2025年湖北省优质初中、名校联盟中考数学第一次联考试卷

2025年湖北省优质初中、名校联盟中考数学第一次联考试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的倒数是(    ) A. 2025 B. C. D. 2.如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是(    ) A. B. C. D. 3.计算下列代数式，结果为的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，直线，直线，若，则(    ) A. B. C. D. 5.下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是(    ) A. B. C. D. 6.下列说法中，正确的是(    ) A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查 B. “太阳东升西落”是不可能事件 C. “湖北某地明天降雨的概率为”，表示该地方明天一定降雨 D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次 7.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是    A. B. C. D. 8.如图，在中，，，，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图，中，，，，将沿EF折叠，使点C与斜边AB的中点D重合，那么折痕EF的长为(    ) A. 12 B. 13 C. D. 10.抛物线为常数，且开口向下且过点，，其中，下列结论中错误的是(    ) A. B. C. D. 若方程有两个不相等的实数根，则 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.在生产生活中，正数和负数都有现实意义.例如收入20元记作元，则支出10元记作______元. 12.2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接，将数据384000用科学记数法表示为______. 13.化简的结果是______. 14.如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结若，，则CF的长为______. 15.如图，和都是等边三角形，点D在BC上，DE交AC于点F，若，，则CD的长是______. 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题6分 计算： 17.本小题6分 如图，在四边形ABCD中，，O是边AB的中点，求证：四边形ABCD是矩形. 18.本小题7分 如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离图为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离结果精确到 参考数据：，，，，， 19.本小题7分 某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中，对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计，结果如表所示： 组号  分组  频数  一 2 二 7 三 a 四 2 求a的值； 若用扇形图来描述，求分数在内所对应的扇形图的圆心角大小； 将在第一组内的两名选手记为：、，在第四组内的两名选手记为：、，从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求第一组至少有1名选手被选中的概率用树状图或列表法列出所有可能结果 20.本小题8分 如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点， 求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； 连接OA，OB，则的面积为______； 根据图象，直接写出不等式的解集. 21.本小题8分 如图，在中，，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得 求证：DF为半圆O的切线； 若，，，求半圆O的半径长. 22.本小题10分 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元. 求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ 类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件每件售价不低于进价设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 在的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？利润=售价-进价 23.本小题11分 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若，则”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点A作交BC于点M，过点B作交CD于点N； 方案二：过点A作交BC于点M，过点A作交CD于点… 对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明如图 如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设，如图，试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论. 如果把条件中的“”改为“EG与FH的夹角为”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为如图，试求EG的长度. 24.本小题12分 二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为 求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标； 如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； 如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当的面积为12时，求点P的坐标． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：的倒数是 故选： 利用倒数的定义求解即可． 本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：该几何体的左视图只有一列，含有两个正方形． 故选： 左视图有1列，含有2个正方形． 此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置． 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了合并同类项的法则及同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键. 根据合并同类项的法则以及同底数幂的乘法法则解答即可． 【解答】 解：与不是同类项，不能合并同类项，故选项A不合题意； B.，故选项B不合题意； C.与x不是同类项，不能合并同类项，故选项C不合题意； D.，故选项D符合题意． 故选： 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等及垂线的定义是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到 【解答】 解：直线，， ， 直线， 故选： 5.【答案】A  【解析】解：由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为， 故选： 根据不等式组的表示方法，可得答案． 本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找是解题关键． 6.【答案】A  【解析】解：A、调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，正确，符合题意； B、“太阳东升西落”是必然事件，原说法错误，不符合题意； C、“湖北某地明天降雨的概率为”，表示该地区明天可能降雨也可能不降雨，原说法错误，不符合题意； D、任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数不一定是13次，原说法错误，不符合题意． 故选： 根据概率的意义、全面调查与抽样调查的特点、随机事件的定义对各选项进行分析即可． 本题考查的是概率的意义、全面调查与抽样调查的特点、随机事件的定义，熟知以上知识是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】【分析】 根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决． 本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组． 【解答】 解：由题意可得， ， 故选： 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查扇形面积的计算、锐角三角函数定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积减去的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题． 【解答】 解：连接OD，作于 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选 9.【答案】B  【解析】解：连接CD， ，D是AB中点， ， ， ， 把沿EF折叠，点C与斜边AB的中点D重合， 垂直平分CD， ， ， ， ， ， ∽， ：：AC， ， ：：3， 设，， ， 的面积， ， ， 故选： 连接CD，由直角三角形斜边的中线的性质得到，，推出，由轴对称的性质得到EF垂直平分CD，得到，判定∽，推出CE：：：3，设，，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到的面积，求出，即可得到EF的长． 本题考查折叠问题，直角三角形斜边的中线，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是判定∽，推出CE：： 10.【答案】D  【解析】解：A、抛物线开口向下， ， 过点，， ，， ， ，故正确，不合题意； B、抛物线开口向下，， 时，， ， ，故正确，不合题意； C、抛物线开口向下， ， ，，时，， ，故正确，不合题意； D、若有两个不相等的实数根， 则，有两个不相等的实数根， 抛物线开口向下， 抛物线顶点纵坐标大于1，即 ， 故错误，符合题意． 故选： 依据题意，由抛物线开口方向、二次函数对称轴位置及，从而判断A、B；由及可判断C；将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断 本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：“正”和“负”相对，所以，在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作元． 故答案为： 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 12.【答案】  【解析】解： 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13.【答案】  【解析】解： 故答案为： 根据分式的减法运算法则计算即可． 本题考查了分式的减法运算，掌握分式的减法运算法则是解题的关键． 14.【答案】2  【解析】解：由作图可知DE垂直平分线段BC， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 利用直角三角形斜边中线的性质以及勾股定理求解． 本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15.【答案】  【解析】解：和都是等边三角形， ，， ，， ， ∽， ， ， 设，则，， ， ，则， 和都是等边三角形， ，， ∽， ， 即， ， ， 解得： 故答案为： 根据和都是等边三角形，得出∽、∽，设，得到两个用x表示AF的关系式，解方程即可． 此题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角的性质，解题的关键是正确找出相似三角形． 16.【答案】  【解析】解：原式 先计算零指数幂、化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号，再计算加减即可． 本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂的规定、绝对值的性质等． 17.【答案】解：由题可知， 是边AB的中点， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， 又， 四边形ABCD是矩形．  【解析】先根据条件证明≌，再证明四边形ABCD是平行四边形，最后根据平行四边形与矩形的关系进行证明即可． 本题考查矩形的判断，掌握矩形的判断方法是解题的关键． 18.【答案】解：过点A作，垂足为F， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 新生物A处到皮肤的距离约为  【解析】过点A作，垂足为F，设，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 19.【答案】解：由题意可得， ， 即a的值是9； 由题意可得， 分数在内所对应的扇形图的圆心角为：； 由题意可得，所有的可能性如下图所示， 故第一组至少有1名选手被选中的概率是：， 答：第一组至少有1名选手被选中的概率是  【解析】本题考查列表法与树状图法、频数分布表、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件. 根据被调查人数为20和表格中的数据可以求得a的值； 根据表格中的数据可以得到分数在内所对应的扇形图的圆心角大； 根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到第一组至少有1名选手被选中的概率. 20.【答案】，，一次函数的解析式为；  40；  或  【解析】解：由题意，把点代入中， 点A的坐标为 把点代入中， 点B的坐标为 把，代入中得：， 一次函数的解析式为 如图，分别作轴于点D，作轴于点E， 又，， ，， 故答案为： 根据一次函数和反比例函数图象， 当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方． 的解集为或 依据题意，把点代入中，从而，则点A的坐标为，把点代入中，可得，则点B的坐标为，又把，代入中得：，求出b后即可判断得解； 依据题意，分别作轴于点D，作轴于点E，从而，结合，，可得，，，进而计算可以得解； 依据题意，根据一次函数和反比例函数图象，可得当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方．进而可以判断得解． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 21.【答案】证明：连接OD，则， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是半圆O的切线． 解：连接OF，设半圆O的半径长为r， ，，， ，， ， ， ，解得， 半圆O的半径长是  【解析】连接OD，则，所以，由，得，则，所以，即可证明DF是半圆O的切线； 连接OF，设半圆O的半径长为r，由，，，得，，根据据勾股定理得，则 此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 22.【答案】解：由题意，设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 每件B类特产的售价为元 即A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． 由题意，每件A类特产降价x元， 又每降价1元，每天可多售出10件， 由题意， ， 当时，w有最大值 类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．  【解析】依据题意，设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，从而，进而可以得解； 依据题意，由每件A类特产降价x元，又每降价1元，每天可多售出10件，从而可以得解； 依据题意，由，再结合二次函数的性质进行计算可以得解． 本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 23.【答案】解：证明：过点A作交BC于点M，作交CD的延长线于点N， ，， 在正方形ABCD中，， ， ， ， 在和中，，， ≌ ，即 结论：EG：：2 证明：过点A作交BC于点M，作交CD的延长线于点N， ，，在长方形ABCD中，，， ， ， ∽ ， ，， ； 解：过点A作交BC于点M，过点A作交CD于点N， 在中， 将绕点A顺时针旋转到 与FH的夹角为， ， ，即， 从而≌， 设，则， 在中，解得   【解析】过点A作交BC于点M，作交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，，求证≌即可． 过点A作交BC于点M，作交CD的延长线于点N，利用在长方形ABCD中，，求证∽再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可． 过点A作交BC于点M，过点A作交CD于点N，将绕点A顺时针旋转到从而求证≌，得出再设，根据勾股定理列方程即可求解． 此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题． 24.【答案】解：将，代入， 得，解得 二次函数的解析式为 ， 如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得 设， ，由勾股定理可得： 解得 满足条件的点D的坐标为或 如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M， 设，则， 设直线CQ的解析式为，则 解得， 于是CQ：， 当时，， ， ，解得或， 当时，，当时， 综合以上可得，满足条件的点P的坐标为或  【解析】【分析】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键． 由于二次函数的图象与x轴交于、两点，把A，B两点坐标代入，计算出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标； 由线段垂直平分线的性质可得出，设，由勾股定理可得解方程可得出答案； 设CQ交抛物线的对称轴于点M，设，则，设直线CQ的解析式为，则解得，求出，由面积公式可求出n的值．则可得出答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$