重难点05 上海中考压轴之二次函数(12大题型+高分技法+限时提升练)-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练(上海专用)

重难点05 上海中考压轴之二次函数 上海二次函数通常以几何综合题（结合三角形、四边形、圆等）或动态问题（如动点、图形变换）为背景，设3小问，分值为12分.常见题型：求特定点坐标、参数取值范围、几何图形存在性（如等腰三角形、相似三角形、平行四边形）、面积或线段最值等。高频考点：①函数解析式求解：通过待定系数法结合几何条件（如顶点、交点）求二次函数表达式。②几何转化：将几何条件（对称性、垂直、平行等）转化为代数方程求解。③最值问题：利用顶点公式或配方法求线段、面积、利润等实际问题的极值。④存在性问题：重点考查平行四边形、直角三角形、相似三角形的存在性，需分类讨论或结合对称性分析。难度特征：第一问（基础）：直接求解析式或对称轴、顶点坐标，得分率较高。第二问（中等）：涉及几何条件转化或简单动态分析，需一定计算能力。第三问（难题）：综合几何与代数，如动态背景下多参数关联分析、复杂存在性问题，注重逻辑严密性。 题型一 二次函数中点的位置关系问题 1．求抛物线表达式相关参数及对称轴方法总结： 代入法求参数：已知抛物线 上点的坐标，将坐标代入抛物线方程，构建关于的方程组，求解得出参数值。如典例1将代入. 对称轴公式：对于抛物线 ，其对称轴公式为 ，代入已求得的值计算对称轴. 2．点关于直线对称问题方法总结： 利用对称性质：点与点关于直线对称，则直线垂直平分线段.即与斜率乘积为-1（高中知识） ，且中点在直线上。先求出直线表达式，设出坐标，根据性质列方程求解. 分类讨论：当点在坐标轴上时，分在轴和轴两种情况，结合对称性质和抛物线方程确定点坐标. 3．判断点是否在抛物线上方法： 假设存在法：先假设点在抛物线上，设出点坐标（一般设横坐标为，根据抛物线方程表示出纵坐标），根据对称关系求出点坐标（用含 的式子表示）. 代入验证：将点坐标代入抛物线方程，若方程有解，则存在；若无解，则不存在.若有解，求解方程得出的值，进而确定点坐标. 典例1如图，已知抛物线与两坐标轴分别交于点，，为抛物线上第一象限内的一个动点，点关于直线的对称点为．    (1)求，的值和抛物线对称轴； (2)当点在坐标轴上时，求此时点的坐标； (3)是否存在点在抛物线上的情况?如果存在，求此时点的坐标；如果不存在，说明理由． 题型二 二次函数中相等问题 在二次函数中，解决＂角相等求坐标＂问题，需融合几何性质与代数运算，介绍以下是核心方法： 一.利用三角函数值求坐标 1．分析线段与三角函数 （1）先根据二次函数解析式，确定与角相关的已知点坐标（如抛物线与坐标轴交点），通过两点间距离公式计算线段长度. （2）利用三角函数定义（如），角相等转化为三角函数值相等. 2．设坐标列方程求解 设未知点坐标为 ，结合二次函数解析式用表示. 根据三角函数值相等列方程。例如，若，则用坐标表示和的对边和邻边，建立等式求解，进而得坐标. 二.借助相似三角形求坐标 （1）证明三角形相似 寻找角相等条件（公共角，同位角，内错角等），证明包含相等角的三角形相似（如＂两角分别相等＂＂两边成比例且夹角相等＂）. （2）利用相似比列方程 根据相似三角形对应边成比例，设未知点坐标，代入比例关系。例如，若，则 结合坐标表示线段长度，解方程得坐标。 典例2（2025·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标． 2-1（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． (1)求该抛物线的表达式； (2)联结、、，求的值； (3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标． 2-2（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系（如图）中，已知抛物线经过点、两点，与轴的交点为点，对称轴为直线． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知以点为圆心，半径为的圆记作圆，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆外切，试判断对称轴直线与圆A的位置关系，请说明理由； (3)已知点在轴的正半轴上，且在点的上方，如果，请求出点的坐标． 2-3（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 题型三 二次函数中线段或角的和差倍关系 类型1.已知线段相等求参数值的解题方法 1．坐标设定 依据抛物线性质（如顶点坐标公式，平移规律），用含参数的表达式表示相关点坐标。例如，抛物线平移 个单位，其顶点坐标随平移规则改变，可设为（原顶点横坐标 ，原顶点纵坐标）；对于抛物线上的动点，利用解析式 ，用横坐标表示纵坐标。 2．距离公式列方程 针对线段相等条件（如），使用两点间距离公式 ，分别计算相等线段的长度。将等式两边平方去根号，转化为代数方程. 3．化简求解与检验 展开方程，合并同类项，将其化为关于参数（如）的方程（一元一次，一元二次等）.求解方程后，检验解是否满足题目条件（如参数取值范围，几何意义），舍去不合理的解. 类型2：线段和差倍关系解题方法总结： 1．确定坐标：求抛物线与坐标轴交点等相关点坐标. 2．表示线段：用坐标结合距离公式表示线段长度，根据和差倍关系列方程. 3．利用三角函数：通过三角函数列线段比例. 4．求解验证：解方程并检验，得动点坐标. 典例3（2024·上海松江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）．    (1)求：、的值； (2)将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求：的值． 3-1（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，的图像与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧）． (1)若将的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)若的图像在直线的右侧呈上升趋势，求的取值范围； (3)在（1）中所求的的图像与轴的交点记为点，与轴的正半轴交点记为点，点在的图像上．当直线与直线垂直，且时，求点的坐标． 3-2（2022·上海松江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线经过点A、B．    (1)求抛物线的表达式； (2)P是抛物线上一点，且位于直线上方，过点P作轴、轴，分别交直线点M、N． ①当时，求点P的坐标； ②连接交于点C，当点C是的中点时，直接写出的值． 3-3（2023·上海长宁·二模）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，点D是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点D的坐标； (3)如图2，点E坐标为，在抛物线上存在点P，满足，请直接写出直线的表达式． 题型四 二次函数中特殊角（三角形）问题 1.已知特殊角和非特殊角求点坐标 （1）所求角的顶点及其一边的位置确定，且为特殊角 作法：将已知角放在直角三角形中或构造直角三角形。 ①利用锐角三角函数求解； ②如图（1）（2），过直角顶点作水平或坚直辅助线构造一线三垂直求解． 结论：（当时，）． （2）所求非的角（ ，顶点为动点，且该角所对的弦为定边 ①如图3，当，则圆心在线段的垂直平分线上，且满足圆心角； ②如图4，当，则圆心在线段的垂直平分线上，且满足圆心角 ． 满分技巧： 常见非特殊角（，的转化： 1．等角问题的解题方法 （1）两角存在公共边 已知，如图（1），共顶点，以公共边为对称轴作对称点，则；如图（2），不共顶点，作平行线，则； 如图（3），作公共边垂直平分线交于点 ，则． （2）两角不存在公共边 ①构造相似三角形，列比例式求解；②利用等角的锐角三角函数值相等，列式求解． 2．半角和二倍角问题的解题方法 （1）构造等腰三角形：如图（4），求点使得，构造等腰，点即为所求； （2）作平行线，利用角平分线性质：如图（5），求点使得 ，作，则 ，转化为，利用角平分线性质求点． 典例4（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 4-1（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 4-2（2023·上海松江·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线解析式； (2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标； (3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值． 4-3（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，该抛物线上有三个点、、，轴，，，与抛物线的对称轴交于点（点在对称轴的左侧）． ①如果点到抛物线对称轴的距离为，请用含的代数式表示点的横坐标； ②求点的横坐标． 4-4如图，已知抛物线与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线 翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的解析式． 4-5（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 4-6（2023·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)连接，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 题型五 二次函数中特殊四边形综合问题 平行四边形存在性问题方法： （1）对边平行且相等可转化为：， （2）对角线互相平分转化为：， 典例5（2023·上海虹口·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点在该抛物线上．    (1)如图，点B的坐标为 ①求点A的坐标和n的值； ②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点，如果四边形为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式； (2)直线与y轴相交于点E，如果且点B在线段上，求m的值． 5-1（2023·上海浦东新·二模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P． (1)求抛物线的表达式； (2)如果抛物线的对称轴与直线交于点D，求的值； (3)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上．当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式． 题型六 二次函数与三角形面积和周长问题 典例6（2024·上海长宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标． 6-1（2024·松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． (1)求、的值； (2)将抛物线向右平移（）个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连接，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求的值． 6-2（2023·上海嘉定·二模）如图，在直角坐标平面中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，，抛物线经过A、B、C三点． (1)求点A、B的坐标； (2)联结、、，当时， ①求抛物线表达式： ②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得?如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由． 