1.5 平行线的性质同步练习2024-2025学年浙教版数学七年级下册

1.5 平行线的性质 一．基础巩固（共15小题） 1．如图，AB∥CD，∠2＝115°，则∠1的度数是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 2．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　） A．60° B．120° C．130° D．80° 3．将一个直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　） A．55° B．50° C．45° D．35° 4．如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 5．如图，将直尺和45°的三角尺叠放在一起∠2＝68°，则∠1的度数为（　　） A．23° B．33° C．13° D．25° 6．折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝（　　） A．200° B．230° C．250° D．270° 7．如图，潜望镜中的两面镜子AB与CD互相平行放置，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若入射光线a与镜面AB的夹角∠1＝45°，则∠4的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠B＝112°，则∠D的大小为（　　） A．112° B．78° C．72° D．68° 9．如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠2＝58°，则∠1＝（　　） A．102° B．122° C．142° D．146° 10．如图所示，直线a∥b，∠2＝32°，∠1＝65°，则∠A的度数（　　） A．32° B．33° C．34° D．35° 11．如图，直线a⊥c，b⊥c，直线d与直线a，b相交，若∠1＝60°，则∠2度数是　 　 ． 12．如图，∠A＝75°，O是AB上一点，∠BOD＝85°，OE∥AC，则∠DOE的度数为 　 　 ． 13．如图，已知AB∥CD，∠ABD＝40°，BE平分∠ABC，且交CD于点D，则∠C的度数为 　 　 ． 14．已知∠1和∠2的两边平行，若∠1＝50°，则∠2＝　 　 ． 15．如图，把一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若∠BFN比∠BFE多6°，则∠EFC＝ 　 　 ． 二．能力提升（共2小题） 16．完成下面的证明，括号内填根据． 已知：如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，∠1＝∠2，∠3＝∠ABE，∠ADC+∠C＝180°． 求证：AD∥EF． 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠ABE＝∠DBC， 又∵∠3＝∠ABE， ∴∠3＝∠DBC， ∴　 　 ∥　 　 ，（ 　 　 ） ∵∠ADC+∠C＝180°， ∴　 　 ，（ 　 　 ） ∴　 　 ∥　 　 ．（ 　 　 ） 17．完成下列证明：如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2． 求证：DG∥BA． 证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（　 　 ）， ∴∠EFB＝∠ADB（ 等量代换）， ∴EF∥AD（　 　 ）， ∴∠1＝∠BAD（　 　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠　 　 ＝∠　 　 （等量代换）， ∴DG∥BA．（　 　 ）． 三．拓展探究（共1小题） 18．科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． （1）如图①是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面平面镜AB，CD是平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4..请利用所学的数学知识说明：进入潜望镜的光线m与离开潜望镜的光线n平行． （2）如图②，当光线m射到平面镜AB上时，会反射到平面镜CD上，又被平面镜CD反射，反射出的光线为n．若m∥n，求两面平面镜的夹角∠ABC的度数． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 平行线的性质 一．基础巩固（共15小题） 1．如图，AB∥CD，∠2＝115°，则∠1的度数是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【分析】由平行线的性质推出∠3+∠2＝180°，求出∠3＝65°，由对顶角的性质得到∠1＝∠3＝65°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠3+∠2＝180°， ∵∠2＝115°， ∴∠3＝65°， ∴∠1＝∠3＝65°． 故选：B． 2．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　） A．60° B．120° C．130° D．80° 【分析】先由∠1＝∠2得到a∥b，从而得到∠3+∠4＝180°，进而得到∠4的度数． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， ∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠3＝60°， ∴∠4＝120°， 故选：B． 3．将一个直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　） A．