重庆市第二外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

重庆市第二外国语学校 2024-2025学年上期数学（学科）试题参考答案 1、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D A C B D B A AD BCD AB 2、 填空题 题号 12 13 14 答案 三、解答题 15.解：（1） ···········3分 故BC边所在的直线方程为，即为··········6分 （2） AC的中M的坐标为， ··········8分 ··········10分 故DE的方程为，即为 ········13分 16.解（1）证明：取AB中点N，连接MN交 于F，连接EF 侧棱垂直于底面 三棱柱为直三棱柱 M为中点 MF为中位线 ······················3分 ， 又 四边形为平行四边形 ·························5分 又 ···············7分 （2）由题意知，两辆垂直 故以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 则 ·············10分 的一个法向量 ·············13分 记直线AB与的夹角为 ·············15分 17.解：（1）圆心到直线l：的距离： 设圆的半径为 r,则 ·············3分 所以， 故圆的方程为, ············6分 （2）记过点 的直线为l,则 ①当l的斜率不存在时，l的方程为率不存在时，显然 l与圆相切，符合题意·······9分 ②当l的斜率存在时，设l的方程为，即，由题意得， ，解得， l的方程为 综上所述：过点 的切线方程为或 ···········15分 18. (1)解：连接AC，则在中, ·······2分 取CD中点G，连接PG， 因为，则， 又平面平面ABCD，平面平面平面PDC， 则平面ABCD， ·········5分 (2) 过点做的平行线，则 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则 则易知平面 ·········9分 方法一： 直线l的斜率存在且不为0，设l，，，                      联立，整理得， ① 由求根公式得①的根为② 易知①式，则由韦达定理得： 则，即，， ```````11分` 直线CD的方程为，与联立得，即 故 故， ```````13分` 方法二： 直线l的斜率存在且不为0，设l，，，                      联立，整理得， 易知，则， 则， ······ 8分 ，即，， 直线CD的方程为，与联立得， 设点，到直线l的距离分别为，， 则，， ······ 11分 ， 四边形ACBD面积 ， ······ 15分 又，所以， 故四边形ACBD面积的取值范围为  ······ 17分 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市第二外国语学校 2024-2025学年上期数学（学科）试题 （全卷共4个大题 满分：150分 考试时间：120分钟） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知圆C：，则圆C的圆心坐标和半径分别为 (     ) A. B. C. D. 2.若直线，且l的方向向量为，平面a的法向量为，则m为 (     ) A.4 B. 1 C. D. 3.如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，， ，则 (     ) A. B. C. D. 4.已知直线l：，则下列结论正确的是 (     ) A. 直线l的倾斜角是 B. 若直线m：，则 C. 点到直线l的距离是 D. 过与直线l平行的直线方程是 5.如图，在平行六面体中，，，，， ，则线段的长为 (     ) A. B. C. 3 D. 5 6.阿基米德公元前287年-公元前212年不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积，若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为 (     ) A.   B.   C. D. 7.已知三棱锥，平面ABC，，，则异面直线PB与AC所成角的 余弦值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，R是直线上的点，满足平面，，且P、Q不是正方体的顶点，则的最小值是 (     ) A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9.已知：，则 (     ) A. 的直径为4 B. 直线与相切 C. 与圆 有两个交点 D. 与圆交点所在的直线方程为 10.已知正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是 (     ) A. 两条异面直线和所成的角为 B. 直线与平面ABCD所成的角等于 C. 点C到平面的距离为 D. 四面体的体积是 11.已知椭圆C：的上、下焦点分别为、，且焦距为2c，离心率为直线l：R与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有 (     ) A. 若的最小值为3c，则 B. △AB的周长为4 a C. 若AB的中点为M，则 D. 若，则e的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若直线与直线平行，则的值为__________. 13.设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，且，则E的离心率为 　 　． 14.根据生活经验，我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线三点确定一个平面”；学习了后续的知识后，我们将会知道，在空间直角坐标系xOy中，过点且一个法向量为的平面的方程为根据上述知识解决问题：现有一三脚架三条脚架可看为三条边，它们的交点为顶点放于桌面，建立合适空间直角坐标系xOy，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面的方程为，若三脚架顶点A的坐标为，则点A到平面的距离为____________. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分）已知 △ABC 的三个顶点分别为，求： （1）BC 边所在直线的方程； （2）AC 边的垂直平分线 DE 的方程． 16. （本小题15分） 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，， ，，D，E分别是线段和上的点，且，，M为线段 的中点． （1）求证：平面； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值． 17.（本小题15分）已知一圆C的圆心为，且该圆被直线l：截得的弦长为 （1）求该圆的方程； （2）求过点的该圆的切线方程． 18.（本小题17分）如图，在四棱锥中，, , ,,平面平面ABCD. （1）求证：平面PCD； （2）已知点M在棱PA上，且满足平面CDM与平面PCD的夹角的余弦值为，求点M 到平面 ABCD的距离. 19.（本小题17分）已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为，长轴长为，△为等腰直角三角形． （1）求椭圆的方程； （2）过左焦点且与坐标轴不垂直的直线l，与曲线C相交于A，B两点，AB的中点为M，直线OM与曲线C相交于C，D两点.求四边形ACBD面积的取值范围. 重庆市第二外国语学校 数学（学科）试题 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$