第4章 因式分解（单元测试A卷）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙江专用）

第4章 《因式分解》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2+2x+1＝（x+1）2 C．x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1 D．x （x﹣1）＝x2﹣x 【分析】将多项式分解为几个整式的乘积形式成为多项式的因式分解． 【解答】解：根据因式分解的定义：B正确 故选：B． 【点评】本题考查因式分解的意义，注意等式的左边是多项式，等式的右边是几个整式的乘积，本题属于基础题型． 2．（3分）如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】根据题意可知x＝2是方程ax2﹣bx+2＝0的一个根，然后代入解题即可． 【解答】解：由条件可知当x＝2时，ax2﹣bx+2＝4a﹣2b+2＝0， 解得：2a﹣b＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 3．（3分）多项式6ab2﹣3ab进行因式分解，公因式是（　　） A．3ab B．ab C．3ab2 D．6ab 【分析】根据公因式的定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式进行解答即可． 【解答】解：多项式6ab2﹣3ab进行因式分解，公因式是3ab． 故选：A． 【点评】此题考查的是公因式，掌握其定义是解决此题的关键． 4．（3分）用提公因式法分解因式正确的是（　　） A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab） B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y） C．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c） D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x） 【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案． 【解答】解：A、12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3abc），故本选项错误； B、3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2），故本选项错误； C、﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c），正确； D、x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x﹣1），故本选项错误． 故选：C． 【点评】此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项． 5．（3分）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（　　） A．a2+2a﹣1 B．x2﹣xy+y2 C． D． 【分析】根据用完全平方公式的结构特征进行逐一判断即可． 【解答】解：a2+2a﹣1不能用完全平方公式分解因式，故选项A不符合题意； x2﹣xy+y2不能用完全平方公式分解因式，选项B不符合题意； 不能用完全平方公式分解因式，选项C不符合题意； 能用完全平方公式分解因式，选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知x2±2xy+y2＝（x±y）2是解题的关键． 6．（3分）把多项式4a2（a﹣b）+（b﹣a）因式分解结果为（　　） A．（a﹣b）（4a2+1） B．（b﹣a）（4a2+1） C．（a﹣b）（2a+1）（2a﹣1） D．（a﹣b）（4a2﹣1） 【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：4a2（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（4a2﹣1）＝（a﹣b）（2a+1）（2a﹣1）． 故选：C． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 7．（3分）把多项式x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣8分解因式的结果是（　　） A．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣1）（x﹣y﹣8） C．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2） D．（x﹣y+1）（x﹣y﹣8） 【分析】先把多项式中的前三项分成一组，用完全平方公式分解因式，第四和第五项分成一组，提取公因式2，最后用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣8 ＝（x2﹣2xy+y2）+2（x﹣y）﹣8 ＝（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣8 ＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法． 8．（3分）若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m+n的值为（　　） A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．1 【分析】利用乘法公式把（x﹣5）（x+n）展开得到x2+（n﹣5）x﹣5n，所以﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，从而可求出m、n的值，然后计算m+n的值． 【解答】解：∵（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n， ∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5， 解得n＝2，m＝﹣3， ∴m+n＝﹣3+2＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等：利用恒等变形得到﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5是解决问题的关键． 9．（3分）若xy＝﹣3，x﹣y＝5，则xy2﹣x2y的值是（　　） A．15 B．﹣15 C．2 D．﹣8 【分析】先把原式提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可． 【解答】解：∵xy＝﹣3，x﹣y＝5， ∴xy2﹣x2y＝xy（y﹣x）＝﹣xy（x﹣y）＝3×5＝15． 故选：A． 【点评】本题考查的是提公因式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求值”是解本题的关键． 10．（3分）对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【分析】先利用平方差公式因式分解可得（2n+1）2﹣25＝4（n﹣2）（n+3），因此对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，据此即可得出答案． 【解答】解：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）＝4（n﹣2）（n+3）， ∴对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数， ∴对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能被4整除， 故选：B． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，利用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）因式分解：2ab﹣8b＝　2b（a﹣4）　 ． 【分析】直接找出公因式进而提取公因式得出答案． 【解答】解：2ab﹣8b＝2b（a﹣4）． 故答案为：2b（a﹣4）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 12．（3分）若2a﹣b＝﹣3，ab＝2，则2a2b﹣ab2的值为 　﹣6　 ． 【分析】先把所求代数式提取公因式ab，再把2a﹣b＝﹣3，ab＝2代入进行计算即可． 【解答】解：∵2a﹣b＝﹣3，ab＝2， ∴2a2b﹣ab2的 ＝ab（2a﹣b） ＝2×（﹣3） ＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 13．（3分）若多项式9a2﹣kab+16b2能因式分解为形如（x+y）2的形式，则k的值为　±24　 ． 【分析】根据题意可得9a2﹣kab+16b2能因式分解为（x+y）2的形式，再由两平方项分别为（3a）2、（4b）2可得一次项为±2•3a•4b，据此可得答案． 【解答】解：∵9a2﹣kab+16b2能因式分解为（x+y）2的形式， ∴9a2﹣kab+16b2＝（3a）2﹣kab+（4b）2是一个完全平方式， ∴﹣kab＝±2•3a•4b， ∴k＝±24， 故答案为：±24． 【点评】本题主要考查了完全平方式，注意正确计算． 14．（3分）整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式：a2+3ab+2b2＝　（a+2b）（a+b）　 ． 【分析】根据图形面积的两种表示方法求解即可． 【解答】解：∵矩形的长为a+2b，宽为a+b， ∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）． 故答案为：（a+2b）（a+b）． 【点评】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握图形的面积的求法和利用拼图分解因式是解题关键． 15．（3分）若x2+x﹣2＝0，则x3+2x2﹣x+2024的值是 　2026　 ． 【分析】先根据已知条件求出x2+x的值，然后利用拆项法和提取公因式法，把所求代数式写成含有x2+x的形式，再整体代入进行计算即可． 【解答】解：∵x2+x﹣2＝0， ∴x2+x＝2， ∴x3+2x2﹣x+2024 ＝x3+x2+x2﹣x+2024 ＝x（x2+x）+x2﹣x+2024 ＝2x+x2﹣x+2024 ＝x2+x+2024 ＝2+2024 ＝2026， 故答案为：2026． 【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 16．（3分）日常生活中，如取款、上网都需要密码．有一种因式分解产生的密码，方便记忆．其原理是：对于多项式x4﹣y4，其因式分解的结果是（x2+y2）（x+y）（x﹣y），若x用8代入，y用8代入，则各个因式的值分别是128，16，0，于是就把“128160”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，若x用23代入，y用5代入，用上述方法产生的密码是　232818或231828或282318或182328或281823或182823　 ． 【分析】所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可． 【解答】解：先分解因式得：x3﹣xy2＝x（x+y）（x﹣y）， ∴取x＝23，y＝5时，x+y＝23+5＝28，x﹣y＝23﹣5＝18， ∴密码为：232818，231828，282318，182328，281823，182823共6个， 故答案为：232818 或 231828 或 282318 或 182328 或 281823 或 182823． 【点评】本题考查了因式分解的实际应用，将x3﹣xy2正确分解是解题关键． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）分解因式： （1）a2b﹣4a2b2+ab． （2）m3﹣4m． 【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝ab（a﹣4ab+1）； （2）原式＝m（m2﹣4） ＝m（m+2）（m﹣2）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 18．（6分）因式分解： （1）a（a﹣b）﹣2b（b﹣a）； （2）（x2+1）2﹣4x2． 【分析】（1）提取公因式（a﹣b），即可解答； （2）首先利用平方差公式进行因式分解，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）a（a﹣b）﹣2b（b﹣a） ＝a（a﹣b）+2b（a﹣b） ＝（a﹣b）（a+2b）； （2）（x2+1）2﹣4x2 ＝（x2+1）2﹣（2x）2 ＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x） ＝（x+1）2（x﹣1）2． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 19．（8分）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式x2+（p+q）x+pq的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如：将二次三项式x2+7x+10因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项10＝2×5，一次项系数7＝2+5，则x2+7x+10＝（x+2）（x+5），如图所示． 任务： （1）因式分解：x2﹣8x+15＝ 　（x﹣3）（x﹣5）　 ． （2）若二次三项式x2+ax﹣8可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【分析】（1）由一次项为：（﹣3）+（﹣5）＝﹣8，则常数项为（﹣3）×（﹣5）＝15，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为﹣8，相加为a的值即可． 【解答】解：（1）一次项为：﹣8，则常数项为15， 则x2﹣8x+15＝（x﹣3）（x﹣5）； （2）整数a的所有可能的值是： ﹣8+1＝﹣7；﹣1+8＝7；﹣2+4＝2；﹣4+2＝﹣2， 即整数a的所有可能的值是：±7，±2． 【点评】此题考查了因式分解——十字相乘法，熟练掌握该知识点是关键． 20．（8分）甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数n，然后乙根据n的值计算代数式的值． （1）填空： ①　6　 ； ②　24　 ； ③　120　 ． （2）求证：n3﹣n总能被6整除． 【分析】（1）通过代入具体数值（n＝2，3，5），计算左右两边的值即可； （2）利用因式分解n3﹣n＝（n﹣1）n（n+1），根据连续整数性质问题即可得证． 【解答】解：（1）①； ②； ③． 故答案为：6，24，120． （2）证明：∵， ∵n是正整数，三个数其中至少存在一个偶数，能被2整除，一个能被3整除的数， ∴n（n﹣1）（n+1）能被6整除． 即n3﹣n总能被6整除． 【点评】本题考查了本题主要考查代数式求值、因式分解以及连续整数的性质．解题关键在于理解连续整数性质． 21．（10分）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式： 甲：x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y） （分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y） （直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4）． 乙：a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2+2bc） （分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2 （直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c） （再用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： （1）m2﹣mn+mx﹣nx． （ 2）x2﹣2xy+y2﹣9． 【分析】（1）原式前两项结合，后两项结果，提取公因式即可得到结果； （2）原式前三项结合，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）m2﹣mn+mx﹣nx＝m（m﹣n）+x（m﹣n）＝（m﹣n）（m+x）； （2）x2﹣2xy+y2﹣9＝（x﹣y）2﹣32＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）． 【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 22．（10分）如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形．③、④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． （1）观察图1，可以发现多项式2a2+5ab+2b2因式分解为 　（2a+b）（a+2b）　 ； （2）若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和； 拓展：如图2表示的是一个棱长为x的正方体切去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的体积变化关系，直接写出一个因式分解形式的等式． 【分析】（1）根据图1，长方形面积等于四个正方形与5个长方形的面积之和，可以得到2a2+5ab+2b2因式分解为（2a+b）（a+2b）； （2）由图形可知，所有裁剪线（虚线部分）长之和为2（2a+b）+2（a+2b）＝6a+6b，又由题意得ab＝4，2a2+2b2＝34，故a2+b2＝17，利用完全平方公式可求出a+b＝5，则6a+6b＝30； 拓展：拼接过程中新长方体的体积不变，等于棱长为x的正方体的体积减去小长方体的体积，即x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）． 【解答】解：（1）根据图形可得：长方形的面积等于长方形面积等于四个正方形与5个长方形的面积之和， 即（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2， 故答案为：（2a+b）（a+2b）； （2）由题意得ab＝4，2a2+2b2＝34， ∴a2+b2＝17， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25， ∵a＞0，b＞0， ∴a+b＝5， ∴所有裁剪线（虚线部分）长之和为2（2a+b）+2（a+2b）＝6a+6b＝6×5＝30， 答：图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为30； 拓展：∵拼接过程中新长方体的体积不变， ∴x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）． 答：因式分解形式的等式为x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）． 【点评】本题考查了图形的面积和体积，完全平方公式，因式分解，能够找到图形变化前后面积（或体积）不变的等式是解决问题的关键． 23．（12分）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题： （1）已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是（x+5），求另一个因式以及a的值； （2）已知二次三项式6x2﹣x﹣p有一个因式是（2x+3），求另一个因式以及p的值． 【分析】（1）设另一个因式是（x+b），则x2﹣4x+m＝x2+（b+3）x+3b，根据对应项的系数相等即可求得b和k； （2）设另一个因式是（3x+m），利用多项式的乘法法则展开，再根据对应项的系数相等即可求出m和p． 【解答】解：（1）根据题意，设另一个因式为（x+b）， x2+6x+a＝（x+5）（x+b）， 则x2+6x+a＝x2+5x+bx+5b， x2+6x+a＝x2+（5+b）x+5b， ∴， 解得：b＝1，a＝5， 故另一个因式为（x+1），a的值为5； （2）根据题意，设另一个因式为（3x+m）， 6x2﹣x﹣p＝（3x+m）（2x+3）， 则6x2﹣x﹣p＝6x2+（9+2m）x+3m， 6x2﹣x﹣p＝6x2+9x+2mx+3m， ∴， 解得：m＝﹣5，p＝15， 故另一个因式为（3x﹣5），p的值为15． 【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 24．（12分）阅读以下材料 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝　（x﹣y﹣1）2　 ； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4； （3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 【分析】（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝A2﹣2A+1（A﹣1）2，再将“A”还原，得原式＝（x﹣y﹣1）2； （2）将“a2﹣4a”看成整体，令a2﹣4a＝A，则原式＝（A+2）（A+6）+4＝A2+8A+12+4＝（A+4）2，再将“A”还原，得：原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4； （3）先由（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17，运用整体思想，再即可得到式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 【解答】（1）解：令x﹣y＝A， 原式＝A2﹣2A+1＝（A﹣1）2， 将“A”还原，得原式＝（x﹣y﹣1）2； 故答案为：（x﹣y﹣1）2； （2）解：令 a2﹣4a＝A， 原式＝（A+2）（A+6）+4 ＝A2+8A+12+4 ＝（A+4）2， 将“A”还原，得： 原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4； （3）证明：令 n2﹣2n＝A， 原式＝（A﹣3）（A+5）+17 ＝A2+2A﹣15+17 ＝A2+2A+2 ＝（A+1）2+1， 将 A＝n2﹣2n 还原， 原式＝（n2﹣2n+1）2+1＝（n﹣1）4+1， 因为无论n为何值 （n﹣1）4≥0， 所以 （n﹣1）4+1≥1 即式子 （n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17 的值一定是一个不小于1的数． 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 《因式分解》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2+2x+1＝（x+1）2 C．x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1 D．x （x﹣1）＝x2﹣x 2．（3分）如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 3．（3分）多项式6ab2﹣3ab进行因式分解，公因式是（　　） A．3ab B．ab C．3ab2 D．6ab 4．（3分）用提公因式法分解因式正确的是（　　） A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab） B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y） C．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c） D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x） 5．（3分）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（　　） A．a2+2a﹣1 B．x2﹣xy+y2 C． D． 6．（3分）把多项式4a2（a﹣b）+（b﹣a）因式分解结果为（　　） A．（a﹣b）（4a2+1） B．（b﹣a）（4a2+1） C．（a﹣b）（2a+1）（2a﹣1） D．（a﹣b）（4a2﹣1） 7．（3分）把多项式x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣8分解因式的结果是（　　） A．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣1）（x﹣y﹣8） C．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2） D．（x﹣y+1）（x﹣y﹣8） 8．（3分）若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m+n的值为（　　） A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．1 9．（3分）若xy＝﹣3，x﹣y＝5，则xy2﹣x2y的值是（　　） A．15 B．﹣15 C．2 D．﹣8 10．（3分）对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）因式分解：2ab﹣8b＝　 　 ． 12．（3分）若2a﹣b＝﹣3，ab＝2，则2a2b﹣ab2的值为 　 　 ． 13．（3分）若多项式9a2﹣kab+16b2能因式分解为形如（x+y）2的形式，则k的值为　 　 ． 14．（3分）整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式：a2+3ab+2b2＝　 　 ． 15．（3分）若x2+x﹣2＝0，则x3+2x2﹣x+2024的值是 　 　 ． 16．（3分）日常生活中，如取款、上网都需要密码．有一种因式分解产生的密码，方便记忆．其原理是：对于多项式x4﹣y4，其因式分解的结果是（x2+y2）（x+y）（x﹣y），若x用8代入，y用8代入，则各个因式的值分别是128，16，0，于是就把“128160”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，若x用23代入，y用5代入，用上述方法产生的密码是　 　 ． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）分解因式： （1）a2b﹣4a2b2+ab． （2）m3﹣4m． 18．（6分）因式分解： （1）a（a﹣b）﹣2b（b﹣a）； （2）（x2+1）2﹣4x2． 19．（8分）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式x2+（p+q）x+pq的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如：将二次三项式x2+7x+10因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项10＝2×5，一次项系数7＝2+5，则x2+7x+10＝（x+2）（x+5），如图所示． 任务： （1）因式分解：x2﹣8x+15＝ 　 　 ． （2）若二次三项式x2+ax﹣8可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 20．（8分）甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数n，然后乙根据n的值计算代数式的值． （1）填空： ①　 　 ； ②　 　 ； ③　 　 ． （2）求证：n3﹣n总能被6整除． 21．（10分）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式： 甲：x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y） （分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y） （直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4）． 乙：a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2+2bc） （分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2 （直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c） （再用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： （1）m2﹣mn+mx﹣nx． （ 2）x2﹣2xy+y2﹣9． 22．（10分）如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形．③、④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． （1）观察图1，可以发现多项式2a2+5ab+2b2因式分解为 　 　 ； （2）若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和； 拓展：如图2表示的是一个棱长为x的正方体切去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的体积变化关系，直接写出一个因式分解形式的等式． 23．（12分）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题： （1）已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是（x+5），求另一个因式以及a的值； （2）已知二次三项式6x2﹣x﹣p有一个因式是（2x+3），求另一个因式以及p的值． 24．（12分）阅读以下材料 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝　 　 ； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4； （3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$