专题6.2 反比例函数的图象与性质（3大知识点4大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题6.2 反比例函数的图象与性质（3大知识点4大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的图象 1.反比例函数图象的画法（描点法） （1）列表； （2）描点； （3）连线. 2.图象的特点 （1）反比例函数的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 【特别提示】 双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点）又是轴对称图形（对猕轴是直线：y=x或直线y=-x）； 实际问题中反比例函数的图象，受目变量取值范围的限制，有时只是第一象限内的一支或其中一部分。 【知识点2】反比例函数的性质 y＝ （k为常数，） 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X 一、三（x，y同号）[ 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小. 在每个象限内，y随x的增大而增大. 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【特别提示】在描述反比例函数的噌减性时,必须指明在每一个家限内”.因为当k0（k0）时,整个函数不是y随x的增大而减小（增大）而是函数在每一个象限内,y随x的增大而减小（增大）,所以笼统地说对于函数当成y随x的增大而减小是错误的. 【知识点3】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为.如图①和②，|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 【特别提示】 （1）已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （2）越大，双曲线离原点越远. （3）求k的常用方法:①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；②设点法列方程求k值:化斜为直，把相似转化为坐标关系. 题型目录 【考点一】反比例函数的图象 【题型1】判断反比例函数的图象.................................................3 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式.......................................3 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围.....................................5 【题型4】判断反比例函数所在的象限.............................................5 【考点二】反比例函数的性质 【题型5】反比例函数的对称性...................................................5 【题型6】判断反比例函数的增减性...............................................6 【题型7】由反比例函数的增减性求参数...........................................6 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小.................................7 【考点三】比例系数k的几何意义 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积...........................................8 【题型10】由图形面积求比例系数................................................9 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型11】直通中考...........................................................10 【题型12】拓展延伸...........................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】反比例函数的图象 【题型1】判断反比例函数的图象 【例1】（24-25九年级上·广西钦州·期末）已知反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数表达式，并在平面直角坐标系中直接画出该图象； （2）若点在该函数图象上，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·四川广元·期末）定义运算“※”为：，如：，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式 【例2】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中,点,,分别位于三个不同象限,若反比例函数的图像经过其中两点,求反比例函数的表达式和的值． 【变式1】（23-24九年级下·江苏淮安·期中）如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·河北邯郸·二模）如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值： ． 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（k为常数，且）的图象在第一、三象限． （1）求k的取值范围； （2）若点在该反比例函数的图象上，求k的值 【变式1】（24-25九年级上·湖南益阳·期末）若反比例函数的图象位于一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是 ． 【题型4】判断反比例函数所在的象限 【例4】（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图为反比例函数的部分图象． （1）由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； （2）将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）反比例函数的图象经过点，则它的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【变式2】（2023·浙江台州·三模）已知点和在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是 ． 【考点二】反比例函数的性质 【题型5】反比例函数的对称性 【例5】（22-23八年级下·上海嘉定·开学考试）如图，正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点．求点的坐标．    【变式1】（23-24九年级上·山东日照·期中）直线（为常数且与双曲线的交点为，，则的值为（    ）． A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是 ． 【题型6】判断反比例函数的增减性 【例6】（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求的取值范围； （2）若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列函数中，函数值随自变量的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ． 【题型7】由反比例函数的增减性求参数 【例7】（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知反比例函数（k为常数，）． （1）若点在这个函数的图象上，则k的值为_______． （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． （3）若，试判断点，是否在这个函数的图象上． 【变式1】（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数，直线都经过平面内一个定点．反比例函数的图象与直线交于点和另外一点．当时，的取值范围为 ． 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小 【例8】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1． （1）求反比例函数的表达式； （2）请根据图象直接写出当时，的取值范围； （3）点，，都在反比例函数的图象上，请直接比较，，的大小． 【变式1】（2025·天津河西·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是 ．（请用“<”号连接） 【考点三】比例系数k的几何意义 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积 【例9】（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度，，经过A，C两点的直线解析式为．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求双曲线的解析式和点C的坐标； （2）求的面积． 【变式1】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知A，B是反比例函数图象上的两点，轴，交x轴于点C．动点P从点A出发，沿A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作轴于点Q．设的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）点在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的3个阴影部分矩形面积从左到右依次记为，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型10】由图形面积求比例系数 【例10】（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若． （1）求点的坐标及的值； （2）若，求一次函数的表达式． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在函数和的图象上，轴，点C是y轴上一点，线段与x轴正半轴交于点D.若的面积为12，，则k的值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2】（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型11】直通中考 【例1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【例2】（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 【题型12】拓展延伸 【例1】（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接． （1）求直线的解析式； （2）若的面积为8，求点D的坐标； （3）若，求k的值． 【例2】（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 反比例函数的图象与性质（3大知识点4大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的图象 1.反比例函数图象的画法（描点法） （1）列表； （2）描点； （3）连线. 2.图象的特点 （1）反比例函数的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 【特别提示】 双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点）又是轴对称图形（对猕轴是直线：y=x或直线y=-x）； 实际问题中反比例函数的图象，受目变量取值范围的限制，有时只是第一象限内的一支或其中一部分。 【知识点2】反比例函数的性质 y＝ （k为常数，） 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X 一、三（x，y同号）[ 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小. 在每个象限内，y随x的增大而增大. 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【特别提示】在描述反比例函数的噌减性时,必须指明在每一个家限内”.因为当k0（k0）时,整个函数不是y随x的增大而减小（增大）而是函数在每一个象限内,y随x的增大而减小（增大）,所以笼统地说对于函数当成y随x的增大而减小是错误的. 【知识点3】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为.如图①和②，|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 【特别提示】 （1）已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （2）越大，双曲线离原点越远. （3）求k的常用方法:①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；②设点法列方程求k值:化斜为直，把相似转化为坐标关系. 题型目录 【考点一】反比例函数的图象 【题型1】判断反比例函数的图象.................................................3 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式.......................................5 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围.....................................7 【题型4】判断反比例函数所在的象限.............................................8 【考点二】反比例函数的性质 【题型5】反比例函数的对称性..................................................10 【题型6】判断反比例函数的增减性..............................................12 【题型7】由反比例函数的增减性求参数..........................................14 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小................................16 【考点三】比例系数k的几何意义 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积..........................................18 【题型10】由图形面积求比例系数...............................................21 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型11】直通中考...........................................................25 【题型12】拓展延伸...........................................................27 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】反比例函数的图象 【题型1】判断反比例函数的图象 【例1】（24-25九年级上·广西钦州·期末）已知反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数表达式，并在平面直角坐标系中直接画出该图象； （2）若点在该函数图象上，求的值． 【答案】（1），图见分析;（2）或 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质、画函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征． （1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值． 解：（1）解：反比例函数的图象经过． 将代入，得． 反比例函数解析式为． 画出该图象如图所示； （2）解：点在这个函数图象上， 把代入得，整理得， 解得：或． 【变式1】（24-25九年级上·四川广元·期末）定义运算“※”为：，如：，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象，根据新定义可得的函数解析式，分x大于0与x小于0两种情况化简函数解析式，作出函数图象即可． 解：当时，函数解析式为， 当时，函数解析式为， 图象大致为 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 解：由图可知，当时，． 故答案为：． 【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式 【例2】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中,点,,分别位于三个不同象限,若反比例函数的图像经过其中两点,求反比例函数的表达式和的值． 【答案】, 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式．根据已知条件得到在第一象限,可知点一定在第二象限,因点为第四象限点坐标,又因反比例函数经过其中两点,于是得到反比例函数解析式和的值． 解：∵点,分别在第一、四象限,点不可能在第三象限, ∴点在第二象限,且反比例函数的图像经过,两点, ∴设反比例函数的表达式为, 把代入中: 即,, ∴反比例函数的表达式为, ∴把代入中, 即, ∴． 【变式1】（23-24九年级下·江苏淮安·期中）如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象；能够通过函数的图象得出结论是解题的关键．由图象可知，当时，函数值不存在，当时，，当时，随的增大先增大后减小；据此即可判断． 解：A、，当时，随的增大而减小，与图象不符，不符合题意； B、，满足图象特点，符合题意； C、，当时，，与图象不符，不符合题意； D、，当时，，与图象不符，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2024·河北邯郸·二模）如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值： ． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，先求出经过点的反比例函数的解析式分别为，结合已知两点分布在曲线的两侧，即可作答． 解：设经过点的反比例函数的解析式分别为 把两点分别代入，得出 ∴ 即经过点的反比例函数的解析式分别为 ∵已知两点分布在曲线的两侧，、 ∴ 则（答案不唯一） 故答案为： 【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（k为常数，且）的图象在第一、三象限． （1）求k的取值范围； （2）若点在该反比例函数的图象上，求k的值 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质． （1）根据图象在第一、三象限得到，即可求出k的取值范围； （2）把点代入反比例函数解析式即可求出k的值． 解：（1）解：∵反比例函数（k为常数，且）的图象在第一、三象限 ∴， ∴ （2）∵点在该反比例函数的图象上， ∴， 解得 【变式1】（24-25九年级上·湖南益阳·期末）若反比例函数的图象位于一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象位于第一、三象限，则，是解题的关键． 根据反比例函数的性质，即可求出答案． 解：∵反比例函数图象位于第一、三象限， ． 故选D． 【变式2】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例函数的图像得到，即可求出答案． 解：已知反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 解得， 故答案为：． 【题型4】判断反比例函数所在的象限 【例4】（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图为反比例函数的部分图象． （1）由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； （2）将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 【答案】（1），不在；（2） 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据所给函数图象，可得出的正负；由函数图象所位于的象限即可解决问题． （2）根据反比例函数图象的对称性即可解决问题． 解：（1）解：由所给函数图象可知， 该反比例函数位于第一、三象限， 所以． 点在第二象限， 所以点不在该反比例函数的图象上． 故答案为：，不在； （2）解：因为反比例函数是中心对称图形，且对称中心为坐标原点， 所以将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转即可得到未知部分的函数图象． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）反比例函数的图象经过点，则它的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象、求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法和反比例函数的图象是解题关键．将点代入求出反比例函数的解析式，由此即可得． 解：由题意，将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴这个反比例函数的图象位于第二、四象限， 故选：B． 【变式2】（2023·浙江台州·三模）已知点和在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 解：∵时，， ∴这两点分别位于两个象限，且位于第二、四象限， ∴， 故答案为：． 【考点二】反比例函数的性质 【题型5】反比例函数的对称性 【例5】（22-23八年级下·上海嘉定·开学考试）如图，正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点．求点的坐标．    【答案】 【分析】把代入反比例函数解析式可得点A坐标，然后根据点和点关于原点对称可得点的坐标． 解：把点代入得：， ∴， ∵正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点， ∴点和点关于原点对称， ∴． 【点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象和性质，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握正比例函数与反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·山东日照·期中）直线（为常数且与双曲线的交点为，，则的值为（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，掌握双曲线上的两点关于原点成中心对称是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特点即可解答． 