专题16 二次根式（竞赛培优讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题16 二次根式 真题重现 （2024九年级·全国·竞赛）已知正整数满足不等式 ，则的最大值与最小值之差为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了分数有理化，找出规律得出，进而得出答案． 【详解】解：， 原不等式可化为， 解得， ， ，． 故答案为：15． 考点突破 一、二次根式的性质与化简 【学霸笔记】 1. 二次根式的性质 （1）； （2）. 2. 二次根式运算法则 （1）； （2）. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）若，其中都是整数，则的值为（    ）． A． B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，代数式求值，化最简二次根式．先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而求出a、b、c的值，最后代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得： ， ∴． 故选：A． 【巩固】（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于的方程恰有两个实数解，则的取值范围为 ． 二、二次根式分母有理化 【典例】（八年级下·湖南长沙·竞赛）满足不等式的整数的个数是 ． 【答案】4 【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故1.6与5.24之间的整数有4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次根式的化简以及二次根式的估值，能熟练化简二次根是式解决本题的关键． 【巩固】（2024九年级·全国·竞赛）已知正整数满足不等式，则的取值共有 个． 三、二次根式中的整数和小数部分应用 【典例】（九年级·全国·竞赛）设，是的小数部分，是的小数部分，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要查了分母有理化，二次根式的加减，完全平方公式的应用．根据分母有理化可得，，再求出的整数部分为1，的整数部分为，从而得到的小数部分， 的小数部分，然后代入计算，即可． 【详解】解  ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴的整数部分为1，的整数部分为， ∵是的小数部分，是的小数部分， ∴，， ∴ 故答案为：1 【巩固】 （2024九年级·全国·竞赛）若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 模拟演练 1．已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 2．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（    ） A． B． C． D． 5． ． 6．已知，则化简为 ． 7．若设的整数部分为，小数部分为，则 8．先化简，再求值：，其中． 9．已知：，求的值． 10．已知等式成立，求的立方根和的平方根． 11．挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 12．已知的三边长分别为a，b，c，且满足． (1)求第三边c的取值范围； (2)求的周长l的取值范围； (3)若为等腰三角形，你能求出的周长吗？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题16 二次根式 真题重现 （2024九年级·全国·竞赛）已知正整数满足不等式 ，则的最大值与最小值之差为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了分数有理化，找出规律得出，进而得出答案． 【详解】解：， 原不等式可化为， 解得， ， ，． 故答案为：15． 考点突破 一、二次根式的性质与化简 【学霸笔记】 1. 二次根式的性质 （1）； （2）. 2. 二次根式运算法则 （1）； （2）. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）若，其中都是整数，则的值为（    ）． A． B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，代数式求值，化最简二次根式．先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而求出a、b、c的值，最后代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得： ， ∴． 故选：A． 【巩固】（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于的方程恰有两个实数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式的性质，两直线交点问题；设问题转化为与的图象恰好有两个不同的交点，画出函数图象，结合图形，即可求解． 【详解】解：设 ∴ 画函数图象如图，要使原方程恰好有两个实数解， 所以与的图象恰好有两个不同的交点， ∴或 解得：且， 故答案为：且． 二、二次根式分母有理化 【典例】（八年级下·湖南长沙·竞赛）满足不等式的整数的个数是 ． 【答案】4 【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故1.6与5.24之间的整数有4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次根式的化简以及二次根式的估值，能熟练化简二次根是式解决本题的关键． 【巩固】（2024九年级·全国·竞赛）已知正整数满足不等式，则的取值共有 个． 【答案】18 【分析】本题考查分母有理化，找出规律得出，即，进而可得出答案． 【详解】解： ， ∴ ， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的取值共有个， 故答案为：18． 三、二次根式中的整数和小数部分应用 【典例】（九年级·全国·竞赛）设，是的小数部分，是的小数部分，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要查了分母有理化，二次根式的加减，完全平方公式的应用．根据分母有理化可得，，再求出的整数部分为1，的整数部分为，从而得到的小数部分， 的小数部分，然后代入计算，即可． 【详解】解  ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴的整数部分为1，的整数部分为， ∵是的小数部分，是的小数部分， ∴，， ∴ 故答案为：1 【巩固】 （2024九年级·全国·竞赛）若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入，即可求解，本题考查了完全平方公式，根式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式． 【详解】， ， ，整数部分为， ， ， ， ，整数部分为， ， ， 故答案为：． 模拟演练 1．已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件，根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，以及二次根式有意义的条件得出且，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得且， 故选：D． 2．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简．根据根与系数的关系得到，可知，然后化简代入求值是解题的关键． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ，， ， 故选：B 3．的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键中熟练掌握幂的乘方法则和二次根式的性质与化简． 先根据乘方的意义，把、化成、，再求出它们的末位数字，从而可求解． 【详解】解：∵， 又∵，，，，，… ∴的末位数字依次为：2，4，8，6，2，4，…，每4个一循环， ∵， ∴的末位数字为6． ∵，，，，，… ∴的末位数字依次为：3，9，7，1，3，9，… ∵， ∴的末位数字为1． ∴的末位数字为：． 故选：D． 4．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的性质； 先根据数轴判断出，，，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，，， ∴原式， 故选：B． 5． ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键．把原式化为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．已知，则化简为 ． 【答案】 【分析】先判断出，再根据二次根式的性质化简原式即可．此题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 7．若设的整数部分为，小数部分为，则 【答案】/ 【分析】本题考查了复杂二次根式的化简，以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．先把化简后求出a和b的值，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】 ， 所以，代入得 ． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式及多项式乘多项式、整式的加减，熟练掌握并灵活运用它们是本题的关键． 分别利用完全平方和、平方差公式、多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 9．已知：，求的值． 【答案】12 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出，进而得出，再化简求值，代入即可得出答案． 【详解】解：由， ∴， ∴， ∴ ． 10．已知等式成立，求的立方根和的平方根． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，平方根和立方根，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据题意得到，，，得到，，再代入求的立方根和的平方根，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，， ∴，． ∴的立方根，的平方根． 11．挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及利用二次根式的性质化简，解题关键是掌握二次根式有意义的条件，挖掘出隐含条件． （1）由根号内的数据大于等于0，得，解得，再根据，去根号，化简求解即可； （2）由根号内的数据大于等于0，得，且，解得，将的值代入式子，得的取值范围，再对进行去根号，化简即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ， ， 解得． （2）解：由题意，得 ，且， 且， ， ，， ，， ． 12．已知的三边长分别为a，b，c，且满足． (1)求第三边c的取值范围； (2)求的周长l的取值范围； (3)若为等腰三角形，你能求出的周长吗？ 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查二次根式的非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系： （1）先根据非负性得出，再根据三角形第三边的取值范围即可得出答案； （2）根据周长三边之和，即可得出答案； （3）当时，可知不能构成三角形，当时，求出三边之和即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）， ． （3）时，三边长不能构成三角形，舍去． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$