精品解析：北京市第二中学朝阳学校2024-2025学年高二下学期第一次阶段考试数学试卷

北京二中朝阳学校2024-2025学年度第二学期高二年级数学学科第一次阶段考试试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用简单复合函数的求导公式进行求解 【详解】， 故选：C 2. 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数有（ ） A. 60个 B. 106个 C. 156个 D. 216个 【答案】C 【解析】 【分析】分为0在个位和0不在个位两类，计算每一类中符合要求的数的个数，结合分类加法和分步乘法计数原理进行求解. 【详解】第一类，0在个位，共有种； 第二类，0不在个位，从2、4中选一个数排个位，种方法；从余下的数字中选一个排千位，种方法；再排十位、百位，种方法；所以共有种； 所以这样的四位偶数共有种，所以C正确； 故选：C. 3. 已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 2是的极大值点 B. 在处的切线斜率大于0 C. D. 在上一定存在最小值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数图像，得到原函数单调性，利用极值点的定义判断A，利用导数的几何意义判断B，利用函数的单调性判断C，将极小值与端点值比较判断D即可. 【详解】由图像得在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，显然2是的极大值点，故A正确， 由图像得，而在处的切线斜率即为， 结合可得在处的切线斜率大于0，故B正确， 由图像得在上单调递减，故成立，故C错误， 由图像得在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 是函数极小值，且，， 故在上一定存在最小值，故D正确. 故选：C 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式通项公式求解． 【详解】， 令，得， ∴常数， 故选：B． 5. 已知函数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，即可比较大小. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为偶函数， 又，令，则， 所以（）在定义域上单调递增， 又，所以当时， 所以在上单调递增，因为，所以， 又，所以. 故选：D 6. 如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导函数，再根据单调性得出导函数恒为正或者恒为负求参即可. 【详解】由已知， 因为是单调函数, 所以恒成立或恒成立， 所以恒成立或恒成立， 所以或, 所以或. 故选：A. 7. 已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求出切线方程，转化为有三个不等实根，利用导数分析单调性最值，画出图象求参数的取值范围即可. 【详解】设切点坐标为. 由题意得， 所以函数的图像在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则，由题意可知,这个方程有三个不等实根. 设，则， 由得，由得或. 所以函数在和上单调递减， 在上单调递增，又当趋近于正无穷时，趋近于； 当趋近于负无穷，趋近于正无穷，且， 所以的大致图象如图， 所以要使直线与函数的图象有三个交点， 则. 故选：C 8. 北京地铁12号线是一条主要沿北三环东西向敷设的轨道交通干线，全长约30公里，设21座车站，跨越海淀、西城、东城、朝阳四个行政区，预计2024年7月1日正式开通，它的开通将填补东坝地区轨道交通的空白. 作为“地下北三环”，12号线开通后还能有效缓解英才高二年级许老师和郑老师的上下班通勤压力.若许老师和郑老师同时从东坝西站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过18站，地铁票价如下表，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同， 乘坐站数 票价/元 3 4 5 6 则下列结论中不正确的是（ ） A. 若许老师、郑老师两人共花费7元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有24种 B. 若许老师、郑老师两人共花费10元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有88种 C. 若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为 D. 若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】根据票价和分别讨论计算各个选项即可. 【详解】选项A：若许老师、郑老师两人共花费7元，则许老师、郑老师票价分别为3，4或4，3； 共有方案种，A选择正确； 选项B：若许老师、郑老师两人共花费10元，则许老师、郑老师票价分别为5，5或4，6或6，4， 共有方案种，B选项正确； 选项C，D：若许老师、郑老师两人共花费9元，则许老师、郑老师票价分别为5，4或4，5或3，6或6，3， 则郑老师比许老师先下地铁的概率为，C选项错误，D选项正确. 故选：C. 9. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式，构造函数并明确其单调性，进而可得导数的不等式，利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求其最值，可得答案. 【详解】当时，不等式恒成立，则， 即函数在上单调递增，则， 整理可得，令，则. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ，. 故选：D. 10. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”．给出下列5个集合： ①；②；③； ④；⑤． 其中是“集合”的所有序号是（ ） A. ②③ B. ①④⑤ C. ③⑤ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合是“集合”，即满足曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，逐项判定，即可求解. 