第4章 因式分解（知识清单）数学新教材浙教版七年级下册

第4章 因式分解 1. 因式分解的定义：将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，称为因式分解（分解因式）。因式分解的结果必须是乘积形式，且每个因式均为整式 2.公因式的定义：多项式各项共有的因式（系数取最大公约数，字母取最低次幂）。如：6a²b+9ab²=3ab(2a+3b) 提取公因式的步骤： ① 确定公因式； ② 提取公因式，剩余部分作为另一个因式。 3.公式法是利用乘法公式的逆运算分解 （1）平方差公式：a²−b²=(a+b)(a−b) 示例：9x²−16=(3x+4)(3x−4) （2）完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)2 示例：x²+6x+9=(x+3)²（需验证中间项是否为两倍首尾乘积）。 4.因式分解的步骤与注意事项 （1）分解步骤： ①先提公因式：无论是否明显，优先提取所有公因式； ②观察剩余项：若为两项用平方差，若为三项用完全平方公式； ③检查彻底性：确保每个因式不可再分解。 1.根据因式分解的结果判断字母参数 易错点：因式分解是整式的乘法运算的逆运算，因此只要将因式分解的结果进行计算，各项及其系数对齐，必要时列出方程即可。 例1 （25-26八年级上·广东江门·月考）已知整式可以因式分解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解． 【详解】解：展开 ，与原式比较系数， 得， 解得 ， 则． 故答案为：． 2.求另一个因式 易错点：通过因式分解的结果，可以大致判断两个因式的组成，比如两次三项式一般是两个一次式相乘的结果，因此比如求A×(2x-1)=x²+2x-3时，A一定是ax+b的一次式，因此只要待定系数，结合“1.根据因式分解的结果判断字母参数”的方法求出a和b的值即可。 例2 若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【答案】1 【详解】解：因为二次三项式的二次项系数为，一个因式为，所以设另一个因式为，则， 展开等式右侧得：， 比较多项式两边同类项的系数，可得：， 解得， 代入得． 3.提取公因式法 易错点：提取公因式时，尽可能一次性提取完全，不但是符号和系数，还有公共的字母。特别的，如果存在常数项时，不要忽略提取公因式还要将常数项也一并提取，如果无法提取则不算提取公因式法，也不能因式分解。比如这种，就不是因式分解。 例3 把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用提公因式法解题即可，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 4.用平方差公式进行因式分解 易错点：根据乘法公式中所学，我们可以运用平方差公式的计算结果是两个完全平方式的差推导，整式为两个完全平方式（包括完全平方数）的差的可以使用平方差公式进行因式分解。比如：，，等。 例4 将下列多项式进行因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解：； （5）解： ． 5.平方差公式分解因式的应用 易错点：利用平方差公式分解因式，可以解决比如编码或密码问题，规律问题，整除问题或定义性问题。 例5 （25-26八年级上·河南商丘·期末）日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确分解因式是解答本题的关键． 先把因式分解，再把代入计算出各个因式的值，即可得到一个密码（各因式的排列顺序不同，得到的密码不同）． 【详解】解： ， 当时， ，，， 密码可以是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 例6 （2024·河南信阳·一模）如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为，，，故4，12，20都是神秘数． (1)写出一个除4，12，20之外的“神秘数”：______； (2)小明说：“2024是神秘数．”小亮为了验证，设较小偶数是m，则较大偶数是，列出方程，请用小亮所列方程分析小明的说法是否正确； (3)设两个连续偶数为和（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗？说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)小明的说法不正确，见解析 (3)能够被4整除，见解析 【分析】（1）根据“神秘数”的定义，任选大于等于的两个连续偶数，即可求解， （2）应用平方差公式解，求出的值，即可判断， （3）化简得能被整除，即可求解， 本题考查了，数字规律探索，解题的关键是：理解题意正确列式． 【详解】（1）解：， 故答案为：（答案不唯一）， （2）解：，即：， ∴，解得：，不是偶数， ∴2024不是神秘数； （3）解：， 能被整除． 6.用完全平方公式进行因式分解 易错点：如果两次三项式满足三项分别为：两个式（或数）的平方的和，以及这两个式（或数）的乘积的两倍。即和2AB，那么这个两次三项式可以用完全平方公式进行因式分解。比如：，，等。 例7 (1) (2)． (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：； 7.用配方法解决问题 易错点：利用完全平方公式的特征，可以将多项式的一部分进行配方，可以更好地进行因式分解，或者求这个式子的最值。比如对于式子，利用“”进行配方，可知，那么： ①原式,因为，所以，因此的最小值为﹣81（当x=3时）。 ②继续转化，为两个式子的平方的差，因此可以用平方差公式因式分解，得到. 例8 （25-26八年级下·江苏无锡·期中）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即 (1)题干中，因式分解的最后结果是： ； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值； (3)【项目解决】如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照题干计算得出，再结合题干所给式子计算即可得出结果； （3）设，则，表示出四边形面积，从而即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴； （3）解：设，则， ∴四边形面积， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 8.用因式分解进行简便运算 易错点：因式分解中的提取公因式法就是我们小学就学过的乘法分配律，因此提取公因式法是简便运算的方法之一，同理用乘法公式进行因式分解也可以实现简便运算，比如，比如。 例9 利用分解因式简便运算： (1) (2)． 【答案】(1)4000 (2)4 【分析】本题考查了利用分解因式进行简便运算，解题的关键在于掌握平方差公式与完全平方公式． （1）利用平方差公式计算求解，即可解题； （2）根据完全平方公式进行计算求解，即可解题； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9.因式分解要分解完全 易错点：因式分解要分解完全，简单说就是因式分解的结果既不能再提取公因式，也不能再用乘法公式进行分解。在实际分解因式的过程中，提取公因式后要看是否可以再用乘法公式分解因式，如果还有则继续分解，继续分解后，还需要重新看能否再进行提取公因式或用乘法公式的因式分解，这是每一步结果都要重新检查的。 例10 （25-26八年级下·江苏徐州·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 10.特殊整式的因式分解 易错点：有一些因式分解比较特殊，没法直接提取公因式，也没法直接使用乘法公式。这时候需要进行特殊方法，我们从两个举例中来总结分组因式分解和补项法这两种方式。 例11 （24-25八年级上·湖北十堰·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)①填空： 解：原式 （      ）（      ） ___________ ②因式分解： (2)已知，且，求的值． 【答案】(1)①，，，②； (2) 【分析】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组． （1）①根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案； ②先分组，然后 完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解； （2）将两多项式相减得到，，的关系，代入等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 解：①原式 ； 故答案为：，，． ②原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴； 例12 【学习材料】——拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如： 例1  分解因式： 【解析】解：原式= 例2  分解因式： 【解析】解：原式= 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）分解因式：______． （2）运用拆项添项法分解因式：． （3）化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解； （2）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解； （3）根据题意利用拆项添项法对分式的分子进行因式分解，然后再约分化简． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2） ， ， ； （3）∵ ， ， ， ∴原式． 1．（20-21八年级上·福建泉州·月考）在运用提公因式法对多项式进行分解因式时，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定各系数的最大公约数，再取相同字母的最低次幂的积作为公因式即可． 【详解】解：， ∴公因式是， 故选C 2．（23-24九年级上·江西九江·开学考试）下列式子从左到右的变形是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】A. ，是多项式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，等式的右边不是多项式的乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，等式的右边不是多项式的乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，是因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 4．（2026·河北张家口·一模）在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分别将三个单项式代入原多项式，化简后用初中因式分解方法判断是否能分解，统计符合要求的个数即可． 【详解】解：对于①：，能进行因式分解； 对于②：，能进行因式分解； 对于③：，不能进行因式分解； 综上，符合要求的有个． 5．（25-26八年级上·湖南永州·期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（   ） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，先进行因式分解，再根据题干给定方法，进行求解即可． 【详解】解：∵， 当x取12，y取14时，，，， ∴三个数为12、2、26． 所有组合数字：12226、12262、21226、22612、26122、26212，其中最大数字为26212． ∴ 密码为26212， 故选C． 6．（25-26八年级上·江苏南通·期末）因式分解：_____________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，通过提取公因式进行分解． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海青浦·期中）若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 【答案】或或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分情况讨论，确定符合条件的单项式即可． 【详解】解：完全平方公式的结构为，分两种情况讨论： 当和分别为完全平方中的两个平方项时， 此时，，中间项为， 因此可以加上的单项式为或； 当为其中一个平方项，为中间项时，设所加的单项式为， 根据完全平方公式，有，解得， 因此加上的单项式为， 综上，符合条件的单项式为：或或． 8．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）若，，则______． 【答案】 【分析】先将所求式子因式分解，再代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·福建厦门·期中）若，则______． 【答案】 【分析】先对已知条件变形整理得到关于的二次等式，再对所求多项式提取公因式因式分解，代入二次等式计算即可得到结果． 【详解】解：已知， 移项得 ， 两边平方得 ， 展开整理得 ， 对所求多项式因式分解： ． 10．（24-25八年级下·全国·期末）若实数，，，满足，，则___． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与因式分解，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 把和合并，利用完全平方公式化简后求解即可． 【详解】解：∵， ∴可得：， 整理可得：， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）在实数范围内分解因式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 12．请同学们观察以下三个等式，并结合这些等式，回答下列问题： (1)请你再写出另外两个符合上述规律的算式：______；______． (2)观察上述算式，我们发现，如果两个连续奇数分别为和（其中为正整数），则它们的平方差是8的倍数，请你含的式子说明上述规律的正确性． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握该知识点并发现数字变化规律是解题关键． （1）根据题意写出符合规律的算式即可； （2）利用平方差公式因式分解进行计算即可得出答案； 【详解】（1）解：根据题意符合上述规律的算式有：； 故答案为：；（答案不唯一） （2）解： 两个连续奇数的平方差是8的倍数． 13．（25-26八年级上·湖南常德·期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)132 (4)，，最小值为2016 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征即可确定出k的值； （2）把化为的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）首先把y配方写成，根据平方的非负性得y的最大值； （4）用拆项的方法首先把多项式化为的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴． ∴当时，y有最大值，最大值为132； （4）解： ， 当，时代数式有最小值， 解得，，最小值为2016． 14．（23-24八年级下·陕西西安·月考）【问题提出】 如图①，有若干张1号、2号、3号卡片． （1）如图②，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片拼成一个大长方形，根据所拼大长方形的面积可以将因式分解为__________； 【问题探究】 （2）试借助拼图的方法，把二次三项式因式分解，并把所拼的图形画在图③虚线方框内； 【问题解决】 （3）如图④，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，延长至点T，使，延长至点O，使，过点O，T作，的垂线，两垂线相交于点R，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】（1）；（2），图见解析；（3）1856 【分析】本题考查多项式乘多项式的几何背景，因式分解的应用，以及完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键． （1）根据图形利用长方形面积为长乘宽表示出其面积，即可解题； （2）根据多项式画出拼图，再利用长方形面积为长乘宽表示出其面积，即可解题； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，结合完全平方公式代入求值即可． 【详解】（1）解：由题知，1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片拼成一个大长方形，其面积为：， 由图②知大长方形面积为：， 因式分解为， 故答案为：． （2）解：根据可画拼图如下： 由图可知，； （3）解：由题知，，，，长方形的面积是200， ，，且， 四边形和都是正方形，四边形是长方形，，， ， 又， 令，，则， ，， ， ， 四边形的面积． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 因式分解 1. 因式分解的定义：将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，称为因式分解（分解因式）。因式分解的结果必须是乘积形式，且每个因式均为整式 2.公因式的定义：多项式各项共有的因式（系数取最大公约数，字母取最低次幂）。如：6a²b+9ab²=3ab(2a+3b) 提取公因式的步骤： ① 确定公因式； ② 提取公因式，剩余部分作为另一个因式。 3.公式法是利用乘法公式的逆运算分解 （1）平方差公式：a²−b²=(a+b)(a−b) 示例：9x²−16=(3x+4)(3x−4) （2）完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)2 示例：x²+6x+9=(x+3)²（需验证中间项是否为两倍首尾乘积）。 4.因式分解的步骤与注意事项 （1）分解步骤： ①先提公因式：无论是否明显，优先提取所有公因式； ②观察剩余项：若为两项用平方差，若为三项用完全平方公式； ③检查彻底性：确保每个因式不可再分解。 1.根据因式分解的结果判断字母参数 易错点：因式分解是整式的乘法运算的逆运算，因此只要将因式分解的结果进行计算，各项及其系数对齐，必要时列出方程即可。 例1 （25-26八年级上·广东江门·月考）已知整式可以因式分解为，则的值为______． 2.求另一个因式 易错点：通过因式分解的结果，可以大致判断两个因式的组成，比如两次三项式一般是两个一次式相乘的结果，因此比如求A×(2x-1)=x²+2x-3时，A一定是ax+b的一次式，因此只要待定系数，结合“1.根据因式分解的结果判断字母参数”的方法求出a和b的值即可。 例2 若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 3.提取公因式法 易错点：提取公因式时，尽可能一次性提取完全，不但是符号和系数，还有公共的字母。特别的，如果存在常数项时，不要忽略提取公因式还要将常数项也一并提取，如果无法提取则不算提取公因式法，也不能因式分解。比如这种，就不是因式分解。 例3 把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 4.用平方差公式进行因式分解 易错点：根据乘法公式中所学，我们可以运用平方差公式的计算结果是两个完全平方式的差推导，整式为两个完全平方式（包括完全平方数）的差的可以使用平方差公式进行因式分解。比如：，，等。 例4 将下列多项式进行因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) (5) 5.平方差公式分解因式的应用 易错点：利用平方差公式分解因式，可以解决比如编码或密码问题，规律问题，整除问题或定义性问题。 例5 （25-26八年级上·河南商丘·期末）日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 例6 （2024·河南信阳·一模）如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为，，，故4，12，20都是神秘数． (1)写出一个除4，12，20之外的“神秘数”：______； (2)小明说：“2024是神秘数．”小亮为了验证，设较小偶数是m，则较大偶数是，列出方程，请用小亮所列方程分析小明的说法是否正确； (3)设两个连续偶数为和（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗？说明理由． 6.用完全平方公式进行因式分解 易错点：如果两次三项式满足三项分别为：两个式（或数）的平方的和，以及这两个式（或数）的乘积的两倍。即和2AB，那么这个两次三项式可以用完全平方公式进行因式分解。比如：，，等。 例7 (1) (2)． (3) (4)； 7.用配方法解决问题 易错点：利用完全平方公式的特征，可以将多项式的一部分进行配方，可以更好地进行因式分解，或者求这个式子的最值。比如对于式子，利用“”进行配方，可知，那么： ①原式,因为，所以，因此的最小值为﹣81（当x=3时）。 ②继续转化，为两个式子的平方的差，因此可以用平方差公式因式分解，得到. 例8 （25-26八年级下·江苏无锡·期中）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即 (1)题干中，因式分解的最后结果是： ； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值； (3)【项目解决】如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为 ． 8.用因式分解进行简便运算 易错点：因式分解中的提取公因式法就是我们小学就学过的乘法分配律，因此提取公因式法是简便运算的方法之一，同理用乘法公式进行因式分解也可以实现简便运算，比如，比如。 例9 利用分解因式简便运算： (1) (2)． 9.因式分解要分解完全 易错点：因式分解要分解完全，简单说就是因式分解的结果既不能再提取公因式，也不能再用乘法公式进行分解。在实际分解因式的过程中，提取公因式后要看是否可以再用乘法公式分解因式，如果还有则继续分解，继续分解后，还需要重新看能否再进行提取公因式或用乘法公式的因式分解，这是每一步结果都要重新检查的。 例10 （25-26八年级下·江苏徐州·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 10.特殊整式的因式分解 易错点：有一些因式分解比较特殊，没法直接提取公因式，也没法直接使用乘法公式。这时候需要进行特殊方法，我们从两个举例中来总结分组因式分解和补项法这两种方式。 例11 （24-25八年级上·湖北十堰·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)①填空： 解：原式 （      ）（      ） ___________ ②因式分解： (2)已知，且，求的值． 例12 【学习材料】——拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如： 例1  分解因式： 【解析】解：原式= 例2  分解因式： 【解析】解：原式= 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）分解因式：______． （2）运用拆项添项法分解因式：． （3）化简：． 1．（20-21八年级上·福建泉州·月考）在运用提公因式法对多项式进行分解因式时，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西九江·开学考试）下列式子从左到右的变形是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北张家口·一模）在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（25-26八年级上·湖南永州·期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（   ） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 6．（25-26八年级上·江苏南通·期末）因式分解：_____________． 7．（25-26七年级上·上海青浦·期中）若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 8．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）若，，则______． 9．（25-26八年级下·福建厦门·期中）若，则______． 10．（24-25八年级下·全国·期末）若实数，，，满足，，则___． 11．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）在实数范围内分解因式 (1) (2) (3) (4) 12．请同学们观察以下三个等式，并结合这些等式，回答下列问题： (1)请你再写出另外两个符合上述规律的算式：______；______． (2)观察上述算式，我们发现，如果两个连续奇数分别为和（其中为正整数），则它们的平方差是8的倍数，请你含的式子说明上述规律的正确性． 13．（25-26八年级上·湖南常德·期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 14．（23-24八年级下·陕西西安·月考）【问题提出】 如图①，有若干张1号、2号、3号卡片． （1）如图②，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片拼成一个大长方形，根据所拼大长方形的面积可以将因式分解为__________； 【问题探究】 （2）试借助拼图的方法，把二次三项式因式分解，并把所拼的图形画在图③虚线方框内； 【问题解决】 （3）如图④，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，延长至点T，使，延长至点O，使，过点O，T作，的垂线，两垂线相交于点R，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $