专题02 勾股定理【知识梳理+解题方法+专题过关】-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题02 勾股定理 一．勾股定理 文字语言 符号语言 变式 应用 图示 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ， ， ， 注意： ①要确定是直角三角形； ②要分清直角边和斜边． 二．勾股定理的证明 1．赵爽“勾股圆方图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为．又大正方形的面积，所以． 2．伽菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则，又，所以． 3．毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形面积，由图②得大正方形面积，比较两式易得． 三．勾股定理的应用 1．已知直角三角形的任意两边求第三边； 2．已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； 3．证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题； 4．构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题． 四．利用勾股定理作为（n为大于1的整数）的线段 五．互逆命题与互逆定理 1．如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． 2．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，则称其为原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理． 注意： ①写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论互换； ②每个命题都有逆命题，但每一个定理不一定有其逆定理； ③正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题； ④互逆命题、互逆定理都是相对的，只有先确定了原命题，才有相应的逆命题． 六．勾股定理的逆定理 1．如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形． 2．利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤： ①确定三角形的最长边； ②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等； ④得出结论． 3．勾股定理与其逆定理的区别与联系 定理 区别 联系 勾股定理 （1）勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为题设，进而得到这个直角三角形三边的关系； （2）勾股定理是根据直角三角形探求边的关系，体现了由“形”到“数”的转化 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足（c为最长边）”为题设，进而得到“这个三角形为直角三角形”； （2）勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由“数”到“形”的转化 七．勾股数 1．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 2．常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15． 【专题过关】 一．利用勾股定理求线段的长（共5小题） 1．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（   ）步路（假设步为米），却踩伤了花草． A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，，是的中线，若，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（    ） A． B．2 C．或2 D．或4 4．如图，在中，，，，则 ． 5．如图，在中，，，点在上，连接，若，，求的长． 二．利用勾股定理求面积（共3小题） 6．如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为 7．如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，如果，，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为 ． 8．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为 ． 三．勾股定理的证明（共3小题） 9．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证（   ） A． B． C． D． 10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 11．综合与实践 探索：将边长分别为a、b的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ （1）阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． （2）巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． （3）拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，证明：． 四．构造直角三角形解决问题（共3小题） 12．如图，在的网格中，有一个格点，若每个小正方形的边长为1，则的边上的高为（　　） A． B． C． D．1 13．如图，是长为40cm，宽为30cm，高为120cm的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为 cm． 14．随着中国科技、经济的不断发展，5G信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个5G信号源，且点C到点A和点B的距离分别为60m和80m，且，信号源中心周围50m及以内可以接收到5G信号． （1）汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号吗？为什么？ （2）若汽车的速度为10m/s，请问有多长时间可以接收到5G信号？ 五．勾股定理在网格中的应用（共2小题） 15．如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． （1）画一个三边长分别为4，，的三角形； （2）画一个腰长为的等腰直角三角形． 16．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1， （1）判断是否为直角三角形？ （2）求最长边上的高？ 六．利用勾股定理解决折叠问题（共5小题） 17．如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在中，，，为线段上的一个动点，为边上的一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 19．如图，矩形中，，，将沿折叠，使点A恰好落在对角线上的F处，则 ． 20．如图，在等腰中，，，点D是上一点，将沿折叠至，连接，且满足，则点D到的距离为 ． 21．如图，在矩形中，，．将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交于点M，交于点N． （1）求证：是等腰三角形； （2）求线段的长． 七．勾股定理在实际生活中的应用（共5小题） 22．如图，有两棵树，一棵高13m，另一棵高7m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，则小鸟至少要飞行 m． 23．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 24．