专题01 相交线与平行线（考点串讲，6常考点+4核心+3思想+6拐点模型+5易错+押题预测）七年级数学下学期新教材青岛版

七年级数学下学期·期中复习大串讲 串讲课件 相交线与平行线 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点梳理 押题预测 六大常考点：考点梳理+针对训练 四大核心考点整合+三大思想方法整合+六大拐点模型 五大易错易混经典例题 精选3道期中真题对应考点练 相等 最短 一条 相等 互补 相等 知识结构 3 1 2 A B C D O 4 3 找出图中的邻补角： ∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1都互为邻补角. 邻补角的性质： 邻补角互补 找出图中的对顶角： 对顶角的性质： 对顶角相等 ∠1和∠3，∠2和∠4都互为对顶角. 考点梳理 考点1.邻补角、对顶角 对顶角 邻补角 特 征 ①两条直线相交形成的角 ②有公共顶点 ③没有公共边 ①两条直线相交而成的角 ②有公共顶点 ③有一条公共边 性 质 对顶角相等 邻补角互补 相同点 ①都是两条直线相交而成的角 ②都有一个公共顶点 ③都是成对出现的 不同点 ①有无公共边 ②两直线相交时，对顶角只有两对，邻补角有四对 针对训练 1. 如图是一把剪刀，若 ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 2. 如图，直线，相交于点 ，若，平分， 则 ______. 6 （1）垂线的定义具有双重作用 ①知线垂直得直角； ②知直角得线垂直. 如图， ①若 AB⊥CD，则∠AOD =∠AOC=∠BOC =∠BOD =90°； ②若∠AOD =90°，则 AB⊥CD. A B C D O 考点梳理 考点2.垂线 （2）垂线的性质 ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 可以在已知直线上，也可以在已知直线外 “有”指存在，“只有”指唯一性 l A ②垂线段最短. P l O A1 A2 A3 考点梳理 P l O A1 A2 A3 （3）点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度. 线段PO的长即为点P到直线l的距离 考点梳理 垂线 垂线段 点到直线的距离 图示 区别 联系 垂线是一条直线 垂线段是一条线段 垂线段的长度，是一个数量 它们都与垂直有关 l P O l P O l P O 垂线、垂线段、点到直线的距离三者的区别和联系 考点梳理 3. [2024阳江期中] 如图，现要从村庄修建一条连接公路 的最短小路，过点 作于点，沿 修建公路，则这样做的理由是( ) C A. 过一点可以作无数条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 针对训练 11 4. 在直线上任取一点，过点 作射线，，使.如果 ， 那么 的度数为___________. 或 【点拨】分两种情况：①如图①，当, 在 的同一侧时， ① ， . 又 , ; ②如图②，当,在 的两侧时， ， . 又 , . . ② 12 B A F E 1 4 2 3 D C 5 8 6 7 找出图中的同位角： ∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8 找出图中的内错角： ∠3和∠5，∠4和∠6 找出图中的同旁内角： ∠3和∠6，∠4和∠5 三线八角 考点梳理 考点3.三线八角 角的名称 位置特征 基本图形 形象记法 共同特征 同位角 截线：________ 被截线：______ 内错角 截线：________ 被截线：______ 同旁内角 截线：________ 被截线：______ 同侧 同侧 F Z U 两侧 之间 同旁 之间 都没有公共顶点 1 5 3 5 3 6 5. 如图，同位角有对，内错角有 对，同旁内角有对，则 的值是( ) C A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 针对训练 6.如图，请你找出汉字“土”中所有的同位角、内错角、同旁内角； 【解】同位角：与，与 ; 内错角：与，与; 同旁内角： 与，与 . 15 考点4.平行线及其性质与判定 1.平行线的概念 （1）平行线基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 若点在直线上，不可能有平行线 存在且唯一 （2）平行线基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. a b c 符号语言： 如果 b∥a，c∥a， 那么 b∥c . 考点梳理 文字简述 符号语言 图示 同位角相等，两直线平行 ∵________（已知），∴a∥b 内错角相等，两直线平行 ∵________（已知），∴a∥b 同旁内角互补，两直线平行 ∵______________（已知），∴a∥b ∠1=∠4 ∠1=∠2 ∠1+∠3=180° a b c 3 1 2 4 2.平行线的判定 考点梳理 3.平行线的性质 文字简述 符号语言 图示 两直线平行，同位角相等 ∵a∥b（已知），∴________ 两直线平行，内错角相等 ∵a∥b（已知），∴________ 两直线平行，同旁内角互补 ∵a∥b（已知），∴______________ ∠1=∠4 ∠1=∠2 ∠1+∠3=180° a b c 3 1 2 4 考点梳理 角的数量关系 线的位置关系 判定 性质 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 条件 结论 结论 条件 判定 性质 4.平行线的性质与判定的区别和联系 考点梳理 （1）定义法. （2）基本事实的推论：若 a∥b，b∥c，则 a∥c. （3）判定方法1：同位角相等，两直线平行. （4）判定方法2：内错角相等，两直线平行. （5）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行. （6）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 5.归纳：判断平行的方法 考点梳理 7. 如图是一个可折叠衣架，是地平线，当 ，时，就可以确定 点,, 在同一直线上，这样判定的依据是( ) A A. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两点确定一条直线 D. 平行于同一直线的两直线平行 针对训练 21 8. [2024重庆一中期末] 如图，直线 , ， ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 针对训练 9. 为响应国家新能源建设的号召，某市公交站台装上了太阳能电池板.已知，当 地某一季节的太阳光线（平行光线）与水平线的最大夹角为 ，如图，电池板 与最大夹角时刻的太阳光线相互垂直，此时电池板与水平线夹角为 ， 要使，需将电池板逆时针旋转 ，则 ____. 20 22 10.（2024杭州期中）将一条两边沿互相平行的纸带折叠，如图，设为 ， 请用关于 的式子表示 的度数，则 __________. 【点拨】如图， ， ， . 由折叠易知 . . 23 11.【生活现象】如图①，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具， 是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提 绳等组成. 【数学模型】如图②是杆秤的示意图， ，经测量发现 ， ，请判断与 的位置关系，并说明理由. ① ② 24 【解】 .理由如下： ， . 又 , . 又 , . ① ② 25 12.如图，在四边形中，, . （1）求 的度数； 【解】, . 又 , . （2）平分交于点 , .求证： . 【证明】平分, , . 又, . 又 , . . 26 考点5 定义、命题、定理 定义、命题、定理 定义 对数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义 命题 分类 概念 可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述句叫作命题 真命题 经过推理证实的真命题叫作定理 假命题 形式 如果……那么…… 证明 很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明 13. 下列句子，不是命题的是( ) B A. 两直线平行，同位角相等 B. 直线垂直于 吗？ C. 如果，那么 D. 对顶角相等 针对训练 14. 下面四个值，能说明命题“对于任意偶数 ，都是4的倍数”是假命题的是( ) C A. B. C. D. 28 15.如图，给出下列命题： ①， ； ②， ； ③ ， ； ， . 其中真命题有 ________.（填序号） ①②③ 16.把命题“同号两数的积是正数”改写成“如果……那么……”的形式是 ______________________________________. 如果两数同号，那么这两个数的积是正数 29 考点6 平移 平移 概念 两要素 作图 性质 平移前后图形的形状和大小完全相同 对应线段平行(或在同一直线上)且相等 对应点所连线段平行(或在同一直线上)且相等 平移的方向、平移的距离 一定、二找、三作、四连 在平面内，将一个图形按某一方向移动一定距离 17. [2024苏州姑苏区期末] 下列物体的运动中，属于平移的是( ) A A. 电梯上下移动 B. 翻开数学课本 C. 电扇扇叶转动 D. 落叶随风飘零 针对训练 18.如图，三角形沿着直线 向右平移得到三角形 ，则下列结论中： ；； ； .其中结论正确的序号是________. ①②④ 31 19.如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方 形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为____平方米. 48 32 考点1 相交线 1.[2024· 宁波鄞州区期末] 如图，，被 所截，则 的同位角是( ) A A. B. C. D. 四大核心考点整合 题型剖析 33 2.[2024· 雅安] 如图，直线，交于点 ，于点，若 ， 则 的度数是( ) A A. B. C. D. 3.合理利用资源，防止环境污染，保持生态平衡，是环境保护的重要任务.如图，污 水处理厂要从 处把处理过的水引入排水沟，方法如下：过点作于点. 沿着 方向铺设排水管道用料最省.能准确解释这一现象的数学知识是____________. 垂线段最短 34 4.如图，若 ，则 ______；当剪刀口增大 时， 增大___. 考点2 平行线的判定与性质 5.[2024· 广东] 如图，一把直尺、两个含 的三角尺拼接在一起，则 的度 数为( ) A. B. C. D. C 35 6.[2024· 苏州] 如图，，若 ， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. A A. B. C. D. 7.[2024· 金华义乌月考] 如图，在下列给出的条件中，不能判定 的是( ) 36 8.(2024石家庄裕华区期末）光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同， 在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线 经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行.若 ， ，则 ______. （第8题） 37 9.为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车.如图是一辆共享 单车放在水平地面上的简易示意图，其中，都与地面平行， ， .当 ___ 时，与 平行. 73 （第9题） 38 10.如图，已知，于点， ， ， 则 的度数是______. [解析] 点拨：如图，过点作，过点作 ， ， . ， ， . ，， ， ，，， . ， ， . ， ， ， . 39 考点3 定义、命题、定理 11.下列命题中，是真命题的是( ) C A.相等的两个角是对顶角 B.同位角相等 C.若，则 D.若一个数能被2整除，则它也能被4整除 12.如图，已知，直线与直线 有交点，命题“内错角相等”是一个假命 题，下列选项可以作为反例的是( ) A. B. C. D. D 40 考点4 平移 13.如图，已知线段是由线段 平移得到的，且，， 则三角形 的周长是( ) D A. B. C. D. 14.如图，把直角梯形沿 方向平移到梯形，，， ，则阴影部分的面积是_______. [解析] 点拨：直角梯形沿 方向平移得到梯形， ， . 根据平移的性质，得 ， . 41 思想1 方程思想 15.如图，已知，.求 ，， 的度数. 三大思想方法整合 解：设 ，则 ， . ， ， ， ， . 又 ， ，解得 ， ， ， . 42 16.（2024潘阳月考）【课本再现】 （1）如图，直线，相交于点 ，，垂足为 ，求 的度数； 【解】， .又 ， . 又, . 【变式探究】 （2）如图，直线，相交于点，，垂足为 .若，求 的度数. 【解】由题意设 ，则 . ， ，解得 . . ， . . 43 思想2 分类讨论思想 17.若 与 的两边分别平行， 比 的3倍少 ，则 的度数是 ____________. 或 [解析] 点拨：与 的两边分别平行， 与 相等或互补. 设 ， 比 的3倍少 ， . 若 与 相等，则 ，解得， ； 若 与 互补，则 ，解得 ， . 的度数是 或 . 44 18.[2024嘉兴期中] 已知直线 ，点，分别在直线， 上，如图所示， 射线按顺时针方向以每秒 的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射 线 按顺时针方向以每秒 的速度旋转至停止，此时射线 也停止旋转. （1）若射线， 同时开始旋转，当旋转时间为30秒时， 与 的位置关系为________________. 【点拨】当旋转时间为30秒时，由已知， 得 ， . 如图①，设 与交于点，过点作 ， 则易知 ， ① ， . . . 45 （2）若射线先旋转45秒，射线才开始旋转，当射线 旋转的时间为多少时， ？ 【解】设与交于点，射线旋转秒时， . ①当 时，第一次平行，如图②， ② 由题知 ， . ， ， ， 即 ，解得 ； 46 ②当 时，第二次平行，如图③， ③ 易知 ， . ， ， ，即 ， 解得 ； ③当 时，第三次平行，如图④， ④ 易知 ， . ， ， ， 即 ， 解得 . 综上所述，当射线 旋转的时间为15秒或63秒或135秒时， . 47 思想3 类比思想 18.已知，的平分线与 的平分线相交于点 . （1）如图①，若 ，求 的度数； 解：如图，过点向左侧作，过点 向右侧作 .则, . ，, ， ， ， . ， . 的平分线和的平分线相交于点 ， ， ， ， . 48 （2）如图②，，，写出与 之间的数量关 系，并证明你的结论； 解： . 证明如下：， ， ， . 的平分线与的平分线相交于点 ， ， ，由（1） 知 ， . 易证， . （3）若，，设 ，则 _ _______. （用含有， 的式子表示） 49 模型归纳 过拐点作其中一条直线的平行线，然后利用平行线的性质求解。 1.单拐点模型 平行线中常见模型 50 2.多拐点模型 51 模型一 单拐点模型 类型1 “ ”形图 1. 如图，,为,之间的一点，已知 , ，求 的度数。 52 [答案] 解法一：过点 作射线 ,如图①所示。 因为， ,所以 ， 。 所以 ， 所以 。 所以 。 53 解法二：过点作射线 ,如图②所示。 因为，,所以， 。所以 。 因为 , 所以 。 所以 。 54 类型2 “ ”形图 2.小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直 杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知 垂直于 水平地面 。当车牌被自动识别后，“曲臂直杆道闸” C A. B. C. D. 的段绕点缓慢向上旋转， 段则一直保持水平状态上升 （即与始终平行），在该过程中 始终等于( ) 55 类型3 “ ”形图 3.如图， , , 。请问：与 平行吗？请说明理由。 56 解： 。理由如下： 如图，过点作 ， 所以 。 因为 ， 所以 。 因为 ，所以 ， 所以。又因为，所以 。 57 类型4 “ ”形图 4.如图，,则,, 有何数量关系？为什么？ 58 解： 。理由如下： 如图，过点作 , 所以 。 因为, , 所以，所以 ， 所以 。 59 类型5 “ ”形图 5.如图，已知， ， ，求 的度数。 60 解：如图,过点作 。 因为， ， 所以， 。 所以 。 所以 。 所以 。 61 模型二 多拐点模型 6.如图，一环湖公路的 段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东 西方向的段，求 的度数。 62 解：如图，分别过点，作的平行线， ， 由题意知 ， 所以 ， 则 ， ， ， 63 所以 ， 即 。 7.如图，已知，，试说明 。 65 解：如图，作， ， 所以， 。 因为，所以 ， 所以 。 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 。 66 8.如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐 ， 第二次拐弯形成的拐角 ，第三次拐弯后的道路恰好和第一 次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐弯的？ 67 解：如图，过点作，延长到点 。 因为， ， 所以。因为第一次向右拐 ，所以 ， 所以 。 因为 ， 所以 。 又因为，所以 。 所以第三次应向左拐 。 68 易混易错 1.[2024· 湖州吴兴区期中] 请阅读以下“预防近视”知识卡： 读书、写字、看书姿势要端正.一般人正常的阅读角度约为 俯角（如右图视线与水平线的夹角 ）.在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括:眼与书本的距离1尺;身体与桌子距离1拳;握笔时，手指离笔尖1寸.书本与课桌的角度要保持在 . 如图，桌面和水平面平行， 与书本所在平面重合，根据卡片内容， 请判断正常情况下，坐姿正确且坐椅高度适合时，视线 和书本所在 平面所成角 不可能为以下哪个角度？ ( ) D A. B. C. D. 押题预测 74 2.[2024· 无锡锡山区期中] 如图，， ， ，则 ____ . 27 （第2题） [解析] 点拨：如图，作， ， ， . ， ， . ， ， ， . 75 3.2024济南期中【阅读探究】 （1）如图①，，，分别是，上的点，点在， 两平行线之 间， ， ，求 的度数. 解：如图①，过点作 ， ______. ， . ______. ， ， . 76 （2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和 “凑”在一起，得出 角之间的关系，使问题得以解决.进一步研究，我们可以发现图①中， 和 之间存在一定的数量关系，它们之间的数量关系为_____________________ . 【方法应用】 （3）如图②，，，分别是，上的点，点在， 两平行线之 间， ， ，求 的度数. 解：如图，过点作 ， ， . ， ， ， . 77 【应用拓展】 （4）如图③，，，分别是，上的点，点在， 两平行线 之间，作和的平分线，，交于点 （交点在两平行线， 之间），若 ，则 的度数为__________ （用含 的式子表示）. [解析] 点拨：根据（3）得 ， ，分别平分和 ， ， . 根据（1）得 , . 78 $$