55° B．50° C．45° D．35° 【分析】由平行线的性质及三角形内角和作答． 【解答】解：如图， ∵∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等）， ∠2＝∠3（对顶角相等）， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝55°． 故选：A． 4．如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠2． 【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50°， ∴∠1＝∠3＝50°， ∵直线AB⊥AC， ∴∠2+∠3＝90°． ∴∠2＝40°． 故选：B． 5．如图，将直尺和45°的三角尺叠放在一起∠2＝68°，则∠1的度数为（　　） A．23° B．33° C．13° D．25° 【分析】由平行线的性质推出∠ABC＝∠2＝68°，即可求出∠1的度数． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ABC＝∠2＝68°， ∴∠1＝∠ABC﹣∠ABD＝68°﹣45°＝23°． 故选：A． 6．折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝（　　） A．200° B．230° C．250° D．270° 【分析】过B作BK∥CD，得到BK∥AE，推出∠C+∠CBK＝180°，∠ABK+∠BAE＝180°，得到∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°，由垂直的定义得到∠BAE＝90°，即可求出∠ABC+∠BCD的度数． 【解答】解：过B作BK∥CD， ∵CD∥AE， ∴BK∥AE， ∴∠C+∠CBK＝180°，∠ABK+∠BAE＝180°， ∴∠C+∠CBK+∠ABK+∠BAE＝360°， ∴∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝270°． 故选：D． 7．如图，潜望镜中的两面镜子AB与CD互相平行放置，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若入射光线a与镜面AB的夹角∠1＝45°，则∠4的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】由平行线的性质推出∠3＝∠2，即可得到∠4＝∠1＝45°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠3＝∠2， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠4＝∠1＝45°． 故选：B． 8．如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠B＝112°，则∠D的大小为（　　） A．112° B．78° C．72° D．68° 【分析】由平行线的性质推出∠D+∠B＝180°，即可求出∠D的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BCM+∠B＝180°， ∵CB∥DE， ∴∠D＝∠BCM， ∴∠D+∠B＝180°， ∵∠B＝112°， ∴∠D＝68°． 故选：D． 9．如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠2＝58°，则∠1＝（　　） A．102° B．122° C．142° D．146° 【分析】由题意知AB∥CD，AC∥BD，然后根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠CDB＝∠2＝58°， ∵AC∥BD， ∴∠1+∠CDB＝180°， ∴∠1＝180°﹣58°＝122°， 故选：B． 10．如图所示，直线a∥b，∠2＝32°，∠1＝65°，则∠A的度数（　　） A．32° B．33° C．34° D．35° 【分析】根据a∥b得出∠DBC＝∠1＝65°，再根据三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠DBC＝∠1＝65°， ∴∠A＝∠DBC﹣∠2＝65°﹣32°＝33°， 故选：B． 11．如图，直线a⊥c，b⊥c，直线d与直线a，b相交，若∠1＝60°，则∠2度数是　120°　 ． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【解答】解：如图， ∵a⊥c，b⊥c， ∴∠3＝90°，∠4＝90°， ∴∠3＝∠4， ∴a∥b， ∴∠1+∠2＝180°， ∵∠1＝60°， ∴∠2＝120°， 故答案为：120°． 12．如图，∠A＝75°，O是AB上一点，∠BOD＝85°，OE∥AC，则∠DOE的度数为 　10°　 ． 【分析】根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【解答】解：∵OE∥AC， ∴∠BOE＝∠A＝75°， ∵∠BOD＝85°， ∴∠DOE＝85°﹣75°＝10°， 故答案为：10°． 13．如图，已知AB∥CD，∠ABD＝40°，BE平分∠ABC，且交CD于点D，则∠C的度数为 　100°　 ． 【分析】由角平分线的性质可求得∠ABC的大小，再由平行线的性质可得出∠C与∠ABC互补，可求出结论． 【解答】解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∵∠ABD＝40°， ∴∠ABC＝2×40°＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣80°＝100°． 故答案为：100°． 14．已知∠1和∠2的两边平行，若∠1＝50°，则∠2＝　50°或130°　 ． 【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补解答． 【解答】解：∵∠1和∠2的两边分别平行， ∴∠2＝∠1＝50°， 或∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°， ∴∠2的度数为50°或130°． 故答案为：50°或130°． 15．如图，把一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若∠BFN比∠BFE多6°，则∠EFC＝ 　122°　 ． 【分析】根据平行线的性质和翻折的性质，求解即可． 【解答】解：根据折叠的性质得，∠EFC＝∠EFN， ∵∠BFN比∠BFE多6°， ∴∠BFN＝∠BFE+6°， ∴∠EFC＝∠EFN＝∠BFN+∠BFE＝2∠BFE+6°， ∵∠BFE+∠EFC＝180°， ∴2∠BFE+6°+∠BFE＝180°， ∴∠BFE＝58°， ∴∠EFC＝180°﹣58°＝122°， 故答案为：122°． 二．能力提升（共2小题） 16．完成下面的证明，括号内填根据． 已知：如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，∠1＝∠2，∠3＝∠ABE，∠ADC+∠C＝180°． 求证：AD∥EF． 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠ABE＝∠DBC， 又∵∠3＝∠ABE， ∴∠3＝∠DBC， ∴　EF　 ∥　BC　 ，（ 　内错角相等，两直线平行　 ） ∵∠ADC+∠C＝180°， ∴　AD∥BC　 ，（ 　同旁内角互补，两直线平行　 ） ∴　AD　 ∥　EF　 ．（ 　平行于同一条直线的两直线平行　 ） 【分析】根据平行线的判定与性质逐一判断即可． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠ABE＝∠DBC， 又∵∠3＝∠ABE， ∴∠3＝∠DBC， ∴EF∥BC，（内错角相等，两直线平行） ∵∠ADC+∠C＝180°， ∴AD∥BC，（同旁内角互补，两直线平行） ∴AD∥EF．（平行于同一条直线的两直线平行）， 故答案为：EF、BC、内错角相等，两直线平行；AD∥BC，同旁内角互补，两直线平行；AD、EF、平行于同一条直线的两直线平行． 17．完成下列证明：如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2． 求证：DG∥BA． 证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（　垂直定义　 ）， ∴∠EFB＝∠ADB（ 等量代换）， ∴EF∥AD（　同位角相等，两直线平行　 ）， ∴∠1＝∠BAD（　两直线平行，同位角相等　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠　2　 ＝∠　BAD　 （等量代换）， ∴DG∥BA．（　内错角相等，两直线平行　 ）． 【分析】根据垂直得出∠EFB＝∠ADB＝90°，根据平行线的判定得出EF∥AD，根据平行线的性质得出∠1＝∠BAD，求出∠2＝∠BAD，根据平行线的判定得出即可． 【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知） ∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（ 垂直定义） ∴∠EFB＝∠ADB（ 等量代换） ∴EF∥AD（ 同位角相等，两直线平行） ∴∠1＝∠BAD（ 两直线平行，同位角相等） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴∠2＝∠BAD（等量代换） ∴DG∥BA．（ 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：（垂直定义）；（同位角相等，两直线平行）；（两直线平行，同位角相等）；2；BAD，（内错角相等，两直线平行）． 三．拓展探究（共1小题） 18．科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． （1）如图①是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面平面镜AB，CD是平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4..请利用所学的数学知识说明：进入潜望镜的光线m与离开潜望镜的光线n平行． （2）如图②，当光线m射到平面镜AB上时，会反射到平面镜CD上，又被平面镜CD反射，反射出的光线为n．若m∥n，求两面平面镜的夹角∠ABC的度数． 【分析】（1）求出∠5＝∠6，根据平行线的判定得出即可； （2）由平行线的性质求出∠EAC+∠FCA＝180°，再根据平角的定义求出∠2+∠3＝90°，求出∠EAC+∠FCA＝180°，然后根据三角形内角和等于180即可求出∠ABC的度数． 【解答】解：（1）由平行线性质可知∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， ∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4， 即∠5＝∠6， ∴m∥n； （2）如图： 由平行线性质可知∠EAC+∠FCA＝180°， ∵∠1+∠2+∠EAC+∠3+∠4+∠FCA＝180°+180°＝360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴2（∠2+∠3）＝180°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠ABC+∠2+∠3＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣90°＝90° ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$