重难点02 面积问题综合训练（8大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）

重难点02 面积问题综合训练 中考数学中《面积问题综合训练》部分主要考向分为三类： 一、三角形的面积 二、四边形的面积 3、 圆的面积 面积问题在中考中出现的频率较高，而且往往和圆、函数相结合，难度中等。三角形的面积问题属于高频考点，常在反比例函数与一次函数的综合应用中出现，难度一般，大多数题目都是可以求出顶点的具体坐标，通过直接求底、高进而求面积或者间接法即可求解；有时也与二次函数相结合，一般是求面积的最值问题。求四边形的面积主要有两种考查方式，一是求菱形的面积，二是与函数相结合求四边形面积的最值。圆的相关面积是最常考的类型，一般是求不规则阴影的面积。 考向一：三角形的面积 【题型1】坐标系中三角形的面积 1 在坐标系中求三角形的面积时，一般应求出三个顶点的坐标； 2 若三角形有水平或者竖直的边，则以此为底，易求高，从而可直接求三角形的面积； 3 若三角形没有水平或者竖直的边，则一般采用间接法，即构造一个矩形，用矩形面积减去三个直角三角形的面积即可得所求三角形的面积； 1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．    (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D． (1)求k值； (2)求的面积． 3．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积． 4．（2024·山东聊城·二模）如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是4和2，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（2024·山东济宁·一模）如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． (1)求反比例函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的倍，请求出点坐标； 【题型2】几何图形中三角形的面积 1 若直接求某三角形的面积，则该题往往要借助三角比、勾股定理、相似、全等来求底和高； 2 求直角三角形斜边上的高时，一般采用面积法，即等于两直角边的乘积比斜边； 3 若求三角形面积的最值问题时，一般设某边为x，写出S关于x的关系式，借助函数的思想求最值。 1．（2024·山东潍坊·二模）过山车常见于游乐园和主题乐园中，深受游客的喜爱．图是过山车的示意图，其中过山车的轨道近似看成，轨道的支撑，均与地面垂直，点为上一点，连接交于点，连接并延长与交于点，连接．已知为的直径且，．    (1)求证：是的切线； (2)当，的半径为，求的面积． 2．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    3．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 4．（2020·山东济宁·中考真题）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（   ） A．4 B．2 C．2 D．4 考向二：四边形的面积 【题型3】坐标系中四边形的面积 1 和三角形一样，在坐标系中求四边形的面积时，首先应尽量求出四个顶点的坐标； 2 若四边形是特殊的四边形，则可根据面积公式求解； 3 通常情况需要采用间接法求四边形的面积，一是连接一条对角线，求出所分成两个三角形的面积；二是在外围构造一个矩形，用大矩形的面积减若干直角三角形的面积即可。 1．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC． (1)求抛物线的表达式； (2)将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积； (3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标． 2．（2024·山东枣庄·二模）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图像经过点B、C．    (1)求反比例函数的关系式和点C的坐标； (2)求的面积． 【题型4】几何图形中四边形的面积 1 平行四边形面积=底×高； 2 矩形面积=长×宽； 3 菱形面积=底×高=对角线乘积的一半； 4 正方形的面积=边长2； 5 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2； 1．（2024·山东泰安·一模）如图．在中，对角线相交于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 2．（2024·山东济宁·一模）如图，平分，，，垂足分别为B，D.    (1)求证:； (2)连接，若，，求四边形的面积以及线段的长度. 3．（2022·山东济南·中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 ． 4．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    5．（2023·山东潍坊·中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？      6．（2025·山东枣庄·一模）【项目学习】 配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题． 例1．把代数式进行配方． 解：原式； 例2．求代数式的最大值． 解：原式， ∵，∴，∴，∴的最大值为． 【问题解决】 （1）若m，k，h满足，求的值． 【迁移应用】 （2）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含x的代数式表示矩形工件的面积S； ②运用“配方法”求S的最大值． 7．（2022·山东威海·中考真题）如图: (1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放． ①判断四边形AGCH的形状，并说明理由； ②求四边形AGCH的面积． (2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四边形AGCH的面积． 考向三：圆的面积 【题型5】求圆、扇形的面积 1 圆的面积=πr2； 2 扇形的面积= = ； 3 圆锥的侧面积= （r为底面圆的半径，l为母线长） 4 圆锥的表面积= ； 1．（2023·山东东营·中考真题）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（        ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在正五边形中，以点为圆心、为半径作．若阴影部分的面积是，则正五边形的边长为 ． 3．（2024·山东临沂·一模）实践活动课上，王虎同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是 ． 4．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【题型6】直接和差法求不规则图形的面积 1 ; 2 ； 3 4 ； 1．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 2．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中， ，分别以为直径作半圆围成两月牙形（图中阴影部分），过点C作分别交三个半圆于点D，E，F．则下列说法一定正确的是（   ）    A．四边形为矩形 B． C． D．两月牙形的面积等于四边形面积的 3．（2022·山东威海·一模）如图，在矩形ABCD中，∠A＝90°，AB＝10cm，AD＝6cm，以AB长为半径画弧，交AD的延长线于点E，以CB长为半径画弧，交CD于点H，两弧交于点B，则图中形成的阴影部分的面积是 ． 【题型7】转化法求不规则图形的面积 1 已知CD∥AB，则= 2 已知OE=EB，= 1．（2024·山东济南·三模）如图，以半圆上的点A为圆心，为半径作扇形．线段交弧的中点于，若，则阴影部分面积 （结果保留）．     2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，点是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧和弧都经过圆心，已知的半径为，则阴影部分的面积是 ． 3．（2024·山东济宁·一模）如图，在中，，平分交于点D，点E是斜边上一点，以为直径的经过点D，交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若若，， ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积(结果保留π) ． 4．（2023·山东济南·二模）如图，已知扇形的半径，，将扇形绕点A顺时针旋转得到扇形，则图中阴影部分的面积是 ． 5．（2023·山东济南·一模）如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心C是的中点，且扇形绕着点C旋转，半径交于点G，半径交于点H，则图中阴影面积等于（    ） A． B． C． D． 【题型8】构造和差法求不规则图形的面积 1 → ; 2 → 3 → 1．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，，，以C为圆心，以的长为半径作弧，交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留根号和） 2．（2024·山东济南·模拟预测）综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数图象上．以点为顶点，为边构造菱形；轴于点，且是的中点，连接；以点为圆心，为半径作弧． (1)求反比例函数的表达式； (2)求出图案中阴影部分的面积； (3)若点的坐标为，连接，在反比例函数的图象上找一点，在坐标平面内找一点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形，求出点的坐标． 3．（2022·山东东营·中考真题）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 4．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 5．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． (1)求证：为所在圆的切线； (2)求图中阴影部分面积．（结果保留） 6．（2023·山东济南·模拟预测）如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是 ． （建议用时：30 分钟） 1．（2022·山东济南·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．    (1)求a，k的值； (2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB． ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 3．（2024·山东聊城·三模）如图，反比例函数的图象与直线相交于点A，，与直线交于点B，直线与x轴、y轴分别交于点C，D，且点B的横坐标等于纵坐标的两倍，直线交x轴于点F． (1)分别求反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (2)求的面积． 4．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 5．（2024·山东日照·二模）直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（　　） A．27 B．10 C．23 D．32 6．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 7．（2024·山东青岛·二模）如图，四边形是正方形，，分别交对角线于点E，F，连接，．    (1)求证：四边形是菱形： (2)若，，求菱形的周长和面积． 8 9．（2024·山东青岛·一模）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等 活动过程 【了解场地】如图，测出墙AD与墙AB的夹角是135°； 【设计图纸】用篱笆围成一个梯形的菜园，梯形满足，，且BC边上留一个1米宽的门EF；   【准备材料】现有篱笆（虚线部分）的长度是15m． 解决问题 如何围篱笆才能使其所围梯形的面积最大？最大面积是多少平方米？ 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 10．（2022·山东滨州·中考真题）如图，菱形的边长为10， ，对角线相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作且边EF与直线DC相交于点F． (1)求菱形的面积； (2)求证． 11．（2024·山东烟台·一模）如图，将边长为的正六边形铁丝框（面积记为），变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为），则的值为（    ）    A． B． C．1 D． 12．（2024·山东德州·二模）在中，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中两部分的面积之差是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·山东济南·一模）如图的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形．以三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是曲边三角形．若等边三角形的边长为 2，则这个曲边三角形的面积是 ． 14．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．    (1)求证：是切线； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）． 15．（2024·山东泰安·二模）如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 16．（2022·山东临沂·中考真题）如图，AB是的切线，B为切点，直线AO交于C，D两点，连接BC，BD，过圆心О作BC的平行线，分别交AB的延长线、及BD于点E，F，G． (1)求证：； (2)若F是OE的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 17．（2025·山东东营·一模）如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求圆中阴影部分的面积． 18．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中，，为边上的点，以为直径作，交于点．连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 19．（2022·山东日照·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D． (1)求证：直线AB是⊙O的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 20．（2024·山东青岛·一模）如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，．    (1)求证：是的切线； (2)过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02 面积问题综合训练 中考数学中《面积问题综合训练》部分主要考向分为三类： 一、三角形的面积 二、四边形的面积 3、 圆的面积 面积问题在中考中出现的频率较高，而且往往和圆、函数相结合，难度中等。三角形的面积问题属于高频考点，常在反比例函数与一次函数的综合应用中出现，难度一般，大多数题目都是可以求出顶点的具体坐标，通过直接求底、高进而求面积或者间接法即可求解；有时也与二次函数相结合，一般是求面积的最值问题。求四边形的面积主要有两种考查方式，一是求菱形的面积，二是与函数相结合求四边形面积的最值。圆的相关面积是最常考的类型，一般是求不规则阴影的面积。 考向一：三角形的面积 【题型1】坐标系中三角形的面积 1 在坐标系中求三角形的面积时，一般应求出三个顶点的坐标； 2 若三角形有水平或者竖直的边，则以此为底，易求高，从而可直接求三角形的面积； 3 若三角形没有水平或者竖直的边，则一般采用间接法，即构造一个矩形，用矩形面积减去三个直角三角形的面积即可得所求三角形的面积； 1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．    (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； 由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出则的面积 数形结合求出x的范围即可. 【详解】（1）将代入双曲线， ∴, ∴双曲线的解析式为， 将点代入， ∴, ∴, 将代入, ， 解得， ∴直线解析式为； （2）∵直线向下平移至,    ∴, 设直线的解析式为将点代入 ∴解得 ∴直线的解析式为 ∴ 过点作交于, 设直线与轴的交点为，与轴的交点为, ∴, ∵, ∴, ∵, ， ， ∵， ， ， ∴的面积 （3）由图可知或时, 2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D． (1)求k值； (2)求的面积． 【分析】（1）在中，，，再结合勾股定理求出，，得到，再利用中点坐标公式即可得出，求出值即可； （2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据轴，选择为底，利用代值求解即可得出面积． 【详解】（1）解：根据题意可得， 在中，，， ， ， ，， ， 的中点是B， ， ； （2）解：当时，， ， ， ． 3．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积． 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）利用分解图形求面积法，利用，求面积即可． 【详解】（1）将A(2，-4)代入得到，即：． 反比例函数的表达式为：． 将B(-4，m)代入，得：， ， 将A，B代入，得： ，解得： 一次函数的表达式为：． （2）设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F． 令，则， ∴点D的坐标为(-2，0)， ∵过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C， ∴A(2，-4)关于原点的对称性点C坐标：(-2，4)， ∴点C、点D横坐标相同， ∴CDy轴， ∴ =12． 4．（2024·山东聊城·二模）如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是4和2，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F，根据反比例函数性质，得到，用k表示梯形的面积计算即可． 本题考查了反比例函数的性质，梯形的面积公式，等积变形，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵A，B的纵坐标分别是4和2， ∴，， ∵的面积是6，则k的值是 ∴， 解得， 故选B． 5．（2024·山东济宁·一模）如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． (1)求反比例函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的倍，请求出点坐标； 【分析】（）用待定系数法即可求解； （）分点在下方和在点上方两种情况解答即可求解； 本题考查了反比例函数综合运用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线的表达式得，， 解得， ∴一次函数的表达式为， 当时，， ∴， ∴， 将代入反比例函数表达式得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当点在下方时， 若的面积是面积的倍， 则， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得， ∴； 当在点上方时， 若的面积是面积的倍，则， ∴为的中点， ∵，， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ∴； ∴点的坐标为或． 【题型2】几何图形中三角形的面积 1 若直接求某三角形的面积，则该题往往要借助三角比、勾股定理、相似、全等来求底和高； 2 求直角三角形斜边上的高时，一般采用面积法，即等于两直角边的乘积比斜边； 3 若求三角形面积的最值问题时，一般设某边为x，写出S关于x的关系式，借助函数的思想求最值。 1．（2024·山东潍坊·二模）过山车常见于游乐园和主题乐园中，深受游客的喜爱．图是过山车的示意图，其中过山车的轨道近似看成，轨道的支撑，均与地面垂直，点为上一点，连接交于点，连接并延长与交于点，连接．已知为的直径且，．    (1)求证：是的切线； (2)当，的半径为，求的面积． 【分析】（）由为的直径可得，再由得到，即可得，即可求证； （）由得，进而得，，作于点，可得，即可根据求解； 此题考查了直径所对的圆周角是直角，平行线的性质，切线的判定，三角函数，解直角三角形，三角形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 作于点，则，    ∴，      ∴， ∴． 2．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，   ， ， ， ， 设的半径为，则，， ， ， ， 解得：， ， ， 的面积的最小值为， 故答案为：. 3．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥BC， 则， ∵AE=AE， ∴． （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 4．（2020·山东济宁·中考真题）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（   ） A．4 B．2 C．2 D．4 【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积． 【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H． ∵点D为△ABC的内心，∠A=60°， ∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°， 则∠BDH=60°， ∵BD=4，BD：CD=2：1 ∴DH=2，BH=2，CD=2， ∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2. 故选B. 考向二：四边形的面积 【题型3】坐标系中四边形的面积 1 和三角形一样，在坐标系中求四边形的面积时，首先应尽量求出四个顶点的坐标； 2 若四边形是特殊的四边形，则可根据面积公式求解； 3 通常情况需要采用间接法求四边形的面积，一是连接一条对角线，求出所分成两个三角形的面积；二是在外围构造一个矩形，用大矩形的面积减若干直角三角形的面积即可。 