【详解】题意，集合是“集合”，即满足曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直， 对于①中，，假设集合是“集合”， 则存在两点，，满足，即，方程无解， 所以假设不成立，所以集合不是“集合”； 对于②中，函数，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，且当时，，图象如图所示， 设图象上对任意一点时，则， 若令，即，也即， 由函数的图象与函数的图象无交点，即无解， 所以， 故对于时不存在，此时不存在一点，使得成立， 所以集合不是“集合”； 对于③中，集合的图象表示一个在轴上方的半圆（包括轴上的点）， 如图所示，根据圆的性质，可得对任意一点，总是存在一点，使得成立， 所以集合是“集合”； 对于④中，函数，当点时， 若，则不成立， 所以集合不是“集合”； 对于⑤中，函数，其大致图象如下. 设是其图象上任意一点，由图可知直线的斜率的范围是 根据图象可得，其图象上任意一点，总是存在一点，使得成立， 所以集合是“集合”. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合是“集合”的新定义及应用，其中解答的关键是理解对于任意，存在，使得成立，即满足曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 二、填空题 11. 已知函数，则函数的单调增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数求单调区间即可. 【详解】函数的定义域为R，，令，解得，所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 12. 将2名男生和1名女生随机排成一排，则2名男生相邻的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用“相邻”问题捆绑法求得2名男生相邻的排法数，根据古典概型概率公式即可求得概率. 详解】将2名男生和1名女生随机排成一排，方法数有种， 而2名男生相邻的排法数有种， 由古典概型概率公式，可得2名男生相邻的概率为. 故答案为：. 13. 若，则_________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 分析】利用组合数公式求出，再利用排列数公式计算即得. 【详解】由，得，解得， 所以. 故答案为：20 14. 设函数，若时，取到极小值，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】求导得，分析的单调性，即可得出答案. 【详解】函数，定义域为，， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，取得极小值，所以. 故答案为：2. 15. 一个圆桌有八个座位，编号为至．现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位．家长与其孩子相邻．满足要求的坐法共有________种． 【答案】48 【解析】 【分析】首先个学生对应个偶数位座位有种，再排其对应家长即可. 【详解】由题意，个学生对应个偶数位座位，有， 家长与其孩子相邻，只能坐其孩子的左边或右边， 学生确定好位置后，家长有种排法， 故总排法有种. 故答案为：. 16. 已知函数.给出下列四个结论： ①存在实数a，使得有最大值； ②对任意实数a，使得存在至少两个零点； ③若，则存在，使得； ④函数的值域不可能是R. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据时，根据二次函数的性质，结合求导判断函数的单调性即可判断①，根据即可判断②，构造，利用导数求解函数的单调性即可判断③，根据二次函数的性质，结合指数函数的性质即可判断④. 【详解】当时，当时，，此时在单调递增，在单调递减，此时 当时，，此时，此时单调递增，且, 综上可得时，，故①正确， 当时，当时，，此时在单调递减，此时只有一个零点， 当时，，此时无零点， 故当时，只有一个零点，故②错误， 当时，，若，则，所以， 令（），则， 故在上单调递增，故， 故当时，此时在上没有实数根，因此不存在，使得，③错误， 当时， （）为开口向上的二次函数，， 故此时值域为的子集，而时，， 且当时，，故此时值域不可能为, 当时， （）为开口向下的二次函数，， 故此时的值域为的子集，而时，，故此时值域不可能为, 当时，值域为，不为, 因此值域不可能为,④正确 故答案：①④ 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 三、解答题 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的极大值与极小值. 【答案】（1）答案见解析； （2）的极大值为10，极小值为； 【解析】 【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论即可得出单调区间； （2）结合（1）中的结论得出函数的极大值点和极小值点，即可求得结果. 【小问1详解】 由可得其定义域为， 且； 当时，恒成立，此时的单调递增区间为； 当时，，若或，； 若，； 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，，若或，； 若，； 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为； 综上可得时，的单调递增区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，，此时； 由（1）可知的单调递增区间为和，单调递减区间为； 所以可得函数在时取得极大值，即， 在时取得极小值，即； 所以函数的极大值为，极小值为. 18. 在的展开式中. （1）求第项的二项式系数； （2）求的系数； （3）求第项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 根据展开式的通项公式求二项式系数； （2）由展开式的通项公式求系数； （3）根据展开式的通项公式求项. 【小问1详解】 第项的二项式系数为. 【小问2详解】 展开式中的第项为 , 由已知，令，则，则 , 则的系数为 . 【小问3详解】 因为 , 求第项，即时， , 所以第项为. 19. 某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名． （1）将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？ （2）从6名中选出3人参加某公益活动． （i）共有多少种不同的选择方法？ （ii）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）480 （2）20，16 【解析】 【分析】（1）根据插空法即可求解； （2）根据组合定义即可求解（i）；用“6名学生中选出3人参加某公益活动”所有情况减去 “6名学生中选出3名男生参加某公益活动”的情况即可求解（ii）． 【小问1详解】 男生先排有种，女生插空有种， 所以共有种不同排法． 【小问2详解】 （i）6名中选出3人共有种方法； （ii）6名中选出3名男生有种方法， 所以至少有1位女生入选，共有种不同的选择方法． 