第06讲 二次函数与几何压轴（讲练）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

模块二 函数 第06讲 二次函数与几何压轴 （思维导图+1考点+3种题型） 试卷第1页，共3页 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 考点要求 命题预测 二次函数与几何压轴 二次函数的压轴题主要考向： 1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）等）． 2）最值问题（线段、周长、面积） 常见有关二次函数的题型和应对策略： 1）线段最值（周长）问题——斜化直策略 2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略 3）线段和最小值问题——将军饮马、阿氏圆模型 4）线段差——三角形三边关系或函数 5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论 6）平行四边形存在性问题——中点公式＋平移法 考点一 数与式的相关运算 题型01 三角形面积问题 1．（2020•广东）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BCCD． （1）求b，c的值； （2）求直线BD的函数解析式； （3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 【分析】（1）先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解； （2）过点D作DE⊥AB于E，由平行线分线段成比例可求OE，可求点D坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）利用两点距离公式可求AD，AB，BD的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求∠ABD＝30°，∠ADB＝45°，分∠ABP＝30°或∠ABP＝45°两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解． 【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3， ∴点B（3，0），点A（﹣1，0）， ∴抛物线解析式为：y（x+1）（x﹣3）x2x， ∴b，c； （2）如图1，过点D作DE⊥AB于E， ∴CO∥DE， ∴， ∵BCCD，BO＝3， ∴， ∴OE， ∴点D横坐标为， ∴点D坐标为（，1）， 设直线BD的函数解析式为：y＝kx+m， 由题意可得：， 解得：， ∴直线BD的函数解析式为yx； （3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（，1）， ∴AB＝4，AD＝2，BD＝22，对称轴为直线x＝1， ∵直线BD：yx与y轴交于点C， ∴点C（0，）， ∴OC， ∵tan∠CBO， ∴∠CBO＝30°， 如图2，过点A作AK⊥BD于K， ∴AKAB＝2， ∴DK2， ∴DK＝AK， ∴∠ADB＝45°， 如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0）， 若∠CBO＝∠PBO＝30°， ∴BNPN＝2，BP＝2PN， ∴PN，BP， 当△BAD∽△BPQ， ∴， ∴BQ2， ∴点Q（1，0）； 当△BAD∽△BQP， ∴， ∴BQ4， ∴点Q（﹣1，0）； 若∠PBO＝∠ADB＝45°， ∴BN＝PN＝2，BPBN＝2， 当△DAB∽△BPQ， ∴， ∴， ∴BQ＝22 ∴点Q（1﹣2，0）； 当△BAD∽△PQB， ∴， ∴BQ22， ∴点Q（5﹣2，0）； 综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，相似三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 2．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q． （1）求该抛物线的解析式； （2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标． 【分析】（1）根据A（1，0），AB＝4求出B（﹣3，0），把A、B的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求解； （2）过Q作QE⊥x轴于E，设P（m，0），则PA＝1﹣m，易证△PQA∽△BCA，利用相似三角形的性质即可求出QE的长，又因为S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA，进而得到△CPQ面积和m的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求出面积最大值． 【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4， ∴B（﹣3，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F， 设P（m，0），则PA＝1﹣m， ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴C（﹣1，﹣4）， ∴CF＝4， ∵PQ∥BC， ∴△PQA∽△BCA， ∴，即， ∴QE＝1﹣m， ∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA PA•CFPA•QE （1﹣m）×4（1﹣m）（1﹣m） （m+1）2+2， ∵﹣3≤m≤1， ∴当m＝﹣1时 S△CPQ有最大值2， ∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．此题综合性较强，中等难度，是一道很好的试题． 类型一 利用铅垂高计算三角形面积 类型二 面积比值问题 情况一：等底或等高 结论：①当底相等，则面积比=高之比 ②当高相等，则面积比=底边之比 情况二：斜转直 类型三 面积存在性问题 等积变形原理： 情况一：公共边为定边 题目要求：在抛物线上找一点P，使得 方法简介： ①A.P在公共边BC同侧时，只需AP∥BC，过点A作l1//BC，交抛物线于P1. ②A.P在公共边BC异侧时，将l1上移2CD个单位，即CD=CE，记为l2//BC, 交抛物线于P2，P3 ③将l1和l2分别与抛物线联立. 情况二：公共边为动边 题目要求：在抛物线上找一点P，使得 方法简介： ①当点B.C在公共边AP同侧时，只需AP //BC即可，过点A作l//BC交抛物线于P1，联立l与抛物线. ②当点B.C在公共边AP异侧时，取BC中点D，CM=BN连接AD交抛物线于P2，联立AD与抛物线. 类型四 面积最值问题 题目要求：在抛物线上的第一象限找一点P，使 方法简介： 方法一：S=•水平宽•铅垂高 方法二：作l//BC，l与抛物线只有一个交点P，此时h最大，联立l与抛物线，=0 1．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标； (2)求的面积． 注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【答案】(1)抛物线对应的解析式， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再根据解析式求点P的坐标即可； （2）求出点和抛物线顶点，，利用即可得到答案． 【详解】（1）抛物线经过点，， ， 解这个方程组，得． 抛物线对应的解析式． 点是抛物线的顶点坐标， ，即：，， ． （2）如图，连接OP．    ，，，， ， ， ． ， ． 