6-3（2022·上海杨浦·二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交线段于点N，交抛物线于点P，过P作，垂足为点M． (1)求这条抛物线的表达式； (2)设的周长为，的周长为，如果，求点P的坐标； (3)如果以N为圆心，为半径的圆与以为直径的圆内切，求m的值． 题型七 二次函数与相似三角形综合问题 典例7（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 题型八 二次函数图象的几何变换问题（平移、旋转、对称） 典例8（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 8-1（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 8-2（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 8-3（2025·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，有抛物线M：过点和点，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求M的表达式和P点的坐标； (2)沿着射线平移抛物线M得到抛物线N，其顶点为点Q． ①当平移的距离为时，若点和点C关于抛物线M的对称轴对称，求证：点在抛物线N上． ②延长线段、，交点为点D．当时，求的值． 8-4（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 8-5（2025·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 题型九 二次函数图象与四边形结合问题（梯形） 典例9（2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 题型十 二次函数与锐角三角函数综合问题 典例10（2025·上海崇明·一模）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点． (1)求该抛物线的表达式： (2)点是抛物线上在第一象限内的动点，点的横坐标为 ①如果是以为斜边的直角三角形，求的值； ②在轴正半轴上存在点，当线段绕点逆时针方向旋转时，恰好与抛物线上的点重合，此时点的横坐标为，求的值． 10-1（2023·上海金山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； (3)点在直线上，若，求点的坐标． 10-2（2023·上海杨浦·二模）已知抛物线：与x轴相交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线沿射线方向平移得到抛物线，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线上，设点F在抛物线 上，如果是以为底的等腰直角三角形，求点F的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，设点M为线段上的一点，，交直线于点N，求的值． 题型十一 二次函数与圆的综合 典例11（2023·上海闵行·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接． ①如果与线段交于点E，且，求的正切值； ②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标． 11-1（2022·上海闵行·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G. (1)求抛物线的表达式； (2)以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标. 题型十二 二次函数新定义问题 典例12（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． (1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值． 12-1（2024·上海闵行·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． （建议用时60分钟） 1.（2022·上海普陀·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求抛物线的表达式和点D的坐标； (2)点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线交y轴于点F． ①用m的代数式表示直线的截距； ②在的面积与的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线． 2.（2024·上海青浦·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． (1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标； (2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； (3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 3.（2023·上海徐汇·二模）如图，已知抛物线经过点，与x轴交于点B、． (1)求抛物线的顶点M的坐标； (2)点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的表达式． 4.（2023·上海青浦·二模）如图，已知抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点A． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)将该抛物线向右平移m个单位，点C移到点D，点A移到点E，若，求m的值； (3)在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为G，新抛物线在对称轴右侧的部分与x轴交于点F， 求点C到直线的距离． 5.（2022·上海虹口·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 1 / 76 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05 上海中考压轴之二次函数 上海二次函数通常以几何综合题（结合三角形、四边形、圆等）或动态问题（如动点、图形变换）为背景，设3小问，分值为12分.常见题型：求特定点坐标、参数取值范围、几何图形存在性（如等腰三角形、相似三角形、平行四边形）、面积或线段最值等。高频考点：①函数解析式求解：通过待定系数法结合几何条件（如顶点、交点）求二次函数表达式。②几何转化：将几何条件（对称性、垂直、平行等）转化为代数方程求解。③最值问题：利用顶点公式或配方法求线段、面积、利润等实际问题的极值。④存在性问题：重点考查平行四边形、直角三角形、相似三角形的存在性，需分类讨论或结合对称性分析。难度特征：第一问（基础）：直接求解析式或对称轴、顶点坐标，得分率较高。第二问（中等）：涉及几何条件转化或简单动态分析，需一定计算能力。第三问（难题）：综合几何与代数，如动态背景下多参数关联分析、复杂存在性问题，注重逻辑严密性。 题型一 二次函数中点的位置关系问题 1．求抛物线表达式相关参数及对称轴方法总结： 代入法求参数：已知抛物线 上点的坐标，将坐标代入抛物线方程，构建关于的方程组，求解得出参数值。如典例1将代入. 对称轴公式：对于抛物线 ，其对称轴公式为 ，代入已求得的值计算对称轴. 2．点关于直线对称问题方法总结： 利用对称性质：点与点关于直线对称，则直线垂直平分线段.即与斜率乘积为-1（高中知识） ，且中点在直线上。先求出直线表达式，设出坐标，根据性质列方程求解. 分类讨论：当点在坐标轴上时，分在轴和轴两种情况，结合对称性质和抛物线方程确定点坐标. 3．判断点是否在抛物线上方法： 假设存在法：先假设点在抛物线上，设出点坐标（一般设横坐标为，根据抛物线方程表示出纵坐标），根据对称关系求出点坐标（用含 的式子表示）. 代入验证：将点坐标代入抛物线方程，若方程有解，则存在；若无解，则不存在.若有解，求解方程得出的值，进而确定点坐标. 典例1如图，已知抛物线与两坐标轴分别交于点，，为抛物线上第一象限内的一个动点，点关于直线的对称点为．    (1)求，的值和抛物线对称轴； (2)当点在坐标轴上时，求此时点的坐标； (3)是否存在点在抛物线上的情况?如果存在，求此时点的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)，，对称轴是直线 (2)当点在坐标轴上时，点的坐标为 (3)存在，点的坐标为 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）把，两点代入抛物线解析式求出，的值，得出抛物线解析式，然后求出对称轴即可； （2）根据，，得出是等腰直角三角形，说明，分两种情况进行讨论，点在轴上，点在轴上时，求出点P的坐标即可； （3）作轴，交直线与点，连接，，求出直线为，设点的横坐标为，，则点的坐标为，把代入抛物线解析式，得，化简，得，把代入抛物线解析式，得，化简，得，得出，解关于m、n的方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得，， ∴，对称轴是直线． （2）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ①若点在轴上，则， ∴，即轴， 显然不成立，所以点不可能在轴上； ②当点在轴上时，，则， ∴点与点A的纵坐标相同，都为3， 解方程，得，， ∴点为； 综上所述，当点在坐标轴上时，点的坐标为． （3）解：存在点在抛物线上的情况； 如右图，作轴，交直线与点，连接，，    ∵轴， ∴， ∴，即，是等腰直角三角形， 设直线的解析式为，把，代入，得： ， 解得， ∴直线为， 设点的横坐标为，，则点的坐标为， ∵点和点的纵坐标相同，点和点的横坐标相同， ∴，， 把代入抛物线解析式，得， 化简，得， 把代入抛物线解析式，得， 化简，得， ∴， 解得或（不合题意，舍去）. ∵ ∴点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质，求一次函数解析式，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合． 题型二 二次函数中相等问题 在二次函数中，解决＂角相等求坐标＂问题，需融合几何性质与代数运算，介绍以下是核心方法： 一.利用三角函数值求坐标 1．分析线段与三角函数 （1）先根据二次函数解析式，确定与角相关的已知点坐标（如抛物线与坐标轴交点），通过两点间距离公式计算线段长度. （2）利用三角函数定义（如），角相等转化为三角函数值相等. 2．设坐标列方程求解 设未知点坐标为 ，结合二次函数解析式用表示. 根据三角函数值相等列方程。例如，若，则用坐标表示和的对边和邻边，建立等式求解，进而得坐标. 二.借助相似三角形求坐标 （1）证明三角形相似 寻找角相等条件（公共角，同位角，内错角等），证明包含相等角的三角形相似（如＂两角分别相等＂＂两边成比例且夹角相等＂）. （2）利用相似比列方程 根据相似三角形对应边成比例，设未知点坐标，代入比例关系。例如，若，则 结合坐标表示线段长度，解方程得坐标。 