专题04 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）

专题04 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 两点分布】 3 【题型二 二项分布】 6 【题型三 二项分布概率最大问题】 10 【题型四 超几何分布】 16 【题型五 正态分布】 20 【压轴能力测评】 27 一、两点分布 1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 2、两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 二、二项分布 1.定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2.二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3.二项分布的期望、方差 若，则，． 三、超几何分布 1.定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2.超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 四、正态分布 1.定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2.原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 【题型一 两点分布】 一、单选题 1．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）若随机变量服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合，列出方程，求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】由随机变量服从两点分布，则， 因为，可得，解得， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解. 【详解】因为随机变量服从两点分布， 所以由题，又， 所以. 故选：A. 二、填空题 3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知随机变量X，Y均服从分布，若，且，则 . 【答案】 【分析】根据两点分布的概率特征，结合互斥事件特征和对立事件概率性质计算即可. 【详解】解：因为随机变量X，Y均服从分布，且， 所以， 因为，所以， 且 因为，所以， 因此， 所以 故答案为：. 三、解答题 4．（24-25高二下·全国·课前预习）已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 【答案】分布列见解析 【分析】先确定服从两点分布，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】由题意知，的取值有，故服从两点分布， ， 所以． 所以随机变量的分布列为 0 1 5．（23-24高二上·全国·课后作业）袋中有除颜色外都相同的红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列． 【答案】答案见解析 【分析】 根据题意，结合古典概型的概率公式以及组合数的计算公式，利用两点分布，可得答案. 【详解】 从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下： 当时，两个球非全红；当时，两个球全红. 则X显然服从两点分布，且，. ∴X的分布列为： X 0 1 P 【题型二 二项分布】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，再根据二项分布公式求解即可. 【详解】甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜， 其概率为． 故选：A 2．（2025高二·全国·专题练习）已知随机变量，且，则等于（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】A 【分析】由二项分布期望、方差计算公式即可求解； 【详解】由，得，，解得， 所以． 故选：A． 二、填空题 3．（2025高二·全国·专题练习）一个质点在数轴上随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次.移动后，事件“质点位于原点0”的概率为 ，事件“质点位于的位置”的概率为 . 【答案】 【分析】设质点向右移动的次数为，则，移动8次后，质点位于原点0的概率为，质点位于的位置的概率为，计算即可. 【详解】设质点向左移动的次数为，又质点每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度， 共移动8次，每次移动相互独立，则. 移动8次后，若质点位于原点0，则， 所以移动8次后，事件“质点位于原点0”的概率为. 移动8次后，质点位于的位置，则. 故答案为： 三、解答题 4．（24-25高二上·河南南阳·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立． (1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率； (2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算得解. （2）求出的可能值，由（1）结合二项分布的概率求出分布列及期望. 【详解】（1）设甲击中的环数多于乙击中的环数为事件A， 则事件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环， 所以. （2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， 由（1）知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则， 因此， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 期望. 5．（24-25高二上·江西南昌·期末）南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，375元 【分析】（1）根据题意利用全概率公式求解； （2）根据二项分布求分布列及期望即可. 【详解】（1）设新匠人第一件作品是精品为事件，第二件作品是精品为事件， 由题意. （2）设老匠人一天制作精品作品的件数为，盈利为, 由题意，，， 所以, ， ， ， 所以分布列为： 300 500 700 900 （元）. 6．不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率， (1)分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，估计的数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小，（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用古典概型结合表格计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可； （3）利用二项分布的方差公式计算并比较大小即可. 【详解】（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为 （2）由题意可知的可能取值为：， 则， ， ， ， 所以； （3）同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为, 该校乙学院学生使用款大模型的概率为， 易知， 由二项分布的方差公式可知， ，则. 【题型三 二项分布概率最大问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可． 【分析】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 2．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）高二某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出的值. 【详解】由已知，，，，，，， 所以由 得： 解得，又因为，所以． 故选:B． 二、解答题 3．