期中数学常考点分类专题（考查范围：1～3章）（拓展培优篇）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

专题 2024-2025学年八年级下学期期中数学常考点分类专题（拓展培优篇） （考查范围：二次根式；一元二次方程；数据分析初步） 第一部分【考点目录】 篇一：选择填空 第1章 二次根式 【考点1】二次根式的意义..............................................................1 【考点2】二次根式的性质..............................................................1 【考点3】二次根式运算与完全平方公式综合..............................................2 【考点4】二次根式运算解决几何问题....................................................2 第2章 一元二次方程. 【考点5】一元二次方程的根与系数关系整体思想求值......................................3 【考点6】根的判别式与根与系数关系综合................................................3 【考点7】解一元二次方程与几何结合求值................................................4 【考点8】解一元二次方程与函数结合求值................................................4 【考点9】一元二次方程的应用..........................................................5 第3章 数据的分析初步 【考点10】平均数与加权平均数.........................................................6 【考点11】中位数与众数...............................................................6 【考点12】方差与标准差...............................................................7 篇二：计算、化简求值、证明压轴题 【考点13】二次根式的运算、化简、求值.................................................7 【考点14】二次根式的规律探究.........................................................7 【考点15】解一元二次方程.............................................................8 【考点16】根的判别式和根与系数关系...................................................8 【考点17】一元二次方程的应用........................................................10 【考点18】数据的分析初步............................................................11 第二部分【题型梳理与方法展示】 篇一：选择填空 第16章 二次根式 【考点1】二次根式的意义 1．（22-23八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知x是实数，且，则的值是（    ） A． B． C． D．或或 2．（22-23八年级下·吉林松原·期中）若与都是二次根式，那么 ． 3．（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则a的值为 ． 【考点2】二次根式的性质 1．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）若，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简： ； （2）若，求的取值范围： ． 3．（22-23八年级下·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【考点3】二次根式运算与完全平方公式综合 1．（2025·广东广州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）的整数部分是 ． 3．（22-23八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）设，则 ． 【考点4】二次根式运算解决几何问题 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，点C，D在直线上，直线，和都是等腰直角三角形，连接．若，．则的面积为 ． 2．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，，且点M在线段上．若，则的长为（    ）    A．9 B． C． D． 3．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则 ． 第2章 一元二次方程 【考点5】一元二次方程的根与系数关系整体思想求值 1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知方程的两根分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是 ． 3．（21-22九年级上·广东茂名·阶段练习）如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 【考点6】根的判别式与根与系数关系综合 1．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知为正整数，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于x的方程x2-kx-2k=0的两个根的平方和为12，则k= ． 3．（19-20九年级·浙江杭州·期末）已知关于的方程有两个实根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则 ． 【考点7】解一元二次方程与几何结合求值 1．（2025·安徽·一模）如图，为等腰直角三角形，，是上一点，交直线于点，且，，点为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为，过点作轴，交直线于点，交轴于点．若，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，点E在边上，连接，，．若，则的长为 ．    【考点8】解一元二次方程与函数结合求值 1．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线上，点在直线下方，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·开学考试）五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和（千米）与小辉家出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发 分钟到达澳门口岸． 3．（23-24九年级上·江苏南通·开学考试）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为 ． 【考点9】一元二次方程的应用 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某商店销售一款连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．现商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．如果商店想要每天盈利1200元，那么每条连衣裙应降价 元． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，发现每天的销售量（件）与销售单价（元）存在一次函数关系：．当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过40元/件，则销售单价定为 时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大为 ．（利润销售总价成本总价） 第3章 数据的分析初步 【考点10】平均数与加权平均数 1．（2022·湖南长沙·一模）A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（  ） A．-3 B．4 C．5 D．9 2．（2024七年级·全国·竞赛）某次考试满分是100分，参加了这次考试． A：“我考了第一名．” ：“我考了91分．” ：“我的分数是和的平均分．” ：“我的分数恰好是五人的平均分．” ：“我比多得3分．” 如果五人说的都是真话，且分数都是整数，那么A的分数是 分． 3．（21-22八年级上·福建泉州·期末）某单位设有6个部门，共153人，如下表： 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共10道题，每小题10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如下表： 分数 100 90 80 70 60 50及以下 比例 5 2 1 1 1 0 综上所述，未能及时参与答题的部门可能是 ． 【考点11】中位数与众数 1．（19-20八年级下·浙江温州·阶段练习）有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为（   ） A．25 B．30 C．35 D．40 2．（20-21八年级下·福建福州·期中）我们把三个数的中位数记作，例如，当时，x的取值范围是 . 3．（2019·湖南长沙·模拟预测）已知 5 个数据：8，8，x，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是   ． 【考点12】方差与标准差 1．（19-20八年级上·全国·单元测试）一组数据的方差为，将这组数据中每个数据都除以3，所得新数据的方差是（    ） A． B．3 C． D．9 2．（2023九年级·广西柳州·专题练习）五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 3．（2023·江苏宿迁·二模）若非负数a，b，c满足，则数据a，b，c的方差的最大值是 ． 篇二：计算、化简求值、证明压轴题 【考点13】二次根式的运算、化简、求值 1．（23-24九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知 ．  求的值． 2．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）计算 （1）； （2）（）． 3．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【考点14】二次根式的规律探究 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算∶_____． （2）计算：； （3）若，求的值． 2．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 3．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． （1）写出第4个式子______； （2）写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． （3）计算． 【考点15】解一元二次方程 1．（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程： 2．（2024九年级上·全国·专题练习）解方程 3．（2024·上海·模拟预测）求：方程所有解的和与方程所有解的和的比值 【考点16】根的判别式和根与系数关系 1．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值． （2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得． 根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 2．（2018·四川乐山·一模）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； （2）求使的值为整数的实数k的整数值． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【考点17】一元二次方程的应用 1．（2023九年级·重庆·学业考试）春节是中国人最具节日气氛的日子，春节旅游作为一种时尚的生活方式，被越来越多的人接受．春节期间，甲、乙两支队伍计划自驾去某地旅游．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往同一目的地汇合．甲队走路线，全程1200千米，乙队走路线，全程1500千米．由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的1.5倍，这样乙队可以比甲队提前1天到达目的地． （1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？ （2）在他们的旅行计划中，甲队最开始计划有10个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有a个人加入队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．乙队每人每天的平均花费始终为200元．最终甲、乙两队旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共花费28500元，求的值． 2．（18-19九年级上·北京海淀·阶段练习）在一块长，宽为的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． （）小芳说，‘我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同’，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度． （）小华说，‘我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形荒地的四条边上’，请你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩形，在图和图中画出相应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理由． 3．（2016·浙江宁波·一模）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%． ①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？ ②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？ 【考点18】数据的分析初步 1．（2024·安徽蚌埠·一模）每年的月日是中国的全国法制宣传日，也是国家宪法日．某中学为了提高学生对宪法知识的了解，在全校开展了主题为“学宪法知识，做守法公民”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：组为，组为，组为，组为，组为，组为，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图表信息解答以下问题： （1）本次调查随机抽取了 名参赛学生的成绩．在扇形统计图中 组所在扇形的圆心角是 度； （2）补全频数分布直方图，并直接写出学生竞赛成绩的中位数落在______组； （3）若取每组成绩的中点值作为该组的平均成绩（例如组的中点值为： ）试求抽取的该部分参赛学生的平均成绩． 2．（2024·陕西西安·一模）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息： 八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88． 九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八 87 b 98 60% 九 a 86 c 80% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，___________，____________． （2）该校八、九年级共600人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八，九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数． 3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）第19届亚运会于今年9月23日在杭州开幕，中国将再次因体育盛会引来全球目光，掀起运动浪潮．某社区就亚运会相关知识开展知识竞赛，从甲、乙两个社区各抽取20人，记录下他们的得分（单位：分），并进行整理和分析（得分用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 甲社区20人的得分：47，48，52，56，68，68，71，76，83，83，83，84，85，86，87，90，90，91，93，95； 乙社区20人的得分在C组中的分数为：80，81，83，84，84，85，87，87； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 社区 平均数 中位数 众数 甲 76.8 83 b 乙 76.8 a 79    根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个社区在此次知识竞赛活动中表现更好．请说明理由； （3）若甲、乙两社区共有720人参与活动，请估计甲、乙两个社区得分在D组的一共有多少人？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2024-2025学年八年级下学期期中数学常考点分类专题（拓展培优篇） （考查范围：二次根式；一元二次方程；数据分析初步） 第一部分【考点目录】 篇一：选择填空 第1章 二次根式 【考点1】二次根式的意义..............................................................1 【考点2】二次根式的性质..............................................................3 【考点3】二次根式运算与完全平方公式综合..............................................5 【考点4】二次根式运算解决几何问题....................................................7 第2章 一元二次方程. 【考点5】一元二次方程的根与系数关系整体思想求值.....................................11 【考点6】根的判别式与根与系数关系综合...............................................13 【考点7】解一元二次方程与几何结合求值...............................................15 【考点8】解一元二次方程与函数结合求值...............................................19 【考点9】一元二次方程的应用.........................................................23 第3章 数据的分析初步 【考点10】平均数与加权平均数........................................................26 【考点11】中位数与众数..............................................................29 【考点12】方差与标准差..............................................................31 篇二：计算、化简求值、证明压轴题 【考点13】二次根式的运算、化简、求值................................................33 【考点14】二次根式的规律探究........................................................36 【考点15】解一元二次方程............................................................40 【考点16】根的判别式和根与系数关系..................................................43 【考点17】一元二次方程的应用........................................................48 【考点18】数据的分析初步............................................................51 第二部分【题型梳理与方法展示】 篇一：选择填空 第16章 二次根式 【考点1】二次根式的意义 1．（22-23八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知x是实数，且，则的值是（    ） A． B． C． D．或或 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件可知，即，再由可得x的值，然后代入计算即可． 解：∵， ∴且，解得：， ∴． 故选B． 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义和代数式为0的条件，解得x的取值范围后得到x的值是解题的关键． 2．（22-23八年级下·吉林松原·期中）若与都是二次根式，那么 ． 【答案】0 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而即可求解． 解：∵与都是二次根式， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的应用，由二次根式有意义的条件得出，从而可得，化简绝对值并整理可得，计算即可得解． 解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴式子可化为， 整理可得， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点2】二次根式的性质 1．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）若，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式有意义，得到，由已知条件得到，即可化简， 主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数． 解：∵， ∴， ∵有意义，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简： ； （2）若，求的取值范围： ． 【答案】 【分析】本题考查了化简二次根式，绝对值，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先将化简为，然后分类讨论：当时，当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可． 解：（1）∵二次根式有意义， ∴，即， ， ∴原式 ； （2）， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴x的取值范围是． 3．（22-23八年级下·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点拨】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 【考点3】二次根式运算与完全平方公式综合 1．（2025·广东广州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、不等式的性质、二次根式的性质，由题意可得，从而可得，结合题意得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵，， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴或． ∵，， ∴． ∴的最小值为． 答案为：． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）的整数部分是 ． 【答案】969 【分析】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质与化简，能根据幂的运算法则简化指数是解此题的关键．根据完全平方公式可得，根据幂的运算法则可得，进一步化简即可求解． 解：， ， ，， ， 的整数部分为：． 故答案为：969． 3．（22-23八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）设，则 ． 【答案】 【分析】利用和，推得，借助该式将多项式进行降幂化简，即可求解． 解：∵， ∴， 又∵， 即， 整理得， ， 将代入原式可得． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，解题的关键是通过完全平方公式得到，借助该式将原多项式进行降幂化简． 【考点4】二次根式运算解决几何问题 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，点C，D在直线上，直线，和都是等腰直角三角形，连接．若，．则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，勾股定理，二次根式的运算，正确构造全等三角形是解题的关键． 过点E作交延长线于点G，延长线交于点F，先证明，再证明，则，故，然后运用勾股定理求解，，即可求解，继而求出的面积． 解：过点E作交延长线于点G，延长线交于点F，则 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，，且点M在线段上．若，则的长为（    ）    A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，根据勾股定理可得，同理即可求得的长． 解：由题意得：， ∵， ∴，， ∴， 同理，， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了图形的变化规律，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，直角三角形的性质，找出图形的变化规律是解决本题的关键． 3．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴交点问题．根据一次函数与坐标轴的交点得到点的坐标为，点的坐标为，如图，在轴上截取，过作轴交直线于，证明，可得，再进一步求解即可． 解：直线与坐标轴交于点，， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，， 如图，在轴上截取，过作轴交直线于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 第2章 一元二次方程 【考点5】一元二次方程的根与系数关系整体思想求值 1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知方程的两根分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根的定义及根与系数的关系由题意得，，将代数式变形后再代入求解即可． 解：∵方程的两根分别为、， ∴，，， ∴， ∴ ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是 ． 【答案】2029 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．先根据根与系数的关系得出，，再利用一元二次方程解的定义得到，，从而得到，，则原式化简为，最后利用整体代入的方法计算即可． 解：、是一元二次方程的两个实数根 ，，， ， ，即 故答案为：2029． 3．（21-22九年级上·广东茂名·阶段练习）如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 【答案】2032 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键． 由题意得m，n是的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：，，，变形，为，代入求解即可． 解：是两个不相等的实数，且满足， 是方程的两根， ，，， ． 故答案为：2032． 【考点6】根的判别式与根与系数关系综合 1．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知为正整数，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知方程整理为一元二次方程，结合方程根的情况，得出的取值范围，再代入方程即可求解． 解：变形得，， ∵为正整数， ∴存在正整数，使得①， ∴，即， ∴②， 设关于的方程为③，方程有两个正整数解， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴的值为，可证为时方程③无正整数根， ∴当时，方程得，，解得，，， ∴， 故选：． 【点拨】本题主要考查将分式转化为一元二次方程方程，根据根的情况解一元二次方程的参数，再代入计算，掌握以上相关知识的运用是解题的关键． 2．（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于x的方程x2-kx-2k=0的两个根的平方和为12，则k= ． 【答案】2 【分析】设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x1、x2，根据根与系数的关系可求出x1+x2=k，x1•x2=-2k．再利用完全平方式可知，即可得到方程，解出方程．再利用根的判别式求出k的取值范围，舍去不合题意的解即可． 解：设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x1、x2， 则x1+x2=k，x1•x2=-2k． ∵原方程两实数根的平方和为12， ∴， ∴，即． 解得：，． ∵方程有两实数根， ∴，即， ∴或． ∴舍去． 综上． 故答案为：2． 【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，熟记一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的公式是解答本题的关键． 3．（19-20九年级·浙江杭州·期末）已知关于的方程有两个实根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则 ． 【答案】-1 【分析】设方程x2+2（m-2）x+m2+4=0的两个实数根为x1，x2，由根与系数的关系得x1+x2=2（2−m），x1∙x2=m2+4，根据这两根的平方和比两根的积大21，列出方程，求出m的值，结合根的判别式，即可得到答案． 解：设x2+2（m−2）x+m2+4=0的两个实数根为：x1，x2， ∴x1+x2=2（2−m），x1∙x2=m2+4， ∵这两根的平方和比两根的积大21， ∴x12+x22−x1∙x2=21， 即：（x1+x2）2−3x1∙x2=21， ∴4（2−m）2−3（m2+4）=21， 解得：m=17或m=−1， ∵∆=4（2−m） 2−4（m2+4）≥0， 解得：m≤0， ∴m=−1． 故答案是：-1． 【点拨】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握（）的两个根满足：，是解题的关键． 【考点7】解一元二次方程与几何结合求值 1．（2025·安徽·一模）如图，为等腰直角三角形，，是上一点，交直线于点，且，，点为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质．过点作交延长线于，可得是等腰直角三角形，即得，设，则，利用勾股定理可得，即得，进而得到，最后根据直角三角形的性质即可求解． 解：如图，过点作交延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，， ， ∴， 整理得， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为，过点作轴，交直线于点，交轴于点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据点在直线上，得，结合折叠性质，得，，，再运用两点距离公式列式，得出，，则，同理设，结合，故，解得，同理得，把数值代入进行化简，即可作答． 解：过点作轴，如图所示： ∵点在直线上，过点作轴， ∴设点， ∵， ∴， ∵，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为， ∴，， 则， ∴， 解得， ∴，； ∴， ∵是直线上一点， ∴设， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正比例函数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，点E在边上，连接，，．若，则的长为 ．    【答案】 【分析】过点作于点，延长至点使，连接，证明，得到，证明，进而得到，设，得到，进而得到，在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 解：过点作于点，延长至点使，连接，    则：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：或（舍去）； ∴， ∴； 故答案为：． 【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 【考点8】解一元二次方程与函数结合求值 1．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线上，点在直线下方，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根的判别式可得或，则点的坐标为或，再得出点在直线上，从而可得当与两条直线垂直时，的值最小，然后利用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得． 解：∵关于的方程有两个相等实数根， ∴这个方程根的判别式为， ∴， ∴或，即或， ∵点的坐标为， ∴或， ∴点在直线或直线上， ∵点在直线下方， ∴点在直线上， ∵点在直线上，且直线与直线平行， ∴当与两条直线垂直时，的值最小， 如图，过点作两条直线的垂线，垂直分别为点，则即为所求， 设直线交轴于点，交轴于点， 当时，，解得，即， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 【点拨】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程根的判别式、平行线间的距离、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确确定点的位置是解题关键． 2．（23-24九年级上·全国·开学考试）五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和（千米）与小辉家出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发 分钟到达澳门口岸． 【答案】42 【分析】本题考查一次函数的应用，解分式方程，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 先根据已知图中路程千米可知：两家没出发时，距西人工岛的路程之和为千米，即香港口岸距西人工岛的路程千米，千米，设穿梭巴士的速度为千米/分，跨境出租车的速度为千米/分，千米，分别根据时间相等列方程可解决问题． 解：如图1， 由题意得：， ， 设穿梭巴士的速度为千米/分，跨境出租车的速度为千米/分， 当时，两家同时到达西人工岛，则， 解得：， 设千米，则， ， ∴， 即， 解得：， ∴， ， ， ，， 检验：当时，无意义，故舍去；当时，左边，右边，左边右边， 故原方程的解是． ∴， ∴穿梭巴士的时间， 答：穿梭巴士出发分钟到达澳门口岸． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏南通·开学考试）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为 ． 【答案】6 【分析】当，即在点时，；利用两点之间线段最短，得到，得的最大值为；在中，设的长度为，由勾股定理求出的长，再根据求出的长． 解：由函数图象知：当，即在点时，． 利用三角形中任意两边之差小于第三边，得到， 当点P、E重合时，有， ∴． 的最大值为， ． 在中，由勾股定理得：， 设的长度为， 则， ， 即， ， 解得或， 由于， ． ， ∵点为的中点， ． 故答案为：6． 【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出的长是解题的关键． 【考点9】一元二次方程的应用 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某商店销售一款连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．现商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．如果商店想要每天盈利1200元，那么每条连衣裙应降价 元． 【答案】10或20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每条连衣裙降价x元，则每天售出条，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：设每条连衣裙降价x元，则每天售出条， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 即：每条连衣裙应降价10元或20元． 故答案为：10或20． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，发现每天的销售量（件）与销售单价（元）存在一次函数关系：．当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过40元/件，则销售单价定为 时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大为 ．（利润销售总价成本总价） 【答案】 40元/件 8000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，设销售单价定为x元/件，则此时的销量为件，设利润为w元，根据利润=销量×单件利润，即可得出利润表达式，利用配方法求最值即可． 解：设销售单价定为x元/件，则此时的销量为件，设利润为w元， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，w随x的增大而增大， 又， ∴当时，w有最大值，最大值为， 即销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大为8000元． 故答案为：40元/件，8000元． 第3章 数据的分析初步 【考点10】平均数与加权平均数 1．（2022·湖南长沙·一模）A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（  ） A．-3 B．4 C．5 D．9 【答案】D 【分析】设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推，最后建立方程，解方程即可． 解：如图所示 设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推： 于是报1的人心里想的数是10-（6- x）=4 +x， 报3的人心里想的数是4-（4+x）=-x, 报5的人心里想的数是8-（-x）=8+x 报4的人心里想的数是2-（8+x）=-6- x， 于是得-6-x=x 解得：x=-3 所以D同学报4的人心里想的数应是: 6-x=6-（-3）= 9， 答:D同学心里想的数应是9． 故选：D 【点拨】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．这道题题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且多设几个未数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决． 2．（2024七年级·全国·竞赛）某次考试满分是100分，参加了这次考试． A：“我考了第一名．” ：“我考了91分．” ：“我的分数是和的平均分．” ：“我的分数恰好是五人的平均分．” ：“我比多得3分．” 如果五人说的都是真话，且分数都是整数，那么A的分数是 分． 【答案】100 【分析】根据A、C、D、E的话，得出A、C、D、E的分数都不是最少的，B的分数最少。根据B考了91分,的分数是和的平均分，得到D的考分为93、95、97、99，结合的分数恰好是五人的平均分，E比多得3分，分类判定A的得分． 本题主要考查了逻辑推理分析判断．熟练掌握几个人说话的共同点，分类讨论，逐一判断，是解决问题关键． 解：用每人的字母表示其得分，如：考了91分，表示为：． ∵的分数恰好是五个人的平均分， ∴的分数不是最少的． ∵的分数是和的平均分， ∴的分数也不是最少的． ∵比多得3分， ∴的分数也不是最少的． ∴的分数最少． ∵的分数是和的平均分，且考了91分，是奇数， ∴D的分数也是奇数，只能是93、95、97、99． 若， 则，，，不合； 若， 则，，，符合； 若， 则，，，不合； 若， 则，，，不合． ∴ 故答案为：100． 3．（21-22八年级上·福建泉州·期末）某单位设有6个部门，共153人，如下表： 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共10道题，每小题10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如下表： 分数 100 90 80 70 60 50及以下 比例 5 2 1 1 1 0 综上所述，未能及时参与答题的部门可能是 ． 【答案】5 【分析】各分数人数比为5：2：1：1：1，可以求出100分占总人数，90分占总人数，80、70、60分占总人数的，即各分数人数为整数，总参与人数应该为10的倍数，6个部门总共有153人，即未参加部分人数个位数有3，即可求得结果． 解：各分数人数比为5：2：1：1：1， 即100分占总参与人数的， 90分占总参与人数的， 80、70、60分占总参与人数的， 各分数人数为整数，即×总参与人数＝整数， ∴总参与人数是10的倍数，     6个部门有153人， 即26+16+22+32+43+14＝153人， 则未参与部门人数个位一定为3， ∴未参与答题的部门可能是5． 故答案为：5． 【点拨】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识． 【考点11】中位数与众数 1．（19-20八年级下·浙江温州·阶段练习）有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为（   ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】C 【分析】最大数出现的条件就是前面10个数的和尽可能小，而它们的和是110，中间的是9，则其它的越小，剩下的就越大，但是8的个数要多于其它的，可分8的个数分别是2，3，4，5时，讨论写出符合条件的数据即得答案． 解：∵有11个正整数，平均数是10，∴这11个数的和为110， 由于中位数是9，众数只有一个8， 如有两个8，则其他数至多1个，符合条件的数据可以是：1，2，3，8，8，9，10，11，12，13，x； 如有3个8，9是中位数，则其他数至多2个，符合条件的数据可以是：1，1，8，8，8，9，9，10，10，11，x； 如有4个8，则其他数至多3个，符合条件的数据可以是：1，8，8，8，8，9，9，9，10，10，x； 如有5个8，则其他数至多4个，符合条件的数据可以是：8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，x； 再根据其和为110，比较上面各组数据中哪个x更大即可，通过计算x分别为33，35，30，24， 故最大的正整数为35． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了众数、平均数以及中位数的运用，解题时注意：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，则处于中间位置的数（或中间位置的两个数的平均数）就是这组数据的中位数． 2．（20-21八年级下·福建福州·期中）我们把三个数的中位数记作，例如，当时，x的取值范围是 . 【答案】 【分析】分三种情况：若，若，若，分别求出不等式组的解集即可． 解：①若， 解得：， 此时，解得：， 或，此不等式组为空集， ∴； ②若， 解得：， 此时，解得：， 或，此不等式组为空集， ∴； ③若， 解得：， 此时，解得：， 或，解得：， ∴；． 综上分析可知，；． 故答案为：；． 【点拨】本题主要考查了中位数的定义，解不等式组，解题的关键是熟练掌握中位数的定义，注意分类讨论． 3．（2019·湖南长沙·模拟预测）已知 5 个数据：8，8，x，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是   ． 【答案】8 或 10 【分析】根据这组数据的某个众数与平均数相等，得出平均数等于8或10，求出x从而得出中位数，即是所求答案. 解：设众数是8，则由 ，解得：x=4，故中位数是8； 设众数是10，则由 ，解得：x=14,故中位数是10. 故答案为8或10. 【点拨】本题主要考查了众数的定义以及平均数的求法，还有中位数的确定方法，众数是两个需要分类讨论是解答本题的关键. 【考点12】方差与标准差 1．（19-20八年级上·全国·单元测试）一组数据的方差为，将这组数据中每个数据都除以3，所得新数据的方差是（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查的是方差的求法.解答此类问题,通常用x1，x2，…，xn表示出已知数据的平均数与方差,再根据题意用x1，x2，…，xn表示出新数据的平均数与方差,寻找新数据的平均数与原来数据平均数之间的关系． 解：设原数据为x1，x2，…，xn，其平均数为，方差为s2.根据题意，得新数据为，，…，，其平均数为.根据方差的定义可知，新数据的方差为.故选C. 【点拨】本题考查平均数与方差，会分别利用方差和平均数的公式去表示方差和平均数是解题的关键．其次根据题意给代数式进行等量变形也非常重要． 2．（2023九年级·广西柳州·专题练习）五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 【答案】8 【分析】本题考查数据的数字特征及应用，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解题的关键，根据题意得到，再根据，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6，可得到，进而推算出，，，，对应的五个互不相等的正偶数所对应的数，利用方差的计算公式即可得到答案． 解：∵，，，，的平均数是， ∴, ∵，，，，，的平均数还是， ∴, ∴, ∵，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6， ∴, ∴，，，，对应的五个互不相等的正偶数分别是：2、4、6、8、10， ∴，，，，的方差为：． 故答案为：8． 3．（2023·江苏宿迁·二模）若非负数a，b，c满足，则数据a，b，c的方差的最大值是 ． 【答案】8 【分析】先求出的平均数，计算方差，然后求解即可． 解：∵， ∴数据a，b，c的平均数为， 设数据a，b，c的方差为S， ， 非负数，，满足 ，即， ∴， 故答案为：8． 【点拨】本题考查了平均数和方差的计算公式，根据已知条件推出是解题关键． 篇二：计算、化简求值、证明压轴题 【考点13】二次根式的运算、化简、求值 1．（23-24九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知 ．  求的值． 【答案】 【分析】先得到，由可得的值，进而即可求解； 解： ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查二次根式的变换求值、完全平方公式，正确进行变换是解题的关键． 2．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）计算 （1）； （2）（）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可． （1）解： ＝ ＝－＋ ． （2）解： ＝· ． 【点拨】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【考点14】二次根式的规律探究 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算∶_____． （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）9 （3）5 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 解：（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】（1）；（答案不唯一）；（2） ；（3）见分析；（4）①；②18 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 解：（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ②， ， ， ． 3．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． （1）写出第4个式子______； （2）写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． （3）计算． 【答案】（1）；（2），证明见分析；（3） 【分析】本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，理解题干中的规律并且证明其规律是解题的关键． （1）根据题干给的规律，可直接写出结果； （2）根据题干给的规律，可直接写出第个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到，由此即可证明等式成立； （3）根据前面证明所得到的式子，利用，以及化简，即可求得结果； 解：（1）解：根据题干中的规律，可得 第4个式子为：； （2）解：根据题干中的规律，可得 第个式子为：； 证明： 左边 右边， 等式成立； （3）解： ，，   原式 ． 【考点15】解一元二次方程 1．（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程： 【答案】或或 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，将等式左边展开后，进行因式分解，将方程去分母，转化为整式方程，再次利用因式分解将方程转化为两个因式的积为0的形式，再进行求解，最后进行检验即可． 解： ， ， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或或； 经检验或或是原方程的解． ∴原方程的解为：或或． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）解方程 【答案】 【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的非负性，分类讨论化简绝对值，解一元二次方程，是解题的关键． 分与，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解． 解：当，即时， 原方程可化为：， 整理得：， 解得：， 当，即时， 原方程可化为：， 整理得， ∵， ∴此方程无实数解． 综上所述，原方程的解为：． 3．（2024·上海·模拟预测）求：方程所有解的和与方程所有解的和的比值 【答案】 【分析】本题考查了利用二次根式解方程，换元法，解一元二次方程，二次根式有意义的条件，分别求出两个方程的解，再求出比值即可求解，掌握二次根式的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键． 解：由方程得，， ∴， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴方程的解为； 令，则， ∴， ∴原方程变形为， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，，均为原方程的解， ∴， ∴两个方程所有解的和的比． 【考点16】根的判别式和根与系数关系 1．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值． （2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得． 根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）1；（2）①，；②，证明见分析 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出，．由，可得，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可； （2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，进而可求出，；②由一元二次方程的解的定义可得出，两边都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后结合题意即可得出，即． 解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实根， ∴，， ∴， 整理，得：， 解得：，． 当时，， ∴此时原方程没有实数根， ∴不符合题意； 当时，， ∴此时原方程有两个不相等的实数根， ∴符合题意， ∴的值为1； （2）①∵， ∴． ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴，； ②猜想：． 证明：根据一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①， 同理可得：②， 由①+②，得：， ∵，，， ∴，即． 【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 2．（2018·四川乐山·一模）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； （2）求使的值为整数的实数k的整数值． 【答案】（1）不存在满足条件的k值，理由见分析；（2），或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，代数式的推理变形过程是解答本题的关键． （1）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得，，然后把，的值代入中，即可求得k的值； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据的值为整数，以及k的取值范围即可确定k的值． 解：（1），是关于x的一元二次方程的两个实数根， ，， ， 若成立， 解方程得 ， ， ， 这与矛盾， ∴不存在这样k的值； （2）由（1）得 ， 的值为整数， 即的值为整数， 或，或，或，或，或， 解得或，，，，， ， ，或． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 【考点17】一元二次方程的应用 1．（2023九年级·重庆·学业考试）春节是中国人最具节日气氛的日子，春节旅游作为一种时尚的生活方式，被越来越多的人接受．春节期间，甲、乙两支队伍计划自驾去某地旅游．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往同一目的地汇合．甲队走路线，全程1200千米，乙队走路线，全程1500千米．由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的1.5倍，这样乙队可以比甲队提前1天到达目的地． （1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？ （2）在他们的旅行计划中，甲队最开始计划有10个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有a个人加入队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．乙队每人每天的平均花费始终为200元．最终甲、乙两队旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共花费28500元，求的值． 【答案】（1）甲队计划6天到达目的地，乙队计划5天到达目的地；（2）的值为5． 【分析】（1）设乙队计划天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，利用速度路程时间，结合乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出乙队计划到达目的地的时间，再将其代入中，即可求出甲队计划到达目的地的时间； （2）根据两队共需花费28500元，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 解：（1）设乙队计划天到达目的地，则甲队计划天到达目的地， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解， ． 答：甲队计划6天到达目的地，乙队计划5天到达目的地； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为5． 【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 2．（18-19九年级上·北京海淀·阶段练习）在一块长，宽为的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． （）小芳说，‘我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同’，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度． （）小华说，‘我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形荒地的四条边上’，请你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩形，在图和图中画出相应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理由． 【答案】（）能，宽度为米；（）见分析 分析：（）设宽度为米，根据花园面积是荒地面积的一半列出方程，求解即可； （）作矩形的中点四边形，得菱形，则菱形面积矩形面积， 以矩形两宽的中点连线为直径，作圆，交两长于、，得矩形，则． 解：（）设宽度为米，则， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 答：路宽为米． （）如图①，作矩形的中点四边形，得菱形，则菱形面积矩形面积， 如图②，以矩形两宽的中点连线为直径，作圆， 交两长于、，得矩形，则． 【点拨】本题主要考查了应用设计与作图，正确作图是解题的关键． 3．（2016·浙江宁波·一模）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%． ①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？ ②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？ 【答案】（1）28（2）①76%②75，84% 试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案； （2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案． 解：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）； （2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%； ②设润滑用油量是x千克，则 x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12， 整理得：x2﹣65x﹣750=0， （x﹣75）（x+10）=0， 解得：x1=75，x2=﹣10（舍去）， 60%+1.6%（90﹣x）=84%， 答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%． 考点：一元二次方程的应用 【考点18】数据的分析初步 1．（2024·安徽蚌埠·一模）每年的月日是中国的全国法制宣传日，也是国家宪法日．某中学为了提高学生对宪法知识的了解，在全校开展了主题为“学宪法知识，做守法公民”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：组为，组为，组为，组为，组为，组为，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图表信息解答以下问题： （1）本次调查随机抽取了 名参赛学生的成绩．在扇形统计图中 组所在扇形的圆心角是 度； （2）补全频数分布直方图，并直接写出学生竞赛成绩的中位数落在______组； （3）若取每组成绩的中点值作为该组的平均成绩（例如组的中点值为： ）试求抽取的该部分参赛学生的平均成绩． 【答案】（1），；（2）补全频数分布直方图见分析，；（3）抽取的该部分参赛学生的平均成绩为分． 【分析】（）用频数（率） 分布直方图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查随机抽取的学生人数，用乘以本次调查中的人数所占的百分比，即可得出答案； （）求出组的人数，补全频数分布直方图即可，根据中位数的定义可得答案； （）根据平均数的定义计算即可； 本题考查频数 （率） 分布直方图、扇形统计图、加权平均数、中位数，能够读懂统计图，掌握加权平均数、中位数的定义是解题的关键． 解：（1）本次调查随机抽取了（名）参赛学生的成绩， 在扇形统计图中F组所在扇形的圆心角是， 故答案为：，； （2）组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如图所示. 将名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第和位的成绩都落在组， ∴学生竞赛成绩的中位数落在组， 故答案为：； （3）组的中点值为， 组的中点值为， 组的中点值为， 组的中点值为， 组的中点值为， 组的中点值为， ∴抽取的该部分参赛学生的平均成绩为 ． 2．（2024·陕西西安·一模）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息： 八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88． 九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八 87 b 98 60% 九 a 86 c 80% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，___________，____________． （2）该校八、九年级共600人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八，九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数． 【答案】（1）87，84，100；（2）240人 【分析】本题主要考查了统计表和频数分布直方图．熟练掌握统计表和频数分布直方图的互补性，中位数，众数，平均数的定义和计算，用样本估计总体，是解题的关键． （1）根据中位数的定义得出b为排序后第八名学生的成绩；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的分数，即可求出a；用抽取的九年级学生的竞赛成绩总和除以15，即可求出c； （2）用600人乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中90分以上的人数的占比，即可求解． 解：（1）∵一共抽取八年级学生15人， ∴中位数是排序后的第8个数据， ∵， ∴第8个数据落在C组， ∴b是第八名学生成绩， 即； ∵九年级抽取的15名学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87， ∴平均数为：，即； ∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，100分出现了3次，出现次数最多， ∴， 故答案为：87，84，100，； （2）根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个； 根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个； ∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人）， 答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为240人． 3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）第19届亚运会于今年9月23日在杭州开幕，中国将再次因体育盛会引来全球目光，掀起运动浪潮．某社区就亚运会相关知识开展知识竞赛，从甲、乙两个社区各抽取20人，记录下他们的得分（单位：分），并进行整理和分析（得分用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 甲社区20人的得分：47，48，52，56，68，68，71，76，83，83，83，84，85，86，87，90，90，91，93，95； 乙社区20人的得分在C组中的分数为：80，81，83，84，84，85，87，87； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 社区 平均数 中位数 众数 甲 76.8 83 b 乙 76.8 a 79    根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个社区在此次知识竞赛活动中表现更好．请说明理由； （3）若甲、乙两社区共有720人参与活动，请估计甲、乙两个社区得分在D组的一共有多少人？ 【答案】（1）84，83，30；（2）乙社区在此次知识竞赛活动中表现更好，理由见分析（答案不唯一，合理即可）；（3）人 【分析】（1）根据扇形统计图和题意可分别求出乙社区20人的得分在A、B、C、D组中的人数，进而由中位数的定义可求出a的值；由众数的定义可直接得出b的值；求出乙社区20人的得分在D组中的人数所占百分比即得出c的值； （2）根据平均数和众数的定义解答即可； （3）先求出甲、乙两社区D组总人数所占百分比，再乘总人数720人即可． 解：（1）解：∵乙社区20人的得分在A组中的人数有人，在B组中的人数有人，在C组中的人数有8人， ∴乙社区的中位数在C组中取，为，即； 由题可知甲社区中得分为83分的人数为3人，最多， ∴其众数为83，即； 乙社区20人的得分在D组中的人数有人， ∴其所占百分比为，即． 故答案为：84，83，30； （2）解：乙社区在此次知识竞赛活动中表现更好， 理由：甲、乙两社区的平均数相同，但乙社区的中位数大，即表明乙社区得分高的人数更多， 所以乙社区在此次知识竞赛活动中表现更好； （3）解：由题可知甲社区20人的得分在D组中的人数有5人， ∴甲、乙两社区D组总人数所占百分比为， ∴估计甲、乙两个社区得分在D组的一共有人． 【点拨】本题考查扇形统计图，平均数、中位数、众数的定义，由平均数、中位数、众数做决策，由样本估计总体等知识．理解题意，由题意和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$