1．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC． (1)求抛物线的表达式； (2)将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积； (3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标． 【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再根据折叠的性质得出点B、C、D三点共线，继而通过证明，利用相似三角形的性质即可得出点D的坐标，根据四边形OADC的面积进行求解即可； （3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，分别求解即可． 【详解】（1）将，，代入抛物线，得 ，解得， 所以，抛物线的表达式为； （2）如图，过点D作DE⊥x轴于E， ， ∵，，， ， ， 为直角三角形且， 将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D， 此时，点B、C、D三点共线，BC=DC，， ， ， ， ， ， ∴四边形OADC的面积 ； （3） 当点P在x轴上方时， ∵， ∴轴， 点P的纵坐标为4，即， 解得或0（舍去） ； 当点P在x轴下方时，设直线CP交x轴于F， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， ∴设直线CF的解析式为， 即，解得， ∴直线CF的解析式为， 令，解得或0（舍去）， 当时， ； 综上，或． 2．（2024·山东枣庄·二模）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图像经过点B、C．    (1)求反比例函数的关系式和点C的坐标； (2)求的面积． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，平行四边形的性质： （1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，根据、互相平分求点C的坐标； （2）延长交x轴于点F，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据的面积求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， ， ， ∵反比例函数的图象经过点B， ， 反比例函数的关系式为； ∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点E， ，； 设，， ∵、互相平分， ，即， ， ； （2）解：如图，延长交x轴于点F，    设直线为 把B、C的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， ， 的面积 ． 【题型4】几何图形中四边形的面积 1 平行四边形面积=底×高； 2 矩形面积=长×宽； 3 菱形面积=底×高=对角线乘积的一半； 4 正方形的面积=边长2； 5 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2； 1．（2024·山东泰安·一模）如图．在中，对角线相交于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【分析】（）证明即可求证； （）由菱形的性质和勾股定理得，进而得，再根据菱形的面积计算公式计算即可求解； 本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2024·山东济宁·一模）如图，平分，，，垂足分别为B，D.    (1)求证:； (2)连接，若，，求四边形的面积以及线段的长度. 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握它们是解题的关键． （1）由角平分线的定义和垂直的定义求出，，结合已知条件，利用“”即可求证； （2）由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式求出，再根据四边形的面积，然后根据勾股定理得到，然后根据，求解即可． 【详解】（1）证明：∵ 平分 ， ， ， 在和中， ， ， ∴， （2）解：∵ ， ， 又∵， 平分 ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴．    3．（2022·山东济南·中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 ． 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：16． 4．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 5．（2023·山东潍坊·中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？      【分析】连接，分别交于点，交于点，先判断出四边形是矩形，从而可得，再判断出四边形和四边形都是矩形，从而可得米，，然后设矩形的面积为平方米，米，则米，米，利用矩形的面积公式可得关于的二次函数，最后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接，分别交于点，交于点，   ， ， 米， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形和四边形都是矩形， 米，， 和都是等腰直角三角形， ， ， 设矩形的面积为平方米，米，则米，米， 米， 米， ， 又，与之间的距离为2米，米， ， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 答：当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米． 6．（2025·山东枣庄·一模）【项目学习】 配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题． 例1．把代数式进行配方． 解：原式； 例2．求代数式的最大值． 解：原式， ∵，∴，∴，∴的最大值为． 【问题解决】 （1）若m，k，h满足，求的值． 【迁移应用】 （2）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含x的代数式表示矩形工件的面积S； ②运用“配方法”求S的最大值． 【分析】本题考查了配方法的应用，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）将所给式子配方求出，的值，即可求解； （2）①设的长度是厘米，的长度是厘米，根据矩形的性质可证明，根据相似三角形的性质求出与之间的函数关系式为，最后根据矩形的面积公式求解即可； ②将配方，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）由题意，∵， 又∵， ∴，， ∴； （2）①设的长度是x厘米，的长度是y厘米时， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为， ∴矩形面积； ② ，     故当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米． 7．（2022·山东威海·中考真题）如图: (1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放． ①判断四边形AGCH的形状，并说明理由； ②求四边形AGCH的面积． (2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四边形AGCH的面积． 