥P ABCD 中，点E 是棱PA上一点，BE PD ，PA PB PD  ， 1 2 AB AD CD  2 ， 60DAB   . (1)证明：PD 平面PAB； (2)若CD AB∥ ，求二面角 A PD C  的正弦值. 20．（本题满分 17分）已知函数 1 ( ) ln f x a x x ，其中 Ra ． (1)若函数  f x 的最小值为 2a ，求 a的值； (2)若存在 1 20 x x  ，且 1 2 2x x  ，使得    1 2f x f x ，求 a的取值范围．