典例2（2025·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据成轴对称图形的特征进行判断、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识． （1）点C的坐标为，得到在中，，得到，点A的坐标为，得到，解得； （2）①点B的坐标为，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点P关于x轴的对称点为，得到在直线上，得到，解方程即可得到答案；②设交抛物线的对称轴于点H，过点H作于点N，证明，求出直线的解析式为，得到，得到，证明，在中，,设，则则，得到，由得到，则，得到，则点H的坐标是，求出直线的解析式为，与抛物线解析式联立得到求出点M的横坐标，即可得到点M的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 在中，， ∴ ∴点A的坐标为， ∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴； （2）①当时，，解得或， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为 ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， 则点P关于x轴的对称点为， ∵在直线上， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴， ∴点P的坐标为； ②设交抛物线的对称轴于点H，过点H作于点N， ∵，， ∴ 设直线的解析式为， 则 解得，     ∴直线的解析式为， ∴， ∵，且点D在抛物线对称轴直线上， ∴， ∵ ∴， 在中，, 设，则则， ∴， ∵， ∴，则 ∴， 则点H的坐标是，即， 设直线的解析式为， 则     解得，     ∴直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得到 解得，（不合题意，舍去） 当时， ∴ 2-1（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． (1)求该抛物线的表达式； (2)联结、、，求的值； (3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标． 【答案】(1)该抛物线的表达式为； (2) (3)点的坐标为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先证得是等腰直角三角形，可得，，过点作轴于，则，，，进而证得是等腰直角三角形，可得，，推出，再运用三角函数定义即可求得答案； （3）连接，先证得，得出，即，设，则，可得，得出，代入抛物线解析式求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线关于直线对称， 设抛物线的解析式为，把、代入， 得：， 解得：， ， 该抛物线的表达式为； （2）解：在中，令，得， ， 、， ， 是等腰直角三角形， ，， 如图，过点作轴于，则，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ； （3）证明：如图，连接， 由（2）知是等腰直角三角形， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 点在对称轴右方的抛物线上， ，且， 解得：， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键． 2-2（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系（如图）中，已知抛物线经过点、两点，与轴的交点为点，对称轴为直线． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知以点为圆心，半径为的圆记作圆，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆外切，试判断对称轴直线与圆A的位置关系，请说明理由； (3)已知点在轴的正半轴上，且在点的上方，如果，请求出点的坐标． 【答案】(1)此抛物线的表达式是 (2)对称轴直线与圆A的位置是相离，理由见详解 (3)点的坐标为 【知识点】圆和圆的位置关系、判断直线和圆的位置关系、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）设圆A的半径为r，又圆A与圆外切，所以，得到，即，即可判断； （3）过点作，垂足为，过点作轴，垂足为G，利用等角的正切值相等解决问题，，所以，，所以，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、两点 ∴，解得 ∴此抛物线的表达式是； （2）答：对称轴直线与圆A的位置是相离 根据（1）得，抛物线的对称轴是直线， 抛物线与y轴的交点点坐标为， 所以， 所以圆的半径是， 设圆A的半径为r，又圆A与圆外切，所以， 又， 所以， 对称轴与x轴垂直，设垂足为M，那么的长就是圆A到对称轴的距离， 又对称轴是直线， 所以点的坐标为， 所以， 因为，即， 所以对称轴直线与圆A的位置是相离． （3）解：过点作，垂足为，过点作轴，垂足为G， 易得 ，， 又点坐标为， 点坐标为， 所以轴， 所以，，由勾股定理得 ， 所以，在中，， 在中，， 因为， 所以， 所以， 所以点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求解析式，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，二次函数与角度的存在性问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 2-3（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出点，再将点代入，得，解得，可得答案； （2）①先求出新拋物线表达式为，过点作轴，垂足为，得出，可求得，，从而得出，再将点代入，即可求解； ②分两种情况：Ⅰ．当点在线段的延长线上时，Ⅱ．当点在射线上时，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过直线上的点 点在第四象限， 设点，由，得点， 将点代入，得，解得， 得该抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线， 新拋物线表达式为， 如图，过点作轴，垂足为， 在中，， ， ， 点， 将点代入， 解得； ②设直线与新抛物线的对称轴交于点，则点的坐标为， 点的坐标为 ， 直线平行于轴， ， ， ， ， 分两种情况： Ⅰ．当点在线段的延长线上时， ， ， ， ， 点的坐标为， Ⅱ．当点在射线上时， ， ， 点在的延长线上， 在直线上取点， 同理可得 ， ， ， ， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解直角三角及相似三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型三 二次函数中线段或角的和差倍关系 类型1.已知线段相等求参数值的解题方法 1．坐标设定 依据抛物线性质（如顶点坐标公式，平移规律），用含参数的表达式表示相关点坐标。例如，抛物线平移 个单位，其顶点坐标随平移规则改变，可设为（原顶点横坐标 ，原顶点纵坐标）；对于抛物线上的动点，利用解析式 ，用横坐标表示纵坐标。 2．距离公式列方程 针对线段相等条件（如），使用两点间距离公式 ，分别计算相等线段的长度。将等式两边平方去根号，转化为代数方程. 3．化简求解与检验 展开方程，合并同类项，将其化为关于参数（如）的方程（一元一次，一元二次等）.求解方程后，检验解是否满足题目条件（如参数取值范围，几何意义），舍去不合理的解. 类型2：线段和差倍关系解题方法总结： 1．确定坐标：求抛物线与坐标轴交点等相关点坐标. 2．表示线段：用坐标结合距离公式表示线段长度，根据和差倍关系列方程. 3．利用三角函数：通过三角函数列线段比例. 4．求解验证：解方程并检验，得动点坐标. 典例3（2024·上海松江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）．    (1)求：、的值； (2)将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求：的值． 【答案】(1)， (2)①5；② 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据和都在线段上，求解即可； （2）①根据抛物线平移的性质求出点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出点坐标，进而求出的直线表达式，最后求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； ②根据，可知在的垂直平分线上，从而求出点坐标，进而求出所在直线表达式，从而求得点坐标，最后根据在平移后的抛物线上求出的值即可． 【详解】（1）解：设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式可得： ， 解得：，， 的表达式为：， 将点的坐标代入抛物线解析式得：， ， 将抛物线解析式改写成顶点式：， 点在直线上， ， 解得：或4， 当时，顶点和重合，不符合题意； ，． （2）解：①由（1）知，，抛物线解析式为：， ，原抛物线的对称轴直线为：， 平移后的抛物线解析式为：， 当时，， ， 设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式得：， 解得：， 的表达式为：， ， ； ②由平移的性质可知，， ， 在的垂直平分线上， ， 设所在直线的表达式为：， 代入，的坐标得：， 解得：， 的表达式为：， ， 由顶点坐标可得平移后抛物线的表达式为：， 将点代入平移后的抛物线得：， 解得：， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、把二次函数的一般式化成顶点式、二次函数图象的平移、三角形的面积等，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键． 3-1（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，的图像与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧）． (1)若将的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)若的图像在直线的右侧呈上升趋势，求的取值范围； (3)在（1）中所求的的图像与轴的交点记为点，与轴的正半轴交点记为点，点在的图像上．当直线与直线垂直，且时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知正切值求边长 【分析】（1）把点代入解析式中即可解出b的值； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，开口向上，由原抛物线在直线的右侧呈上升趋势，得，解得：； （3）先求出，，，，则，，根据建立方程，解得，所以，设，当直线与直线垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图所示，可证明，得，解得，，可求M点坐标． 【详解】（1）解：将抛物线向上平移2个单位， 新抛物线的表达式， 新抛物线经过点， ， ， 新抛物线的表达式； （2）解：抛物线， 对称轴为直线， 原抛物线在直线的右侧呈上升趋势， ， ， ， ； （3）解：由（1）得， 令，则；令，则，解得或， ，， ∴， 原抛物线与轴的两个交点为点、点， ，， ∴， 则，，且， 即， 解得或7（舍去）， ， 设， 当直线与直线垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图所示， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ，即， ，， ，． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了二次函数的图象平移，二次函数的增减性性质，线线垂直问题，线段的倍分关系问题，掌握以上内空并能数形结合分析是解题的关键． 3-2（2022·上海松江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线经过点A、B．    (1)求抛物线的表达式； (2)P是抛物线上一点，且位于直线上方，过点P作轴、轴，分别交直线点M、N． ①当时，求点P的坐标； ②连接交于点C，当点C是的中点时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①② 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）先根据题意求出点、的坐标，代入即可求得抛物线的表达式； （2）①证明，可得，设点的横坐标为，则，又，，建立方程求解即可得出答案； ②连接交于点，先求出点的坐标，利用中点公式可求得，，再证明点是的中点，可得，建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解： 直线与轴交于点、与轴交于点， 令，则， 令，则， ，， 抛物线经过点、， ， ， 抛物线的表达式为：； （2）解：①是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴， 分别交直线于点、， ，， ， ， ， 设点的横坐标为， 则，， ， ，， ，， ， ， ， 解得， ； ②如图，连接交于点，    ∵轴，， 点的纵坐标为， 令，则， 解得：， ，， 点是的中点，， ，， 由①知：， 又点是的中点， ， ，， 轴、轴， ，，，， ，， ，， ， 点是的中点， ， ， 解得：， ， ， ， 轴， ， ， 故的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点公式的应用，难度不大，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 3-3（2023·上海长宁·二模）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，点D是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点D的坐标； (3)如图2，点E坐标为，在抛物线上存在点P，满足，请直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、图形问题(实际问题与二次函数)、角平分线的性质定理 【分析】（1）首先由抛物线的解析式可求得点C的坐标，由，可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解； （2）首先可求得点A的坐标，记直线交于点F，由直线恰好平分的面积，可知点F为的中点，即可求得点F的坐标，即可求得直线的解析式，再与抛物线的解析式联立成方程组，解方程组，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况；当点P在x轴上方时，在y轴上取，连接，过点B作直线交抛物线于点P，交y轴于点M，使，则，过点G作于点H，根据角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，即可求得点M的坐标，据此即可求解；同理可得点P在x轴下方时的解． 【详解】（1）解：令，则， ，， ∵， ， ， 把点B代入得：，解得：， 故抛物线表达式为； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为， 故令得：解得：，， 点A的坐标为， 如图：记直线交于点F，   直线恰好平分的面积， 点F为的中点， ，， 点F的坐标为， 设直线的解析式为， 把点B、F的坐标分别代入，得 解得 直线的解析式为， 解得或(舍去)， 故点D的坐标为； （3）解：当点P在x轴上方时， 如图：在y轴上取，连接，过点B作直线交抛物线于点P，交y轴于点M，使， 则，过点G作于点H，   点E坐标为， ， ，，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得，(舍去)， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点M、B的坐标分别代入解析式，得 解得 故此时直线的解析式为； 当点P在x轴下方时， 同理可得，直线的解析式为， 综上，直线的解析式为或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，采用分类求解是解决本题的关键． 题型四 二次函数中特殊角（三角形）问题 1.已知特殊角和非特殊角求点坐标 （1）所求角的顶点及其一边的位置确定，且为特殊角 作法：将已知角放在直角三角形中或构造直角三角形。 ①利用锐角三角函数求解； ②如图（1）（2），过直角顶点作水平或坚直辅助线构造一线三垂直求解． 结论：（当时，）． （2）所求非的角（ ，顶点为动点，且该角所对的弦为定边 ①如图3，当，则圆心在线段的垂直平分线上，且满足圆心角； ②如图4，当，则圆心在线段的垂直平分线上，且满足圆心角 ． 满分技巧： 常见非特殊角（，的转化： 1．等角问题的解题方法 （1）两角存在公共边 已知，如图（1），共顶点，以公共边为对称轴作对称点，则；如图（2），不共顶点，作平行线，则； 如图（3），作公共边垂直平分线交于点 ，则． （2）两角不存在公共边 ①构造相似三角形，列比例式求解；②利用等角的锐角三角函数值相等，列式求解． 2．半角和二倍角问题的解题方法 （1）构造等腰三角形：如图（4），求点使得，构造等腰，点即为所求； （2）作平行线，利用角平分线性质：如图（5），求点使得 ，作，则 ，转化为，利用角平分线性质求点． 典例4（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可； （2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，计算即可； （3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． 【详解】（1）解：由原抛物线顶点的坐标为． 可得， 解得，． 所以，原抛物线的表达式是． （2）解：由点A的坐标为，点B的坐标为 设直线的表达式为， 将点A的坐标代入可得，解得：， ∴直线的表达式为． 由抛物线沿射线方向平移，可得顶点M始终落在射线上， 得点M的坐标为． 得平移后抛物线的表达式为． ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为， ∴． 化简得，得． ∵， ∴， 解得：， 所以m关于n的函数解析式为． （3）解：过点B作，交原抛物线于点G，那么． 当点N在之间的抛物线上运动时，是锐角． 当点N与点A重合时，，， 平移距离， 当点N与点G重合时， 过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F． ∴点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为． ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴，可得． ∵， ∴解得：． ∴点M的坐标为， ∴． ∵点N位于原抛物线对称轴的右侧， ∴当是锐角时，平移距离的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 4-1（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①  ② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的图象和性质，正确理解题意和处理数据是解题的关键. （1）函数关系式化为，然后计算解题； （2）先求出点的横坐标为：，点的横坐标为：，①过点B作轴于点E，即可得到，然后代入计算即可；②过点作轴于点，则，代入就计算即可. 【详解】（1）解： ， 令，解得，， 当 时，，当时，， 即点、的坐标分别为； （2）解：由抛物线的表达式可得点的横坐标为：，点的横坐标为：， ①如果，如图，过点B作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； ②当 时，如图，过点作轴于点， 则， 即， 解得： (不合题意的值已舍去)． 4-2（2023·上海松江·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线解析式； (2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标； (3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据旋转的性质求解、正切的概念辨析 【分析】（1）根据一次函数解析式，求得点，代入，即可求解； （2）过点作轴，垂足为，过点作于点，证明得出，代入抛物线解析式即可求解； （3）设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作，由得出，根据，列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， 当时，， ∴， 若抛物线经过点，则 解得：或（舍去） ∴抛物线解析式为； （2）∵的顶点为． ∴ 如图所示，过点作轴，垂足为，过点作于点， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵在抛物线上， ∴ 解得：， ∴， （3）解：如图所示，设直线与轴交于点，与轴交于点， 由，令，得，则， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则 过点作，则是等腰直角三角形，则，则 ∴ ∵， ∴ 又 ∴ 即 ∴ 解得：或（舍去） 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正切的定义，解一元二次方程，全等三角形的性质与判定，熟练以上知识掌握是解题的关键． 4-3（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，该抛物线上有三个点、、，轴，，，与抛物线的对称轴交于点（点在对称轴的左侧）． ①如果点到抛物线对称轴的距离为，请用含的代数式表示点的横坐标； ②求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①连接，过点作直线，根据对称性结合直角三角形斜边上的中线推出为等边三角形，在中，求出的长，进而得到的长，即可得出点的横坐标； ②在中，利用锐角三角函数求出的值，进而求出点的横坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，解得：， ∴； （2）①∵， ∴对称轴为直线， ∵轴， ∴关于对称轴对称， ∵与抛物线的对称轴交于点， ∴为的中点， 连接，过点作直线， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵直线，且点到抛物线对称轴的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为：； ②设点到抛物线对称轴的距离为，则点的横坐标为， ∴点的纵坐标为：， 由①可知：点的横坐标为：，则：点的纵坐标为：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为：． 4-4如图，已知抛物线与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线 翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的解析式． 【答案】(1)，顶点的坐标为； (2)； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算 【分析】（）运用待定系数法即可求得抛物线解析式为，再运用配方法化为顶点式即可得出抛物线的顶点的坐标为； （）设，且，连接，设抛物线的对称轴交轴于，利用抛物线的对称性可得，由翻折的性质可得，，推出 是等边三角形，得出，，再运用解直角三角形即可求得答案； （）取（）中的点，连接，，设直线交轴于点，可得为等边三角形，再证得得出，利用解直角三角形求得 ，再运用待定系数法即可求得直线的表达式． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于点，， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）设，且，则， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴，，， 由翻折得： ∴，， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，解得： ∴； （3）如图，取（）中的点，连接，， 设直线交轴于点，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点， 为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴ 设直线的函数表达式为，把，代入， 得：，解得：， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的应用，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握代入法求二次函数解析式，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4-5（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解； （2）求出，由题意可得点的横坐标为，作轴于，轴于，则，，，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而证得，于是可得，解直角三角形即可求出，进而得出点的纵坐标为，于是得解； （3）用待定系数法求出，得到抛物线的解析式为，设，则新抛物线的解析式为，求出，得到，点在直线上，作轴于，则，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而可得，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将直线向下平移5个单位后得到的解析式为， ∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C， ∴在中，当时，，即； （2）解：在中，令，则，即：， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点的横坐标为， 如图，作轴于，轴于， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为， ∴； （3）解：将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 设，则新抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 如图，点在直线上，作轴于， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键． 4-6（2023·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)连接，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把代入抛物线解析式求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出对称轴； （2）先求出，再根据，推出，则点C和点D关于抛物线对称轴对称，由此利用二次函数的对称形求解即可； （3）设抛物线顶点为M，由（1）可知，则P、M都在直线上，即可得到，即，如图所示，过点A作于N，则，证明，得到，进而求出，得到，由此求出，则． 【详解】（1）解：把代入到中得：， ∴， ∴抛物线表达式为， ∴抛物线对称轴为直线； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C和点D关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴；    （3）解：设抛物线顶点为M， 由（1）可知， ∵， ∴P、M都在直线上， ∴，即， 如图所示，过点A作于N，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求二次函数解析式等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 题型五 二次函数中特殊四边形综合问题 平行四边形存在性问题方法： （1）对边平行且相等可转化为：， （2）对角线互相平分转化为：， 典例5（2023·上海虹口·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点在该抛物线上．    (1)如图，点B的坐标为 ①求点A的坐标和n的值； ②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点，如果四边形为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式； (2)直线与y轴相交于点E，如果且点B在线段上，求m的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、二次函数图象的平移、利用平行四边形的性质求解、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）①把代入得，即可求出答案；②根据平行四边形的性质得出，可知抛物线向上平移了7个单位，即可直接写出平移后的新抛物线的解析式； （2）先求出，，，然后利用待定系数法求出直线的解析式，根据表示出直线的解析式，将代入，求出的值，再检验点B是否在线段上即可． 【详解】（1）解：①把代入，得：， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴， 把代入，得：， 故答案是，； ②如图1，    ∵四边形为平行四边形，，新抛物线与x轴的一个交点为D， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴抛物线向上平移后的新抛物线的解析式为； （2）如图2，    ∵， ∴，，， 设直线的解析式为，把代入，得： ， ∵， ∴可设直线的解析式为，把代入，得： ， 解得：， 当时，，，， 设直线的解析式为，把，代入，得： ， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴点B在线段上，符合题意； 当时，，，， 设直线的解析式为，把，代入，得： ， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴点B不在线段上，不符合题意，舍去； 故． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象平移，互相平行的两条一次函数图象间的关系是解题的关键，对求出的值进行检验是解题的难点和易错点． 5-1（2023·上海浦东新·二模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P． (1)求抛物线的表达式； (2)如果抛物线的对称轴与直线交于点D，求的值； (3)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上．当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）先求出点A和点C的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）连接，求出，再求出直线的表达式为：，根据抛物线的对称轴为直线，求出，根据两点之间的距离公式得出，即，最后根据求解即可． （3）求出，设点，点，求出中点坐标：，中点坐标：，根据平行四边形对角线互相平分得出，求出，得出点Q的坐标，即可得出平移后的表达式． 【详解】（1）解：把代入得：，解得：， ∴， 把代入得：， ∴， 将点，代入得： ，解得：， ∴该抛物线的表达式为：； （2）解：连接， 把代入得：， 解得：， ∴， 设直线的表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴把代入得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，即， ∵，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵平移后的抛物线顶点Q在原抛物线上， ∴设点， ∵点E在y轴上， ∴设点， ∵， ∴中点坐标：，中点坐标：， ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得：． ∴， ∴平移后的函数表达式为：， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的特征，解直角三角形的方法． 题型六 二次函数与三角形面积和周长问题 典例6（2024·上海长宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)①5；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当时，则点F在的中垂线上，则，即可求解； ②证明，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得， ∴点， 设点， 设直线的解析式为， 由点、F的坐标得， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点， ①当时，则点F在的中垂线上， 则，即， 解得：(舍去)或5， 则； ②过点D作轴，作，过点F作轴，则，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 解得：， 由得，， ∵的面积是面积的3倍， 则 则∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：(舍去)或4， 当时， ∴点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，运用数形结合思想解题是关键． 6-1（2024·松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． (1)求、的值； (2)将抛物线向右平移（）个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连接，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求的值． 【答案】(1)， (2)① ② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图形问题(实际问题与二次函数)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，掌握平移变换后，点以及抛物线变化的规律是本题解题的关键． （1）先求出所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据和都在线段上，求解即可． （2）①根据抛物线平移的性质求出点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出点坐标，进而求出的直线表达式，最后求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； ②根据，可知在的垂直平分线上，再过点做与轴平行的直线，与相交于点，由垂直平分线的性质可得，，，再由线段与平行，推出，，即， ，得出即垂直平分，，与点关于对称，即可得出点的坐标，由平移的性质可得平移后抛物线的表达式，最后根据在平移后的抛物线上，求出的值即可． 【详解】（1）∵抛物线过点 ， ，，    ∵ ，， ∴ 将，两点分别代入到所在的一次函数中， 得， 连列可得解答， 故直线的解析式为：， 又因为顶点在线段上， ∴， 得 (舍去) 或， ，      ，． （2）①， ∴对称轴为直线，顶点为， 当时，， 顶点， 当时，， ， 过点，，作轴垂线 垂足分别为，， ， ②由平移的性质可知， ， ， 在的垂直平分线上， 如图，过点做与轴平行的直线，与相交于点， 由垂直平分线的性质可得，， 故， 由图可得线段与平行， 故，， ， 即垂直平分，，与点关于对称， 顶点为， 的坐标为， 由平移的性质可得平移后抛物线的表达式为：， 将代入平移后的抛物线得：， 解得：或（，舍去）， ∴． 6-2（2023·上海嘉定·二模）如图，在直角坐标平面中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，，抛物线经过A、B、C三点． (1)求点A、B的坐标； (2)联结、、，当时， ①求抛物线表达式： ②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得?如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）求出抛物线的对称轴为，再根据A的坐标为，，即可作答； （2）①证明，即有，进而可得，问题得解；②先求出，设点P的坐标为，设抛物线对称轴交于N点，利用待定系数法可求出直线的解析式为：，，则有：，则有，进而可得，解方程即可求解． 