辽宁省本溪市第十二中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试卷

2024-2025学年辽宁省本溪十二中九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若向北运动50米记作米，则向南运动50米可记作(    ) A. 50米 B. 100米 C. 米 D. 米 2.数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”.其中不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是(    ) A. B. C. D. 5.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为(    ) A. B. C. 4 D. 16 6.生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为(    ) 尾长 6 8 10 体长 A. B. C. D. 7.方程的解为(    ) A. B. C. D. 8.图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位OA和座椅靠背OB的夹角，小桌板支撑杆OC与桌面CD的夹角，则座椅靠背OB与小桌板支撑杆C形成的夹角的度数是(    ) A. B. C. D. 9.物理学“杠杆原理”为：动力动力臂=阻力阻力臂如图，数学实验社团在活动课上用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验，如图2，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂码，每个钩码质量是50g，若，，挂4个钩码可使轻质木杆水平位置平衡.设重物的质量为x g，根据题意列方程得(    ) A. B. C. D. 10.某同学按如下步骤作四边形ABCD：画；以点A为圆心，13cm长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；分别以点B，D为圆心，13cm长为半径画弧，两弧交于点C；连接BC，CD，若，则四边形ABCD的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，在平面直角坐标系中，点B坐标，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为______. 12.3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是______. 13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接若，则          . 14.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中，如图，拱门的跨度，拱高其中，点N在x轴上，，，要在拱门中设置矩形框架ABCD，当时，矩形框架ABCD的周长为______. 15.如图，在中，，，，D为AB的中点，E为BC边上的点，连接DE，将沿DE折叠得到，连接AF，若以点D，E，F，A为顶点的四边形为平行四边形，则CE的长为______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 计算：； 化简： 17.本小题8分 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用单位：万元 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件. 求A、B两种型号智能机器人的单价； 现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台.需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 18.本小题8分 2024年12月4日是第11个全国法制宣传日，为提高学生法律防范意识和自我防护能力，某校开展了校园宪法知识竞赛百分制，八年级学生参加了本次活动.为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩成绩用x表示，单位：分并对数据成绩进行统计整理.数据分为五组： A：；B：；C：；D；；E： 下面给出了部分信息： a：C组的数据：70、71、71，72，72，72，74，74、75、76、76、77，78，78、79， b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如图： 请根据以上信息完成下列问题： 请补全频数分布直方图； 求扇形统计图中E组对应扇形的圆心角的度数； 求抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是多少分； 该校八年级共1200人多加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数. 19.本小题8分 2025年1月23日下午，习近平总书记在辽宁省木溪市考察了本钢板材冷轧厂，察看了该企业的集控中心与生产线.了解企业加快转型升级、推进高质量发展等情况.本钢某厂采用先进技术制造了一种新产品，新产品2024年12月份销售20套，由于该产品的轻量化与安全性，销量快速上升，2025年2月份该厂销售新产品达到45套. 求该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率； 该厂2025年2月份销售45套新产品，每套利润是20万元.因为产品供不应求，该厂决定适当的涨价，经市场调查发现，若价格不变，3月份预计仍可销售45套新产品，当新产品每套的销售利润每涨价1万元时，平均每月少售出1套，该公司要想在3月份获利946万元，而且尽可能让顾客得到实惠，新产品每套应涨价多少万元？ 20.本小题8分 消防车是消防救援的主要装备，图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D、B、O在同一直线上，DO可烧着点O放转，AB为云梯的液压杆长度可以变化，点O，A，C在同一水平线上，OC与地面平行，其中BD可伸缩，云梯OD的最大长度为15m，套管OB的长度不变. 在某种工作状态下测得，，，求OA的长. 将云梯OD伸长到最大长度15米，当从上升到时，云梯顶端D的铅直高度升高了多少米？ 参考数据：，，，，， 21.本小题8分 如图，直线l与相切于点A，BC是的弦且直线l，连接半径OA交BC于点D，弦AE与BC交于点F，连接BE， 求证：； 若，，，求AF的长. 22.本小题12分 如图1，在中，，点D为边AC上一点，连接BD，点E是BD的中点，连接 求证：； 如图2，在图1的基础上，若点D为AC的中点，且，延长EA至点F，连接CF，使，延长BA交CF于点 ①求证：≌； ②若，求线段AG的长； 如图3，在图1的基础上，连接CE，过点E作于点M，点N为EM延长线上一点，连接CN，使，线段CN，EA延长线交于点P，若，，，请直接写出线段AP的长. 23.本小题13分 已知y是自变量x的函数，当为常数，时，称函数为函数的“a倍函数”.例如：函数当时，则函数是函数的“2倍函数”. 求的“3倍函数”的解析式： 如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC，点A与点C分别位于x轴正半轴与y轴正半轴.连接OB，AC相交于点D，若函数为常数，，的图象经过点D，函数y1的“a倍函数”的图象经过点B，求a的值； 如图2，在平面直角坐标系中，函数的“a倍函数”的图象与x轴交于M，N两点点M在点N的左侧，与y轴交于点P，其顶点为Q，点H是的图象第四象限上一点. ①求线段MN的长； ②当时，垂直于y轴的直线l与函数的图象交于，两点，与直线NP交于点，若结合函数的图象，求的取值范围. ③延长QH交x轴于点K，当时，将沿HK方向平移得到将函数的图象平移得到函数的图象.使得点，都落在函数的图象上，判断函数的图象与函数的图象是否交于某个定点，若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：“正”和“负”相对，所以，若向北运动50米记作米，则向南运动50米可记作米． 故选： 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 2.【答案】B  【解析】解：A、是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、是轴对称图形； 故选： 根据轴对称图形的概念求解． 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3.【答案】D  【解析】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选： 根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：从左边看底层是两个正方形，上层左边一个小正方形， 故选： 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 5.【答案】C  【解析】解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以， 解得 故选： 根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：蛇的长度是其尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， 与x之间的关系式为 故选： 根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根， 故选： 8.【答案】C  【解析】解：， ， ， ， ， 故选： 由平行线的性质，得到，结合已知条件，得到结果． 本题考查了平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：根据题意得： 故选： 利用重物的质量的长度=钩码的总质量的长度，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】解：连接AC，交BD于点O， 由作图过程可知，， 四边形ABCD为菱形， ，，， 在中，由勾股定理得，， ， 四边形ABCD的面积为 故选： 连接AC，交BD于点O，由作图过程可知，，则四边形ABCD为菱形，可得，，，在中，由勾股定理得，，则，再根据四边形ABCD的面积为可得答案． 本题考查作图-复杂作图、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键． 11.【答案】  【解析】解：分别过点B、向x轴作垂线，垂足分别为M、 方法一， 又， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为 方法二根据题意，得 ， ， 点的坐标为 故答案为： 分别过点B、向x轴作垂线，垂足分别为M、 方法一利用AAS证明，根据对应边相等求解； 方法二利用直角形中，互余的两个角的三角函数之间的关系求解． 本题考查坐标与图形的变化-旋转，利用图形之间长度与角的关系解题是本题的关键． 12.【答案】  【解析】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C， 树状图如下： 由上可得，共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种， 小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为， 故答案为： 根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率． 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：在矩形ABCD中，，， ， ， 点F为AO中点， 又点E是边AD的中点， 为的中位线， 故答案为： 由可得点F为AO中点，从而可得EF为的中位线，进而求解． 本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质． 14.【答案】18m  【解析】解：由题意得，抛物线的顶点， 可设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 令， 或， ， 矩形框架ABCD的周长 故答案为： 依据题意，设抛物线的函数表达式为，把代入，求出解析式后再令，求出x，从而可以判断得解． 本题主要考查二次函数的应用，解答中涉及待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标确定，掌握待定系数法是是解题的关键． 15.【答案】或  【解析】解：连接BF交直线DE于点I， 将沿DE折叠得到， 点F与点B关于直线DE对称， 垂直平分BF， 为FB的中点， 为AB的中点， ， 如图1，四边形ADEF是平行四边形，且点F与点E在直线AB同侧，则， ， ， ， ， ，，， ， ， ； 如图2，四边形AEDF是平行四边形，且点F与点E在直线AB异侧，则， ， ， 综上所述，CE的长为或， 故答案为：或 连接BF交直线DE于点I，因为DE垂直平分BF，所以I为FB的中点，因为D为AB的中点，所以，再分两种情况讨论，一是点F与点E在直线AB同侧，则，所以，而，则，由，，，求得，则，所以；二是点F与点E在直线AB异侧，则，，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查勾股定理、翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行四边形的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键． 16.【答案】；   【解析】解： ； 先算乘方、去绝对值，再算除法，然后计算加减法即可； 先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分即可． 本题考查实数的运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17.【答案】A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元；   该企业最少需要购买5台A种型号智能机器人．  【解析】解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； 设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意得：， 解得：， 答：该企业最少需要购买5台A种型号智能机器人． 设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一中的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； 设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，根据需要每天分拣快递不少于200万件，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 18.【答案】见解析；   90；   分；   520人．  【解析】解：人， 随机抽取的八年级学生人数为60人； D组的频数为：， 补全频数分布直方图如图所示； ， 答：扇形统计图中E组对应扇形的圆心角为； 抽取的八年级学生人数为60， 中位数是排在第30个数和第31个数的平均数， 排在第30个数和第31个数在C组， 中位数分， 答：抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是分； 人， 答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为520人． 根据A组的频数和A组所占的百分数可得随机抽取的八年级学生人数，即可得到D组的频数，根补全频数分布直方图即可； 用组所占的百分数即可得到结论； 根据中位数的定义即可得到结论； 根据题意列式计算即可． 本题考查了频数率分布直方图，扇形统计图，中位数，正确地画出图形是解题的关键． 19.【答案】；   2万元．  【解析】解：设该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率为； 设新产品每套应涨价y万元，则每套利润为万元，月销售量为万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让顾客得到实惠， 答：新产品每套应涨价2万元． 设该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率为x，利用新产品2025年2月份的销售量=新产品2024年12月份的销售量该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 设新产品每套应涨价y万元，则每套利润为万元，月销售量为万元，利用总利润=每套的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20.【答案】1m；     【解析】解：如图2中，过点B作于点 在中，，， ， ， ； 云梯顶端D的铅直高度升高的长度 解直角三角形求出OT，AT可得结论； 云梯顶端D的铅直高度升高的长度 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形解决问题． 21.【答案】见解析；    【解析】证明：连接 直线l是切线， 直线l， 直线l， ， ， ， ， ； 解：， ， ， ，， ∽， ， ， 证明，即可； 利用垂径定理勾股定理求出，再证明可得结论． 本题考查相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，平行线的性质，切线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 22.【答案】证明见解析；  ①证明见解析；②；   【解析】证明：，点E是BD的中点， ， ， ； ①证明：如图， 点D为AC的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌； ②解：过点G作于点G，如图， 设， ， ， ≌， ，， ， ， ∽， ， ，， ， ， 线段AG的长为； 解：线段AP的长为 延长BA交PC于点F，如图， 由知：， ， ， ，， ， 设，则，， ，， ， 点E是BD的中点， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ∽， ， ， ，点E是BD的中点， ， ， ∽， ， ， ， 利用直角三角形的斜边上的中线的性质和等腰三角形的性质解答即可； ①利用直角三角形的性质，三角形的外角的性质和全等三角形的判定定理解答即可； ②过点G作于点G，设，利用含角的直角三角形的性质得到，，利用全等三角形的性质得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； 延长BA交PC于点F，利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，利用三角形的中位线定理得到，利用勾股定理可求得m，利用相似三角形的判定与性质可求得AF，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 23.【答案】     ①②；③  【解析】解：根据定义，的“3倍函数” 的“3倍函数”的解析式为 设函数的“a倍函数” 根据题意D为正方形对角线的交点，是正方形ABCO的中心，则 如图，作， ， ，， ①函数的“a倍函数”， 令，，由于则，解方程，， ②当时， 当，则，即；时， 点P坐标为，点Q坐标为 如图，过点P，过点Q，，根据图象可知，当直线l处于和之间时 易知直线轴，由平行线分线段成比例可得：：： 根据可得，当时， 从图中可以看出， 而E、F两点关于抛物线对称轴对称，，则 ③根据题意，则顶点Q坐标为 设点K坐标为由于，是等腰三角形，则根据等腰三角形的轴对称性质可得， ， 如图，图象交x轴于R、K两点，过点H作x轴的平行线交图象于点 根据抛物线的轴对称性质和图形平移的规律，可得 ， ， 故点R和点N重合，即函数的图象与函数的图象交于定点 根据“a倍函数”的定义把代入可直接求出其“3倍函数”的解析式． 根据正方形的性质求出B、D两点坐标的关系，然后代入各自所在图象的反比例函数解析式，即可求出a值． ①根据定义得出“a倍函数”的解析式，然后令解一元二次方程求出M、N两点的坐标，即可求出答案； ②根据函数图象判定直线l处于过点P和Q分别平行于x轴的直线和之间，然后根据抛物线轴对称的性质确定，结合点G的横坐标大小范围，即可确定的范围； ③首先设点K坐标为，然后根据是等腰三角形得出点H在线段KM的垂直平分线上，即，进而求出点H的横坐标，再根据抛物线轴对称的性质及函数图象平移规律得到，求出，从而判定函数的图象与函数的图象交于点N，即可得出结论． 本题为函数的新定义问题，考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，函数图象的平移规律等知识点．熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$