（24-25高二上·河南焦作·期末）为了解某地区高二学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高二学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从该地区的高二学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； (2)为进一步了解高二学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高二学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 【答案】(1)0.5 (2)分布列见解析， (3)或 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积之和为建立方程求得参数值，利用矩形面积的意义以及概率加法公式，可得答案； （2）利用分层抽样的概念以及比例可得每个区间的人数，根据超几何分布求得分布列，结合数学期望的计算公式，可得答案； （3）利用二项分布的概率公式，根据组合数的对称性与二项式系数的单调性，可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图得，解得． 所以区间对应的频率为， 所以所求概率为． （2）由题可知，该地区高二学生中日平均阅读时长在三组内的学生人数比为， 则需从日平均阅读时长在内的学生中分别抽取人，人，人． 现从这6人中随机抽取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． （3）由（1）可知从该地区的高二学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率为， 则， 由组合数的性质可得，当时，递增，且， 故当或时，最大． 4．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）已知4个独立的报警器都只有“发出警报”和“不发出警报”两种状态，某种险情发生时每个报警器都有的概率发出警报，设某次险情发生时发出警报的警报器数量为. (1)求的分布列与数学期望； (2)求的值使某次险情发生时有最大的概率有个报警器发出警报. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）运用二项分布的概率公式和方差公式计算即可； （2）运用二项分布概率公式，结合组合数公式，构造不等式组计算即可. 【详解】（1）根据题意，,可以取0、1、2、3、4， ， ， ， ， 所以，的分布列： X 0 1 2 3 4 P                                                              故 （2） 则：，化简得, 继续化简得到，解得：，又由于，故 5．（2024·浙江·模拟预测）随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均，且抢票结果相互独立 (1)为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票； (2)由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由． 【答案】(1)100 (2)18或19 【分析】（1）因为这100人均有可能抢到票，根据极大化原则分析判断； （2）设小林额外找个人帮他一起抢票，可得抢到票的概率为，进而求其最大值即可判断. 【详解】（1）因为这100人均有可能抢到票，若要保证该抢票通道不会出现故障， 所以主办方至少要为该通道预留100张票. （2）若小林额外找个人帮他一起抢票， 则抢到票的概率为， 可得， 令，解得；令，解得；令，解得； 即， 所以小林额外找18或19个人帮他一起抢票. 6．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？请说明理由. 【答案】(1)0.1； (2)（i）490；（ii）应该对余下的产品作检验，理由见解析. 【分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；方法二：根据所求式子特征，利用基本不等式求最值，并根据等号成立条件求. （2）由（1）得，在解（i）的时候，先求剩余180件产品中不合格产品的期望，再根据变量之间的关系，求得总费用的期望；在解（ii）的时候，通过比较两个期望的大小，得到结果. 【详解】（1）方法一（通性通法）利用导数求最值 20件产品中恰有2件不合格品的概率为. 因此. 令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的最大值点为； 方法二（最优解）均值不等式 由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为. ， 当且仅当，即取等号， 故即为所求. （2）由（1）知，. （i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知， 即，且, 所以. （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于，故应该对余下的产品作检验. 【题型四 超几何分布】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数服从参数为的超几何分布， 故至多有3个红球的概率为. 故选：D. 2．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】随机变量服从超几何分布, 随机变量服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、方差公式计算即可. 【详解】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A. 二、解答题 3．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）某校为了参加市里举办的足球联赛，从学校的足球队中选出了水平较高的18人组成了代表队参加比赛，已知这18名队员来自高二年级的4个班级，每班对应的人数如下表所示. 班级 高二（1）班 高二（2）班 高二（3）班 高二（4）班 人数 4 6 3 5 (1)从这18名队员中随机选出两人，求这两人来自同一个班级的概率; (2)经过队员们的奋力拼搏，获得了这次联赛的冠军，若要从这18人中选出两人作为球员代表发言，设选出的两人中来自高二（1）班的人数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型概率公式和组合数公式计算即可； （2）分析易得的所有可能取值为0,1,2,且，利用超几何分布概率公式计算对应的概率值，即可列出分布列. 【详解】（1）设事件为“从这18名队员中随机选出两人，这两人来自同一个班级” 则 . （2）由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,依题意，, 故 ,, . 所以的分布列为: X 0 1 2 P 4．（2024·上海长宁·一模）2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”.    (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人. ①简述如何采用抽签法任选2人； ②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由. 【答案】(1)80 (2)①答案见解析；②事件A与事件B不独立，理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图求得的值，然后求得“青年人”人数占比，从而可得“青年人”人数； （2）①利用简单随机抽样设计抽签法任选2人即可；②根据独立事件判断公式，结合超几何分布概率问题求解，从而可得结论. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得：， 又“青年人”占比为， 所以所抽取的“青年人”人数为人； （2）①先将10名参会者进行编号：1、2、、10，并将10个号码写在完全相同的纸片上， 放入某容器中充分混合均匀，再取出2张，2张纸片上所对应的参会者就是要选取的人， ②“青年人”“中年人”“老年人”的人数之比为， 所以10人中“中年人”共有5人， 2人均为“中年人”的概率， 2人中至少有1人为男性的概率， 2人均为“中年人”且至少有1人为男性的概率， 因为，所以事件A与事件B不独立. 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)甲通过面试的可能性更大；理由见解析 【分析】（1）确定的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望即可； （2）确定的可能取值，利用二项分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差即可； （3）确定甲、乙通过面试的概率，比较即可的结论. 【详解】（1）甲正确完成试题数的可能取值为，，， ，，， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： . （2）乙正确完成面试题数的可能取值为：，，， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数的分布列为： 所以， . （3）因为，， 所以，所以甲通过面试的可能性大. 【题型五 正态分布】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.3 D．0.1 【答案】A 【分析】由正态分布的性质可得. 【详解】 因为服从正态分布（）， 所以正态分布曲线关于对称； 又因为在内取值的概率为0.8， 所以在内取值的概率为0.4， 所以在内取值的概率为． 故选：A 2．（24-25高二上·江西·期末）某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（   ） 参考数据：，，. A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.8286 【答案】B 【分析】求出，根据原则结合对称性分析求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 所以，， 故. 故选 ：B. 3．（24-25高二上·山东青岛·期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率. 【详解】由，则， 则，故A错误； 在的概率为，则， 则，故C正确； ，故D错误； ，故B错误. 故选：C. 二、多选题 4．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） A．已知服从正态分布，且，则 B．已知服从正态分布，且，则常数的值为3 C．已知服从正态分布，若在内取值的概率为0.15，则在内取值的概率为0.25 D．已知其中，则 【答案】ABD 【分析】由正态分布曲线的对称性可判断出ABC的正误；由二项分布的方差公式可判断D正确. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，，，解得：，B正确； 对于C，，，， ，C错误； 对于D，，， 当时 ，，D正确. 故选：ABD. 三、解答题 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 【答案】(1)74 (2)分布列见解析， 【分析】（1）依据，利用正态分布的对称性计算即可； （2）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. 【详解】（1）由题意知，则， 所以； （2）由于和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ， 的分布列为： 0 1 2 3 6．（24-25高二下·辽宁·开学考试）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数招X，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布，其中：近似为样本平均数的值，，试求的值； (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ① 求这件零件是次品的概率； ② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)80，0.8185 (2)①，② 【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解；（2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可. 【详解】（1）， 因为，所以， 则 （2）设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件； “抽取的零件是乙机床生产”记为事件； “抽取的零件是次品”记为事件, 则,,,, 则， 7．（24-25高二上·辽宁·期末）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【答案】(1)0.47725 (2)分布列见解析，1 (3). 【分析】（1）根据平均数与方差的计算公式计算出，再根据正态分布曲线的对称性计算概率； （2）写出二项分布的分布列，由二项分布的期望公式可得答案； （3）首先利用全概率公式计算出抽取的零件为次品的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得 . . 故，. 设表示零件直径，则，即. 则， ，即. （2）由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为， 则， ， ， ， ， 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望. （3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，， 则， ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为. 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【答案】D 【分析】根据变量间的关系，转化为，由两点分步求解. 【详解】当时，由， 所以. 故选：D 2．（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.3 D．0.6 【答案】A 【分析】利用正态分布的对称性求解. 【详解】由题意得，得， 则，所以， 故选:. 3．（23-24高二下·广东广州·期中）下列命题正确的是（   ） A．已知随机变量，若，则 B．若随机变量满足，则 C．已知随机变量，若，则 D．已知随机变量，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合二项分布的期望与方差，以及期望与方差的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由随机变量，因为， 可得，可得，所以A错误； 对于B中，由变量满足，可得，所以B错误； 对于C中，由随机变量，可得， 则，解得，所以C错误； 对于D中，由随机变量，可得，所以D正确. 故选：D. 4．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知随机变量，若，则，分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望与方差公式及离散型随机变量的期望与方差的性质即可求解. 【详解】∵， ∴ ∵， ∴. 故选: C. 5．（23-24高二下·浙江·期中）某种型号的发动机每台的使用寿命（单位:年）服从，使用寿命与发动机是否运行无关.一艘轮船安装了2台这种型号的发动机，当其中一台出故障时，自动启用另一台工作，记，则这艘轮船能正常航行10年以上的概率约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质求出，记这艘轮船能正常航行10年以上为事件，再根据互斥事件及相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】因为，则，，又， 即， 所以，即， 记这艘轮船能正常航行10年以上为事件， 则，即这艘轮船能正常航行年以上的概率约是. 故选：D 6．（24-25高二下·辽宁·开学考试）已知，，且，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，且求得，再逐项判断. 【详解】因为，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，，故D错误； 故选：D 二、多选题 7．（24-25高二上·广西桂林·期末）在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（    ）附：若随机变量服从正态分布，则 A． B． C． D．估计该市数学成绩在区间的考生约645人 【答案】ABD 【分析】根据二项分布的知识求得方差，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，服从正态分布， 所以，A选项正确. 随机变量，所以， 所以，B选项正确. ，所以C选项错误. ， 估计该市数学成绩在区间的考生约人，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于正态分布问题，要牢记正态分布的期望，方差，以及正态分布的对称性和特殊区间的概率值.在已知正态分布的参数和后，可利用这些性质计算各种概率. 对于二项分布，其方差，可根据此公式求出二项分布的方差，再结合与其他分布方差的关系解决相关问题. 8．（23-24高二下·云南昆明·期中）下列命题中，正确的命题是（   ） A．已知随机变量服从两点分布，且．设，那么 B．已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量的方差 0 20 40 C．已知，，，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大 【答案】BCD 【分析】选项A：即；选项B：利用概率之和为1，求出的值，再分别求出期望和方差；选项C：利用条件概率公式，对式子变形后，两式相加，求出；选项D：由二项分布概率计算公式写出，列不等式组，求出的值. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，由题知，所以， 所以， 所以， 故B正确； 对于选项C，，， 所以，， 所以， 所以， 解得，故C正确； 对于选项D，， 由， 得， 解得，所以， 即当时概率最大，故D正确. 故选：BCD. 三、解答题 9．（23-24高二下·河北唐山·期末）某种植户对一块地上的n（n∈N*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种． (1)求每个坑不需要补种的概率； (2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为2 【分析】（1）先求解每个坑要补种的概率，进而求每个坑不需要补种的概率即可； （2）由题意知X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且，再利用二项分布的概率公式可求出各自对应的概率，从而可得分布列． 【详解】（1）由题意可知每个坑要补种的概率， 则每个坑不需要补种的概率为． （2）易知X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且， 因此， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 10．（24-25高二上·青海·期中）某地教育局为提升教师的业务能力，从当地中学教师中随机选取100人参加教学技能比赛，统计他们的得分（满分100分），其得分在各区间的人数比例如下表.规定得分不低于80分的为优秀教师. 得分区间 人数比例 0.25 0.35 0.20 (1)求的值并求参赛教师为优秀教师的频率； (2)以频率估计概率，若在当地中学教师中随机选取3人，其中优秀教师的人数记为，求的分布列与期望. 【答案】(1)， (2)分布列见详解， 【分析】(1)利用频率之和等于1即可求出的值以及优秀教师的频率； (2)写出随机变量的可能取值，分别求出概率，即可写出分布列和期望，或利用二项分布求解. 【详解】（1）由表可知，，解得， 参赛教师为优秀教师的频率为； （2）由(1)可知，当地中学教师是优秀教师的概率为0.3， 的取值可能为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 . 或写成由，得. 11．（23-24高二下·上海·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差 【答案】(1)分布列见解析 (2)期望；方差 【分析】（1）列举出所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列； （2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可. 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： （2）期望； 又， 方差. 12．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高二学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. (2)高二学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 【答案】(1) (2)（i），（ii）方案2 【分析】（1）由古典概率公式结合对立事件的概率求解即可； （2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可；（ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为X，求出X的所有可能取值及其概率，再求出，与方案一比较即可得出答案.. 【详解】（1）因为抽样比， 所以抽取人，抽取人， 抽取人. 设事件：这4人中至少有2人来自前2组， . （2）， 所以，，，. 所以 . 对于方案2：设每位学生所获增学习视频小时数为，则. ， ， . ， 所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 13．（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）甲､乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球，两人投篮是否命中互不影响. (1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率； (2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分数X的分布列和数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）求出甲至多命中1个球的概率，乙至少命中1个球的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算得解. （2）求出乙所得分数X的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）设“甲至多命中1个球”为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B， 依题意，，， 所以甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为. （2）乙所得分数的可能取值，0，4，8，12， ，， ，，， 的分布列为： 0 4 8 12 数学期望. 14．（23-24高二下·广东·期中）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表： 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． (1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； (2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件，“回答正确”为事件，利用全概率公式求出，再由条件概率公式计算可得； （2）由（1）可得，根据二项分布的概率公式求出相应的概率，即可得到分布列. 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件，“回答正确”为事件， 由测试结果知，，，， 所以． 记“测试的个问题都回答正确”为事件，“测试的个问题中恰有个存在语法错误”为事件， 则， ， 所以． （2）由（1）可得，则的可能取值为，，，， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 15．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析 (2) 【分析】（1）（i）求出，可得，根据正态分布的对称性可求； （ii）由（i）得，根据，可得小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论； （2）由正态分布的对称性求出得，可得随机变量，再利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】（1）（i）因为，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （ii）由（i）得． 因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，， 所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由． （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则． 由，，得． 根据题意易得随机变量， ． 16．（23-24高二上·江西新余·期末）党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立. (1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率； (2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为，求的分布列及. 【答案】(1)甲、乙两人进入正赛的概率分别为 (2)分布列见详解， 【分析】（1）根据超几何分布和二项分布运算求解； （2）根据（1）中的数据，求分布列和期望，再根据期望性质求. 【详解】（1）设甲、乙两人答对的题目数分别为，则， 可得甲进入正赛的概率， 乙进入正赛的概率， 故甲、乙两人进入正赛的概率分别为. （2）由题意可得：的可能取值为，则有： ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 则， 故. 17．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从道备选题中一次性随机抽取题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中题才可提交通过．已知道备选题中考生甲有道题能正确完成，道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值； (2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成题的概率方面比较两位考生的实验操作能力． 【答案】(1)分布列见解析；期望为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用超几何分布直接求解即可得出结果. （2）利用二项分布求出考生乙分布列，比较甲乙操作题数的均值和方差及至少正确完成题的概率即可得出结论. 【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为， 则的取值范围是． ，，， 所以的分布列为： ． （2）设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知， 所以，， ，． 所以的分布列为： ． 则，， ，，． 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 因此甲的实验操作能力较强． 18．（23-24高二下·北京大兴·期末）现有人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案：先将这人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这人未患该疾病的概率均为，是否患有该疾病相互独立． (1)按照方案化验，求这人的总化验次数的分布列； (2)化验方案：先将这人随机分成两组，每组人，将每组的人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还需要对这人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且，问方案和中哪个化验总费用的数学期望更小？ 【答案】(1)见解析 (2)方案的化验总费用的数学期望更小. 【分析】（1）计算，，则得到其分布列； （2）设按照方案化验，这10人的总化验次数为，的可能取值为，计算出各自概率即可. 【详解】（1）按照方案化验，这10人的总化验次数的可能取值为1,11. ，， 的分布列为： 1 11 （2）设按照方案化验，这10人的总化验次数为，的可能取值为， ，，， ， 由（1）知，， ， 因为当时，，所以. 所以方案的化验总费用的数学期望更小. 19．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，坐标原点处有一个质点，每次向右或者向上移动一个单位，向上移动的概率为，向右移动的概率为次移动后质点的坐标为. (1)求质点移动到点处的概率； (2)5次移动后质点的横坐标为，求的期望； (3)求质点在经过20次移动以后，最有可能的位置坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案. （2）根据二项分布的知识求得的期望 （3）根据独立重复试验概率计算公式列不等式，由此求得最有可能的位置坐标. 【详解】（1） （2）依题意可知，所以. （3）设质点在经过次移动以后，最有可能的位置坐标为， 则， 即， 解得， 故所求位置坐标为或. 20．（23-24高二上·江西赣州·期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的． (1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望； (2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？ 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大. 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求出数学期望； （2）根据二项分布的知识求得获得“挑战达人”勋章的枚数的分布列，由此求得正确答案. 【详解】（1）由题知：可取2，4，6，8， 则，， ，， 故的分布列为： 2 4 6 8 则的期望. （2）解法一：由（1）知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为， 则某参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为，则， 故（）， 假设当时，概率最大，则， 解得，而. 故某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大． 解法二：由（1）知参赛选手在一轮获得“挑战达人”勋章的概率为， 则某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得“挑战达人”勋章的枚数为，则， 故（）， 所以Y的分布列为： 0 1 2 3 4 5 从分布列中可以看出，概率最大为， 所以参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大． 21．（2024·河北唐山·一模）某项测试共有8道题，每道题答对5分，不答或答错得0分．某人答对每道题的概率都是，每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为X． (1)求此人得分的期望； (2)指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由． 【答案】(1) (2)此人答对道题的可能性最大；理由见解析. 【分析】（1）根据已知条件，确定，得分为，求即可； （2）根据二项分布概率公式有，通过作商法求出，与比较大小即可确定在时取最大值. 【详解】（1）某人答对每道题的概率都是，则答对题目的个数服从二项分布， 即，，由于每道题答对得分， 所以此人答题得分为，因此，在此项测试中， 此人答题得分的期望为. （2）设此人答对道题的可能性为，， 记，则 ，， 当时，，随的增加而增加，即； 当时，，随的增加而减小，即； 所以当时，最大，因此此人答对道题的可能性最大. 22．（2024·山东潍坊·模拟预测）2024年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题. （ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列； （ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由. 参考数据：，则，，. 【答案】(1)0.02275；证明见解析. (2)（ⅰ）分布列见解析 （ⅱ）能，. 【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求得结果； （2）先利用导数求出，再利用离散型随机变量及其分布列即可求得结果. 【详解】（1），又， 所以. 因为，根据正态曲线对称性，， 又因为，所以. （2）， . 令，得. 当时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数. 所以的最大值点，从而. （ⅰ）的可能取值为3，2，1，0. ，， ，， 所以的分布列为 3 2 1 0 （ⅱ）若，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分， 则11轮过后的总积分是28分，，所以，1班如果第10轮积3分， 则可提前一轮夺得冠军，其概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 两点分布】 3 【题型二 二项分布】 4 【题型三 二项分布概率最大问题】 5 【题型四 超几何分布】 7 【题型五 正态分布】 9 【压轴能力测评】 11 一、两点分布 1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 2、两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 二、二项分布 1.定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2.二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3.二项分布的期望、方差 若，则，． 三、超几何分布 1.定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2.超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 四、正态分布 1.定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2.原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 【题型一 两点分布】 一、单选题 1．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）若随机变量服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65 2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 二、填空题 3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知随机变量X，Y均服从分布，若，且，则 . 三、解答题 4．（24-25高二下·全国·课前预习）已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 5．（23-24高二上·全国·课后作业）袋中有除颜色外都相同的红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列． 【题型二 二项分布】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知随机变量，且，则等于（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 二、填空题 3．（2025高二·全国·专题练习）一个质点在数轴上随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次.移动后，事件“质点位于原点0”的概率为 ，事件“质点位于的位置”的概率为 . 三、解答题 4．（24-25高二上·河南南阳·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立． (1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率； (2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望． 5．（24-25高二上·江西南昌·期末）南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 6．不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率， (1)分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，估计的数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小，（结论不要求证明）. 【题型三 二项分布概率最大问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）高二某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25高二上·河南焦作·期末）为了解某地区高二学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高二学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从该地区的高二学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； (2)为进一步了解高二学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高二学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 4．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）已知4个独立的报警器都只有“发出警报”和“不发出警报”两种状态，某种险情发生时每个报警器都有的概率发出警报，设某次险情发生时发出警报的警报器数量为. (1)求的分布列与数学期望； (2)求的值使某次险情发生时有最大的概率有个报警器发出警报. 5．（2024·浙江·模拟预测）随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均，且抢票结果相互独立 (1)为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票； (2)由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由． 6．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？请说明理由. 【题型四 超几何分布】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）某校为了参加市里举办的足球联赛，从学校的足球队中选出了水平较高的18人组成了代表队参加比赛，已知这18名队员来自高二年级的4个班级，每班对应的人数如下表所示. 班级 高二（1）班 高二（2）班 高二（3）班 高二（4）班 人数 4 6 3 5 (1)从这18名队员中随机选出两人，求这两人来自同一个班级的概率; (2)经过队员们的奋力拼搏，获得了这次联赛的冠军，若要从这18人中选出两人作为球员代表发言，设选出的两人中来自高二（1）班的人数为，求的分布列. 4．（2024·上海长宁·一模）2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”.    (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人. ①简述如何采用抽签法任选2人； ②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由. 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【题型五 正态分布】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.3 D．0.1 2．（24-25高二上·江西·期末）某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（   ） 参考数据：，，. A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.8286 3．（24-25高二上·山东青岛·期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） A．已知服从正态分布，且，则 B．已知服从正态分布，且，则常数的值为3 C．已知服从正态分布，若在内取值的概率为0.15，则在内取值的概率为0.25 D．已知其中，则 三、解答题 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 6．（24-25高二下·辽宁·开学考试）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数招X，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布，其中：近似为样本平均数的值，，试求的值； (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ① 求这件零件是次品的概率； ② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 7．（24-25高二上·辽宁·期末）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 2．（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.3 D．0.6 3．（23-24高二下·广东广州·期中）下列命题正确的是（   ） A．已知随机变量，若，则 B．若随机变量满足，则 C．已知随机变量，若，则 D．已知随机变量，则 4．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知随机变量，若，则，分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（23-24高二下·浙江·期中）某种型号的发动机每台的使用寿命（单位:年）服从，使用寿命与发动机是否运行无关.一艘轮船安装了2台这种型号的发动机，当其中一台出故障时，自动启用另一台工作，记，则这艘轮船能正常航行10年以上的概率约是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·辽宁·开学考试）已知，，且，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·广西桂林·期末）在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（    ）附：若随机变量服从正态分布，则 A． B． C． D．估计该市数学成绩在区间的考生约645人 8．（23-24高二下·云南昆明·期中）下列命题中，正确的命题是（   ） A．已知随机变量服从两点分布，且．设，那么 B．已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量的方差 0 20 40 C．已知，，，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大 三、解答题 9．（23-24高二下·河北唐山·期末）某种植户对一块地上的n（n∈N*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种． (1)求每个坑不需要补种的概率； (2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望． 10．（24-25高二上·青海·期中）某地教育局为提升教师的业务能力，从当地中学教师中随机选取100人参加教学技能比赛，统计他们的得分（满分100分），其得分在各区间的人数比例如下表.规定得分不低于80分的为优秀教师. 得分区间 人数比例 0.25 0.35 0.20 (1)求的值并求参赛教师为优秀教师的频率； (2)以频率估计概率，若在当地中学教师中随机选取3人，其中优秀教师的人数记为，求的分布列与期望. 11．（23-24高二下·上海·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差 12．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高二学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. (2)高二学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 13．（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）甲､乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球，两人投篮是否命中互不影响. (1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率； (2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分数X的分布列和数学期望. 14．（23-24高二下·广东·期中）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表： 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． (1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； (2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为，求的分布列． 15．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 16．（23-24高二上·江西新余·期末）党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立. (1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率； (2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为，求的分布列及. 17．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从道备选题中一次性随机抽取题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中题才可提交通过．已知道备选题中考生甲有道题能正确完成，道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值； (2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成题的概率方面比较两位考生的实验操作能力． 18．（23-24高二下·北京大兴·期末）现有人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案：先将这人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这人未患该疾病的概率均为，是否患有该疾病相互独立． (1)按照方案化验，求这人的总化验次数的分布列； (2)化验方案：先将这人随机分成两组，每组人，将每组的人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还需要对这人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且，问方案和中哪个化验总费用的数学期望更小？ 19．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，坐标原点处有一个质点，每次向右或者向上移动一个单位，向上移动的概率为，向右移动的概率为次移动后质点的坐标为. (1)求质点移动到点处的概率； (2)5次移动后质点的横坐标为，求的期望； (3)求质点在经过20次移动以后，最有可能的位置坐标. 20．（23-24高二上·江西赣州·期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的． (1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望； (2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？ 21．（2024·河北唐山·一模）某项测试共有8道题，每道题答对5分，不答或答错得0分．某人答对每道题的概率都是，每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为X． (1)求此人得分的期望； (2)指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由． 22．（2024·山东潍坊·模拟预测）2024年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题. （ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列； （ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由. 参考数据：，则，，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$