20. 已知函数，曲线在点处切线斜率为 （1）求的值； （2）求证：有且只有一个极值点； （3）求证：方程无解． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出的值. （2）由（1）的结论，探讨导数的零点，结合函数的单调性推理即得. （3）根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数单调性，再分析判断函数值情况得证. 【小问1详解】 函数，求导得， 由曲线在点处切线斜率为，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，函数的定义域为，在上单调递减， 而，，则存在，使得， 当时，，当时，，因此函数在上递增，在上递减， 所以函数有且只有一个极值点. 【小问3详解】 令函数，求导得， 当时，，则单调递减， 且，由（2）可得在上单调递减， 当时，，因此当时，，即在上单调递减， 又当时，，则， 当时，，因此当时，， 从而时，恒成立， 所以函数无零点，即方程无解． 21. 设数列，为的满足下列性质的排列的个数，性质T：排列中仅存在一个，使得． （1）求的值，并写出时其中一种排列的情形． （2）若，求满足性质的所有排列的情形． （3）求数列的通项公式． 【答案】（1）；从中任选一个即可 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意直接得出的值，当时，写出所有的排列，再找到满足的排列有写出其中一种即可； （2）当时，将满足性质T的所有排列一一列举出来即可； （3）由的值，猜想出结论，再根据排列组合即可证明． 【小问1详解】 由性质的定义可知：当时，由1构成的排列不满足性质，故； 当时，由构成的排列满足性质，故； 当时，由构成的所有排列为： 其中满足仅存在一个，使得的排列有： ，从中任选一个即可； 【小问2详解】 若，由构成的所有种排列中， 符合性质的排列有： ，故； 【小问3详解】 由（1）、（2）可得：，同理可得：； ∴归纳出， 证明：∵在的所有排列中， 若，，从个数中选个数， 从小到大排列为：， 其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置， ∴满足题意的排列个数为， 若，则满足题意的排列个数为， 综上：，即， ∴ ＝ ， 故数列的通项公式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京二中朝阳学校2024-2025学年度第二学期高二年级数学学科第一次阶段考试试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 2. 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数有（ ） A. 60个 B. 106个 C. 156个 D. 216个 3. 已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 2是的极大值点 B. 在处的切线斜率大于0 C. D. 在上一定存在最小值 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 5. 已知函数，则（    ） A. B. C D. 6. 如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 北京地铁12号线是一条主要沿北三环东西向敷设的轨道交通干线，全长约30公里，设21座车站，跨越海淀、西城、东城、朝阳四个行政区，预计2024年7月1日正式开通，它的开通将填补东坝地区轨道交通的空白. 作为“地下北三环”，12号线开通后还能有效缓解英才高二年级许老师和郑老师的上下班通勤压力.若许老师和郑老师同时从东坝西站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过18站，地铁票价如下表，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同， 乘坐站数 票价/元 3 4 5 6 则下列结论中不正确的是（ ） A. 若许老师、郑老师两人共花费7元，则许老师、郑老师下地铁不同方案共有24种 B. 若许老师、郑老师两人共花费10元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有88种 C. 若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为 D. 若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为 9. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”．给出下列5个集合： ①；②；③； ④；⑤． 其中是“集合”的所有序号是（ ） A. ②③ B. ①④⑤ C. ③⑤ D. ①②④ 二、填空题 11. 已知函数，则函数的单调增区间为__________. 12. 将2名男生和1名女生随机排成一排，则2名男生相邻的概率为______. 13. 若，则_________．（用数字作答） 14. 设函数，若时，取到极小值，则______. 15. 一个圆桌有八个座位，编号为至．现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位．家长与其孩子相邻．满足要求的坐法共有________种． 16. 已知函数.给出下列四个结论： ①存在实数a，使得有最大值； ②对任意实数a，使得存在至少两个零点； ③若，则存在，使得； ④函数的值域不可能是R. 其中所有正确结论序号是______. 三、解答题 17 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的极大值与极小值. 18. 在的展开式中. （1）求第项的二项式系数； （2）求的系数； （3）求第项. 19. 某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名． （1）将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？ （2）从6名中选出3人参加某公益活动． （i）共有多少种不同选择方法？ （ii）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？ 20. 已知函数，曲线在点处切线斜率为 （1）求的值； （2）求证：有且只有一个极值点； （3）求证：方程无解． 21. 设数列，为的满足下列性质的排列的个数，性质T：排列中仅存在一个，使得． （1）求的值，并写出时其中一种排列的情形． （2）若，求满足性质的所有排列的情形． （3）求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$