江苏省苏州市姑苏区振华中学2024-2025学年九年级下学期段测数学试卷（3月份 ）

2024-2025学年江苏省苏州市姑苏区振华中学九年级（下）段测数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的相反数是(    ) A. B. 5 C. D. 2.下列图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.中国北斗卫星导航系统是由地球静止轨道、倾斜地球同步轨道和中圆地球轨道三种卫星组成，其中GEO属于高轨卫星，高度大约是数据35800000用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.分式方程的解是(    ) A. 3 B. 2 C. D. 5.某班全体学生2024年初中毕业体育考试的成绩如表： 成绩/分 32 36 39 40 人数/人 1 2 4 33 下列关于该班学生这次考试成绩的结论，其中错误的是(    ) A. 平均数是分 B. 众数是40分 C. 中位数是分 D. 极差是8分 6.将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在平面直角坐标系中，点，，，，若点C在函数的图象上，则k的值为(    ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8.如图，在中，D是AC边上的中点，连接BD，把沿BD翻折，得到，与AB交于点E，连接，若，，则点D到BC的距离为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.计算：______. 10.若，则______. 11.一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球仅有颜色不同若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则______. 12.如图，以的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，由作法可得，≌的依据是______. 13.直线与x轴交于点A，将直线绕点A顺时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______. 14.如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，若用扇形ABE围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为______. 15.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为、抛物线与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为在抛物线移动过程中，的最小值是______. 16.中，，，点P为高CD上的一个动点，连接AP，将射线AP绕点A顺时针旋转，交过点P与AP垂直的直线于点Q，连接DQ，则周长的最小值是______. 三、计算题：本大题共1小题，共5分。 17.解不等式组： 四、解答题：本题共10小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题5分 计算： 19.本小题6分 先化简，再求值，其中 20.本小题6分 如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点， 求证：≌； 若，求的度数． 21.本小题6分 书架上放了中国古代四大名著《三国演义》，《水浒传》，《红楼梦》，《西游记》各一本，在看不到书名的情况下，每本书被随机抽到的机会均等. 随机抽取一本书是《水浒传》的概率是______. 随机抽取两本书，请用树状图或列表的方法计算抽到《西游记》和《水浒传》的概率. 22.本小题8分 某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图. 在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？ 补全条形统计图. 已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数. 23.本小题8分 “五一”节期间，露营爱好者在阳澄湖半岛旅游区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，， 天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度CD的长； 下雨时收拢“天幕”，若从减少到，求点E下降的高度结果精确到，参考数据：，，， 24.本小题8分 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE：：2，过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接 求反比例函数的表达式； 求n的值及的面积. 25.本小题10分 如图，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，经过A，B，C三点的交BD于点F，且CD是的切线. 连接AF，求证； 求证； 若，，，则的半径为______. 26.本小题10分 一辆快车从甲地出发驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回到甲地，快车出发一段时间后一辆慢车从甲地驶向乙地，中途因故停车后，继续按原速驶向乙地，两车距甲地的路程ykm与慢车行驶时间之间的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： 甲乙两地相距______ km，快车行驶的速度是______，图中括号内的数值是______； 求快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式； 慢车出发多长时间，两车相距 27.本小题10分 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于E，F两点，长方形ABCD的顶点C，D在x轴上，， 如图1，若抛物线过点A，求抛物线的函数表达式和点E的坐标. 如图2，在的条件下，连接BE，作直线BD，平移线段BE，使点B的对应点P落在直线BD上，点E的对应点Q落在抛物线上，求Q点的横坐标. 若抛物线与图2中的三条边恰有两个交点，则c的取值范围是______. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是 根据相反数的定义直接求得结果． 【解答】 解：的相反数是 故选： 2.【答案】C  【解析】解：A、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、原图既是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选： 根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解． 