【详解】（1）该抛物线的表达式为， ， 该抛物线的对称轴为， 抛物线经过点A，且点A在y轴的负半轴上， 点A的坐标为， ，对称轴为， 点B的坐标为； （2）①，， ，，， ， ， ， ，，， ，， 即：， ， 点C在x轴的正半轴上， 点C的坐标为， 将代入中，解得， 该抛物线的表达式为； ②存在，理由如下： ，， ， ， 设点P的坐标为， 如图，抛物线对称轴交于N点， ，， 利用待定系数法可求出直线的解析式为：， 即时，， 即， 则有：， ， 即有：， 解得，或者， 点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 6-3（2022·上海杨浦·二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交线段于点N，交抛物线于点P，过P作，垂足为点M． (1)求这条抛物线的表达式； (2)设的周长为，的周长为，如果，求点P的坐标； (3)如果以N为圆心，为半径的圆与以为直径的圆内切，求m的值． 【答案】(1) (2)点P的坐标是 (3)当与内切时， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、圆和圆的位置关系、相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）先证明，根据相似三角形性质可得出：．利用待定系数法可得直线的解析式为．设点，，则，，建立方程求解即可得出答案； （3）设的中点为点，则点 的坐标，过点作轴于点，则，，运用勾股定理可得，根据两圆内切建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点 ∴ ∴ ∴； （2）解：∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴．即． 又∵， ∴， 设直线，又直线经过点，点， ∴∴， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴设点， ∵点N在直线上， 设点， ∴， 又， ∴．解之得（不合题意，舍去）， ∴点P的坐标是； （3）解：设的中点为点Q，则点Q的坐标， 又点， 过点作轴于点，则，， 在中， ∴， 当与内切时，， ∴， 解之得：， ∴当与内切时，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两圆内切的性质等，本题综合性强，有一定难度，第（2）问运用相似三角形周长比等于相似比建立方程求解是解题关键，第（3）问根据圆与圆内切的性质建立方程求解是解题关键． 题型七 二次函数与相似三角形综合问题 典例7（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 【答案】(1)a (2)①；②或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由，即可求解； （2）①证明，得到，，即可求解； ②证明为等腰直角三角形，且与相似，则为等腰直角三角形，进而求解． 【详解】（1）解：设点A、B的坐标分别为：，， 由抛物线的表达式知，点， 则； （2）解：①，且，则为等腰直角三角形，设点， 过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为点M、N， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则，， 即且， 整理得：，则， 故抛物线的表达式为：； ②由点A、B的坐标得：， 解得：， 则点A、B的坐标分别为：、， 由得：，即点； ∵，且， 则为等腰直角三角形， ∵与相似，则为等腰直角三角形， 过点A作轴于点M，则点， 则， 故当点E和点M重合时，即点，符合题意； 如图，取，则为等腰直角三角形， 即点符合题意， 综上，或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似，解直角三角形，求抛物线解析式等知识点，数据处理是解题的关键． 题型八 二次函数图象的几何变换问题（平移、旋转、对称） 典例8（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【答案】(1)或； (2)①；②． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； （2）解：①如图，设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， ∴轴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上：； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 8-1（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得； （2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c； （3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B， 当时，代入得：，故， 当时，代入得：，故， （2）设， 则可设抛物线的解析式为：， ∵抛物线M经过点B， 将代入得：， ∵， ∴， 即， ∴将代入， 整理得：， 故，； （3）如图： ∵轴，点P在x轴上， ∴设，， ∵点C，B分别平移至点P，D， ∴点，点向下平移的距离相同， ∴， 解得：， 由（2）知， ∴， ∴抛物线N的函数解析式为：， 将代入可得：， ∴抛物线N的函数解析式为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值． 8-2（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）先由对称轴求出的值，再把点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式； （2）①新抛物线的解析式可设为，当的图象的对称轴右边图象过点时，有，解得：；当的图象的对称轴左边图象过点时，有，解得：，从而可知； ②如图1所示，作，设，新抛物线可设为，故，证明，再利用三线合一性质说明，当时，即时，满足题意，至此完成二倍角的转换，最后根据，解出的值即可得解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，， 把代入，可得， 抛物线表达式为． （2）解：抛物线表达式为， 故，． ①当点在轴上时，新抛物线的解析式可设为， 当的图象的对称轴右边图象过点时，有， 解得：，（舍去）； 当的图象的对称轴左边图象过点时，有， 解得：，（舍去）． 故的取值范围为； ②如图1所示，作， 设，且点为新抛物线顶点，新抛物线的对称轴为直线， 则新抛物线可设为，又点横坐标为2， 则，故， ， ， ，从而知为中垂线， ，由三线合一性质可得：， 当时，即时，满足题意． 故， ， 即，故， 故． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象性质，函数图象的平移，二次函数与线段的公共点问题，二倍角构造问题，熟练掌握以上内容是解题关键． 8-3（2025·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，有抛物线M：过点和点，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求M的表达式和P点的坐标； (2)沿着射线平移抛物线M得到抛物线N，其顶点为点Q． ①当平移的距离为时，若点和点C关于抛物线M的对称轴对称，求证：点在抛物线N上． ②延长线段、，交点为点D．当时，求的值． 【答案】(1)抛物线，顶点坐标 (2)①见解析；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】（1）利用待定系数法求得解析式，化成顶点式即可求得抛物线的顶点坐标； （2）①据抛物线表达式可知，由得抛物线对称轴为直线；设，得，得点，利用平移确定新抛物线的解析式为．代入计算验证即可． ②利用待定系数法，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，正切函数的定义解答即可． 【详解】（1）解：把点和点代入解析式得： ， 解得； 故抛物线M的表达式为． 配方，得， 故抛物线顶点坐标为． （2）① 解：由抛物线表达式可知，由得抛物线对称轴为直线； 根据题意，设，得， 解得， 故点． 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 根据题意，设， ∵， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∵， 当时，， 故点在抛物线上． ② 解：连接，交射线于点E； 由点和点，得， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 故， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在的垂直平分线上即在抛物线的对称轴直线， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴时，， ∴点， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 故， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点式，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，抛物线的平移，正切函数的应用，熟练掌握待定系数法，平移，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 8-4（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出，，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由题意得：，，根据在上，得出，即； （3）先求出E，F的坐标，再根据，得出，求出m的值，得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，顶点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：由抛物线的平移可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在上， ∴，即； （3）解：设直线的解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，即， 将，代入， 得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∴解得：或（舍）， ∵直线：与的交点为，， ∴． 8-5（2025·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 【答案】(1)，； (2)①该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位；②． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）化成顶点式，可求得顶点P的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （2）①该抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则顶点的坐标为，得到新抛物线的解析式为，利用待定系数法求得直线的解析式，推出直线与直线重合，得到，由题意得到，利用勾股定理列式计算求得，据此即可求解； ②根据题意求得点的坐标为，根据被y轴平分，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点D的坐标为； （2）解：①该抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则顶点的坐标为， ∵， ∴新抛物线的解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵顶点落在线段的延长线上， ∴直线与直线重合， ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ， ， 即， 解得， ∴， ∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位； ②当时，， 解得， ∵点A在点B的右侧， ∴点A的坐标为， ∴点的坐标为， 又∵，且被y轴平分， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴原抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数平移后解析式的变化情况以及勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 题型九 二次函数图象与四边形结合问题（梯形） 典例9（2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 【答案】(1)0 (2)这个不动点是 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）令，得，得，进而得，代入解析式得得，从而得，再把代入解析式即可得解； （2）由得：，根据函数有唯一的不动点得或．把代入，得，求解即可； （3）分和利用解直角三角形，旋转的性质及二次函数的图像及性质即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ． 代入解析式得得 ∴ 当时 当时，． （2）解：由得： ∵有唯一的不动点 解得：（舍）或． 当时， ∴， 这个不动点是． （3）解：①当时，如图 由旋转可得，， ， ∴ ， ②当时，如图，过作于点， 由旋转得， ∴， ，， ∴ 解得， ． 故二次函数解析式为或， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形及性质，一元二次方程根的判别式，解直角三角形及旋转的性质，熟练掌握二次函数的图形及性质是解题的关键． 题型十 二次函数与锐角三角函数综合问题 典例10（2025·上海崇明·一模）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点． (1)求该抛物线的表达式： (2)点是抛物线上在第一象限内的动点，点的横坐标为 ①如果是以为斜边的直角三角形，求的值； ②在轴正半轴上存在点，当线段绕点逆时针方向旋转时，恰好与抛物线上的点重合，此时点的横坐标为，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由抛物线经过点，，，再建立方程组解题即可； （2）①作轴，垂足为．由题意可得，证明  ，再建立方程求解即可；②作轴于，轴于，证明，可得，设，再进一步解答即可. 【详解】（1）解： 抛物线经过点，，， ，解方程组得： 抛物线的表达式为： （2）解：①作轴，垂足为． 点在抛物线的图象上，横坐标为， ， ， ，   ， ，   ， ， 即， 解得，经检验符合题意； ②作轴于，轴于， ， ，   ， 又 ， ， ， 设， 由，   ， ， ， 整理得：， ， . 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出符合题意的图形是解本题的关键. 10-1（2023·上海金山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； (3)点在直线上，若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，进一步即可求出抛物线的对称轴； （2）求出直线的解析式，进而求出C点坐标，设平移后的顶点坐标为，则有平移后的解析式为，把点C坐标代入求出解题即可； （3）分点E在点D的上方时和点E在点D的下方两种情况解题，过E作于点F，利用正切求出与的关系进行解题． 【详解】（1）解：把点和点代入得： ， 解得， ∴ 对称轴为直线， （2）设直线的解析式为,代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴C点坐标为， 设平移后的顶点坐标为， 则解析式为， 把代入得：或（舍）， ∴， （3）∵, ∴， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， 当点E在点D的上方时，过E作于点F， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 当点E在点D的下方时，过E作于点F， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查三角函数，待定系数法求解析式，平移，二次函数的图象和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 10-2（2023·上海杨浦·二模）已知抛物线：与x轴相交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线沿射线方向平移得到抛物线，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线上，设点F在抛物线 上，如果是以为底的等腰直角三角形，求点F的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，设点M为线段上的一点，，交直线于点N，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）理由待定系数法求出直线的解析式为，根据是以为底的等腰直角三角形，得出，求出，设，则，得出，求出m的值即可； （3）根据抛物线解析式求出点，作，交于G，证明，得出，求出，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线：经过点和， ∴ ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1， ∵、， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， 由平移得， ∴， 设，则， ∴， 解得（舍）或， ∴； （3）解：如图2， ∵抛物线的解析式为，令，则， 解得或， ∴， ∵点和， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 作，交于G， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，求角的正切值，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合． 题型十一 二次函数与圆的综合 典例11（2023·上海闵行·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接． ①如果与线段交于点E，且，求的正切值； ②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、圆和圆的位置关系、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】（1）把点、代入抛物线解析式可求解，然后令可求点C的坐标； （2）①根据题意作图，则过点E作于点G，然后可得，则根据相似三角形的性质可得点E坐标，进而问题可求解；②由题意可知，然后过点D作于点H，设点，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把点、代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 令，则有， 解得：， ∴； （2）解：①如图所示： 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∵点、， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴； ②如图所示： ∵以为半径的与以为半径的外切， ∴与相切于点F，即， 过点D作于点H， ∴，， ∴， ∴， 设点，则有，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当点D在x轴的下方时，显然，所以以为半径的与以为半径的不会外切． 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系及二次函数的综合，熟练掌握圆与圆的位置关系及二次函数的综合问题是解题的关键． 11-1（2022·上海闵行·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G. (1)求抛物线的表达式； (2)以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标. 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、圆和圆的位置关系、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）将抛物线的解析式可以写成的形式，与对比即可求出a，b的值，进而求出抛物线的表达式； （2）①画出大致图形，证明点B是与内切时的切点，即可得到；②设点F的坐标为，用含m的代数式分别表示出和，列等式即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点，， ∴抛物线的解析式可以写成的形式， 即， ∴，， ∴，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意作图如下， ①∵的圆心为G，的圆心为E， ∴GE是与圆心的连线， ∵两圆相切时，圆心的连线经过切点， ∴当与内切时，GE经过切点， ∵点B是线段GE延长线上的点，且在上， ∴点B是与内切时的切点， ∴点B在以点E为圆心，为半径的上， ∴， ②在中， 令得， ∴抛物线与y轴交于点C的坐标为， 设直线BC的解析式为， 将和的坐标代入， 得， ∴， ∴设直线BC的解析式为． ∵点F在抛物线上， ∴设点F的坐标为， 由题意轴， ∴点E的坐标为， ∵点F在BC的上方， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∵点E在线段BC上， ∴， ∴, ∵， ∴， 整理得，， 解得或3， 当时，点E，F，B重合，此时不存在， 故不合题意，应舍去， ∴， 当时， ， ∴求点F的坐标为． 【点睛】本题考查求一次函数、二次函数的解析式，圆与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标的特征，三角函数解直角三角形等知识点，证明点B是与内切时的切点，进而得到是解题的关键． 题型十二 二次函数新定义问题 典例12（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． (1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质， （1）将点代入表达式，求出m的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可； （2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E、F坐标，并求出P、Q坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m值，进而解决问题； （3）求出，由点关于对称，平行于y轴，得到，根据和相似，分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线：与轴交于点坐标为， 当，代入，得， ， 抛物线表达式为， 抛物线的“轮换抛物线”为表达式为； （2）解：抛物线：， 当时，，即与y轴交点为， 抛物线：的“轮换抛物线”为， 抛物线表达式为， 同理抛物线与y轴交点为， 抛物线对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 抛物线的对称轴与直线交点， 点在点的上方， ， 解得：， ， 四边形为平行四边形， ，即， 解得：， ； （3）解：由（2）知 ：，：，，，，， 点在抛物线上， 即， 如图， 点关于对称， ， 又平行于y轴， ， ， 和相似， 有两种可能： 情形1：， ， ，， ， 解得：（符合题意）； 情形2：， ， ，， ， 解得：（符合题意）或（符合题意）， 综上，当与相似时，的值为或或． 12-1（2024·上海闵行·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，勾股定理逆定理求出，根据，得到为的中点，再根据菱形的性质，求出点坐标即可； （3）求出直线的解析式，分别求出两条直线与对称轴的交点坐标，结合凹四边形的定义，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， 当时，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， 连接，则：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∵是菱形， ∴， 把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴对称轴与轴的交点坐标为， ∵，，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴，当时，， ∴直线与对称轴的交点坐标为， 同法可得：直线的解析式为：，直线与对称轴的交点坐标为， ∵点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形， ∴当点在之间，满足题意， ∴．    【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． （建议用时60分钟） 1.（2022·上海普陀·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求抛物线的表达式和点D的坐标； (2)点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线交y轴于点F． ①用m的代数式表示直线的截距； ②在的面积与的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线． 【答案】(1)，点D的坐标为 (2)①直线的截距是；②符合条件的直线应该是经过点E且垂直于x轴的直线，为直线和直线 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式，再利用配方法将抛物线表达式化为顶点式即可求得顶点坐标； （2）①设点，利用待定系数法求得直线的解析式为，即可得出答案； ②当点在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线于点，则，可得，再求得，根据题意可得：，解得，故符合条件的直线为；当点在轴与对称轴之间时，过点作平行轴的直线交于点，利用待定系数法求得直线的解析式为，可得，进而可得，建立方程求解即可得出符合条件的直线为． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、， ， 解得：， 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）解：①设点，直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 直线的截距为； ②抛物线顶点的坐标为， 抛物线对称轴为直线， 当点在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线于点，如图1， 则， ， ， 由①知：直线的截距为，即， 又， ， ， 由题意：， ， 解得：或， ， ， 根据同底等高的三角形面积相等可得：过点且平行轴的直线上任意一点及点、三点为顶点的三角形的面积都等于面积， 符合条件的直线为； 当点在轴与对称轴之间时，过点作平行轴的直线交于点，如图2， 、， 直线的解析式为， ， ． ， ， ， 解得：（舍去）或， 符合条件的直线为， 综上所述，符合条件的直线为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点式、顶点坐标、对称轴，直线的截距，三角形面积等，运用等底等高的三角形面积相等解决问题是解题关键． 2.（2024·上海青浦·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． (1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标； (2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； (3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、三角形的外角的定义及性质、求角的正切值、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将、代入得，，可求，则，当时，，进而可求； （2）如图1，作于，记与的交点为，设，则，，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解为，则，待定系数法求直线的解析式为，进而可得，则，根据，计算求解即可； （3）如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点，由，可知点即为所求，由勾股定理得，，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，设，由，可求，（舍去），则，待定系数法求直线的解析式为，联立得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将、代入得，， 解得，， ∴， 当时，，即； （2）解：如图1，作于，记与的交点为， 设，则，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点， ∵，， ∴， ∴点即为所求， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立得，， 解得，舍去或， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键． 3.（2023·上海徐汇·二模）如图，已知抛物线经过点，与x轴交于点B、． (1)求抛物线的顶点M的坐标； (2)点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的表达式． 【答案】(1)，顶点坐标为：． (2)点E的坐标为； (3)直线的函数表达式为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据成轴对称图形的特征进行求解、解直角三角形的相关计算、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）先求解抛物线与x轴交于，， 可得，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为， ， 由翻折得， 由勾股定理，得， 求解， 由翻折得， 再利用三角函数可得答案； （3）连接， 证明为等边三角形， 证明， 可得， 设与x轴相交于点K， 可得点K的坐标为．再利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与x轴交于点B、． ∴，解得：， ∴抛物线为：， ∴顶点坐标为：． （2）如图，令， 解得：，， ∵抛物线与x轴交于，， ∴，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为， ， 由翻折得， 由勾股定理，得， ∴点F的坐标为，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴点E的坐标为； （3）连接， ∵， ， 则为等边三角形， ∵，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， 设与x轴相交于点K， ∴． ∴点K的坐标为． 设直线的函数表达式为， 则 ， 解得， ∴直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握代入法求二次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定，轴对称的性质，代入法求一次函数解析式是解本题的关键． 4.（2023·上海青浦·二模）如图，已知抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点A． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)将该抛物线向右平移m个单位，点C移到点D，点A移到点E，若，求m的值； (3)在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为G，新抛物线在对称轴右侧的部分与x轴交于点F， 求点C到直线的距离． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用等角的余角相等得到，即，列式计算即可求解； （3）过点C作，垂足为点H．过点G作轴，垂足为点P．设直线与y轴交于点M，得到是等腰直角三角形，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：将点和代入，得 ，解得：， 所以，； 当时，或． ∴点A的坐标为； （2）解：由平移得，平移距离． ∴．     ∵，．∴． ∴．     在中，； 在中，， ∴，， ∴，即； （3）解：过点C作，垂足为点H． 过点G作轴，垂足为点P．设直线与y轴交于点M． 原抛物线向右平移个单位，得到． ∴，，． ， ∴是等腰直角三角形，． 在中，，． ∴．     在中，， ．     答：点C到直线的距离是． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、图形的平移等，其中（3）用解直角三角形的方法，推出是解本题的关键． 5.（2022·上海虹口·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由抛物线，得抛物线过点，设抛物线解析式，将代入上述解析式，求得a的值，整理化简即可． （2）由（1）中条件求得抛物线顶点坐标及C点坐标，再算得，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，设，则，令，解得关于p的方程即可得到点P的坐标． （3）由直线BC解析式为，设，其中，同理，设，其中，分两种情况分别讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线过点． ∵抛物线与轴交于点和点， ∴设抛物线， ∵抛物线过点， ∴将点代入中， 得    ，解得， 故抛物线解析式为， ∴抛物线解析式为． （2）解：连接、，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F， ∵抛物线解析式为，与轴交于点，顶点为， ∴，． ∵，， ∴直线BC为：， ∵交抛物线的对称轴于点， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 设， ∵，点P在射线DE上， ∴， ∵DP交x轴于点F， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故P点坐标． （3）解：∵直线BC为：，， 又∵点是线段上的一点， ∴设，其中， 又∵，点是对称轴右侧抛物线上的一点， ∴设，其中． ∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴分两种情况进行讨论： ①如图1，当，时，过点N作NK⊥DE于点K，过点M作ML⊥DE于点L， ∵， ∴， ∵ML⊥DE， ∴， ∵， ∴． ∵NK⊥DE，ML⊥DE， ∴， ∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， 解得或， ∵，， ∴舍去， ∴M点坐标为． ②如图2，当，时， ∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴当，解得， ∵， ∴，即． ∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴， ∵直线BC为：，， 又∵点是线段上的一点， ∴M点坐标为． 综上，满足题意的M点坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数相关的综合运用，充分运用数形结合思想是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 76 学科网（北京）股份有限公司 $$