解：∵直线（为常数且与双曲线的交点为，， ∴，关于原点对称， ∴， 又∵点A、点B在双曲线上， ∴， ∴． 故选B． 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形是关键． 作第一象限的角平分线，根据图象对称性得到点、关于直线对称，作轴，垂足为点，可得到，利用解直角三角形得到点坐标，继而求出值． 解：如图，作第一象限的角平分线，则反比例函数在第一象限分支关于直线对称， ， 点、关于直线对称， ， 作轴，垂足为点， ， ， ，， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 【题型6】判断反比例函数的增减性 【例6】（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求的取值范围； （2）若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，求解即可； （2）由反比例函数的图象可得当时，y随x的增大而增大，结合即可得解． 解：（1）解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴． ∴． （2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列函数中，函数值随自变量的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数、一次函数、增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数性质． 根据反比例函数、一次函数的增减性即可得到答案． 解：A、函数，当时，随自变量的值增大而减小，或当时，随自变量的值增大而减小，故A错误，不符合题意； B、函数，，随自变量的值增大而减小，故B正确，符合题意； C、函数，当时，随自变量的值增大而增大，或当时，随自变量的值增大而增大，故C错误，不符合题意； D、函数，，随自变量的值增大而增大，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2025·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题意判断出该反比例函数的增减性，进而即可求解． 根据，，得y随x的增大而减小，得函数图象在第三象限，即得的取值范围． 解：∵点都在反比例函数的图象上，且，， ∴时，y随x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 【题型7】由反比例函数的增减性求参数 【例7】（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知反比例函数（k为常数，）． （1）若点在这个函数的图象上，则k的值为_______． （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． （3）若，试判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】（1）5；（2）；（3）点B在，点C不在，见分析 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内． （1）直接把点代入反比例函数解析式中，求出k的值即可； （2）根据函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大可得，解得k的取值范围； （3）当时，求出反比例函数的解析式，把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证． 解：（1）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得； 故答案为：5； （2）解：函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大， ， 解得． （3）解：当时，该反比例函数的解析式为． 将点代入，得，满足反比例函数解析式， 点B在函数图象上． 将点代入，得，不满足反比例函数解析式， 点C不在函数图象上． 【变式1】（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，反比例函数的图象和性质，求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于的不等式，利用反比例函数的图象和性质，进行求解即可． 解：解，得：， ∵不等式组无解， ∴，，， 令， ∵， ∴反比例函数的图象在第四象限，随着的增大而增大， 当时，， ∴当时，； 故选B． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数，直线都经过平面内一个定点．反比例函数的图象与直线交于点和另外一点．当时，的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一次函数的性质以及反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键． 根据反比例函数的性质即可判定点在第一象限或第三象限两种情况，分别讨论即可． 解： ， 当时，， 直线经过平面内一个定点， 反比例函数的图象经过点， ； 即， 若点在第一象限，当时，， 若点在第三象限，当时，， 综上，当时，或， :故答案为故答案为：或． 【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小 【例8】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1． （1）求反比例函数的表达式； （2）请根据图象直接写出当时，的取值范围； （3）点，，都在反比例函数的图象上，请直接比较，，的大小． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）根据待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）根据反比例函数的增减性判断即可． 解：（1）解：把，代入，得， ∴交点坐标为， 把代入，得， ∴， ∴； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴另一个交点为， 观察图象，当时，x的取值范围是或； （3）解：∵中，， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴，即． 【变式1】（2025·天津河西·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可． 解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴点A在第三象限， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是 ．（请用“<”号连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会通过反比例系数k的正负判断函数的增减性． 由反比例函数的增减性求得结果． 解：∵任何数的平方都大于等于， ∴，则 ， ∴， 反比例函数在第一，三象限内随的增大而减小， ∵点，，，横坐标，，， ∴这三个点都在第一象限，且， ∴． 故答案为：． 【考点三】比例系数k的几何意义 【题型9】已知比例系数求特殊图形面积 【例9】（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度，，经过A，C两点的直线解析式为．