“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级的小吒和小丙学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为18米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米；③牵线放风筝的小丙的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小丙想使风筝沿方向下降6米，则他应该往回收线多少米？ 25．小明学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型抽象 测绘数据 ①绳子紧贴着旗杆垂直向下，再把多余的绳子拉直，测得多余的绳子长度为2m． ②拉直绳子，使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B到绳子终点D的距离，即． 说明 点A，B，D在同一平面上． 请根据表格信息，解答下列问题．（，） （1）求旗杆的高度的长． （2）由于实际需要，现在要把旗杆增高4m，如果绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长多少米？（结果保留一位小数）． 26．如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 八．利用勾股定理探索线段平方关系（共2小题） 27．如图，在中，，，D为边上一动点，以为斜边在右侧构造等腰，连接．求证：． 28．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． （1）思路梳理 ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证_________，得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，，点E、F分别在边上，．若、都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且． 猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 九．利用勾股定理求最短路线（共5小题） 29．如图，圆柱的高为10cm，底面直径为4cm，一只蚂蚁从圆柱高的中点A沿侧面爬到点B的最短的距离是（  ） A．10cm B．15cm C． D． 30．如图，长方体的长为6cm，宽为5cm，高为4cm，若一只蚂蚁要沿着长方体的表面从的中点P爬到的中点Q，那么它需要爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 31．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 cm． 32．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，需要走的最短路程是 分米． 33．如图，A，B个村在河的同侧，且， A，B两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元． 请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）． 十．判断三角形形状（共3小题） 34．下面各组数据为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．2，4，5 B．5，12，13 C．8，10，12 D．7，15，17 35．已知中、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能判定是直角三角形的是（  ） A．，， B． C． D． 36．下列说法中，错误的是（　　） A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 B．三角形的三边满足，则此三角形是直角三角形 C．以三个连续自然数为三边长可能构成直角三角形 D．中，若，则为直角三角形 十一．利用勾股定理的逆定理求线段的长度（或面积）（共5小题） 37．如图，D为的边上一点，已知，，，，则的长为（    ）    A．18 B．21 C．20 D．23 38．已知一个直角三角形的两条直角边分别为8、15，那么这个直角三角形斜边上的高为 ；三角形的两边分别为3和5要使这个三角形组成直角三角形，则第三边长是 ． 39．如图，，，，，，则这个图形的面积为 ． 40．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 41．如图，在中，，点D，E分别是，上的点，连接并延长交的延长线于点F，，，． （1）求证：． （2）求证：是等腰三角形． 十二．勾股定理及其逆定理的综合运用（共4小题） 42．如图，数轴上的点M表示的数为m，则m= ． 43．如图，四边形中，，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 44．如图，在中，，点E在边上，，，．求的长． 45．如图，点C，B，E在同一条直线上，，，，，． （1）求证：； （2）连接，求点B到的距离． 十三．勾股定理的逆定理在实际生活中的应用（共5小题） 46．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（    ） A．65平方里 B．60平方里 C．325平方里 D．30平方里 47．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为25m．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为12m，的长为15m． （1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； （2）请求出喷泉B到小路的最短距离． 48．怀仁民俗博物馆是一座集历史、人文、民俗、民风、书画艺术为一体的综合性博物馆．馆内收藏文物20000多件，其中近一万件为红色文物．该博物馆将一块四边形场地布置成展区，反映怀仁传统民俗、民间技艺，现测得，，，且．求四边形展区的面积． 49．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 50．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点D处开凿隧道修通一条公路到点C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上的另一停靠站B的距离为20km，停靠站A，B之间的距离为25km，且． （1）判断是什么三角形？并说明理由； （2）求修通的公路的长． 十四．勾股定理及其逆定理的探究应用（共2小题） 51．勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足，则ka、kb、kc、（k为正整数）也是一组勾股数．如；3，4，5是一组勾股数，则____________也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出，，（n公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a，b，c是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当，，（m、n为正整数，时，a，b，c构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数____________． 【探究2】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾5为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股24=_______________；弦25=_______________； （2）如果用n且n为奇数)表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股________；弦________； （3）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…；a，b，82；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过． ①b=___________； ②请你直接用m为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边________；和弦的长________． 52．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为x和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点E在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题： （1）直接写出代数式的最小值； （2）若x，y均为正数，且，求的最小值； （3）若，求x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 一．勾股定理 文字语言 符号语言 变式 应用 图示 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ， ， ， 注意： ①要确定是直角三角形； ②要分清直角边和斜边． 二．勾股定理的证明 1．赵爽“勾股圆方图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为．又大正方形的面积，所以． 2．伽菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则，又，所以． 3．毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形面积，由图②得大正方形面积，比较两式易得． 三．勾股定理的应用 1．已知直角三角形的任意两边求第三边； 2．已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； 3．证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题； 4．构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题． 四．利用勾股定理作为（n为大于1的整数）的线段 五．互逆命题与互逆定理 1．如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． 2．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，则称其为原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理． 注意： ①写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论互换； ②每个命题都有逆命题，但每一个定理不一定有其逆定理； ③正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题； ④互逆命题、互逆定理都是相对的，只有先确定了原命题，才有相应的逆命题． 六．勾股定理的逆定理 1．如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形． 2．利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤： ①确定三角形的最长边； ②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等； ④得出结论． 3．勾股定理与其逆定理的区别与联系 定理 区别 联系 勾股定理 （1）勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为题设，进而得到这个直角三角形三边的关系； （2）勾股定理是根据直角三角形探求边的关系，体现了由“形”到“数”的转化 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足（c为最长边）”为题设，进而得到“这个三角形为直角三角形”； （2）勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由“数”到“形”的转化 七．勾股数 1．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 2．常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15． 【专题过关】 一．利用勾股定理求线段的长（共5小题） 1．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（   ）步路（假设步为米），却踩伤了花草． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C． 【解答】解：依据题意可得：图中的三角形为直角三角形， ∴斜边长为， ∴少走了， ∵步为米， ∴步， 故选：C． 2．如图，在中，，是的中线，若，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D． 【解答】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（    ） A． B．2 C．或2 D．或4 【答案】C． 【解答】解：分两种情况： ①当和1均为直角边时，第三条边长； ②当1为直角边，为斜边时，第三条边长； 综上所述，第三边长为或2， 故选：C． 4．如图，在中，，，，则 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴， 则， ∴, 故答案为：． 5．如图，在中，，，点在上，连接，若，，求的长． 【答案】． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴． 二．利用勾股定理求面积（共3小题） 6．如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为 【答案】45． 【解答】解：依题意，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 7．如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，如果，，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为 ． 【答案】6． 【解答】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积， ∵在中，，，，， ∴，即 ∴（负值舍去） ∴阴影部分的面积等于 ． 故答案为：6． 8．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】． 【解答】解：如图所示， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， ∴， ， ， ， …… ， ∴． 故答案为：． 三．勾股定理的证明（共3小题） 9．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：大正方形的面积可以表示为， 大正方形的面积还可以表示为， 可得：， 整理可得：． 故选：C． 10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：根据题意，列式可得：， 故选：A． 11．综合与实践 探索：将边长分别为a、b的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ （1）阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． （2）巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． （3）拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解答】（1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积为：；   方法②：将阴影部分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．   由此我们可以得到平方差公式：；   故答案为：；； （2）证明：如图3， 方法①：， 方法②：， ∴； （3）证明：如图4， ∵大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为， 方法①：大正方形的边长为，所以， 方法②：， 所以， ∴． 四．构造直角三角形解决问题（共3小题） 12．如图，在的网格中，有一个格点，若每个小正方形的边长为1，则的边上的高为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A． 【解答】解：由勾股定理可得： ， 由图可知： 边上的高， 又∵边上的高， ∴边上的高， 故选：A． 13．如图，是长为40cm，宽为30cm，高为120cm的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为 cm． 【答案】130． 【解答】解：如图， ， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， 即这个纸箱能容纳的木棒最长为130cm， 故答案为：130． 14．随着中国科技、经济的不断发展，5G信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个5G信号源，且点C到点A和点B的距离分别为60m和80m，且，信号源中心周围50m及以内可以接收到5G信号． （1）汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号吗？为什么？ （2）若汽车的速度为10m/s，请问有多长时间可以接收到5G信号？ 【答案】（1）能接收到5G信号，理由见解析；（2）有2.8秒可以接收到5G信号． 【解答】（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下： 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号． （2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理：， ∴， ∴(秒)． 答：有2.8秒可以接收到5G信号． 五．勾股定理在网格中的应用（共2小题） 15．如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． （1）画一个三边长分别为4，，的三角形； （2）画一个腰长为的等腰直角三角形． 【答案】作图见解析． 【解答】（1）解：，， 如图，即为边长分别为4，，的三角形， （2）解：， 如图，即为腰长为的等腰直角三角形 16．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1， （1）判断是否为直角三角形？ （2）求最长边上的高？ 【答案】（1）见解析；（2）2． 【解答】（1）解：为直角三角形，理由： 由勾股定理得，，，， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：设最长边上的高为h， 由题意得，， ∴． 六．利用勾股定理解决折叠问题（共5小题） 17．如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵长方形中，，， ∴，，， ∵将沿折叠，点B落在处，与交于E， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 故选：C． 18．如图，在中，，，为线段上的一个动点，为边上的一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：∵，， ∴， 由翻折得，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 解得， ∴， ∴， 故选：D． 19．如图，矩形中，，，将沿折叠，使点A恰好落在对角线上的F处，则 ． 【答案】10． 【解答】∵四边形是矩形 ∴ 由折叠可得， ， 在中，， ∴， ∴， 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， ， ∴， 则， 故答案为：10． 20．如图，在等腰中，，，点D是上一点，将沿折叠至，连接，且满足，则点D到的距离为 ． 【答案】． 【解答】解：过D作于点E， 设，则， ∵，， ∴，， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 21．如图，在矩形中，，．将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交于点M，交于点N． （1）求证：是等腰三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：如图所示，连接， 由折叠可知． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：设，则，． 在中，根据勾股定理可得 即 解得： 所以的长为． 七．勾股定理在实际生活中的应用（共5小题） 22．如图，有两棵树，一棵高13m，另一棵高7m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，则小鸟至少要飞行 m． 【答案】10m． 【解答】解：如下图所示，过点B作，连接， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：10m． 23．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】（1）的长为4m；（2）需要花费490元地毯才能铺满所有台阶． 【解答】（1）解：∵，，， ∴， 答：的长为4m； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， ∵每平方米地毯25元， ∴需要花费（元）； 答：需要花费490元地毯才能铺满所有台阶． 24．“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级的小吒和小丙学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为18米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米；③牵线放风筝的小丙的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小丙想使风筝沿方向下降6米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的垂直高度为25.6米；（2）他应该往回收线米． 【解答】（1）解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值舍去）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为25.6米； （2）解：如图风筝下降到点，由题意得，（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴米， 答：他应该往回收线米． 25．小明学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型抽象 测绘数据 ①绳子紧贴着旗杆垂直向下，再把多余的绳子拉直，测得多余的绳子长度为2m． ②拉直绳子，使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B到绳子终点D的距离，即． 说明 点A，B，D在同一平面上． 请根据表格信息，解答下列问题．（，） （1）求旗杆的高度的长． （2）由于实际需要，现在要把旗杆增高4m，如果绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长多少米？（结果保留一位小数）． 【答案】（1）旗杆的长为15m；（2）绳子至少要加长3.6m． 【解答】（1）解：由题意得，， 设，则， 又， 在中，， ∴， 解得，， 答：旗杆的长为15m． （2）解：由（1）得，延长至点，使，连接 则 在中，， 则绳子至少要加长：， 答：绳子至少要加长3.6m． 26．如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离为500km；（2）台风影响该海港持续的时间为8小时． 