【分析】（1）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；②设AH=CG=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题； （2）两个矩形的对角线相等，可得出EC的长，设AH=CG=x，利用勾股定理以及边长之间的关系可得出x的值，进而可求出面积． 【详解】（1）①∵四边形ABCD，四边形AECF都是矩形 ∴ ∴四边形AHCG为平行四边形 ∵ ∴ ∴ ∴四边形AHCG为菱形； ②设AH=CG=x，则DH=AD-AH=8-x 在中 即 解得 ∴四边形AHCG的面积为； （2）由图可得矩形ABCD和矩形AFCE对角线相等 ∴ ∴ 设AH=CG=x则HD=7-x 在中， 在中， ∵EC=EH+CH=8 ∴x=3 ∴四边形AGCH的面积为． 考向三：圆的面积 【题型5】求圆、扇形的面积 1 圆的面积=πr2； 2 扇形的面积= = ； 3 圆锥的侧面积= （r为底面圆的半径，l为母线长） 4 圆锥的表面积= ； 1．（2023·山东东营·中考真题）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（        ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据圆锥侧面积公式，进行计算即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意， ∴ 故选：A． 2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在正五边形中，以点为圆心、为半径作．若阴影部分的面积是，则正五边形的边长为 ． 【分析】本题考查了正多边形和圆、扇形的面积计算等知识，确定扇形的圆心角的度数后利用扇形面积计算公式列方程即可得到结论． 【详解】解：在正五边形中，， ∴阴影部分的面积为， 解得， 故答案为：6． 3．（2024·山东临沂·一模）实践活动课上，王虎同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是 ． 【分析】本题考查了扇形的面积，圆锥的侧面积，分别求出扇形的面积和圆锥的侧面积，然后相减即可求出阴影部分的面积． 【详解】解∶扇形的面积为， 圆锥的侧面积为， ∴阴影部分面积为， 故答案为：． 4．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型6】直接和差法求不规则图形的面积 1 ; 2 ； 3 4 ； 1．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【分析】由图可知：阴影部分的面积＝半圆CAB的面积-△ABC的面积+扇形ABC的面积-△ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出面积即可． 【详解】解：∵等腰中， ∴BC=2 ∴S扇形ACB，S半圆CABπ×（1）2，S△ABC=1； 所以阴影部分的面积＝S半圆CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC ． 故答案是：． 2．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中， ，分别以为直径作半圆围成两月牙形（图中阴影部分），过点C作分别交三个半圆于点D，E，F．则下列说法一定正确的是（   ）    A．四边形为矩形 B． C． D．两月牙形的面积等于四边形面积的 【分析】根据直径所对的圆周角为90度推出，结合可判断A选项；通过导角证明，可判断B选项；过点C作于点H，由“垂线段最短”得出，再证，根据相似三角形对应边成比例可判断C选项；根据勾股定理解，可得，结合圆的面积公式可判断D选项． 【详解】解：点D，F在以，为直径的半圆上， ， ， ， 四边形为矩形， 故A选项正确； ，， ，， ， ， 故B选项正确； 如图，过点C作于点H，取的中点M，连接，    由“垂线段最短”可得， ， ， ， 四边形为矩形， ，四边形为矩形， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 故选项C正确； 在中，由勾股定理得， ， ，， ， 两月牙形的面积 ， 故选项D错误， 故选． 3．（2022·山东威海·一模）如图，在矩形ABCD中，∠A＝90°，AB＝10cm，AD＝6cm，以AB长为半径画弧，交AD的延长线于点E，以CB长为半径画弧，交CD于点H，两弧交于点B，则图中形成的阴影部分的面积是 ． 【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论． 【详解】∵在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，∠A=∠C=90°， ∴CD=AB=10，AD=BC=6， ∴图中阴影部分的面积= ， 故答案为：． 【题型7】转化法求不规则图形的面积 1 已知CD∥AB，则= 2 已知OE=EB，= 1．（2024·山东济南·三模）如图，以半圆上的点A为圆心，为半径作扇形．线段交弧的中点于，若，则阴影部分面积 （结果保留）．     【分析】本题考查扇形面积的计算，垂径定理的推论，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用分割法解决问题． 连接，根据题意，可知，，再根据图形可知阴影部分的面积是扇形的面积减去空白部分的面积再加扇形的面积减的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】解：连接， ∵D是半圆弧的中点，经过圆心， ∴， ∵， ∴， 阴影部分的面积， 故答案为：． 2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，点是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧和弧都经过圆心，已知的半径为，则阴影部分的面积是 ． 【分析】综合运用折叠性质、圆的基本性质、勾股定理、垂径定理、三角函数特殊值判断角度推出所求阴影部分面积为圆心角的扇形面积，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：连接、、，作于点， 依题得，， 由折叠性质得， ， 中，， 又是半径， ， 平分弧与弦组成的图形， ， ， 即， 又， ， 弧与弦组成图形的面积弧与弦组成图形的面积； 同理可得，，弧与弦组成图形的面积=弧与弦组成图形的面积， ， 即所求阴影部分面积为圆心角的扇形面积， ． 故答案为：． 3．（2024·山东济宁·一模）如图，在中，，平分交于点D，点E是斜边上一点，以为直径的经过点D，交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若若，， ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积(结果保留π) ． 【分析】（1）连接，，由角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得，再根据切线的判定即可得出结论； （2）①连接，，由，，可得，，再由直角三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，根据角平分线的定义可得，利用锐角三角函数求得，再由直角三角形的性质可得； ②证明是等边三角形，可得，从而证明是等边三角形，可得垂直平分，再由，可得，从而可得，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，是的半径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴于点D， 又∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：①连接，， ∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∴； 即的半径为； ②∵平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（2023·山东济南·二模）如图，已知扇形的半径，，将扇形绕点A顺时针旋转得到扇形，则图中阴影部分的面积是 ． 