江西省南康中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

南康中学2024级高一年级开学考试数学学科试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．下列四个数中，最小的数是（ ） A． B．0 C． D． 2．下列运算正确的是（ ） A．a2·a3=a6 B．(－2a2)3=－6a6 　C．(3a+1)(3a-1)=9a2-1 D．(2a3-a2)÷2a=2a-1 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=65°，点P在AO上（点P不与点A，O重合），则∠BPC可能为 （ ） A．65° B．120° C． 130° D．140° 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5．命题“R，”的否定是（ ） A.R， B. R， C.R， D. R， 6．已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C． D． 7．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A. B. C. D. 8．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ） 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表： 用笔数（支） 4 5 6 8 9 学生数 4 4 7 3 2 则关于这20名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是( ) A.中位数是6支　　　B.平均数是5支　　　C.众数是6支　　 D.方差是2.5 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件； D. 命题“”的是真命题. 11．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数，以下结论正确的有（    ） A． B． C．的最大值为1，最小值为0 D．是R上的增函数 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．=　 　． 13．若m=2n+1,则m2－4mn+4n2的值是　 　． 14. 设集合，，，则集合的真子集个数为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)集合，， （1）求； （2）求． 16．（15分）为弘扬中华传统文化，某校组织若干名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题： 分组 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5 频数 2 a 20 16 8 频率 0.04 0.08 0.40 0.32 b （1）本次抽样调查的样本容量为 ，此样本中成绩的中位数落在 范围内. 表中a= ，b= ； （2）补全频数分布直方图； （3）若该校共有初中生3000名，若成绩超过80分为优秀，请估计该校汉字听写能力为优秀的约有多少人. 17.（15分）已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合． （1）求集合； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 18.（17分）“必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三王善任智勇者，圣则丘弗知。” 忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四海。”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“忠诚点”．把函数图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称为“智勇忠诚函数”． (1)一次函数是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上的“智勇点”和“忠诚点”； (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”，求该二次函数的解析式； (3)已知二次函数（，为常数，）图象的顶点为，与轴交于点，经过点，的直线上存在无数个“智勇点”，当，函数有最小值，求的值． 19．（17分）已知函数 (1)求的值； (2)请画出此函数的图象，并根据图象直接写出函数的定义域、值域、单调递增区间、单调递减区间； (3)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，的图象与的图象相同，试求出函数在上的解析式. 学科网（北京）股份有限公司 $$null 南康中学2024级高一年级开学考试数学学科考试答案 一、选择题 1-4 DCBA 5—8 ACBC 二、选择题： 9.ACD 10.BC 11.AB 三、填空题： 12. 13.1 14.7 4、 解答题： 15.解：（1），. ..........................6分 （2），或，. ............................13分 16.解：（1）学生总数是：=50（人）， a=50×0.08=4（人）， b==0.16； ∴本次抽样调查的样本容量为50，成绩的中位数落在69.5～79.5范围内， a=4（人）， b=0.16； ...........................................5分 （2）根据（1）得出的a的值，补图如下： .........................................10分 （3）3000×（0.32+0.16）=1440． 该校汉字听写能力为优秀的约有1440人. ........................................15分 17.解：(1) 由得，解得， 所以， ， 又，，． ............................7分 (2)由(1)知 ，即 所以实数的取值范围为 ...........................15分 18.解：（1）∵一次函数是一个“智勇忠诚函数”， ∴根据定义得：得，由得， ∴一次函数图象上的“智勇点”为：，“忠诚点”为：；..............................4分 （2）∵二次函数图象可以由二次函数平移得到，∴， ∵二次函数的顶点就是一个“智勇点”，∴， ∴二次函数解析可变为， ∵二次函数图象经过一个“忠诚点”，∴，∴， ∴P点坐标为， ∴将代入得，∴， ∴二次函数解析为或； ................................10分 （3）∵经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”， ∴直线l上的点横纵坐标相等， ∵二次函数（c，d为常数，）的顶点为M，与y轴的交点为N， ∴，N点坐标为原点，为“智勇点”， ∴二次函数解析式可变为，二次函数的图象经过“智勇点”， ∴将N代入，∴，∴，（舍去）， ∴二次函数解析式可变为，对称轴为直线， 当时，时，y取最小值， ∴解得：，， ∵，∴； 当时，在时，y取最小值， ∴解得：，， ∵，∴，∴ 综上，或． ................................................17分 19.