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求双曲线的解析式和点C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）；点C的坐标为；（2） 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，反比例函数比例系数k的几何意义，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先根据题意求出，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式；求出，则点C的横坐标为4，据此求出点C的坐标即可； （2）连接，根据反比例函数系数k的几何意义由，，据此计算即可求解． 解：（1）解：∵点A和B的刻度分别为和， ∴， ∵轴， ∴， 把代入得，，解得， ∴反比例函数解析式为； ∵直尺的宽度为，， ∴， ∴点C的横坐标为4， 当时，， ∴点C的坐标为； （2）解：连接， ，， ． 【变式1】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知A，B是反比例函数图象上的两点，轴，交x轴于点C．动点P从点A出发，沿A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作轴于点Q．设的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的种类，从而确定其图象． 分别判断当点P在上运动时，点P在上运动时的图像变化趋势，即可作出选择． 解：当点P在上运动时，此时的面积（），保持不变； 当点P在上运动时，设路线的总路程为l，点P的速度为b， ∴， ∵l，，b均是常数，所以S与t成一次函数关系． 综上所述，S关于t的函数图象大致为A选项， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）点在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的3个阴影部分矩形面积从左到右依次记为，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上性质是解题的关键． 利用反比例函数系数的几何意义，及求解，然后利用列方程求解即可得到答案． 解：由题意知：矩形的面积， ， ， 同理：矩形，矩形的面积都为， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【题型10】由图形面积求比例系数 【例10】（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若． （1）求点的坐标及的值； （2）若，求一次函数的表达式． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数图象的交点坐标，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，注意反比例函数中的几何意义的应用． （1）在直线中令可求得点坐标；连接，得，根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解； （2）利用勾股定理求出，设，代入反比例函数，求出点坐标，再利用待定系数法，即可求解． 解：（1）解：在中，令可得，解得， 点坐标为； 连接， 轴， 轴， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的图象在二、四象限， ，即：； （2）点， ， 又， 在中，， 轴， 设， ，即，即， 把代入，得：，解得：， ∴一次函数的解析式为：． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在函数和的图象上，轴，点C是y轴上一点，线段与x轴正半轴交于点D.若的面积为12，，则k的值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】设与y轴的交点为E，连接、．由且与高相同可得，由此可求得．由，根据反比例函数k的几何意义即可求出k的值． 本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积的计算方法是解题关键． 解：设与y轴的交点为E，连接、， ， ， ． ∵轴， ， ， 解得， （图象经过第一象限）， ∴， 故选：B． 【变式2】（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数的几何意义可得，然后根据计算即可得． 解：∵过点分别作轴于点，轴于点， ∴，四边形是矩形， ∵反比例函数的图象分别与，相交于两点， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型11】直通中考 【例1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 【例2】（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 【答案】 【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值． 解：如图，连结、，    ∵轴， ∴． ∴． ∵， ∵， ∴， ∵图象位于第一象限，则， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键． 【题型12】拓展延伸 【例1】（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接． （1）求直线的解析式； （2）若的面积为8，求点D的坐标； （3）若，求k的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）利用中心对称的性质可得，则可得，表示出坐标，再代入反比例函数解方程即可； （3）列方程得到，表示出点的坐标，根据即可得到点的坐标，代入反比例函数即可解答． 解：（1）解：把代入，可得， ，即， ， ， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：延长与双曲线交于点E， 点关于原点中心对称， ， , 设点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， 设，则点的横坐标为， 把代入直线解析式可得， ， 点都在双曲线上， ， 解得， ； （3）解：列方程， 整理得， 直线与双曲线交于点C、D， 点的横坐标即为方程的两个解， ， 设，则，且， 把代入直线解析式可得， ， ， ， ， ， 解得（舍去）， ， 把代入反比例函数可得， 【例2】（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，、、或 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论； （2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解； （3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解． 解：（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的坐标为也在上， ， 的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上， 代入可得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，可得，解得 ， ， 的坐标为，的坐标为， ； （3）解：①若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图， 设点， ，， 是直角三角形， ， 即， 解得， 点的坐标为． ③当时，如图， 当点在轴上时，设点， ，， 是直角三角形， ， ， 解得， 点的坐标为． ④若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为． 综上可得点的坐标为、、或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$