【分析】连接，设交扇形的弧于点C，连接，交于点D，易得阴影部分面积=扇形面积-面积，从而问题求解． 【详解】解：如图，连接，设交扇形的弧于点C，连接，交于点D， ∵，， ∴， ∵旋转角为， ∴与共线， 即点在线段上， 由旋转性质知：，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，； 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴；　 故答案为：． 5．（2023·山东济南·一模）如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心C是的中点，且扇形绕着点C旋转，半径交于点G，半径交于点H，则图中阴影面积等于（    ） A． B． C． D． 【分析】先根据扇形面积公式求出两扇形面积，再过C分别作于M，于N，连接，再证明，可证得白色部分的面积等于对角线为的正方形得面积，进而可求得阴影部分的面积． 【详解】∵两个直角扇形的半径长均为1， ∴两个扇形面积和为， 过C分别作于M，于N，连接，则四边形是矩形， ∵C是的中点， ∴，即平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴白色部分的面积等于对角线为的正方形的面积， ∴空白部分面积为， ∴阴影部分面积为， 故选：A． 【题型8】构造和差法求不规则图形的面积 1 → ; 2 → 3 → 1．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，，，以C为圆心，以的长为半径作弧，交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留根号和） 【分析】连接，如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，则判断为等边三角形得到，所以，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：连接，如图， ，， ，，， ∴上的高， ，， 为等边三角形， ，， ， 阴影部分的面积 ． 故答案为： 2．（2024·山东济南·模拟预测）综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数图象上．以点为顶点，为边构造菱形；轴于点，且是的中点，连接；以点为圆心，为半径作弧． (1)求反比例函数的表达式； (2)求出图案中阴影部分的面积； (3)若点的坐标为，连接，在反比例函数的图象上找一点，在坐标平面内找一点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形，求出点的坐标． 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，反比例函数几何问题，矩形判定及性质，菱形性质及面积公式，扇形面积公式，待定系数法求一次函数解析式等． （1）根据题意把代入求出即可； （2）连接菱形的对角线，交轴于点，则轴，得到，继而求得菱形和扇形面积，继而得到本题答案； （3）设直线的表达式为，分情况讨论，当和时，待定系数法求出直线解析式即可求得本题答案． 【详解】（1）解：把代入得， 则反比例函数的表达式为； （2）解：连接菱形的对角线，交轴于点，则轴， ， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形，， ， ， 轴于点，且是的中点， ， ， ； （3）解：设直线的表达式为， 代入点和点，得：， ①当时，设直线的表达式为，代入点得， 联立， 得：（舍），， 当时，， ； ②当时，设直线的表达式为，代入点， 得：，联立，得：（舍）， 当时，， ， 综上所述，点坐标为或． 3．（2022·山东东营·中考真题）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及平分推导出，即可得出，从而推出，即证明得出结论； （2）过点O作于F，利用即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OC，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵于点D， ∴， ∴直线是的切线； （2）过点O作于F，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案； 对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案； 对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案． 【详解】（1）如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； （2）①，∵， ∴． 连接，过点作，交于点D， ∴，， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以的半径是2； ②∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点三点共线． 在中，， 在中，． 在中，上标点，． 在中， ． 5．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． (1)求证：为所在圆的切线； (2)求图中阴影部分面积．（结果保留） 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键． （1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果． （2）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接如图， 根据题意可知：， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∴， ∴为所在圆的切线． （2）过作于点， 由图可得：， 在中，，， ∴， ∴， 由题可知：扇形和扇形全等， ∴， 等边三角形的面积为：， ∴ 6．（2023·山东济南·模拟预测）如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是 ． 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，如图，连接，，作于点，由题意知，是等边三角形，则，，由勾股定理得，解得，则，根据计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，，作于点， 由题意知． ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴ ， 故答案为：． （建议用时：30 分钟） 1．（2022·山东济南·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．    (1)求a，k的值； (2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB． ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k； （2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可． 【详解】（1）解：将点代入，得，， 将点代入，得， 反比例函数的解析式为． （2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②分两种情况：设，． ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时，    ∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点， ∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点， ∴，， ∴． ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时，    ∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴，， ∴． 综上所述，符合条件的点坐标是和． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 3．（2024·山东聊城·三模）如图，反比例函数的图象与直线相交于点A，，与直线交于点B，直线与x轴、y轴分别交于点C，D，且点B的横坐标等于纵坐标的两倍，直线交x轴于点F． (1)分别求反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (2)求的面积． 【分析】本题考查反比例与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）利用，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， 反比例函数的表达式为， 联立：， 解得：或， ∴点A的坐标为． ∵由直线与反比例函数的图象交于点B，且B点横坐标等于纵坐标的两倍， 设， 则：， 解得：（负值舍去）； ∴． 设直线的函数表达式为， 把，代入， 得 解得 直线的函数表达式为． （2）同（1）可得：直线的函数表达式为， ． 由直线的函数表达式为， 当时，， 则， ． 4．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设， 由题意得：． ∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 故选：C 5．（2024·山东日照·二模）直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（　　） A．27 B．10 C．23 D．32 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，三角形的面积，点和圆的位置关系，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最大距离． 求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵点P是以为圆心，1为半径的圆上一点， 过C作于M，连接， ∴， ∴， 当P，C，M在一条直线时，最大，即的面积最大， 即， ∴面积的最大值， 故选：D． 6．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 7．（2024·山东青岛·二模）如图，四边形是正方形，，分别交对角线于点E，F，连接，．    (1)求证：四边形是菱形： (2)若，，求菱形的周长和面积． 【分析】（1）根据正方形的性质以及可证，所以，可证四边形BEDF是平行四边形，再证明，所以BE=DE，平行四边形是菱形； （2）连接，与交于点O，因为，，可求出，利用勾股定理可求出，周长等于，面积，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：连接，与交于点O，      ∵， ， ∵，， ， ， ∴菱形的面积， 在中，， ∴菱形的周长． 8 【分析】设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2，根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】解：设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2， 根据题意，得， ∴当x=24时，y有最大值为288， ∴鸡场面积的最大值为288m2． 9．（2024·山东青岛·一模）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等 活动过程 【了解场地】如图，测出墙AD与墙AB的夹角是135°； 【设计图纸】用篱笆围成一个梯形的菜园，梯形满足，，且BC边上留一个1米宽的门EF；   【准备材料】现有篱笆（虚线部分）的长度是15m． 解决问题 如何围篱笆才能使其所围梯形的面积最大？最大面积是多少平方米？ 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【分析】本题考查二次函数的应用．过点作，连接，四边形为矩形，设，则，进而表示出，，，利用二次函数的性质即可作答． 【详解】解：过点作，连接， ， ， 四边形为矩形， ， 设，则， 在中，， ， ，， ，， ， ， 当时，， 当米，米时，围篱笆才能使其所围梯形的面积最大，最大面积是平方米． 10．（2022·山东滨州·中考真题）如图，菱形的边长为10， ，对角线相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作且边EF与直线DC相交于点F． (1)求菱形的面积； (2)求证． 【分析】（1）根据菱形的性质可得AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，再根据题意及特殊角的三角函数值求出AC和BD的长度，根据菱形的面积＝对角线乘积的一半即可求解． （2）连接EC，设∠BAE的度数为x，易得EC=AE，利用三角形的内角和定理分别表示出∠EFC和∠ECF的度数，可得∠EFC=∠ECF，即EC=EF，又因为EC=AE，即可得到AE=EF． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD且AO=CO，BO=DO， ∵ ∴ ∵AB=10， ∴， ∴， ∴菱形的面积= （2）证明：如图，连接EC， 设∠BAE的度数为x， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，∠AED=∠CED，∠EAC=∠ECA=60°-x， ∵∠ABD=30°， ∴∠AED=∠CED =30°+x， ∴∠DEF=∠AEF-∠AED=120°-（30°+x）=90°-x ∵∠BDC=∠ADC=30° ∴∠EFC=180°-（∠DEF+∠BDC）=180°-（90°-x+30°）= x+60°， ∵∠CED =30°+x， ∴∠ECD =180°-（∠CED+∠BDC）=180°-（30°+x+30°）=120°- x， ∴∠ECF =180°-∠ECD =180°-（120°- x）= x+60°， ∴∠EFC=∠ECF， ∴EF=EC， ∵AE=CE， ∴． 11．（2024·山东烟台·一模）如图，将边长为的正六边形铁丝框（面积记为），变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为），则的值为（    ）    A． B． C．1 D． 【分析】由正六边形的性质的长的长，根据扇形面积公式与弧长公式推得扇形面积可表示为弧长半径，求出；再由正六边形性质，利用等边三角形性质、含的直角三角形性质及勾股定理求出相应线段长度，表示出，作比即可得结果． 【详解】解：，， ， 由题中正六边形变为扇形过程可知：的长度， ， 在正六边形中，，如图所示：   由正六边形性质可知是等边三角形， 在中，，，则， ， ， 故选：A． 12．（2024·山东德州·二模）在中，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中两部分的面积之差是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查本题考查扇形的面积，三角形的面积，含角的直角三角形的性质．过点作于，先求出,再求，，最后求差即可． 【详解】解：过点作于， ， ， ， ． 故选：D． 13．（2024·山东济南·一模）如图的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形．以三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是曲边三角形．