解：（1）因为， 所以 ..............................4分 （2）由题意，作出函数的图象，如图所示： 可得函数的定义域为，值域为 ， 函数的单调递增区间为， 单调递减区间为，，. ................................10分 （3）由题意，当时， ， 当时，则，所以， 因为是上的奇函数，则， 又因为，令，可得， 综上，函数的解析式为 ...............................17分 学科网（北京）股份有限公司 $$南康中学 2024级高一年级开学考试数学学科试卷 本试卷共 4页，19小题，满分 150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．下列四个数中，最小的数是（ ） A． 4 1  B．0 C． 3 D． 2 2．下列运算正确的是（ ） A．a2·a3=a6 B．(－2a2)3=－6a6 C．(3a+1)(3a-1)=9a2-1 D．(2a3-a2)÷2a=2a-1 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=65°，点 P在 AO上（点 P不与点 A，O重合）， 则∠BPC可能为 （ ） A．65° B．120° C． 130° D．140° 4. 已知集合  1,6,8,10A  ，  2,4,8,10B  ，则 A B  （ ） A.  8,10 B.  8 C.  1,2,4,6 D.  1,2,4,6,8,10 5．命题“ x R， 2 2 0x x  ”的否定是（ ） A. x R， 2 2 0x x  B. x R， 2 2 0x x  C. x R， 2 2 0x x  D. x R， 2 2 0x x  6．已知 0x  ， 0y  ， 4xy  ，则 2x y 的最小值为（ ）． A．4 B．6 C． 4 2 D．8 2 7．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ） A.      2 1 1,f x g x x x   B.     , 0 , , 0 x x f x x g x x x      C. 0( ) 1, ( )f x g x x  D. 2 2( ) , ( ) ( 1)f x x g x x   8．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为 100千米/小时，特快车的速度为 150 千米/小时，甲乙两地之间的距离为 1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离 y （千米）与快车行驶时间 t（小时）之间的函数图象是（ ） 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分. 9．某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表： 用笔数（支） 4 5 6 8 9 学生数 4 4 7 3 2 则关于这 20名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是( ) A.中位数是 6支 B.平均数是 5支 C.众数是 6支 D.方差是 2.5 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若 A B A ，则 B A ； B. 若 x A B  ，则 x A B U ； C. 已知 ,a b R ，则“ b a a b  ”是“ 0a b  ”的必要不充分条件； D. 命题“ 2, 0x Z x   ”的是真命题. 11．设 xR，用  x 表示不超过 x的最大整数，则  y x 称为高斯函数，也叫取整函数，例如  2.3 2 .令函 数    f x x x  ，以下结论正确的有（ ） A．  1.7 0.3f   B．    1f x f x  C．  f x 的最大值为 1，最小值为 0 D．  f x 是 R上的增函数 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．   1 01 + 3tan30 1 3 2           = ． 13．若 m=2n+1,则 m2－4mn+4n2的值是 ． 14. 设集合  0,1A  ，  1,2B  ，  , ,C x x a b a A b B     ，则集合C的真子集个数为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)集合  | 3 10A x x   ，  |1 3 5 16B x x    ， （1）求 A B ； （2）求 ( )RC A B ． 16．（15分）为弘扬中华传统文化，某校组织若干名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从 中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答 问题： 分组 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5 频数 2 a 20 16 8 频率 0.04 0.08 0.40 0.32 b （1）本次抽样调查的样本容量为 ，此样本中成绩的中位数落在 范围内. 表中 a= ，b= ； （2）补全频数分布直方图； （3）若该校共有初中生 3000名，若成绩超过 80分为优秀，请估计该校汉字听写能力为优秀的约有多少人. 17.（15分）已知函数 2 1( ) 4 3 f x x x    的定义域为集合 A，函数  2( ) 2 2, 1,1g x x x x      的值域 为集合 B． （1）求集合 ,A B； （2）设集合 { | 2}C x m x m    ，若 ( )C A B C   ，求实数m的取值范围． 18.（17分）“必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三王善任智勇 者，圣则丘弗知。” 忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四海。”我们不妨约定：在 平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“忠诚点”．把函数 图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称为“智勇忠诚函数”． (1)一次函数 2 1y x  是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上的“智勇点”和“忠诚点”； (2)已知二次函数  2y a x h k   图象可以由二次函数 2y x  平移得到，二次函数  2y a x h k   的顶点就 是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”  3,P m ，求该二次函数的解析式； (3)已知二次函数  22y x c d   （ c，d 为常数， 0c  ）图象的顶点为M ，与 y轴交于点 N ，经过点M ， N 的直线 l 上存在无数个“智勇点”，当 1m x m   ，函数  22y x c d   有最小值152 ，求 m的值． 19．（17分）已知函数   2 1 , 0 2 ,0 3 6, 3 x x f x x x x x x           (1)求   1f f 的值； (2)请画出此函数的图象，并根据图象直接写出函数  f x 的定义域、值域、单调递增区间、单调递减区间； (3)已知函数  g x 是定义在  3,3 上的奇函数，且当0 3x  时，  g x 的图象与  f x 的图象相同，试求出函 数  g x 在  3,3 上的解析式.