【解答】（1）解：在中，，， ∴， 答：监测点A与监测点B之间的距离为500km； （2）解：海港C受台风影响， 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C会受到此次台风的影响， 以C为圆心，260km长为半径画弧，交于D，F， 则时，正好影响C港口， 在中，， ∴， ∵台风的速度为25km/h， ∴． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 八．利用勾股定理探索线段平方关系（共2小题） 27．如图，在中，，，D为边上一动点，以为斜边在右侧构造等腰，连接．求证：． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：将绕点A逆时针旋转得到线段，连接，， ∵将绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，，， ∵， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴D、O、E三点共线， ∵，， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 28．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． （1）思路梳理 ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证_________，得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，，点E、F分别在边上，．若、都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且． 猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】（1）；（2）当时，仍有，理由见解析；（3），理由见解析． 【解答】（1）解：∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，仍有；理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示： ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：．理由如下： 把绕点A顺时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 九．利用勾股定理求最短路线（共5小题） 29．如图，圆柱的高为10cm，底面直径为4cm，一只蚂蚁从圆柱高的中点A沿侧面爬到点B的最短的距离是（  ） A．10cm B．15cm C． D． 【答案】C． 【解答】解：圆柱体的过点A的部分侧面展开图，如图所示， ∵圆柱的高为10cm，底面直径为4cm， ∴ 底面圆周长为，， ∴， ∴在中，． 故选：C． 30．如图，长方体的长为6cm，宽为5cm，高为4cm，若一只蚂蚁要沿着长方体的表面从的中点P爬到的中点Q，那么它需要爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：按照上面和左面展开，如下，过Q作于点M， ∴，， ∴， 按照正面和上面展开，如图3， ∴，， ∴， ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故选：A． 31．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 cm． 【答案】100． 【解答】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为100cm， 故答案为：100． 32．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，需要走的最短路程是 分米． 【答案】． 【解答】解：把圆柱侧面展开，如图，则分米，分米， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得，分米， ∴需要走的最短路程是分米， 故答案为：． 33．如图，A，B个村在河的同侧，且， A，B两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元． 请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）． 【答案】铺设水管的总费用为15000元． 【解答】解：如图，作点A关于的对称点， 连接交于O， ∴， ∴点O即为水厂的位置． 过点作交的延长线于点E，过点A作于点F， 则，，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 在中，， 由勾股定理得． ∴（元）． 故铺设水管的总费用为15000元． 十．判断三角形形状（共3小题） 34．下面各组数据为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．2，4，5 B．5，12，13 C．8，10，12 D．7，15，17 【答案】B． 【解答】解：A选项，，故不符合题意， B选项，，能构成直角三角形，故符合题意， C选项，，故不符合题意， D选项，，故不符合题意， 故选：B． 35．已知中、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能判定是直角三角形的是（  ） A．，， B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：A．∵，∴是直角三角形，故A选项不符合题意； B．∵，∴，∴是直角三角形，故B选项不符合题意； C．∵，，∴，∴是直角三角形，故C选项不符合题意； D．∵，，∴，，，∴不是直角三角形，故D选项符合题意； 故答案为：D． 36．下列说法中，错误的是（　　） A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 B．三角形的三边满足，则此三角形是直角三角形 C．以三个连续自然数为三边长可能构成直角三角形 D．中，若，则为直角三角形 【答案】A． 【解答】解：在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为或，故A说法错误，符合题意； 的三边长满足，则此三角形是直角三角形，故B说法正确，不符合题意； 以三个连续自然数为三边长可能构成直角三角形，如，故C说法正确，不符合题意； 在中，若，则，则是直角三角形，故D说法正确，不符合题意； 故选：A． 十一．利用勾股定理的逆定理求线段的长度（或面积）（共5小题） 37．如图，D为的边上一点，已知，，，，则的长为（    ）    A．18 B．21 C．20 D．23 【答案】B． 【解答】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 38．已知一个直角三角形的两条直角边分别为8、15，那么这个直角三角形斜边上的高为 ；三角形的两边分别为3和5要使这个三角形组成直角三角形，则第三边长是 ． 【答案】；或4． 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为8，15， ∴斜边为， 设斜边上的高为h， 则直角三角形的面积为， 解得：， 这个直角三角形斜边上的高为； 三角形的两边分别为3和5，设第三条边长为x， ∵三角形是直角三角形， ∴或， 解得，或， 即第三边长是或4． 故答案为：；或4． 39．如图，，，，，，则这个图形的面积为 ． 【答案】24． 【解答】解：连接，在中，， ∴， 在中， ∵， ∴为直角三角形； ∴图形面积为： 故答案为：24． 40．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36． 【解答】解：连接， ∵， ∴为直角三角形， ∵，，， 根据勾股定理得：， 又∵，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴． 41．如图，在中，，点D，E分别是，上的点，连接并延长交的延长线于点F，，，． （1）求证：． （2）求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析． 【解答】（1）证明：∵，，，， ∴． ∴是直角三角形，． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是等腰三角形． 十二．勾股定理及其逆定理的综合运用（共4小题） 42．如图，数轴上的点M表示的数为m，则m= ． 【答案】． 【解答】解：根据题意得：， 故答案为：． 43．如图，四边形中，，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解答】（1）解：如图，连接， 在中，，，， 根据勾股定理得：，， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，即， 则； （2）解：根据题意得：． 44．如图，在中，，点E在边上，，，．求的长． 【答案】． 【解答】解：在中，， ∴是直角三角形，． ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得． 即． 45．如图，点C，B，E在同一条直线上，，，，，． （1）求证：； （2）连接，求点B到的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）点B到的距离为． 【解答】（1）解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设点B到的距离为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为． 十三．勾股定理的逆定理在实际生活中的应用（共5小题） 46．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（    ） A．65平方里 B．60平方里 C．325平方里 D．30平方里 【答案】D． 【解答】解：∵，， ∴， ∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：（平方里）． 故选：D． 47．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为25m．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为12m，的长为15m． （1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； （2）请求出喷泉B到小路的最短距离． 【答案】（1）供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为35m；（2）喷泉B到小路的最短距离为15m． 【解答】（1）解：由题意可得，，，，， 在中，， ∴， ∴， 在，， ∴， ， 即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为35m； （2）解：在中，，，， ， ∴是直角三角形，， ， ∴喷泉B到小路的最短距离为15m． 48．怀仁民俗博物馆是一座集历史、人文、民俗、民风、书画艺术为一体的综合性博物馆．馆内收藏文物20000多件，其中近一万件为红色文物．该博物馆将一块四边形场地布置成展区，反映怀仁传统民俗、民间技艺，现测得，，，且．求四边形展区的面积． 【答案】四边形展区的面积为． 【解答】解：连接， 因为，所以是直角三角形． 所以， 因为，所以是直角三角形，． 所以． 答：四边形展区的面积为． 49．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该婴儿车符合安全标准，计算见解析． 【解答】解：∵ ∴在中，由勾股定理，得， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴该婴儿车符合安全标准． 50．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点D处开凿隧道修通一条公路到点C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上的另一停靠站B的距离为20km，停靠站A，B之间的距离为25km，且． （1）判断是什么三角形？并说明理由； （2）求修通的公路的长． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析；（2）修通的公路的长是12km． 【解答】（1）解：直角三角形，理由， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（）得：是直角三角形； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴修通的公路的长是12km． 十四．勾股定理及其逆定理的探究应用（共2小题） 51．勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足，则ka、kb、kc、（k为正整数）也是一组勾股数．如；3，4，5是一组勾股数，则____________也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出，，（n公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a，b，c是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当，，（m、n为正整数，时，a，b，c构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数____________． 【探究2】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾5为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股24=_______________；弦25=_______________； （2）如果用n且n为奇数)表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股________；弦________； （3）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…；a，b，82；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过． ①b=___________； ②请你直接用m为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边________；和弦的长________． 【答案】探究1（1）6，8，10（答案不唯一)；（2）证明见解析；（3），，（答案不唯一)；探究2（1），；（2），；（3）①80，②，弦． 【解答】探究1：（1）6，8，10（答案不唯一)；· （2）证明： ， ∴， ∴， 满足以上公式的a，b，c是一组勾股数； （3）∵＝ ∴满足以上公式的a，b，c是一组勾股数； 当，时，，，， ∴6，8，10构成一组勾股数．(答案不唯一） 探究2：（1）依据规律可得，如果勾为， 则股，弦， （2）如果勾用n且n为奇数)表示时， 则股，弦 （3）①b＝80． ②根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)， 则另一条直角边，弦． 52．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为x和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点E在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题： （1）直接写出代数式的最小值； （2）若x，y均为正数，且，求的最小值； （3）若，求x的值． 【答案】（1）5；（2）10；（3）． 【解答】（1）解：如图，过点C作，交延长线于点F， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 所以代数式的最小值为5． （2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上）， 则，， ∴可将问题转化为求线段的最小值， ∴的最小值为线段的长度， 过点作，交延长线于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 所以代数式的最小值为10． （3）解：由题意，构造如下图形： 其中，，，，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$