第05讲 二次函数的图象与性质（讲练）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

模块二 函数 第05讲 二次函数的图象与性质 （思维导图+1考点+5种题型） 试卷第1页，共3页 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 二次函数的图象与性质 在广东的数学中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。 考点 二次函数性质压轴 题型01 待定系数法求二次函数解析式 1.（2021·广东广州·中考真题）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（    ） A． B． C． D．5 求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 1．抛物线与x轴交于和两点，则抛物线的解析式为： ． 2．如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积 (3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标． 题型02 二次函数的图象与性质 1.（2021·广东深圳·中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 3.（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 4.（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小 1．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 题型03 二次函数图象与各项系数的关系 1．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 1．如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：    ①当时，． ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有 ． 3．已知函数，的图象在同一平面直角坐标系中． (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求t的值． (2)求这两个函数图象的交点的横坐标． (3)已知当时，，求的取值范围． 题型04 利用二次函数的性质求最值 1.（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 2.（2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 3.（2021·广东·中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 4.（2020·广东广州·中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当 时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当 时，最小． 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 a<0 自行推导. 1．已知抛物线，则当时，函数的最大值为（    ） A． B． C．0 D．2 2．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 3．已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 4．已知二次函数（为常数）． (1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为， ①则的值是_________，点的坐标是_________； ②当时，借助图像，求自变量的取值范围； (2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； (3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 题型05 二次函数的应用 1.（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 2.（2021·广东·中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 1.某商店经营儿童益智玩具，成批购进后，将每件玩具的进价提高后作为售价，已知商店购进60套这种玩具，售完后盈利为600元． (1)设该玩具每件的进价为元和售价为元，求出和的值． (2)调查发现：在（1）的情况下，该玩具每件的售价为元时，月销售量为230件，而每件的售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件的售价不能高于40元．设每件玩具的售价上涨了元时，月销售利润为元． ①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． ②当每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月销售利润为多少？ 2.根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．             素材2 路边的绿化带宽4米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人需要给树木“打针”．针一般打在离地面1.3米到2米的高度（不包含端点）．             问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式． 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由． 任务3 拟定设计方案 灌溉时，为了不影响行道树防治病虫害，喷洒水流不能喷到“打针”区段．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给绿化部门建议，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少多少米才不影响行道树防治病虫害． （参考数据） 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$模块二 函数 第05讲 二次函数的图象与性质 （思维导图+1考点+7种题型） 试卷第1页，共3页 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 二次函数的图象与性质 在广东的数学中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。 考点 二次函数性质压轴 题型01 待定系数法求二次函数解析式 1.（2021·广东广州·中考真题）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】解法一：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可． 解法二：利用二次函数图象的对称性可知：和对应的函数值相等，从而得解． 【详解】解：∵抛物线经过点、，且与y轴交于点， ∴， 解方程组得， ∴抛物线解析式为， 当时，． 故选择A． 解法二：抛物线经过点、， ∴抛物线的对称轴为：， 又∵， ∴和的函数值相等，即均为， 故选择A． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．同时利用数形结合思想和对称性解题会起到事半功倍的效果． 求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 1．抛物线与x轴交于和两点，则抛物线的解析式为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式是：， 故答案为：． 2．如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积 (3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）运用待定系数法将，，代入，即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，根据四边形的面积为，即可求解； （3）先求出点C关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与平行的直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为，其图象经过点，，， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵， ∴， 过点D作轴交直线于点E，如图1， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴ ∴四边形的面积为 （3）解：抛物线上存在点P，使，理由如下： 如图2， ①取点关于对称轴的对称点，连接，， ∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴符合题意； ②当直线时，则有， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式中一次项系数为1． 设与平行的直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，互相平行的两直线的关系等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键． 题型02 二次函数的图象与性质 1.（2021·广东深圳·中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 2.（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 3.（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 4.（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意． 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意． 抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意． 抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意． 故选C 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 1．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 2．抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为，依题意，，根据题意抛物线开口向下，当时，，即可判断A选项，根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件判断D选项，据此，即可求解． 【详解】解：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为 依题意， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，，即 ∴，故A选项正确，符合题意； 若对称轴为，即， 而，不能得出对称轴为直线， 故B选项不正确，不符合题意； ∵抛物线与坐标轴有2个交点， ∴方程有两个不等实数解，即，又 ∴，故C选项错误，不符合题意； 无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 3．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可． 【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故选：A． 4．一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 5．如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②错误； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：B． 题型03 二次函数图象与各项系数的关系 1．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 2．如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案． 【详解】解：根据题意，则，， ∵， ∴， ∴，故①错误； 由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确； ∵， 令时，， ∴，故③正确； 在中， 令时，则， 令时，， 由两式相加，得，故④正确； ∴正确的结论有：②③④，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号． 3．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 1．如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】结合所给函数图象，抛物线的开口方向、对称性及二次函数与一元二次方程之间的关系对所给结论进行依次判断即可． 【详解】解：二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点， ，两点关于直线对称， ， ， 结论①正确； 直线是二次函数对称轴， ，即， ， 由函数图象可知，该二次函数开口向上，， ， 结论②错误； 该二次函数与轴有两个交点， ， 由图可知，当时，， 即，， ， ， 即， 结论③正确； ，即， ， ， ，即， ， ， ∴不一定正确， 结论④错误； 综上，正确结论为①③，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数图象与性质、二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与系数的关系． 