本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】D  【解析】解：原方程去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故选： 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：A、平均数为：，本选项结论正确，不符合题意； B、40出现的次数最多，众数是40，本选项结论正确，不符合题意； C、中位数是40，本选项结论错误，符合题意； D、极差是：，本选项结论正确，不符合题意； 故选： 根据平均数、众数、中位数、极差的概念和计算公式计算，判断即可． 本题考查的是平均数、众数、中位数、极差，熟记它们的概念和计算公式是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：如图， 由题意得：， ， 是的外角，， 故选： 由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质即可求解． 本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 7.【答案】C  【解析】解：作轴，垂足为点D， 点，， ，， ，， ∽， ， ， ，， ， ， 点C在函数的图象上， 故选： 利用∽求出OD和CD，得到点C坐标即可求出k值． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：如图，连接，交BD于点M，过点D作于点H， ，D是AC边上的中点， ， 由翻折知，≌，BD垂直平分， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中， ，， ，， ， 在中， ， ， ， ， ， 点D到BC的距离为， 故选： 连接，交BD于点M，过点D作于点H，由翻折知，≌，BD垂直平分，证为等边三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的长，在中利用面积法求出DH的长，则可得出答案． 本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度． 9.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 幂的乘方，底数不变指数相乘． 本题考查了幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：， 设，， ， 故答案为： 利用设k法进行计算即可． 本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 11.【答案】9  【解析】解：根据题意，， 解得， 经检验是方程的解． 故答案为： 根据红球的概率公式，列出方程求解即可． 本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12.【答案】SSS  【解析】解：由作图可知， 在和中， ， ≌ 故答案为： 根据SSS判断三角形全等即可． 本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法． 13.【答案】  【解析】解：如图所示， 将代入， ， 点B坐标为 将代入得， ， 点A的坐标为， ， 由旋转可知， ， 在中， 点C的坐标为 令直线的函数表达式为， ， 直线的函数表达式为 故答案为： 根据题意画出示意图，结合特殊角的三角函数值即可解决问题． 本题主要考查了一次函数图象与几何变换，能根据题意画出示意图及熟知特殊角的三角函数值是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：设该圆锥的底面半径为r， 由题意得， 由题意得，， ， 该圆锥的底面半径为， 故答案为： 设该圆锥的底面半径为r，根据正多边形内角和定理求出，再根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图的扇形的弧长列出方程求解即可． 本题主要考查了正多边形与圆，展开图折叠成几何体，圆锥的计算，正确记忆相关知识点是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：点C横坐标最小时，顶点在A点， 则函数的表达式为：， 此时点， 则函数的表达式为：， 将点C的坐标代入上式并解得：， 当顶点在B处时，值最小 则抛物线的表达式为：， 当时，， 故答案为： 时，，当顶点在点B时，最小，此时点，即可求解． 本题考查的是抛物线与x轴的交点，本题关键在于确定的最小值时，抛物线所在的位置，进而求解． 16.【答案】  【解析】解：如图，以BD为边向下作正方形BDFE，连接BF，AE，QE， 由题意知和是等腰直角三角形， ， ， ∽； ， ， ， 点Q在BF上移动； 由题意可得：点D与点E关于BF对称， ， ， 当点A，Q，E在一条直线上时，取最小值，最小值为AE的长； 为高线，， ， ， ， 周长的最小值为； 故答案为： 以BD为边向下作正方形BDFE，连接BF，AE，QE，证∽，得到，点Q在BF上移动，然后根据点D与点E关于BF对称可知当点A，Q，E在一条直线上时，取最小值，最小值为AE的长，利用勾股定理求出AE，继而得解． 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，作出合适的辅助线，判断出点Q的运动路径是解题的关键． 17.【答案】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为  【解析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 18.【答案】解：原式   【解析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算． 本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键． 19.【答案】解：                   ， 当时，原式  【解析】根据分式的混合运算可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 本题考查分式的化简求值和二次根式的除法，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20.【答案】证明：是正方形， ，， ， ≌； 解：≌， ， ， ，   【解析】根据正方形的性质及全等三角形的判定方法即可证明≌； 由两个三角形全等的性质得出的度数，再用等腰三角形的性质求的度数． 此题主要考查正方形的特殊性质及全等三角形的判定的综合运用． 21.【答案】    【解析】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中随机抽取一本书是《水浒传》的结果有1种， 随机抽取一本书是《水浒传》的概率为 故答案为： 将《三国演义》，《水浒传》，《红楼梦》，《西游记》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中抽到《西游记》和《水浒传》的结果有：，，共2种， 抽到《西游记》和《水浒传》的概率为 由题意知，共有4种等可能的结果，其中随机抽取一本书是《水浒传》的结果有1种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及抽到《西游记》和《水浒传》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22.【答案】解：名， 答：在这次抽样调查中，共调查了200名学生； 样本中B类的人数为：名， 补全条形统计图如下： 名， 答：估计B类的学生人数约600名．  【解析】由A类别人数及其所占百分比可得总人数； 结合的结论求出B类的人数，进而补全条形统计图； 总人数乘以样本中B类别人数所占比例． 本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 23.【答案】解：由题意得：是轴对称图形， ， ，， ， ， 答：遮阳宽度CD约为 如图，设点E下降到点，过点E作于点M，过点作于点N， 则四边形BFEM和四边形都是矩形， ，，，， ，即， 当时，， 当时，， 则， 答：点E下降的高度约为  【解析】在中，利用正弦可得OD的长，由此即可得； 设点E下降到点，过点E作于点M，过点作于点N，先根据矩形的判定与性质可得，，，，从而可得，再分别解直角三角形可得AM，AN的长，然后根据线段和差即可得． 本题考查了解直角三角形的应用、轴对称图形、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 24.【答案】解：点在直线的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为； 正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为 如图，作轴，轴， ， ∽， ：：2， ， 设点，则， 点BC在直线的图象上， ， 解得， 直线BC解析式为， 直线BC与BG关于直线BF成轴对称， ，，，，， ，   【解析】待定系数法求出反比例函数解析式即可； 作轴，轴，正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为证明∽后利用相似比得到点，则，根据一次函数图象上点的坐标特征列出方程组求出a、n，得到，，，，，依据计算即可． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 25.【答案】  【解析】证明：如图，连接OC，OA交BF于点G， 是的切线， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， 由垂径定理可得，OA垂直平分BF， ； 证明：如图，连接BC， 由知，， 则， 又， ， 又， ∽， ，即：； 解：如图，连接CO，并延长交AB于点H，连接OB，BC， ，， 则， 由可知，， ， 由知， 则，即， ， 又：， 垂直平分AB， ， 在中， ， 设半径为r，则，， 在中， 即：， 解得， 故答案为： 连接OC，OA交BF于点G，证明，利用垂径定理即可得到结论； 连接BC，证明∽，即可利用相似三角形的对应边成比例证出结论； 连接CO，并延长交AB于点H，连接OB，BC，由，对应边成比例求出CB，在中，由勾股定理求出CH，进一步求出OH，在中，利用勾股定理即可求出半径． 本题综合考查圆的知识，解答中涉及圆的基本知识，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，能综合运用相关知识解决问题是解题的关键． 26.【答案】，100，7； 由图象可知：和， 设直线BA的函数解析式为：， 把和代入得：， 解之得， 快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式为； 由图象可知：快车比慢车早出发1小时， 慢车的速度为：千米/小时， 设慢车出发x小时与快车相距120千米， ①快车从甲地开往乙地，由题意得：， 解之得：， ②快车从乙地返回甲地与慢车相遇前，由题意得：， 解之得：， ③快车从乙地返回甲地与慢车相遇后，由题意得：， 解之得：， 综上可知慢车出发1小时或小时或小时，两车相距  【解析】解：由图象可知：甲乙两地相距400km，快车行驶的速度为，小时， 故答案为：400，100，7； 由图象可知：和， 设直线BA的函数解析式为：， 把和代入得：， 解之得， 快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式为； 由图象可知：快车比慢车早出发1小时， 慢车的速度为：千米/小时， 设慢车出发x小时与快车相距120千米， ①快车从甲地开往乙地，由题意得：， 解之得：， ②快车从乙地返回甲地与慢车相遇前，由题意得：， 解之得：， ③快车从乙地返回甲地与慢车相遇后，由题意得：， 解之得：， 综上可知慢车出发1小时或小时或小时，两车相距 根据图象可知：甲乙两地的距离为400米，由速度公式求出速度和时间； 观察图象和的结果求出和，再用待定系数法求出解析式； 先求出慢车的速度，分三种情况讨论，根据路程差为120千米，设慢车出发x小时与快车相距120千米，列出方程，求出x即可． 本题主要考查了一次函数的实际应用，解题关键是能够从图象中获取正确的信息． 27.【答案】抛物线的函数表达式为；；   ；   或  【解析】解：长方形ABCD的顶点C、D在x轴上，，， ，， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 抛物线与x轴交于E、F两点， 令，得：； 解得，， ； 由点A、C的坐标得，直线AC的解析式为， 设， ，，PQ由AF平移所得， 点Q向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到点P坐标， 点P在直线AC上， 将P坐标代入中，得：， 解得：或与点A重合，舍去， 点的横坐标为； 由得该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当抛物线经过点B时，将代入抛物线表达式得，此时抛物线与恰有一个交点B； 当抛物线经过点A时，由知，此时抛物线与恰有三个交点， 当时，该抛物线与恰有两个交点； 当抛物线的顶点在线段AB上时，则， 解得：，此时抛物线与恰有三个交点， 当抛物线与线段AC只有一个交点时， 由联立抛物线和直线并整理得：， ， 解得， 当抛物线经过点C时，将代入抛物线表达式得，此时抛物线与线段AC有两个交点， 当时，该抛物线与恰有两个交点， 综上，当或时，该抛物线与图2中恰有两个交点， 故答案为：或 先根据坐标与图形性质得到，，再利用待定系数法求得抛物线的函数表达，进而求解； 先利用待定系数法求得直线AC的解析式，利用平移性质得到； 根据该抛物线的对称轴为直线，开口向上，只需上下平移抛物线，分别求得临界点的c值，结合图形可得答案． 本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、平移性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，借助图象找到临界点是解答的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$