若等边三角形的边长为 2，则这个曲边三角形的面积是 ． 【分析】本题考查了扇形面积的计算及等边三角形的性质．此题的关键是明确曲边三角形的面积就=三角形的面积+三个弓形的面积，然后再根据所给的等边三角形的边长求出三角形的面积和弓形的面积，从而求值． 【详解】解：∵等边三角形的边长为 2， ∴， ∴ ∴这个曲边三角形的面积为：， 故答案为：． 14．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．    (1)求证：是切线； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）． 【分析】（1）连接OC，证明，即可得到结论； （2）连接AC，证明，从而可得，再代入求值即可； （2）连接，证明，从而可得，，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接，        ∵点C是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴半径， ∴是切线； （2）连接，        ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，      ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 15．（2024·山东泰安·二模）如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，等腰三角形的性质，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．先证明，从而阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差． 【详解】解：令半圆的圆心为， 在中，,， ∴, ∵是半圆的直径， ∴，, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴,, ∴即， ∴π． 故选． 16．（2022·山东临沂·中考真题）如图，AB是的切线，B为切点，直线AO交于C，D两点，连接BC，BD，过圆心О作BC的平行线，分别交AB的延长线、及BD于点E，F，G． (1)求证：； (2)若F是OE的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OB，由切线的性质和圆周角定理可得，继而证明，再由平行线的性质，等腰三角形的性质得，，再利用三角形的内角和进行证明即可； （2）由题意得，由可得，继而可证明，，利用勾股定理可得的长度，根据阴影部分的面积，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1） 连接OB， AB是的切线，CD为直径， ， ， 即， ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2） F是OE的中点，的半径为3， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， 阴影部分的面积． 17．（2025·山东东营·一模）如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求圆中阴影部分的面积． 【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而根据等腰三角形的性质可得，即得，即可求证； （）如图，过作于，可得，，即得，最后根据解答即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过作于， ∵，， ∴，， ∵于， ∴， ∴， ∴，， ∴． 18．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中，，为边上的点，以为直径作，交于点．连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握切线的判定． （1）根据等腰三角形的性质和直角三角形两个锐角互余即可证明是的切线； （2）根据，，利用勾股定理求出半径，进而可以求阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过点E作， ，， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， ， 的的中点， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积等边三角形的面积． 19．（2022·山东日照·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D． (1)求证：直线AB是⊙O的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC=AB，求出∠A=90°-∠B=60°，根据直角三角形的性质得出BD=AD=AB，求出AD=AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可； （2）求出BD=AC=，BO=2DO，根据勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可． 【详解】（1）证明：连接OD，CD， ∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°， ∵D为AB的中点， ∴BD=AD=AB， ∴AD=AC， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠ADC=∠ACD=60°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCO=90°-60°=30°， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠DCO=30°， ∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°， 即OD⊥AB， ∵OD过圆心O， ∴直线AB是⊙O的切线； （2）解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB， 又∵AC=， ∴BD=AC=， ∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°， ∴∠BOD=60°，BO=2DO， 由勾股定理得：BO2=OD2+BD2， 即（2OD）2=OD2+（）2， 解得：OD=1（负数舍去）， 所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=． 20．（2024·山东青岛·一模）如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，．    (1)求证：是的切线； (2)过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【分析】此题主要考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是理解过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线． （1）连接，利用等边对等角求得，，利用三角形内角和定理求得，即可证明是的切线； （2）证明是的中位线，利用，根据扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， ， ， 在 中，由三角形内角和得： ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：由（1）得， 为直角三角形， ，， ，，， ， ，， ，， ， 图中阴影部分的面积为． 76 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $$