第4章 因式分解（单元测试B卷）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙江专用）

第4章 《因式分解》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列从左到右是因式分解且正确的是（　　） A．x2﹣9＝（x﹣3）2 B．（x+3）2＝x2+6x+9 C．xy﹣2y＝y（x﹣2） D．x2﹣9﹣6x＝（x+3）（x﹣3）﹣6x 2．（3分）多项式a（x2﹣2x+1）与多项式x2﹣1的公因式是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．x2 3．（3分）下列多项式中①x2﹣2x﹣1；②；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2；⑥m2﹣m+1，能用公式法分解因式的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（3分）下列因式分解中，结果正确的有（　　）个． ①2m3﹣2m＝2m（m2﹣1）； ②x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）； ③4x2﹣16y2＝4（x+2y）（x﹣2y）； ④8a2b﹣2b2＝2b（2a+b）（2a﹣b）； ⑤x2+4xy+y2＝（x+y）2． A．4 B．3 C．2 D．1 5．（3分）下列整式中不含有x+1这个因式的是（　　） A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1 C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1 6．（3分）已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（　　） A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6 7．（3分）甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是（x﹣4）（x+5），乙看错了c的值，分解的结果是（x+3）（x﹣4），那么x2+bx+c分解因式正确的结果为（　　） A．（x﹣5）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣5） C．（x﹣4）（x+5） D．（x+4）（x+5） 8．（3分）若k为任意整数，则（k+5）2﹣（k﹣3）2的值总能（　　） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 9．（3分）已知a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（3分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：林、爱、我、桂、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．桂林游 C．我爱桂林 D．美我桂林 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）分解因式：6m﹣9m2＝ 　 　 ． 12．（3分）如果x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，则m的值为 　 　 ． 13．（3分）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x﹣2025＝　 　 ． 14．（3分）我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长的a的正方形纸片剪去2个长为a，宽为b的长方形以及3个边长为b的正方形之后，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分，请从因式分解的角度，用一个含有a、b等式表示从图1到图2的变化过程 　 　 ． 15．（3分）已知：bc﹣a2＝7，ac﹣b2＝﹣1，ab﹣c2＝﹣9，且a+b+c≠0，则3a+6b+9c的值为　 　 ． 16．（3分）关于x的二次三项式x2+mx+n（m，n是常实数），现有以下结论： （1）若m+n＝﹣1，则二次三项式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1）； （2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，则m＝6； （3）若x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q），则2m+n＝﹣4； （4）若m2﹣4n＜0则无论x取何实数，x2+mx+n总是正数． 其中正确结论的序号有 　 　 ． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）分解因式： （1）a3﹣25a； （2）6xy2﹣9x2y﹣y3． 18．（6分）分解因式： （1）﹣8x3+8x2y﹣2xy2； （2）4m2（a﹣b）+16n2（b﹣a）． 19．（8分）若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式；则称这个数是“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：∵5＝32﹣22， ∴5是“明礼崇德数”，3与2是5的一个平方差分解． 再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数）， ∴M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解． （1）判断：9 　 　 “明礼崇德数”；（填“是”或“不是”） （2）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P． 20．（8分）在学习完“因式分解”后，为了开拓学生的思维，宋老师在黑板上写了题目： 因式分解：x2﹣xy+6x﹣6y．下面是甜甜的解法： 解：x2﹣xy+6x﹣6y ＝（x2﹣xy）+（6x﹣6y）（分组） ＝x（x﹣y）+6（x﹣y）（提公因式） ＝（x﹣y）（x+6）． 请利用上述方法，解答下列各题： （1）因式分解：m2﹣2m+2n﹣mn； （2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状，并说明理由． 21．（10分）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题： （1）已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是（x+5），求另一个因式以及a的值； （2）已知二次三项式6x2﹣x﹣p有一个因式是（2x+3），求另一个因式以及p的值． 22．（10分）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法． （1）二次项系数2＝1×2 （2）常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”． ①1×3+2×（﹣1）＝1；②1×（﹣1）+2×3＝5；③1×（﹣3）+2×1＝﹣1；④1×1+2×（﹣3）＝﹣5 （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1＝﹣1等于一次项系数﹣1，即（x+1）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 仿照以上方法分解因式3x2+5x﹣12． 二次项系数　 　 ＝　 　 ×　 　 ． 常数项　 　 ＝　 　 ． 发现“交叉相乘之和”的结果　 　 ×　 　 +　 　 ×　 　 ＝　 　 等于一次项系数　 　 ，则3x2+5x﹣12　 　 ． 23．（12分）实践与探究； 如图，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张．（其中正方形纸片A的边长为a，正方形纸片B的边长为b，长方形纸片C的长为a，宽为b．） （1）①请你选取适当数量的三种纸片，拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的长方形，在方框中画出拼好后的图形． ②上述拼图共用了 　 　 张A纸片，　 　 张B纸片． 　 　 张C纸片，通过面积计算可以发现（a+2b）（a+b）＝ 　 　 ． （2）①请你用这三种纸片拼出面积为3a2+4ab+b2的长方形，在方框中画出拼好后的图形． ②上述拼图共用了 　 　 张A纸片，　 　 张B纸片，　 　 张C纸片． 通过面积计算可以发现3a2+4ab+b2＝ 　 　 ． ③利用拼图把下列多项式分解因式： a2+3ab+2b2＝ 　 　 ； 3a2+5ab+2b2＝ 　 　 ． 24．（12分）（1）对于一个矩形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，得到一个等式．要求等式从左边到右边，是一个多项式到几个整式的积的变形形式，相当于对左边的多项式进行因式分解，我们把这样的等式叫“因式分解等式”．如图1、是4个小矩形拼接而成的大矩形，根据计算矩形的面积，可以得到的“因式分解等式”为 　 　 ；如图2，若a＝p，b＝q时，根据计算矩形的面积可以得到的“因式分解等式”为 　 　 ； （2）类似的，通过不同的方法表示同一个长方体的体积，也可以探求相应的“因式分解等式”．如图3，棱长为a+b的正方体被分割成8块．则有 　 　 ＝（a+b）3； （3）根据（1）和（2）中的结论解答下列问题：若图1与图2中的a与b的值满足a+b＝4，a2+b2＝12，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 《因式分解》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）下列从左到右是因式分解且正确的是（　　） A．x2﹣9＝（x﹣3）2 B．（x+3）2＝x2+6x+9 C．xy﹣2y＝y（x﹣2） D．x2﹣9﹣6x＝（x+3）（x﹣3）﹣6x 【分析】根据因式分解的定义以及因式分解的方法进行判断即可． 【解答】解：A中x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）≠（x﹣3）2，错误，故不符合要求； B中（x+3）2＝x2+6x+9，不是因式分解，错误，故不符合要求； C中xy﹣2y＝y（x﹣2），正确，故符合要求 D中x2﹣9﹣6x＝（x+3）（x﹣3）﹣6x，不是因式分解，错误，故不符合要求； 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解的意义，公式法、提公因式法进行因式分解．熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 2．（3分）多项式a（x2﹣2x+1）与多项式x2﹣1的公因式是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．x2 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式分解因式，然后找出公因式即可． 【解答】解：a（x2﹣2x+1）＝a（x﹣1）2，x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）， 所以多项式a（x2﹣2x+1）与多项式x2﹣1的公因式是x﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 3．（3分）下列多项式中①x2﹣2x﹣1；②；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2；⑥m2﹣m+1，能用公式法分解因式的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据平方差公式、完全平方公式逐个判断即可． 【解答】解：①x2﹣2x﹣1，不能用完全平方公式分解因式； ②，能用完全平方公式分解因式； ③﹣a2﹣b2，不能用平方差公式分解因式； ④﹣a2+b2＝b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a），能用平方差公式分解因式； ⑤x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，能用完全平方公式分解因式； ⑥m2﹣m+1，不能用完全平方公式分解因式； 所以能用公式法分解因式的有3个， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 4．（3分）下列因式分解中，结果正确的有（　　）个． ①2m3﹣2m＝2m（m2﹣1）； ②x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）； ③4x2﹣16y2＝4（x+2y）（x﹣2y）； ④8a2b﹣2b2＝2b（2a+b）（2a﹣b）； ⑤x2+4xy+y2＝（x+y）2． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据提公因式法和平方差公式对①②③④进行判断；根据完全平方公式对⑤进行判断． 【解答】解：2m3﹣2m＝2m（m2﹣1）＝2m（m+1）（m﹣1），所以①错误； x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），所以②正确； 4x2﹣16y2＝4（x+2y）（x﹣2y），所以③正确； 8a2b﹣2b2＝2b（4a2﹣b），所以④错误； x2+4xy+y2≠（x+y）2，x2+4xy+y2不能分解，所以⑤错误． 故选：C． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式或平方差公式继续分解即可． 5．（3分）下列整式中不含有x+1这个因式的是（　　） A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1 C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1 【分析】将每个选项进行因式分解，即可作出判断． 【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意； B、x4﹣x3+x2﹣1＝（x4﹣x3）+（x2﹣1）＝x3（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（x3+x+1），不含有因式x+1，故此选项符合题意； C、x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1），含有因式x+1，故此选项不符合题意； D、x4﹣x3﹣x2﹣1＝（x4﹣x2）﹣（x3+1）＝x2（x2﹣1）﹣（x3+1）＝x2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）（x2﹣x+1）＝（x+1）（x3﹣x2﹣x2+x﹣1）＝（x+1）（x3﹣2x2+x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 6．（3分）已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（　　） A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6 【分析】将代数式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可． 【解答】解：∵a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6， ∴a﹣c＝﹣1， ∴a2﹣ac﹣b（a﹣c） ＝a（a﹣c）﹣b（a﹣c） ＝（a﹣c）（a﹣b） ＝5×（﹣1） ＝﹣5； 故选：C． 【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，代数式求值，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题． 7．（3分）甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是（x﹣4）（x+5），乙看错了c的值，分解的结果是（x+3）（x﹣4），那么x2+bx+c分解因式正确的结果为（　　） A．（x﹣5）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣5） C．（x﹣4）（x+5） D．（x+4）（x+5） 【分析】先根据题意求出b、c的值，再代入分解因式． 【解答】解：∵（x﹣4）（x+5）＝x2+x﹣20， （x+3）（x﹣4）＝x2﹣x+﹣12， ∴b＝﹣1，c＝﹣20， ∴原多项式为：x2﹣x﹣20＝（x﹣5）（x+4）， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键． 8．（3分）若k为任意整数，则（k+5）2﹣（k﹣3）2的值总能（　　） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 【分析】利用平方差公式把原式分解因式得到16（k+1），据此可得答案． 【解答】解：∵（k+5）2﹣（k﹣3）2 ＝[（k+5）+（k﹣3）][（k+5）﹣（k﹣3）] ＝（k+5+k﹣3）（k+5﹣k+3） ＝（2k+2）×8 ＝2（k+1）×8 ＝16（k+1）， ∴（k+5）2﹣（k﹣3）2的值总能被8整除， 故选：D． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用平方差公式解答． 9．（3分）已知a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先根据已知条件，求出a﹣b，a﹣c和b﹣c的值，然后把所求代数式写成的形式，再利用完全平方公式进行分解因式，然后把a﹣b，a﹣c和b﹣c的值整体代入，进行计算即可． 【解答】解：∵a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024， ∴a﹣b＝（2023x+2022）﹣（2023x+2023） ＝2023x+2022﹣2023x﹣2023 ＝﹣1， a﹣c＝（2023x+2022）﹣（2023x+2024） ＝2023x+2022﹣2023x﹣2024 ＝﹣2， b﹣c＝（2023x+2023）﹣（2023x+2024） ＝2023x+2023﹣2023x﹣2024 ＝﹣1， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc ＝3， 故选：D． 【点评】本题主要考查了分解因式的应用，解题关键是熟练掌握把多项式进行分解因式． 10．（3分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：林、爱、我、桂、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．桂林游 C．我爱桂林 D．美我桂林 【分析】将所给整式利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，再与所给的整式与对应的汉字比较，即可得解． 【解答】解：原式＝（x2﹣y2）（a2﹣b2） ＝（x+y）（x﹣y）（a+b）（a﹣b）， ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱桂林， 故选：C． 【点评】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式和公式法分解因式是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）分解因式：6m﹣9m2＝ 　3m（2﹣3m）　 ． 【分析】利用提公因式法因式分解即可． 【解答】解：原式＝3m（2﹣3m）， 故答案为：3m（2﹣3m）． 【点评】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12．（3分）如果x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，则m的值为 　8　 ． 【分析】设x2﹣6x+m＝（x﹣2）（x+a），然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与x2﹣6x+m的对应项的系数相同，据此即可求得a，m的值． 【解答】解：x2﹣6x+m ＝（x﹣2）（x+a） ＝x2+（﹣2+a）x+（﹣2a）， 根据题意则有：﹣2+a＝﹣6，﹣2a＝m， 解得：m＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查因式分解与整式乘法的关系，根据x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，设x2﹣6x+m＝（x﹣2）（x+a）是解题的关键． 13．（3分）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x﹣2025＝　﹣2028　 ． 【分析】先根据x2﹣2x﹣1＝0得到x2﹣2x＝1，再将要求的式子逐步变形，将x2﹣2x＝1整体代入降次，化简求解即可得到答案． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2﹣2x＝1， ∴原式＝2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2025 ＝2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2025 ＝2x×1﹣3x2+4x﹣2025 ＝﹣3x2+6x﹣2025 ＝﹣3（x2﹣2x）﹣2025 ＝﹣3﹣2025 ＝﹣2028， 故答案为：﹣2028． 【点评】本题主要考查了提取公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键， 14．（3分）我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长的a的正方形纸片剪去2个长为a，宽为b的长方形以及3个边长为b的正方形之后，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分，请从因式分解的角度，用一个含有a、b等式表示从图1到图2的变化过程 　a2﹣2ab﹣3b2＝（a+b）（a﹣3b）　 ． 【分析】利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答． 【解答】解：由题可知，图1阴影部分面积为a2﹣2ab﹣3b2， 图2是长为a+b，宽为a﹣3b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣3b）， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴a2﹣2ab﹣3b2＝（a+b）（a﹣3b）， 故答案为：a2﹣2ab﹣3b2＝（a+b）（a﹣3b）． 【点评】此题主要考查了多项式乘多项式的几何背景，解题关键是正确用代数式表示出两个图形中阴影部分面积． 15．（3分）已知：bc﹣a2＝7，ac﹣b2＝﹣1，ab﹣c2＝﹣9，且a+b+c≠0，则3a+6b+9c的值为　﹣54或54　 ． 【分析】先求出b﹣a＝c﹣b，c﹣a＝2（c﹣b）＝2（b﹣a），再求出c﹣b＝1或c﹣b＝﹣1，再分情况求解即可． 【解答】解：bc﹣a2＝7①，ac﹣b2＝﹣1②，ab﹣c2＝﹣9③， 由①﹣②可得：bc﹣a2﹣ac+b2＝（b﹣a）（a+b+c）＝8④， 由①﹣③可得：bc﹣a2﹣ab+c2＝16⑤， 由②﹣③可得：ac﹣b2﹣ab+c2＝（c﹣b）（a+b+c）＝8⑥， ∵a+b+c≠0， ∴由④⑤⑥可得：b﹣a＝c﹣b，c﹣a＝2（c﹣b）＝2（b﹣a）， 由2①+2②+2③可得： 2bc﹣2a2+2ac﹣2b2+2ab﹣2c2 ＝﹣（a2﹣2ab+b2）﹣（a2﹣2ac+c2）﹣（b2﹣2bc+c2） ＝﹣（b﹣a）2﹣（c﹣a）2﹣（c﹣b）2 ＝﹣6（c﹣b）2 ＝﹣6， ∴（c﹣b）2＝1， ∴c﹣b＝1或c﹣b＝﹣1， 当c﹣b＝1时，c＝b+1，a＝2b﹣c＝2b﹣b﹣1＝b﹣1，代入①可得：b（b+1）﹣（b﹣1）2＝7， 解得：，此时，， ∴3a+6b+9c＝5+16+33＝54； 当c﹣b＝﹣1时，c＝b﹣1，a＝2b﹣c＝b+1，代入①可得：b（b﹣1）﹣（b+1）2＝7， 解得：，此时，， ∴3a+6b+9c＝﹣5﹣16﹣33＝﹣54； 综上所述，3a+6b+9c的值为﹣54或54， 故答案为：﹣54或54． 【点评】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 16．（3分）关于x的二次三项式x2+mx+n（m，n是常实数），现有以下结论： （1）若m+n＝﹣1，则二次三项式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1）； （2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，则m＝6； （3）若x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q），则2m+n＝﹣4； （4）若m2﹣4n＜0则无论x取何实数，x2+mx+n总是正数． 其中正确结论的序号有 　（1）（3）（4）　 ． 【分析】运用因式分解和整式乘法知识进行逐一计算、变形、求解． 【解答】解：（1）∵m+n＝﹣1， ∴n＝﹣m﹣1， ∴x2+mx+n ＝x2+mx﹣m﹣1 ＝x2﹣1+mx﹣m ＝（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1） ＝（x﹣1）（x+1+m）， ∴二次三项式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1）， ∴结论（1）正确； （2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2， ∴x2+mx+n＝x2+6x+9＝（x+3）2， 或x2+mx+n＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， ∴m＝6或m＝﹣6， ∴结论（2）不正确； （3）∵x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q）＝x2+（q﹣2）x﹣2q， ∴m＝q﹣2，n＝﹣2q， ∴2m+n＝2（q﹣2）﹣2q＝2q﹣4﹣2q＝﹣4， 即2m+n＝﹣4， ∴结论（3）正确； ∵x2+mx+n ＝x2+mxn ＝（x）2+n， ∵（x）2≥0， ∴当n0， 即m2﹣4n＜0时， 无论x取何实数，x2+mx+n总是正数， ∴结论（4）正确， 故答案为：（1）（3）（4）． 【点评】此题考查了因式分解的应用能力，关键是能准确理解并运用因式分解和整式乘法知识． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）分解因式： （1）a3﹣25a； （2）6xy2﹣9x2y﹣y3． 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式． 【解答】解：（1）a3﹣25a ＝a（a2﹣25） ＝a（a+5）（a﹣5）； （2）6xy2﹣9x2y﹣y3 ＝﹣y（9x2﹣6xy+y2） ＝﹣y（3x﹣y）2． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键． 18．（6分）分解因式： （1）﹣8x3+8x2y﹣2xy2； （2）4m2（a﹣b）+16n2（b﹣a）． 【分析】（1）先提取公因式﹣2x，再利用完全平方公式分解因式即可得； （2）先提取公因式4（a﹣b），再利用平方差公式分解因式即可得． 【解答】解：（1）﹣8x3+8x2y﹣2xy2 ＝﹣2x（4x4﹣4xy+y2） ＝﹣2x（2x﹣y）2； （2）4m2（a﹣b）+16n2（b﹣a） ＝4m2（a﹣b）﹣16n2（a﹣b） ＝4（a﹣b）（m2﹣4n2） ＝4（a﹣b）（m+2n）（m﹣2n）． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 19．（8分）若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式；则称这个数是“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：∵5＝32﹣22， ∴5是“明礼崇德数”，3与2是5的一个平方差分解． 再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数）， ∴M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解． （1）判断：9 　是　 “明礼崇德数”；（填“是”或“不是”） （2）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P． 【分析】（1）根据9＝52﹣42和“明礼崇德数”的定义进行判断； （2）根据“明礼崇德数”的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵9＝52﹣42， ∴9是“明礼崇德数”， 故答案为：是； （2）由条件可知： P＝（x2+y）2﹣（x2）2 ＝x4+2x2y+y2﹣x4 ＝2x2y+y2． 【点评】本题主要考查了平方差 公式的运用，解题的关键是理解新定义的运算法则． 20．（8分）在学习完“因式分解”后，为了开拓学生的思维，宋老师在黑板上写了题目： 因式分解：x2﹣xy+6x﹣6y．下面是甜甜的解法： 解：x2﹣xy+6x﹣6y ＝（x2﹣xy）+（6x﹣6y）（分组） ＝x（x﹣y）+6（x﹣y）（提公因式） ＝（x﹣y）（x+6）． 请利用上述方法，解答下列各题： （1）因式分解：m2﹣2m+2n﹣mn； （2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）用分组分解法求解即可； （2）利用分组分解法求出（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，可得a﹣b＝0，从而可判断△ABC是等腰三角形． 【解答】解：（1）原式＝（m2﹣2m）+（2n﹣mn） ＝m（m﹣2）+n（2﹣m） ＝（m﹣2）（m﹣n）； （2）△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0， ∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∵a+b﹣c＞0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． 【点评】本题考查了分组分解法，等腰三角形的判定，三角形三边的关系．熟练掌握以上知识点是关键． 21．（10分）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题： （1）已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是（x+5），求另一个因式以及a的值； （2）已知二次三项式6x2﹣x﹣p有一个因式是（2x+3），求另一个因式以及p的值． 【分析】（1）设另一个因式是（x+b），则x2﹣4x+m＝x2+（b+3）x+3b，根据对应项的系数相等即可求得b和k； （2）设另一个因式是（3x+m），利用多项式的乘法法则展开，再根据对应项的系数相等即可求出m和p． 【解答】解：（1）根据题意，设另一个因式为（x+b）， x2+6x+a＝（x+5）（x+b）， 则x2+6x+a＝x2+5x+bx+5b， x2+6x+a＝x2+（5+b）x+5b， ∴， 解得：b＝1，a＝5， 故另一个因式为（x+1），a的值为5； （2）根据题意，设另一个因式为（3x+m）， 6x2﹣x﹣p＝（3x+m）（2x+3）， 则6x2﹣x﹣p＝6x2+（9+2m）x+3m， 6x2﹣x﹣p＝6x2+9x+2mx+3m， ∴， 解得：m＝﹣5，p＝15， 故另一个因式为（3x﹣5），p的值为15． 【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 22．（10分）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法． （1）二次项系数2＝1×2 （2）常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”． ①1×3+2×（﹣1）＝1；②1×（﹣1）+2×3＝5；③1×（﹣3）+2×1＝﹣1；④1×1+2×（﹣3）＝﹣5 （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1＝﹣1等于一次项系数﹣1，即（x+1）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 仿照以上方法分解因式3x2+5x﹣12． 二次项系数　3　 ＝　1　 ×　3　 ． 常数项　﹣12　 ＝　﹣1×12　 ． 发现“交叉相乘之和”的结果　1　 ×　（﹣4 ）　 +　3　 ×　3　 ＝　5　 等于一次项系数　5　 ，则3x2+5x﹣12　（x+3）（3x﹣4）　 ． 【分析】根据题意利用十字相乘解题即可． 【解答】解：二次项系数3＝1×3， 常数项﹣12＝3×（﹣4）＝﹣3×4＝2×（﹣6）＝﹣2×6＝1×（﹣12）＝﹣1×12， 发现“交叉相乘之和”的结果1×（﹣4）+3×3＝5等于一次项系数5， 则3x2+5x﹣12＝（x+3）（3x﹣4）， 故答案为：3，1，3，﹣12，﹣1×12，1，（﹣4），3，3，5，5，（x+3）（3x﹣4）． 【点评】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题． 23．（12分）实践与探究； 如图，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张．（其中正方形纸片A的边长为a，正方形纸片B的边长为b，长方形纸片C的长为a，宽为b．） （1）①请你选取适当数量的三种纸片，拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的长方形，在方框中画出拼好后的图形． ②上述拼图共用了 　1　 张A纸片，　2　 张B纸片． 　3　 张C纸片，通过面积计算可以发现（a+2b）（a+b）＝ 　a2+3ab+2b2　 ． （2）①请你用这三种纸片拼出面积为3a2+4ab+b2的长方形，在方框中画出拼好后的图形． ②上述拼图共用了 　3　 张A纸片，　1　 张B纸片，　4　 张C纸片． 通过面积计算可以发现3a2+4ab+b2＝ 　（3a+b）（a+b）　 ． ③利用拼图把下列多项式分解因式： a2+3ab+2b2＝ 　（a+2b）（a+b）　 ； 3a2+5ab+2b2＝ 　（3a+2b）（a+b）　 ． 【分析】（1）①根据长方形长为（a+2b）、宽为（a+b）即可画出图形； ②通过观察拼好的图形即可得知A、B、C种图形的张数，用两种方法表示图形的面积即可得出等式； （2）①根据长方形的面积即可得出图形的长和宽从而画出图形； ②根据观察即可得知A、B、C类纸片的数量，通过两种方法表示图形的面积即可得出等式； ③利用拼图即可对多项式进行因式分解． 【解答】解：（1）①如图所示： ②观察拼图，共用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片， 图形的面积＝（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 故答案为：1，2，3；a2+3ab+2b2； （2）①如图所示： ； ②观察拼图，共用3张A类纸片，1张B类纸片，4张C类纸片， 根据图形面积可知3a2+4ab+b2＝（3a+b）（a+b）； ③因式分解： a2+3ab+2b2 ＝（a+2b）（a+b）， 3a2+5ab+2b2 ＝（3a+2b）（a+b）． 故答案为：3，1，4；（3a+b）（a+b）；（a+2b）（a+b）；（3a+2b）（a+b）． 【点评】本题考查了因式分解的应用，用两种方法表示图形的面积以及数形结合的思想是解决本题的关键． 24．（12分）（1）对于一个矩形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，得到一个等式．要求等式从左边到右边，是一个多项式到几个整式的积的变形形式，相当于对左边的多项式进行因式分解，我们把这样的等式叫“因式分解等式”．如图1、是4个小矩形拼接而成的大矩形，根据计算矩形的面积，可以得到的“因式分解等式”为 　ap+aq+bp+bq＝（a+b）（p+q）　 ；如图2，若a＝p，b＝q时，根据计算矩形的面积可以得到的“因式分解等式”为 　a2+2ab+b2＝（a+b）2　 ； （2）类似的，通过不同的方法表示同一个长方体的体积，也可以探求相应的“因式分解等式”．如图3，棱长为a+b的正方体被分割成8块．则有 　a3+b3+3a2b+3ab2　 ＝（a+b）3； （3）根据（1）和（2）中的结论解答下列问题：若图1与图2中的a与b的值满足a+b＝4，a2+b2＝12，求的值． 【分析】（1）根据图形面积即可得解； （2）根据正方体的体积公式以及分割成的图形体积之和即可得解； （3）参考上述结论计算求解即可． 【解答】解：（1）由图形等面积可得ap+aq+bp+bq＝（a+b）（p+q）； a2+2ab+b2＝（a+b）2； 故答案为：ap+aq+bp+bq＝（a+b）（p+q）；a2+2ab+b2＝（a+b）2； （2）正方体的体积为（a+b）3， 由图可知正方体被分割成8部分， 其中1个边长为a的小正方体， 1个边长为b的小正方体， 3个底面边长为a，高为b的长方体， 3个底面边长为b，高为a的长方体， ∴（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2， 故答案为：a3+b3+3a2b+3ab2； （3）∵a2+2ab+b2＝（a+b）2，a+b＝4，a2+b2＝12， ∴ab＝2， ∵a3+b3+3a2b+3ab2＝（a+b）3， ∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2 ＝（a+b）3﹣3ab（a+b） ＝43﹣3×2×4 ＝40； ∵a2+2ab+b2＝（a+b）2， ∴（a3）2+2a3b3+（b3）2＝（a3+b3）2， ∴a6+b6＝402﹣2×23＝1600﹣16， ∴． 【点评】本题组要考查了因式分解、完全平方公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$