2．如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：    ①当时，． ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有 ． 【答案】①③④ 【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得，，把代入抛物线解析式中求出，则点，可判断③；先求出，设，利用勾股定理得，则，解得，可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称，，故②错误； 抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 把代入抛物线解析式中得，， ， ∴点的坐标为，，故③正确； ，抛物线对称轴为直线， ，设， ，，， ， ， ，解得， ，故④正确． 故答案为①③④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理等．利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键． 3．已知函数，的图象在同一平面直角坐标系中． (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求t的值． (2)求这两个函数图象的交点的横坐标． (3)已知当时，，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2)0，1 (3) 【分析】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，熟练掌握待定系数法及其性质是解题关键． （1）将代入，点代入，即可求解； （2）令，求解即可； （3）根据题意得出当时，，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，点代入， 得 ∴； （2）令， 得， 解得， ∴这两个函数图象的交点的横坐标为0，1． （3）∵这两个函数图象的交点的横坐标为0，1，， ∴当时，， ∵当时，， ∴， ∴． 题型04 利用二次函数的性质求最值 1.（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 2.（2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解． 【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D， 设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0， ∵OA⊥OB， ∴， ∴， 即， ， 设AB的解析式为：，代入A(a，a²)， 解得：， ∴， ∵，即 ， ∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动， 当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大， 故CH的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解． 3.（2021·广东·中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表达式中得： ，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值． 【详解】∵p=5，c=4， ∴a+b=2p-c=6 ∴ 由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得： 设，当取得最大值时，S也取得最大值 ∵ ∴当a=3时，取得最大值4 ∴S的最大值为 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题． 4.（2020·广东广州·中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当 时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当 时，最小． 【答案】 10.0； ． 【分析】（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值； （2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时的值． 【详解】解：（1）整理得：， 设， 由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值， 即：当时，的值最小， 故答案为：10.0； （2）整理得：， 设，由二次函数性质可知： 当时，有最小值， 即：当时，的值最小， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可． 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 a<0 自行推导. 1．已知抛物线，则当时，函数的最大值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，当时，函数的最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，函数的最大值为2， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】D 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值． 【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，， ∵二次函数，对称轴在轴左侧，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 3．已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】(1)①；②当时， (2) 【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解； ②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解； （2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解． 【详解】（1）解：①当时，， ∴顶点坐标为． ②∵顶点坐标为．抛物线开口向下， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值7． 又 ∴当时取得最小值，最小值； ∴当时，． （2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∵抛物线开口向下，时，的最大值为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．已知二次函数（为常数）． (1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为， ①则的值是_________，点的坐标是_________； ②当时，借助图像，求自变量的取值范围； (2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； (3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 【答案】(1)①②或 (2) (3) 【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可； （2）求出二次函数的最小值，即可得解； （3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：； ②， 列表如下： 1 3 4 5 0 0 5 画出函数图像如下：    由图可知：当时，或； （2）∵， ∴当时，有最小值为； ∵对于一切实数，若函数值总成立， ∴； （3）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， 又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是， ∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值， ∴．    【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题． 题型05 二次函数的应用 1.（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元． 2.（2021·广东·中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2），最大利润为1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可； （2）根据题意当时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可． 【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元． 则 解得：，经检验是方程的解． ∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． 答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． （2）由题意得，当时，每天可售100盒． 当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为() ∴， 配方得： 当时，y取最大值为1750元． ∴，最大利润为1750元． 答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键． 1.某商店经营儿童益智玩具，成批购进后，将每件玩具的进价提高后作为售价，已知商店购进60套这种玩具，售完后盈利为600元． (1)设该玩具每件的进价为元和售价为元，求出和的值． (2)调查发现：在（1）的情况下，该玩具每件的售价为元时，月销售量为230件，而每件的售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件的售价不能高于40元．设每件玩具的售价上涨了元时，月销售利润为元． ①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． ②当每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月销售利润为多少？ 【答案】(1) (2)①；②每件玩具的售价定为36.5元时，月获得最大利润，最大的月利润是2722.5元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意可得，方程组，计算即可得解； （2）①依据题意，月销售利润，再结合售价不能高于40元，可得自变量的取值范围； ②依据题意，由①的结论整理得，进而结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）解：因该玩具每件的进价为元和售价为元， 由题意得， 解得， ∴； （2）解：①因为每件玩具的销售单价上涨了元时，月销售利润为元，由题意得： 与的函数关系式为：， 的取值范围为：； ②由①得： ，， 当时，有最大值为2722.5， 答：每件玩具的售价定为36.5元时，月获得最大利润，最大的月利润是2722.5元． 2.根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．             素材2 路边的绿化带宽4米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人需要给树木“打针”．针一般打在离地面1.3米到2米的高度（不包含端点）．             问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式． 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由． 任务3 拟定设计方案 灌溉时，为了不影响行道树防治病虫害，喷洒水流不能喷到“打针”区段．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给绿化部门建议，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少多少米才不影响行道树防治病虫害． （参考数据） 【答案】任务1：； 任务2：灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析 任务3：有影响，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少2.46米才不影响行道树防治病虫害 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数值，二次函数的性质； 任务一：待定系数法求解析式，即可求解； 任务二：根据题意，求得下边缘的抛物线解析式为，分别令，得出抛物线与坐标轴的交点，两交点的距离，即为所求； 任务三：依题意，绿化带正中间种植了行道树，令，求得的值，然后令，进而得出结论． 【详解】解：（1）∵上边缘抛物线的顶点坐标为， ∴设上边缘抛物线的函数表达式为， 将代入得，解得， ∴； （2）上边缘抛物线的表达式：，将代入得， 解得（舍去），， ∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点， ∴下边缘抛物线的表达式：， 将代入得，解得（舍去），， ∵路边的绿化带宽4米，（米）， ∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带； （3）根据题意得，将代入， ∴， ∴有影响， 当时，，解得， ∴ 答：将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少2.46米才不影响行道树防治病虫害． $$