第05讲 二次函数的图象与性质（测试）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

第05讲 二次函数的图象与性质 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B．y＝x2﹣（x﹣1）2 C． D． 2．下列是二次函数图象的是（　　） A． B． C． D． 3．抛物线y＝﹣（x+3）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，﹣5） B．（3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（3，5） 4．用配方法将二次函数y＝x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣7 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣4 5．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+k（a≠0，k＞0）的图象可能是如图中的（　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣2（m为常数），当1≤x≤3时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（　　） A．4 B．﹣2 C．﹣1或4 D．﹣2或6 7．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝1；③m的值为0；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 8．小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，2） B． C．（0，2）或 D．或（﹣2，0） 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③当﹣2＜x＜3时，y＜0；④对于任意实数m，则有am2+bm+c≥a+b+c正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．写出一个经过点（1，﹣1）的函数的表达式　 　 ． 12．抛物线y＝x2的图象有最　 　 点（填“高”或“低”）． 13．若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）的顶点在x轴上，则c的值是 　 　 ． 14．如果二次函数y＝（x﹣1）2+m（m为常数）的图象上有两点（3，y1）和（4，y2），那么y1　 　 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 15．若函数图象上存在点P（a，b）满足a+b＝m（a＞0，且m为常数），则称点P为这个函数的“m优和点”．例如：函数图象上存在点P（t，1﹣t），因为t+1﹣t＝1，所以我们称点P为这个函数的“1优和点”．若二次函数y＝x2+（k﹣3）x+5的“k优和点“有且仅有一个，则k的取值范围为　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）已知函数（m为常数）． （1）求当m为何值时y是x的二次函数； （2）在（1）的条件下，点（2，a）在此函数图象上，求a的值． 17．（7分）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 … … … （1）补充表格中的y值； （2）在坐标系中画出图象． 18．（7分）已知抛物线y＝（x﹣h）2﹣1． （1）当x≤1时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； （2）已知A、B两点在x轴上，A点坐标为（3，0），B点坐标为（5，0），若抛物线与线段AB只有一个公共点，求h的取值范围． 19．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上任意一点． （1）若x0＝﹣2，y0＝3，求该抛物线的对称轴； （2）已知点（﹣1，y1），（1，y2），（3，y3）在该抛物线上．若存在3＜x0＜4，恰好使y0＝3．比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 20．（9分）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数y＝（x+t﹣6）（x﹣t+2）的最值问题． （1）当t＝3时，求该二次函数的最值． （2）当t取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 21．（9分）如图，以点P（3，1）为顶点的二次函数图象交y轴于点A（0，4），将该二次函数图象向下平移n个单位（n＞0），交x轴于B，C两点（点B在点C左侧）． （1）求该二次函数的表达式； （2）若OB＝BC，求n的值． 22．（13分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+1． （1）求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）当﹣2≤x≤a﹣2时，二次函数的最小值为﹣4，求此时二次函数的解析式； （3）已知点A（4，1），B（3，2），线段AB与二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象有公共点，直接写出a的取值范围． 23．（14分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向下平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数的图象与性质 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B．y＝x2﹣（x﹣1）2 C． D． 【分析】根据二次函数的定义，对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案． 【解答】解：A．函数y3，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数y＝x2﹣（x﹣1）2＝2x﹣1，是一次函数，故本选项不符合题意； C．函数yx2+3，是二次函数，故本选项符合题意； D．函数y3，不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．下列是二次函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的图象是抛物线解答即可． 【解答】解：根据二次函数的图象是抛物线判断如下： A．该图象是反比例函数图象； B．该图象是二次函数图象； C．该图象不是函数图象； D．该图象是一次函数图象． 故选：B． 3．抛物线y＝﹣（x+3）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，﹣5） B．（3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（3，5） 【分析】由抛物线的解析式可求得答案． 【解答】解：抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣5）， 故选：A． 4．用配方法将二次函数y＝x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣7 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣4 【分析】根据题意，将y＝x2﹣4x﹣3化为顶点式进行比较即可求解． 【解答】解：根据题意，y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7， 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+k（a≠0，k＞0）的图象可能是如图中的（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数y＝ax2+k（a≠0）的顶点坐标为（0，k）（k＞0），即它的顶点坐标在y轴正半轴上，即可判断得解． 【解答】解：∵y＝ax2+k（a≠0，k＞0）， ∴二次函数的顶点坐标为（0，k），且其顶点坐标在y轴正半轴上， ∴只有A选项中的图象符合题意． 故选：A． 6．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣2（m为常数），当1≤x≤3时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（　　） A．4 B．﹣2 C．﹣1或4 D．﹣2或6 【分析】根据题意得到当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小，然后分m＜1≤x≤3，1≤x≤3＜m和1＜m＜3三种情况讨论，然后分别根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：分三种情况讨论如下： ①若m＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值7， （1﹣m）2﹣2＝7， ∴m＝﹣2或m＝4（舍）； ②若1≤x≤3＜m，当x＝3时，y取得最小值7， （3﹣m）2﹣2＝7， ∴m＝6或m＝0（舍）； ③若1＜m＜3时，当x＝m时，y取得最小值为﹣2，不是7，（此种情况不符合题意，舍去）． 综上，m的值为﹣2或6， 故选：D． 7．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝1；③m的值为0；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【解答】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线x1，故②正确； 抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①错误； 当y＝0时，x＝0或x＝2，故m的值为0，故③正确； ∵抛物线开口向上，顶点在第四象限，抛物线与x轴的交点为（0，0）和（2，0）， ∴抛物线不经过第三象限，故④正确； ∵抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上， ∴当x＞1时，抛物线呈上升趋势，故⑤错误． 故选：C． 8．小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据函数图象直接得出结论． 【解答】解：观察函数的图象可知，图象与直线y＝1有3个交点， ∴方程的实数根有3个． 故选：C． 9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，2） B． C．（0，2）或 D．或（﹣2，0） 【分析】首先利用待定系数法确定该抛物线解析式，进而确定抛物线顶点M的坐标；结合△PMN的长度＝PN+PM+MN，且MN是定值，故PN+PM只需取最小值，即可使得△PMN的周长最小．过点M作关于y轴和x轴对称的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 【解答】解：抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，且经过点N（﹣1，1）， 则有， ∴， ∴y＝﹣x2﹣6x﹣4， ∵y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5， ∴M的坐标为（﹣3，5）， ∵△PMN的长度＝PN+PM+MN，且MN是定值，所以PN+PM只需取最小值，即可使得△PMN的周长最小， 如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，与y轴的交点即为所求的点P， 则M′（3，5），PM＝PM′， 设直线M′N的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0）， 将点M′（3，5）和点N（﹣1，1）代入y＝k1x+b1（k1≠0）， 可得， ∴， 故该直线的解析式为y＝x+2， 当x＝0时，y＝2，即P（0，2）， ∵PM+PN+MN＝PM′+PN+MN＝M′N+MN， 且， ∴此时△PMN的周长； 同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，与x轴的交点P即为所求的点， 则M′（﹣3，﹣5）， 设直线M′N的解析式为y＝k2x+b2（k2≠0）， 由题意可得： ， ∴， 故y＝3x+4， 当y＝0时，，即， ∵PM+PN+MN＝PM′+PN+MN＝M′N+MN， 且， ∴此时△PMN的周长； ∵， ∴， ∴点P在y轴上时，△PMN的周长最小，此时点P的坐标是（0，2）． 故选：A． 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③当﹣2＜x＜3时，y＜0；④对于任意实数m，则有am2+bm+c≥a+b+c正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】依据题意，根据抛物线的对称轴是直线x1，结合图象过（﹣2，0），且抛物线的开口向上，再结合二次函数的性质，从而逐个判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线的开口向上，且图象与y轴交于负半轴， ∴a＞0，c＜0． 又∵抛物线的对称轴是直线x1， ∴b＝﹣2a＜0． ∴abc＞0，2a+b＝0，故①②正确． ∵抛物线过（﹣2，0），且对称轴是直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）． 又∵抛物线的开口向上， ∴当﹣2＜x＜4时，y＜0． ∴当﹣2＜x＜3时，y＜0，故③正确． 由题意，∵当x＝1时，y取最小值为a+b+c， ∴对于任意实数m，则有am2+bm+c≥a+b+c，故④正确． 综上，正确的有①②③④共4个． 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．写出一个经过点（1，﹣1）的函数的表达式　y＝﹣x2等，答案不唯一　 ． 【分析】根据二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系可知，只要二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），满足a+b+c＝﹣1的关系即可． 【解答】解：依题意有y＝﹣x2等，答案不唯一． 12．抛物线y＝x2的图象有最　低　 点（填“高”或“低”）． 【分析】根据a＝1＞0得到抛物线y＝x2的图象开口向上，即可得到答案． 【解答】解：由条件可知抛物线y＝x2的图象开口向上， ∴抛物线y＝x2的图象有最低点， 故答案为：低． 13．若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）的顶点在x轴上，则c的值是 　　 ． 【分析】根据二次函数性质解答即可． 【解答】解：y＝x2﹣x+c＝（x）2c， ∵抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）的顶点在x轴上， ∴c＝0， ∴c． 故答案为：． 14．如果二次函数y＝（x﹣1）2+m（m为常数）的图象上有两点（3，y1）和（4，y2），那么y1　＜　 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【分析】由y＝（x﹣1）2+m可知，a＝1＞0，对称轴直线为x＝1，推出当x＞1时，y随x的增大而增大，即可求解． 【解答】解：由题意可得： a＝1＞0，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵点（3，y1）和（4，y2）中，4＞3＞1， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 15．若函数图象上存在点P（a，b）满足a+b＝m（a＞0，且m为常数），则称点P为这个函数的“m优和点”．例如：函数图象上存在点P（t，1﹣t），因为t+1﹣t＝1，所以我们称点P为这个函数的“1优和点”．若二次函数y＝x2+（k﹣3）x+5的“k优和点“有且仅有一个，则k的取值范围为　k＝﹣4或k＞5　 ． 【分析】根据定义，二次函数y＝x2+（k﹣3）x+5的“k优和点“有且仅有一个，即方程x+y＝k和y＝x2+（k﹣3）x+5联立后得到的方程有且只有一个实数解，特别注意要讨论根的判别式及根的正负性． 【解答】解：设这个二次函数的“k优和点”坐标为（x，k﹣x），将此坐标代入y＝x2+（k﹣3）x+5中， 得k﹣x＝x2+（k﹣3）x+5，整理可得x2+（k﹣2）x+5﹣k＝0， 又方程必有正根，“k优和点“有且仅有一个， 分为两类情况： ①该方程的根的判别式为0，即（k﹣2）2﹣4（5﹣k）＝0，解得k＝±4， 当k＝4时，方程的解为负，与题意不符合，故舍去， 所以k＝﹣4； ②该方程的根的判别式＞0，但有一正一负两根，由韦达定理可得5﹣k＜0， 即（k﹣2）2﹣4（5﹣k）＞0且k＞5， 解得k＞5． 综上，k＝﹣4或k＞5． 故答案为：k＝﹣4或k＞5． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）已知函数（m为常数）． （1）求当m为何值时y是x的二次函数； （2）在（1）的条件下，点（2，a）在此函数图象上，求a的值． 【分析】（1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据（1）得出二次函数的解析式，再把点（2，a）代入计算即可求解． 【解答】解：（1）解：由题意得，m2﹣7＝2且m+3≠0， 解得m＝3， ∴当m＝3时y是x的二次函数； （2）∵m＝3， ∴y＝﹣6x2﹣2x+1， ∵点（2，a）在此函数图象上， ∴a＝﹣6×22﹣2×2+1＝﹣27． 17．（7分）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 … … … （1）补充表格中的y值； （2）在坐标系中画出图象． 【分析】（1）分别将x的值代入函数解析式，求出对应的y的值即可； （2）利用描点，连线即可画出图象． 【解答】解：（1）当； 当； 当； 当； 当； （2）将（1）中的每对x，y的对应值在平面直角坐标系中描出，再连线即可得到函数图象，如图： 18．（7分）已知抛物线y＝（x﹣h）2﹣1． （1）当x≤1时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； （2）已知A、B两点在x轴上，A点坐标为（3，0），B点坐标为（5，0），若抛物线与线段AB只有一个公共点，求h的取值范围． 【分析】（1）根据该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝h，根据二次函数的增减性求解即可； （2）分别求得抛物线y＝（x﹣h）2﹣1经过A（3，0）、B（5，0）两点时的h值，结合二次函数的对称性求解即可． 【解答】解：（1）由抛物线知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝h， ∵当x≤1时，y随着x的增大而减小， ∴h≥1，则h的最小值为1； （2）当抛物线y＝（x﹣h）2﹣1经过点A（3，0）时， 解得h＝2或h＝4， 当抛物线y＝（x﹣h）2﹣1经过点B（5，0）时， 解得h＝6或h＝4． 当h＝4时，抛物线y＝（x﹣h）2﹣1同时经过点A和点B，不合题意， ∴h≠4， 则h的取值范围是2≤h≤6，且h≠4． 19．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上任意一点． （1）若x0＝﹣2，y0＝3，求该抛物线的对称轴； （2）已知点（﹣1，y1），（1，y2），（3，y3）在该抛物线上．若存在3＜x0＜4，恰好使y0＝3．比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 【分析】（1）把点（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+3求得b＝2a，即可根据对称轴公式求得答案； （2）根据各点到对称轴的距离判断y值大小． 【解答】（1）解：∵x0＝﹣2，y0＝3，点（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上任意一点， ∴抛物线过点（﹣2，3）， ∴4a﹣2b+3＝3 即b＝2a， ∴抛物线对称轴为直线，即该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1； （2）解：y1＞y3＞y2．理由如下： 设抛物线对称轴为直线x＝t．则抛物线上点（0，3）关于对称轴的对称点为（2t，3）， ∵存在3＜x0＜4，恰好使y0＝3， ∴3＜2t＜4，即 ． ∵抛物线开口向上， ∴在对称轴的左侧y随x增大而减小． 又（3，y3） 关于对称轴的对称点为 （2t﹣3，y3） 且0＜2t﹣3＜1， ∴点 （﹣1，y1），（1，y2），（2t﹣3，y3） 都在对称轴左侧，且﹣1＜2t﹣3＜1． ∴y1＞y3＞y2． 20．（9分）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数y＝（x+t﹣6）（x﹣t+2）的最值问题． （1）当t＝3时，求该二次函数的最值． （2）当t取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 【分析】（1）依据题意，当t＝3时，y＝（x+3﹣6）（x﹣3+2）＝（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，从而可以判断得解； （2）依据题意，由y＝（x+t﹣6）（x﹣t+2）＝（x﹣2）2﹣t2+8t﹣16，从而当x＝2时，y取最小值为﹣t2+8t﹣16＝﹣（t﹣4）2，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，当t＝3时，y＝（x+3﹣6）（x﹣3+2）＝（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴当x＝2时，y取最小值为﹣1． （2）小滨的想法正确．理由如下： 由题意，y＝（x+t﹣6）（x﹣t+2）＝（x﹣2）2﹣t2+8t﹣16， ∴当x＝2时，y取最小值为﹣t2+8t﹣16＝﹣（t﹣4）2． ∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0． 21．（9分）如图，以点P（3，1）为顶点的二次函数图象交y轴于点A（0，4），将该二次函数图象向下平移n个单位（n＞0），交x轴于B，C两点（点B在点C左侧）． （1）求该二次函数的表达式； （2）若OB＝BC，求n的值． 【分析】（1）直接运用待定系数法求得函数解析式即可； （2）如图：设该抛物线的对称轴/交x轴于点D，易得OD＝3，再根据抛物线的对称性可得，即点B的横坐标2，然后将x＝2代入解析式求得y的值即可解答． 【解答】解：（1）由题意得该二次函数图象的顶点是点P（3，1） ∴设该二次函数的表达式为y＝a（x﹣3）2+1把点A（0，4）代入得4＝a（0﹣3）2+1． ∴． ∴该二次函数的表达式为． （2）如图：设该抛物线的对称轴l交x轴于点D， ∴OD＝3． 设平移后的解析式为， 由抛物线的对称性可知，BC关于对称轴/对称， ∴BD＝CD， ∵OB＝BC， ∴． ∴点B的横坐标2， ∴B（2，0）． 把B（2，0）代入得，， ∴． 22．（13分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+1． （1）求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）当﹣2≤x≤a﹣2时，二次函数的最小值为﹣4，求此时二次函数的解析式； （3）已知点A（4，1），B（3，2），线段AB与二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象有公共点，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴公式即可求得对称轴为直线x＝a，把x＝a代入解析式求得y的值，即可求得顶点坐标； （2）由题意可知抛物线开口向上，﹣2≤x≤a﹣2在对称轴的左侧，故当x＝a﹣2时，y最小为﹣4，故可得到a﹣2）2﹣2a（a﹣2）+1＝﹣4，解得a＝3，从而求得二次函数的解析式为y＝x2﹣6x+1； （3）把A、B两点分别代入解析式求得a的值，结合图象即可求得． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2ax+1， ∴对称轴为直线xa， 当x＝a时，y＝﹣a2+1， ∴顶点坐标为 （a，﹣a2+1）； （2）∵1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线x＝a， ∴﹣2≤x≤a﹣2在对称轴的左侧， ∴当x＝a﹣2时，y最小为﹣4， ∴（a﹣2）2﹣2a（a﹣2）+1＝﹣4， ∴a＝±3， 又∵a﹣2＞﹣2， ∴a＝3 ∴此时二次函数的解析式为y＝x2﹣6x+1； （3）把A（4，1）代入y＝x2﹣2ax+1得，1＝16﹣8a+1， 解得a＝2， 把B（3，2）代入y＝x2﹣2ax+1得，2＝9﹣6a+1， 解得a， ∴线段AB与二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象有公共点时，a的取值范围是a≤2． 23．（14分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向下平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【分析】（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，n＞1时，建立方程解题即可． 【解答】解：（1）设， 把A（﹣2，5）代入得， 解得， ∴； （2）点B平移后的点的坐标为（1﹣m，5）， 则5＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3， 解得m＝3或m＝0（舍）， ∴m的值为3； （3）当时， ∴最大值与最小值的差为， 解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当n＞1时， 最大值与最小值的差为， 解得n1＝1或n2＝﹣2（舍去）； 综上所述，n的取值范围为． 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$