精品解析：2025年河南省信阳市息县中考一模数学试题

2025年河南省招生考试一模试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 河南省计划到2025年，全省新能源汽车年产量超过200万辆，产量规模进入全国前三位，产业规模迈上万亿级台阶．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由5个小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，被直线所截，，与相交于点，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在一场比赛中有9位评委给选手打分，统计最后得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，去掉这两个分数的前后，不受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等实数根 D. 只有一个实数根 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接．若，菱形的面积为12，则的长为（ ） A 3 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，点是优弧上一点，且，以弦的长为直径在的下方作半圆．若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 天气瓶不仅是很漂亮的室内装饰品，还能根据气压变化，预测次日的天气情况，其化学工作原理是：天气瓶内结晶状态会随温度变化发生改变．制作天气瓶用到的固体物质有硝酸钾和氯化铵，如图是两种物质的溶解度曲线．下列说法错误的是（ ） A. 当温度为时，硝酸钾的溶解度是 B. 氯化铵溶解度随温度的升高而增大 C. 温度每增加，硝酸钾溶解度的增加量不同 D. 时，将氯化铵加入溶剂中可得到饱和溶液 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比3大且比4小无理数：_____． 12. 不等式组的所有整数解的和是_____________． 13. 嵩山少林寺、银基动物王国、只有河南·戏剧幻城是郑州的热门景点，把这三个旅游景点制作成除正面外完全相同的卡片，背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片恰好是“嵩山少林寺”和“银基动物王国”的概率为_____________． 14. 如图，平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，以此类推…，则点的坐标是_____________． 15. 在矩形中，，取的中点，连接，，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简． 17. 为了宣传航天知识，某校举行了：：微重力物理，：空间材料科学，：空间生命科学，：航天医学，：航天技术，共五类知识的展览，展览开展了一段时间后，张老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了以“我最喜欢的展览”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次共调查了_____________名同学，将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，A组所对应扇形的圆心角度数为_____________； （3）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“航天技术”学生人数． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）直接写出点的坐标； （3）将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线，若直线分别交的图象、轴于，两点，求的面积． 19. 如图，已知是钝角三角形，是钝角，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）现有一个圆，圆心在线段上，且与边相切．若，求的半径． 20. 为了更好地监测湖中的水质，某县在湖中修建了一个取水监测台．其形状为矩形，其示意图如下． 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行对监测台边长的测量活动，采取如下方案：在湖外取一点，使得点在同一条直线上；过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米．该小组在点处用测角仪进行了如下测量： ①②③ （1）为了计算边的长，在以上①②③中，应选择的条件是_____________；（填序号） （2）在（1）的条件下，计算的长．（结果精确到．参考数据：）． 21. 河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果10千克，乙种水果20千克，共收入1180元；若销售甲种水果20千克，乙种水果10千克，共收入1520元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过40千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． （1）求的值； （2）若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过80千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点在点左侧．动点在抛物线上，其横坐标为． （1）求； （2）若点到轴的距离大于3，求的取值范围； （3）若抛物线位于点右侧（包含点）部分的函数值最小为，求的值． 23. 综合与实践 【折一折】 将边长为的正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，连接，如图1． （1）_____________；点到的距离是_____________（用含的代数式表示）． 【转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边于点，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边分别交对角线于点，如图3，当点是边的三等分点时，直接写出的长（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省招生考试一模试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数概念求解即可． 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2. 河南省计划到2025年，全省新能源汽车年产量超过200万辆，产量规模进入全国前三位，产业规模迈上万亿级台阶．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵万， ∴万， 故选：C 3. 如图是由5个小正方体搭成几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．根据俯视图的定义，观察图形即可解决问题． 【详解】解：俯视图是从上面看得到图形，由几何体以及上面方向可知，俯视图为： 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方等于各因式分别乘方的积；同底数幂相除，底数不变，指数相减；分别应用运算法则进行计算即可判断． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，直线，被直线所截，，与相交于点，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，由平行线的性质得，即可求解；能熟练利用平行线的性质求角度是解题的关键． 【详解】解：如图， 于点， ， ， ， ， 解得：； 故选：D． 6. 在一场比赛中有9位评委给选手打分，统计最后得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，去掉这两个分数的前后，不受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数． 【详解】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数． 故选：B． 【点睛】此题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义． 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，先求，将与0作比较即可解答，熟知与0的大小关系对应的根的情况是解题的关键． 【详解】解：， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接．若，菱形的面积为12，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，掌握三角形的中位线定理，能熟练利用菱形的性质进行求解是解题的关键．由三角形的中位线定理得，由菱形的面积得，即可求解； 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， ， ， ， 解得：， 故选：C． 9. 如图，点是优弧上一点，且，以弦的长为直径在的下方作半圆．若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，过O作于A，根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形得到，再由勾股定理得，，分别计算出，，，再根据即可解答． 本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，三角形面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】连接，，过O作于A， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 10. 天气瓶不仅是很漂亮的室内装饰品，还能根据气压变化，预测次日的天气情况，其化学工作原理是：天气瓶内结晶状态会随温度变化发生改变．制作天气瓶用到的固体物质有硝酸钾和氯化铵，如图是两种物质的溶解度曲线．下列说法错误的是（ ） A. 当温度为时，硝酸钾的溶解度是 B. 氯化铵溶解度随温度的升高而增大 C. 温度每增加，硝酸钾溶解度的增加量不同 D. 时，将氯化铵加入溶剂中可得到饱和溶液 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，利用函数图象的意义可得答案，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键． 【详解】解：、当温度为时，硝酸钾的溶解度是，原选项说法正确，不符合题意； 、氯化铵溶解度随温度的升高而增大，原选项说法正确，不符合题意； 、温度每增加，硝酸钾溶解度的增加量不同，原选项说法正确，不符合题意； 、时，将氯化铵加入溶剂中可得到饱和溶液，原选项说法错误，符合题意； 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____． 【答案】答案不是唯一， 【解析】 【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根的形式表示出来即可． 【详解】设无理数的被开方数为x， ∵无理数比3大且比4小， ∴9＜x＜16， ∴其中的一个无理数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键． 12. 不等式组的所有整数解的和是_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解答本题的关键．先求出各不等式的解集，再求确定等式组的解集，最后确定不等式的整数解，再求和即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， ∴整数解有：， ∴所有整数解的和是． 故答案为：10． 13. 嵩山少林寺、银基动物王国、只有河南·戏剧幻城是郑州的热门景点，把这三个旅游景点制作成除正面外完全相同的卡片，背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片恰好是“嵩山少林寺”和“银基动物王国”的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，用分别表示嵩山少林寺、银基动物王国、只有河南·戏剧幻城，列出表格，进行求解即可． 【详解】解：用分别表示嵩山少林寺、银基动物王国、只有河南·戏剧幻城，列出表格如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片恰好是“嵩山少林寺”和“银基动物王国”的结果有2种， ∴； 故答案为：． 14. 如图，平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，以此类推…，则点的坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：边长为2的等边三角形在第二象限， ∴， 将绕点顺时针旋转，得到， 与点关于轴对称， ， 再作关于原点的中心对称图形，得到， 与点关于原点对称， ， 再将绕点顺时针旋转，得到 此时点落在轴的负半轴上， ． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 此时点落在轴的正半轴上， ． 以此类推，则，， 与点重合， 对应的点大于1的整数）的坐标以，，，，，为规律循环， 与的坐标相同， ∴则点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转，等边三角形的性质，本题是操作性题目，利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，找出规律是解题的关键． 15. 在矩形中，，取的中点，连接，，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质；①当时，由矩形的性质及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，结合勾股定理，即可求解；②当时，同理可证 ，由相似三角形的性质得，结合勾股定理，即可求解； ③由，，此种情况不存在；掌握矩形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解，并能按直角顶点的不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当时， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， 是的中点， ， ， ， 解得：， ； ②当时， 由①得： ， ， 同理可证：， ， 四边形是矩形， ， ， 解得：， ， 同理可求：， 是的中点， ， ； ③， ，此种情况不存在； 综上所述：的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算以及实数的混合运算，涉及了二次根式的化简，零指数幂、负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用二次根式，零指数幂，负整数指数幂法则即可求解； （2）利用分式的混合运算法则即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 为了宣传航天知识，某校举行了：：微重力物理，：空间材料科学，：空间生命科学，：航天医学，：航天技术，共五类知识的展览，展览开展了一段时间后，张老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了以“我最喜欢的展览”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次共调查了_____________名同学，将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，A组所对应扇形的圆心角度数为_____________； （3）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“航天技术”的学生人数． 【答案】（1），见解析 （2） （3）540人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）首先利用“组学生人数其占比”，即可求得所调查学生人数；分别计算组和组的人数，然后补画条形统计图即可； （2）利用“A组学生占比”，即可获得答案； （3）利用“该校学生总数组学生占比”，即可获得答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为：（人）， ∴组的学生人数为：（人）， ∴的人数为：（人）， 将条形统计图补充完整如下： 【小问2详解】 组所对应扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 （人）， 答：估计全校最喜欢“航天技术”的学生人数为540人． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）直接写出点的坐标； （3）将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线，若直线分别交的图象、轴于，两点，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求函数解析式，一次函数的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）将代入反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数的图象是中心对称图形，经过原点的直线的两个交点关于原点对称求解即可； （3）：设正比例函数的解析式为，利用待定系数法求出，进而得到直线解析式为，利用反比例函数解析式求出，进而得出，再求出，即可得到答案．． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数解析式， 则； 【小问2详解】 解：根据反比例函数的对称性可知，的坐标为； 【小问3详解】 解：设正比例函数的解析式为， 将代入可得， 解得：， 则将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线解析式为， 将代入反比例函数解析式，解得， 将代入， 解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，已知是钝角三角形，是钝角，且． （1）请用无刻度直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）现有一个圆，圆心在线段上，且与边相切．若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、圆的切线的性质、勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）分别以B、为圆心，大于为半径画弧即可完成作图； （2）设与的交点为，连接，由题意得，推出，设，根据即可求解． 【小问1详解】 解：如图1所示． 【小问2详解】 解：如图2，设与的交点为，连接， ∵与都是的切线， ∴， ∵，垂直平分， ∴， 在中，， 设， ∵， ∴，解得． ∴半径为． 20. 为了更好地监测湖中的水质，某县在湖中修建了一个取水监测台．其形状为矩形，其示意图如下． 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行对监测台边长的测量活动，采取如下方案：在湖外取一点，使得点在同一条直线上；过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米．该小组在点处用测角仪进行了如下测量： ①②③ （1）为了计算边的长，在以上①②③中，应选择的条件是_____________；（填序号） （2）在（1）的条件下，计算的长．（结果精确到．参考数据：）． 【答案】（1）②③ （2）6米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形： （1）根据图形，进行判断即可； （2）过点作于点，分别解和，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由图形可知，要计算边的长，应选择的条件为②③； 故答案为：②③ 【小问2详解】 过点作于点，如图所示，由题意，可知：． 在中，， ∴米， 在中，， ∴， ∴（米）． 答：的长为6米． 21. 河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果10千克，乙种水果20千克，共收入1180元；若销售甲种水果20千克，乙种水果10千克，共收入1520元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过40千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． （1）求的值； （2）若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过80千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？ 【答案】（1） （2）电商销售甲种水果80千克，乙种水果40千克时销售额达到最大 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及一次函数的应用，弄清题意，精准识图是解题的关键； （1）设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克，利用二元一次方程组求出，即可求解； （2）求出当时，，设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元，由销售额甲种水果的销售额乙种水果的销售额，再利用一次函数的性质，即可求解； 理解、的实际意义，找出等量关系式，能熟练利用一次函数的性质求解实际问题是解题的关键． 小问1详解】 解：设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克， 则， 解得， ； 【小问2详解】 解：当时， ； 设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元， 则 ， ∵，， ∴当时，有最大值， 此时（千克）， 答：电商销售甲种水果80千克，乙种水果40千克时销售额达到最大． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点在点左侧．动点在抛物线上，其横坐标为． （1）求； （2）若点到轴的距离大于3，求的取值范围； （3）若抛物线位于点右侧（包含点）部分的函数值最小为，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，能熟练利用待定系数法，图象法，二次函数的性质进行求解是解题的关键． （1）将代入原抛物线解析式为： （2）直线经过，点关于的对称坐标是，根据图象，即可求解； （3）①当在直线的左侧时，②当在直线的上时，③当在直线的由侧时，利用二次函数的性质，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得：． 【小问2详解】 解：如图， 直线经过，抛物线解析式为， 顶点坐标为， 点关于的对称点坐标是， 由图得：平行于直线且在直线上方的直线与抛物线的交点到到轴的距离都大于3时， ∴当点到轴的距离大于3时，需要满足或． 小问3详解】 解：①当在直线的左侧时， ，， ， 解得（不合题意，舍去）， ②当在直线的上时， ，， ， 解得（不合题意，舍去）， ③当在直线的由侧时， ， 当时， ， ， 解得：，（不合题意，舍去） 综上，的值为． 23. 综合与实践 【折一折】 将边长为的正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，连接，如图1． （1）_____________；点到的距离是_____________（用含的代数式表示）． 【转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边于点，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边分别交对角线于点，如图3，当点是边的三等分点时，直接写出的长（用含的代数式表示）． 【答案】（1）45，；（2）不变，理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质得出答案； （2）延长至T，使得，再证明，即可得出答案； （3）先证明，可得，再分两种情况得出答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质得． ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． ∵， ∴点A到的距离． 故答案为：，a； （2）结论：不变，仍然等于a． 理由：如图，延长至T，使得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点A到的距离等于a， ∴点A到的距离等于a； （3）∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 当时，； 当时，． 所以的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$