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，掌握数形结合的思想和割补法求三角形面积是解题的关键． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或（3，4） (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得 ，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解； （3）由已知条件可得，进而可得 ，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据 ，根据二次函数的性质即可求的最大值． 【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）设直线AB的解析式为， 将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以直线AB的解析式为． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E． 所以 ． 因为A（4，0），B（1，4），所以． 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 所以，． 设，则． 所以， 即， 解得，． 所以点P的坐标为或（3，4）． （3） 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 ， ， 设 直线AB的解析式为． 设，则 整理得 时，取得最大值，最大值为 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键． 3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)或． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解； （3）根据题意，求得当是直角三角形时的的值，进而观察图象，即可求解，分和两种情况讨论，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入，得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）∵ ， 顶点坐标为， 当时， 解得： ∴，则 ∵，则 ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴到的距离等于到的距离， ∵，，设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，    设的解析式为，将点代入得， 解得： ∴直线的解析式为， 解得：或 ∴， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形，且， 如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴或 综上所述，或或； （3）①当时，如图所示，过点作交于点， 当点与点重合时，是直角三角形， 当时，是直角三角形，    设交于点， ∵直线的解析式为， 则， ∴, ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 设，则 ∵ ∴ 解得：（舍去）或 ∴ ∵是锐角三角形 ∴； 当时，如图所示， 同理可得 即∴ 解得：或（舍去） 由（2）可得时，    ∴ 综上所述，当是锐角三角形时，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】 （1）根据抛物线的交点式直接得出结果； （2）作于，作于，交于，先求出抛物线的对称轴，进而求得，坐标及的长，从而得出过的直线与抛物线相切时，的面积最大，根据的△求得的值，进而求得的坐标，进一步求得上的高的值，进一步得出结果； （3）分两种情形：当点在线段上时，连接，交于，设，根据求得的值，可推出四边形是平行四边形，进而求得点坐标；当点在的延长线上时，同样方法得出结果． 【详解】（1） 解：由题意得， ； （2） 解：如图1， 作于，作于，交于， ，， ， ， 抛物线的对称轴是直线：， ， ， ， ， 故只需的边上的高最大时，的面积最大， 设过点与平行的直线的解析式为：， 当直线与抛物线相切时，的面积最大， 由得， ， 由△得， 得， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 解：如图2， 当点在线段上时，连接，交于， 点和点关于对称， ， 设， 由得，， ，（舍去）， ， ∵， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∴； 如图3， 当点在的延长线上时，由上可知：， 同理可得：， 综上所述：或． 【点睛】 本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 题型02 线段相关问题 1．如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】 （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长，      ∵，， ∴， 即：的最小值为：； （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 【答案】(1) (2)（1，-2） (3)（-1，0）或（，-2）或（，2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q； （3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C， ∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3） 如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），   由轴对称的性质可知CQ=EQ， ∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ， 要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小， ∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小， 设直线AE的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AE的解析式为， 当时，， ∴点Q的坐标为（1，-2）； （3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E， ∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形， ∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°， ∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°， ∴∠FMP=∠EPB， ∴△FMP≌△EPB（AAS），   ∴PE=MF，BE=PF， 设点P的坐标为（1，m）， ∴， ∴，， ∴点M的坐标为（1-m，m-2）， ∵点M在抛物线上， ∴，   ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（-1，0）； 同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）； 如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m）， 同理可证△PEB≌△BFM（AAS）， ∴， ∴点M的坐标为（3-m，-2）， ∵点M在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（，-2）； 如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时， 同理可以求得点M的坐标为（，2）； 综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 题型03 平行四边形存在性问题 1．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6． （1）求该二次函数的解析式； （2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解之可得交点为（3，0），则二次函数图象必过（3，0），又过（﹣1，0），则把两点坐标代入解析式可得y＝ax2﹣2ax﹣3a，又ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12，整理可得ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0，所以a＞0且Δ＝0，则可得a＝1，从而求得二次函数解析式； （2）由题意可得A（3，0），C（0，﹣3），设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0）．根据对角线的不同可分三类情况建立方程组讨论求解即可：①AC为对角线则有；②AM为对角线则有；③AN为对角线则有． 【解答】解：（1）不妨令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解得：x1＝x2＝3， 当x＝3时，4x﹣12＝2x2﹣8x+6＝0． ∴y＝ax2+bx+c必过（3，0）， 又∵y＝ax2+bx+c过（﹣1，0）， ∴，解得：， ∴y＝ax2﹣2ax﹣3a， 又∵ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12， ∴ax2﹣2ax﹣3a﹣4x+12≥0， 整理得：ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0， ∴a＞0且Δ＝0， ∴（2a+4）2﹣4a（12﹣3a）＝0， ∴（a﹣1）2＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3． ∴该二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3． （2）存在，理由如下： 令y＝x2﹣2x﹣3中y＝0，得x＝3，则A点坐标为（3，0）； 令x＝0，得y＝﹣3，则点C坐标为（0，﹣3）． 设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0）， 根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当AC为对角线时，， 即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2， ∴n＝1，即N1（1，0）． ②当AM为对角线时，， 即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2， ∴n＝5，即N2（5，0）． ③当AN为对角线时，， 即，解得：m1＝1，m2＝1， ∴n或﹣2， ∴N3（，0），N4（﹣2，0）． 综上所述，N点坐标为（1，0）或（5，0）或（，0）或（﹣2，0）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，平行四边形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的联系，根的判别式，对于平行四边形的存在性要注意分类讨论求解． 2．（2023•广州）已知点P（m，n）在函数y（x＜0）的图象上． （1）若m＝﹣2，求n的值； （2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E． ①m为何值时，点E到达最高处； ②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把m＝﹣2代入y（x＜0）得n1，即可求解； （2）①x，得y＝（x﹣m）（x﹣n）（m﹣n）2＝﹣2（m+n）2≤﹣2，即可求解； ②求出直线TS的表达式为：ym（xm）﹣1，得到点C的坐标为：（，）；由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，则FG＝2（yC﹣yG）＝2×（2）＝3；由四边形FGEC为平行四边形，则CE＝FG＝3＝yC﹣yEyE，求出yE，进而求解． 【解答】解：（1）把m＝﹣2代入y（x＜0）得n1； 故n的值为1； （2）①在y＝（x﹣m）（x﹣n）中，令y＝0，则（x﹣m）（x﹣n）＝0， 解得x＝m或x＝n， ∴M（m，0），N（n，0）， ∵点P（m，n）在函数y（x＜0）的图象上， ∴mn＝﹣2， 令x，得y＝（x﹣m）（x﹣n）（m﹣n）2＝﹣2（m+n）2≤﹣2， 即当m+n＝0，且mn＝﹣2， 则m2＝2，解得：m（正值已舍去）， 即m时，点E到达最高处； ②假设存在，理由： 对于y＝（x﹣m）（x﹣n），当x＝0时，y＝mn＝﹣2，即点G（0，﹣2）， 由①得M（m，0），N（n，0），G（0，﹣2），E（，（m﹣n）2 ），对称轴为直线x， 由点M（m，0）、G（0，﹣2）的坐标知，tan∠OMG， 作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，交x轴于点K，则点T（m，﹣1）， 则tan∠MKTm， 则直线TS的表达式为：ym（xm）﹣1． 当x时，ym（xm）﹣1， 则点C的坐标为：（，）． 由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，则FG＝2（yC﹣yG）＝2×（2）＝3． ∵四边形FGEC为平行四边形， 则CE＝FG＝3＝yC﹣yEyE， 解得：yE， 即（m﹣n）2，且mn＝﹣2， 则m+n， ∴E（，），或（，）． 【点评】本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识，其中（3），数据处理是解题的难点． 1.平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.而且“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样,“三定一动”中动点是在平面中横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴、直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”.找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量.究其原因，在于平行四边形两大性质:(1)对边平行且相等:(2)对角线互相平分. 但此两个性质统一成一个等式:，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量. 由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题. 1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求点的坐标； (3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解． （3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴①， 将点代入得， ∴②， 联立①②得，， ∴解析式为； （2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，    ∴，， 则， ∴ 解得：或（舍去）， （3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，    ， ∵， ∴， 由对称性可知，， ∴， ∴ 解得： ∴点的坐标为或 如图3，当为平行四边形的对角线时，，，    由对称性可知，， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标； (3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)符合条件的点坐标为：或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式，设，则，，得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得抛物线的顶点，对称轴为，分当点在轴上和点在轴负半轴上时，两种情况讨论，当点在轴负半轴上时，证明，求得，再证明，求得点的坐标为，由点在抛物线上，列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点 解得 抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得 ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 又∵点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴点的坐标为； 答：的最大值为，点的坐标为； （3）解：， 则抛物线的顶点，对称轴为， 情况一：当点在轴上时，为抛物线的顶点， ∵四边形为矩形， ∴与纵坐标相同， ∴； 情况二：当点在轴负半轴上时，四边形为矩形， 过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为，点在对称轴上，， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述：符合条件的点坐标为：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用． $$ 模块二 函数 第06讲 二次函数与几何压轴 （思维导图+1考点+3种题型） 试卷第1页，共3页 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 考点要求 命题预测 二次函数与几何压轴 二次函数的压轴题主要考向： 1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）等）． 2）最值问题（线段、周长、面积） 常见有关二次函数的题型和应对策略： 1）线段最值（周长）问题——斜化直策略 2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略 3）线段和最小值问题——将军饮马、阿氏圆模型 4）线段差——三角形三边关系或函数 5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论 6）平行四边形存在性问题——中点公式＋平移法 考点一 数与式的相关运算 题型01 三角形面积问题 1．（2020•广东）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BCCD． （1）求b，c的值； （2）求直线BD的函数解析式； （3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 2．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q． （1）求该抛物线的解析式； （2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标． 类型一 利用铅垂高计算三角形面积 类型二 面积比值问题 情况一：等底或等高 结论：①当底相等，则面积比=高之比 ②当高相等，则面积比=底边之比 情况二：斜转直 类型三 面积存在性问题 等积变形原理： 情况一：公共边为定边 题目要求：在抛物线上找一点P，使得 方法简介： ①A.P在公共边BC同侧时，只需AP∥BC，过点A作l1//BC，交抛物线于P1. ②A.P在公共边BC异侧时，将l1上移2CD个单位，即CD=CE，记为l2//BC, 交抛物线于P2，P3 ③将l1和l2分别与抛物线联立. 情况二：公共边为动边 题目要求：在抛物线上找一点P，使得 方法简介： ①当点B.C在公共边AP同侧时，只需AP //BC即可，过点A作l//BC交抛物线于P1，联立l与抛物线. ②当点B.C在公共边AP异侧时，取BC中点D，CM=BN连接AD交抛物线于P2，联立AD与抛物线. 类型四 面积最值问题 题目要求：在抛物线上的第一象限找一点P，使 方法简介： 方法一：S=•水平宽•铅垂高 方法二：作l//BC，l与抛物线只有一个交点P，此时h最大，联立l与抛物线，=0 1．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标； (2)求的面积． 注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02 线段相关问题 1．如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 题型03平行四边形存在性问题 1．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6． （1）求该二次函数的解析式； （2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023•广州）已知点P（m，n）在函数y（x＜0）的图象上． （1）若m＝﹣2，求n的值； （2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E． ①m为何值时，点E到达最高处； ②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由． 1.平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.而且“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样,“三定一动”中动点是在平面中横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴、直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”.找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量.究其原因，在于平行四边形两大性质:(1)对边平行且相等:(2)对角线互相平分. 但此两个性质统一成一个等式:，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量. 由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题. 1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求点的坐标； (3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标； (3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$