精品解析：吉林省长春市第八十七中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

87中学八年级下学期第一次大练习数学试题（16－20） 时间：120分钟 分值：120分 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在平面直角坐标系中，点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断点所在的象限．根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特点判断即可． 【详解】解：∵点的坐标为，且，且； ∴点在第二象限； 2. 下列各图中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查了函数的定义．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 【详解】A、B、C作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，能表示y是x的函数，故不符合题意； D. 作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象存在2个交点，不能表示y是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查函数的概念，解题关键在于熟悉掌握函数的定义． 3. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离是横坐标的绝对值，进行作答即可． 【详解】解：依题意，点到轴的距离是 故选：A 4. 已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 5. 小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵y轴表示当天爷爷离家的距离，X轴表示时间 又∵爷爷从家里跑步到公园，在公园打了一会儿太极拳，然后沿原路慢步走到家， ∴刚开始离家的距离越来越远，到公园打太极拳时离家的距离不变，然后回家时离家的距离越来越近 又知去时是跑步，用时较短，回来是慢走，用时较多 ∴选项B中的图形满足条件. 故选B. 6. 当时，一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象，根据，可知随的增大而减小，可求得一次函数与轴的交点为，据此即可求得答案． 【详解】∵， ∴随的增大而减小． ∵时， ∴． ∴一次函数与轴的交点为． 所以，选项A的图象符合题意． 故选：A 7. 如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查了一次函数的综合应用．利用数形结合的思想，确定边界点的值，是解题的关键．将，的坐标分别代入直线中求得b的值，即可得到b的取值范围． 【详解】解：直线经过点B时，将代入直线中，可得，解得； 直线经过点C时，将代入直线中，可得，解得； 故b的取值范围是． 故选：B． 8. 如图，一次函数与的图象交于点．下列结论中，①②③当时，④⑤，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质判断系数大小、一次函数图象与性质判断式子正负、利用一次函数图象解不等式等知识，数形结合，灵活运用一次函数图像与性质逐项判断即可得到答案，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由一次函数图象与轴交于正半轴上，则， 故①错误； 由一次函数图象是下降的，则；由一次函数的图象是上升的，则； ，故②错误； 由一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为， 当时，， 故③错误； 由一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为， 当时，，则当时，， 即，故④错误； 由一次函数的图象可知，当时，，则， 故⑤正确； 综上所述，结论正确的是⑤，只有1个， 故选：A． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：由于两点关于轴对称，则其横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可解答． 【详解】解：点和点关于轴对称， ∴， 故答案是：4． 10. 若点，在反比例函数的图象上，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可知反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，再由即可得到． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．先根据平移规律求出直线向上平移3个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出m的值． 【详解】解：将直线向上平移3个单位， 得到直线， 把点代入， 得， 解得，． 故答案为：． 12. 已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键． 方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：把代入， 可得，， 方程组的解为：， 一次函数和的图象的交点坐标为： 故答案为： 13. 如图，函数和（k，b为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】把点代入，求出m的值，再观察图像，即可求解． 【详解】解：把点代入得： ，解得：， ∴点， 观察图象得：当时，函数的图象在的图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为． 14. 如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____． 【答案】. 【解析】 【分析】由AE＝3EC，△ADE的面积为3，可知△ADC的面积为4，再根据点D为OB的中点，得到△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，即梯形BOCA的面积为8，设A (x,)，从而 表示出梯形BOCA的面积关于k的等式，求解即可. 【详解】如图，连接DC， ∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1. ∴△ADC的面积为4. ∵点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上， ∴设A点坐标为 (x,). ∵OC＝2AB，∴OC=2x. ∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8. ∴梯形BOCA的面积=，解得. 【点睛】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线的性质. 三．解答题（共9小题，共78分） 15. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，并进行检验． （1）先通过去分母（方程两边同时乘以最简公分母），将分式方程转化为整式方程 ，即可求解． （2）先通过去分母，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 移项得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴原方程的解为：． 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴原方程的解为：． 16. 已知点． （1）若点在轴上，求的值； （2）若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，涉及轴上点的坐标特征、二、四象限的角平分线上点的特点等知识，利用点的特征列方程求解即可得到答案，熟记平面直角坐标系中点的坐标特征是解决问题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为零可得，解方程即可得到答案； （2）根据第二、四象限的角平分线上点的特点：横坐标与纵坐标互为相反数，得到方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：点在轴上， ，解得； 【小问2详解】 解：点在第二、四象限的角平分线上， ∴点P的两个坐标互为相反数， ，解得． 17. 已知一次函数 （1）求，为何值时，函数是正比例函数？ （2）若图象经过第一，三，四象限，求，的取值范围？ 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、正比例函数图象与性质，熟记一次函数的图象与性质、正比例函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． （1）根据正比例函数定义，得到，，求解即可得到答案； （2）根据题意，作出图象，结合图象得到，，求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：是正比例函数， ，， 解得，； 【小问2详解】 解：一次函数图象经过第一，三，四象限，如图所示： ，， 解得，． 18. 已知与成正比，且当时，． （1）求与的函数关系式： （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数、正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设，再由当时，，得出，求出的值即可； （2）将代入函数解析式即可得出答案． 【小问1详解】 解：与成正比， 设， 当时，， ， ， ； 【小问2详解】 解：点在这个函数的图象上， ， 解得：． 19. 如图，已知点，是一次函数图潒与反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围________． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，待定系数法确定函数解析式；解题的关键是求出表达式． （1）把代入反比例函数，得出的值，然后求出，再把，代入一次函数的解析式，运用待定系数法求其解析式； （2）根据图象，分别观察交点的哪一侧能够使一次函数的值小于反比例函数的值，从而求得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∴这个反比例函数的解析式为． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∵点，在一次函数图象上， ∴． ∴． ∴一次函数解析式； 【小问2详解】 解：由图象可得，当或时，直线在双曲线下面 ∴当时，自变量x的取值范围或． 20. 某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题： （1）该地出租车的起步价是______元； （2）当时，求关于的函数关系式； （3）若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查分段函数的实际应用，涉及由图象获取信息、待定系数法确定函数表达式、已知函数值求自变量等，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由图象即可得到答案； （2）利用待定系数法列方程组求解即可得到答案； （3）由题意可知，当时，列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象可知，该地出租车的起步价是元， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，设关于的函数关系式为， 将、代入得到， 解得， 当时，求关于的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由（1）知起步价为元， ， 由（2）知，当时，求关于的函数关系式为， 当时，，解得， 答：若某乘客一次乘出租车的车费为40元，这位乘客乘车的里程是． 21. 小明以如图的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系，有关数据如下表． 纸杯个数（个） 纸杯高度（） （1）求与之间的函数表达式． （2）小明把杯子叠成如图的一摞，放入高的柜子里（如图）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？ 【答案】（1） （2）最多能放个杯子 【解析】 【分析】（）由表格可知，每增加一个纸杯，高度增加，据此列出函数表达式即可； （）由列出不等式解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出函数表达式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由表格可知，每增加一个纸杯，高度增加， ∴， 即； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∵为整数， ∴的最大值为， ∴一摞最多能叠个杯子，可以竖着一次性放进柜子里． 22. 已知，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． （1）请直接写出，两点坐标：：______，：______； （2）在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； （3）点是一次函数上一动点，则的最小值为______． 【答案】（1）， （2） 函数图象如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理． （1）根据题目即可求出A、B两点的坐标； （2）根据（1）中A、B两点的坐标即可画出函数图象； （3）先利用勾股定理求出，当与一次函数的图象垂直时，有最小值，再根据等面积法，即可求出的最短距离． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B， ∴当时，， 当时，， ∴A、B两点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作于即可； ∴此时最短， ∵A、B两点的坐标为； ∴，， ∴， ∵， ∴； ∴的最小值为：． 23. 在同一条公路上有A、B、C三地，C地在A、B两地之间．甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达A地因故停留3小时后按原路原速驶往B地．结果甲、乙两车同时到达B地，在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： （1）乙车的速度为 千米/时，在图中括号内填入正确数值； （2）求甲车从C地到B地过程中y与x的函数解析式，直接写出自变量x的取值范围； （3）两车出发后经过多长时间相距140千米？请直接写出答案． 【答案】（1）100，15； （2） （3）两车出发后经过1小时或小时或小时时相距140千米 【解析】 【分析】（1）根据乙车在A地因故停留3小时，得到乙车用了到达A地所用的时间，用路程除以时间求出速度，再用路程除以速度得到乙车从地到达地所用时间，即可得出结果； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分甲乙两车相遇之前，相遇之后乙车到达地之前，和乙车到达地之后，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵乙车在A地因故停留3小时， ∴乙车到达A地所用的时间为小时， ∴乙车的速度为：千米/时， ∴乙车从地到达地所用时间为：小时， ∴总时间为：小时， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图象可知，甲车的速度为：千米/时， 设甲车从C地到B地过程中y与x的函数解析式为，由图象可知，直线经过点， ∴，解得：， ∴， 由图象可知，地到地的距离为， ∴甲车从地到地所用时间为：小时， ∴设甲车从C地到B地过程中y与x的函数解析式为； 【小问3详解】 设两车出发小时后，相距140千米， ①乙车到达地之前，甲乙两车相遇之前，两车相向而行，由题意，得：，解得：； ②两车经过小时后相遇，相遇后，乙车到达地之前：由题意，得： ，解得：； ③乙车从地出发之后，，解得：； 综上：两车出发后经过1小时或小时或小时时相距140千米． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，是解题的关键． 24. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行和了研究．探究过程如下，请补充完整． … 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 1 0 1 2 3 4 … （1）自变量的取值范围是全体实数，表格是与的几组对应值：其中，______； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中部分对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分： （3）①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是______； ②当时，随的增大而减小：当时，随的增大而______； ③若关于的方程只有一个解，则的取值范围是______． （4）若点是函数的图象上的一动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为．请写出与之间的关系式． 【答案】（1） （2）函数图象，如图所示： （3）①；②增大；③或 （4） 【解析】 【分析】本题考查函数探究，涉及函数图象与性质、描点法作函数图象，根据题意，数形结合是解决问题的关键． （1）由题意可知函数，将代入即可得到答案； （2）由题中给出的表格，采用描点法作图即可得到答案； （3）由（2）中图象，数形结合即可得到答案； （4）根据题意，分三种情况，作出图象求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：对函数，当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：题中表格如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 1 0 1 2 3 4 … 【小问3详解】解：①由（2）中图象可知，最低点坐标是； ②时，随的增大而减小：当时，随的增大而增大； ③若关于的方程只有一个解，如图所示： ， 的取值范围是或； 故答案为：①；②增大；③或； 【小问4详解】 解：设点的横坐标为，的面积为， 当时，；当时，； 当时，，如图所示： ； 当时，，如图所示： ； 当时，，如图所示： ； 综上所述，与之间的关系式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 87中学八年级下学期第一次大练习数学试题（16－20） 时间：120分钟 分值：120分 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在平面直角坐标系中，点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列各图中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 4. 已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8 5. 小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 当时，一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数与的图象交于点．下列结论中，①②③当时，④⑤，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则______． 10. 若点，在反比例函数的图象上，则______．（填“”“”或“”） 11. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点，则的值为______． 12. 已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为______． 13. 如图，函数和（k，b为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为______． 14. 如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____． 三．解答题（共9小题，共78分） 15. 解分式方程： （1） （2） 16. 已知点． （1）若点在轴上，求的值； （2）若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 17. 已知一次函数 （1）求，为何值时，函数是正比例函数？ （2）若图象经过第一，三，四象限，求，的取值范围？ 18. 已知与成正比，且当时，． （1）求与的函数关系式： （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 19. 如图，已知点，是一次函数图潒与反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围________． 20. 某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题： （1）该地出租车的起步价是______元； （2）当时，求关于的函数关系式； （3）若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程． 21. 小明以如图的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系，有关数据如下表． 纸杯个数（个） 纸杯高度（） （1）求与之间的函数表达式． （2）小明把杯子叠成如图的一摞，放入高的柜子里（如图）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？ 22. 已知，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． （1）请直接写出，两点坐标：：______，：______； （2）在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； （3）点是一次函数上一动点，则的最小值为______． 23. 在同一条公路上有A、B、C三地，C地在A、B两地之间．甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达A地因故停留3小时后按原路原速驶往B地．结果甲、乙两车同时到达B地，在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： （1）乙车的速度为 千米/时，在图中括号内填入正确数值； （2）求甲车从C地到B地过程中y与x的函数解析式，直接写出自变量x的取值范围； （3）两车出发后经过多长时间相距140千米？请直接写出答案． 24. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行和了研究．探究过程如下，请补充完整． … 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 1 0 1 2 3 4 … （1）自变量的取值范围是全体实数，表格是与的几组对应值：其中，______； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中部分对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分： （3）①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是______； ②当时，随的增大而减小：当时，随的增大而______； ③若关于的方程只有一个解，则的取值范围是______． （4）若点是函数的图象上的一动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为．请写出与之间的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $