第五章特殊平行四边形期末复习压轴题练习 2024—2025学年浙教版数学八年级下册

第五章特殊平行四边形期末复习压轴题练习浙教版2024—2025学年八年级下册 1．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的一点，BE＝DF，连接AE，AF． （1）求证：AE＝AF； （2）如图，连接BF交AE于点G，连接DG，若BF⊥AE，求的值； （3）如图，过点F作FM⊥AE于点M，若EM＝2，FM＝5，直接写出AB的长． 2．在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，DE与AC相交于点G，点F是边AB上一点，连接EF． （1）如图1，若BE＝BF，求证：EF∥AC； （2）如图2，若BC＝2EC，且FA＝FE，求证：∠DEF＝3∠CDE； （3）如图3，若BC＝3EC，且∠DEF＝∠DEC，求证：AF＝FB． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点是O（0，0），A（2，2），B（4，2），C（4，0），点P是x轴上一动点，连接OB，AP． （1）求直线OB的解析式； （2）若∠PAO＝∠AOB，求点P的坐标； （3）当点P在线段OC（点P不与点C重合）上运动时，设PA与线段OB相交于点D，以DA，DC为边作平行四边形ADCE，连接BE，求BE的最小值． 4．在正方形ABCD中，点E在射线BD上，点M在BC的延长线上，CN为∠DCM的角平分线，点F为射线CN上一点，且CE＝FE． （1）如图，当点E在线段BD上时，补全图形，求证：2∠BEC+∠CEF＝180°． （2）在（1）的条件下，用等式表示线段CF，DE，BE之间的数量关系，并证明； （3）若AB＝4，BE＝3DE，直接写出线段CF的长． 5．已知在正方形ABCD中， （1）如图1，点M、N分别为AD、CD边上的动点，且DM＝CN，连接CM、BN交于点P，点G为正方形ABCD对角线的交点． ①猜想线段CM与BN之间有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想，不需证明； ②下列结论：甲同学认为的值不变；乙同学认为的值不变，其中只有一个结论正确，请选择正确的结论并求其值； （2）如图2，△AEF是等腰直角三角形，∠AFE＝90°，求证：． 6．如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点（不与B、C重合），CM是外角∠DCN的平分线，点F在射线CM上． （1）当∠CEF＝∠BAE时，判断AE与EF是否垂直，并证明结论； （2）若在点E运动过程中，线段CF与BE始终满足关系式CF＝BE． ①连接AF，证明的值为常量； ②设AF与CD的交点为G，△CEG的周长为a，求正方形ABCD的面积． 7．已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，M是AO上一点． （1）如图，AQ⊥DM于点N，交BO于点Q． ①求证：OM＝OQ； ②若DQ＝DC，求的值． （2）如图，M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线BD上运动，连结AF、ME，若AB＝4，EF＝，则AF+ME的最小值是 　　，当AF+ME取得最小值时DF的长为 　　． 8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点F，且BD平分∠ABC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，求△BDE的面积． 9．如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ． （1）若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩形； （2）在（1）的条件下，当AP＝2，CB＝4时，求CD的长． 10．如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH． （1）求证：AK＝AH； （2）求证：四边形AKFH是正方形； （3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离． 11．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积． 12． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E． （1）如图1，连接QA．当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由； （2）如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB， ①求证：AE＝2EP； ②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长（用含a的代数式表示）． 13．如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为α，点F在直线DE上，且AD＝AF，连接BF． （1）如图1，当0°＜α＜90°时， ①求∠BAF的大小（用含α的式子表示）． ②求证：EFBF． （2）如图2，取线段EF的中点G，连接AG，已知AB＝2，请直接写出在线段CE旋转过程中（0°＜α＜360°）△ADG面积的最大值． 14．如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F．四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，线段B′F交AD边于点G． （1）求证：GE＝GF． （2）当AE＝2DG时，求AE的长． （3）令AE＝a，DG＝b． ①求证：（4﹣a）（4﹣b）＝4． ②如图2，连结OB′，OD，分别交AD，B′F于点H，K．记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2，当a＝1时，求的值． 15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长． 参考答案 1．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABE＝90°， 又∵BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF． （2）解：∵BF⊥AE， ∴∠BGE＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB，∠C＝∠ABC＝90°， ∴∠GEB+∠GBE＝90°＝∠GEB+∠EAB， ∴∠CBF＝∠BAE， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴CF＝BE， ∴CF＝DF，即点F为CD中点， 如图所示，取AB中点H，连接DH交AG于P， ∴， ∵AB＝DA，∠ABE＝∠DAH＝90°， ∴△ABE≌△DAH（SAS）， ∴∠BAE＝∠ADH， ∵∠BAE+∠DAE＝90°， ∴∠ADP+∠DAE＝90°， ∴∠DPA＝90°，即DH⊥AE， ∴DH∥BF； 取AG中点Q，连接HQ，则HQ是△ABG的中位线， ∴HQ∥BG， ∴由平行线的唯一性可知点Q与点P重合， ∴AP＝GP， ∴DH垂直平分AG， ∴DA＝DG， ∴． 答：的值为1． （3）解：连接EF，如图， 设AM＝x，则AF＝AE＝x+2， 在Rt△AFM中，AF2＝AM2+FM2， ∴（x+2）2＝x2+52， 解得， ∴，， 在Rt△EFM中，， ∵DF＝BE，CD＝BC， ∴CF＝CE， ∴△CEF 是等腰直角三角形， ∴， 设BE＝y，则， 在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2， ∴， 整理得， 解得y＝或（舍去）， ∴． 答：AB的长为． 2．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°，∠B＝90°， ∵BE＝BF， ∴∠BEF＝45°， ∴∠BEF＝∠ACB， ∴EF∥AC． （2）如图，连接AE，过点E作EM∥AB交AD于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB∥CD， ∵BC＝2EC， ∴BE＝CE， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴∠BAE＝∠CDE， ∵AB∥∥CD，EM∥AB， ∴AB∥EM∥CD， ∴∠DEM＝∠CDE，∠FEM＝∠BFE， ∴∠DEM+∠FEM＝∠CDE+∠BFE， 即∠DEF＝∠CDE+∠BFE； ∵FA＝FE， ∴∠FEA＝∠BFE＝∠CDE， 又∵∠BFE＝∠BAE+∠FEA， ∴∠BFE＝2∠CDE， ∴∠DEF＝3∠CDF． （3）如图，过点D作DP⊥EF于点P，连接DF， 设正方形ABCD的边长为a，AF＝x，则BF＝a﹣x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝AD＝a，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵BC＝3EC， ∴EC＝a，EB＝a， ∵DP⊥EF， ∴∠BAD＝∠DPF＝∠DPE＝∠DCB＝90° ∴△DPE≌△DCB（AAS）， ∴DP＝DC，PE＝EC＝a， ∴AD＝DP， ∴Rt△ADF≌Rt△PDF（HL）， ∴PF＝AF＝x， ∴EF＝PF+PE＝x+， ∵BF2+BE2＝EF2， ∴， 解得， 即AF＝， ∴AF＝FB． 3．【解答】解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx， ∵B（4，2）， ∴2＝4k， 解得， ∴直线OB的解析式为． 答：直线OB的解析式为． （2）分两种情况讨论：①当点P位于原点O的右侧时，如图，作AF⊥OC于点F，交OB于点G， ∵A（2，2）， ∴FA＝FO＝2，∠FAO＝∠FOA＝45°， ∵∠PAO＝∠AOB， ∴∠PAF＝∠GOF， 又∵∠PFA＝∠GFO＝90°， ∴△PAF≌△GOF（ASA）， ∴PF＝GF， ∵点G的横坐标为2． ∴， ∴点G（2，1）， ∴PF＝GF＝1， ∴OP＝2﹣1＝1， ∴点P的坐标为（1，0）； ②当点P位于原点O的左侧时，如图，过点A作OB的平行线，与x轴交于点P， ∵PA∥OB， ∴∠PAO＝∠AOB，AB＝OP， ∵A（2，2），B（4，2）， ∴AB＝OP＝2， 故点P的坐标为（﹣2，0）， 综上，点P的坐标为（1，0）或（﹣2，0）． （3）作AF⊥OC于点F，连接DF，连接BF， ∵A（2，2），B（4，2）， ∴AB＝CF＝AF＝BC＝2，且∠AFC＝90°， ∴四边形ABCF是正方形， ∴∠FAC＝∠BCA＝45°， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴AD∥CE，AD＝CE， ∴∠CAD＝∠ACE， ∴∠FAD+45°＝∠BCE+45°，即∠FAD＝∠BCE， ∴△FAD≌△BCE（SAS）， ∴DF＝BE， 当FG⊥OB时，DF有最小值，即BE有最小值， ∵OB＝，OF＝2， ∴S△OFB＝， 即， ∴， ∴BE的最小值为． 答：BE的最小值为． 4．【解答】（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∠CBD＝∠ABC＝45°， ∴∠DCM＝90°， ∵CN平分∠DCM， ∴∠MCN＝45°， ∴∠CBD＝∠MCN， ∴CN∥BD， ∴∠BEC＝∠ECF， ∵CE＝FE， ∴∠ECF＝∠EFC， ∴∠BEC＝∠ECF＝∠EFC， 在△ECF中，∠ECF+∠EFC+∠CEF＝180°， ∴2∠BEC+∠CEF＝180°； （2）解：CF+DE＝BE，证明如下： 如图2，连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， 由（1）可知，CN∥BD， ∴EH⊥BD， ∴EH∥AC， ∴四边形CHEO是矩形， ∴CH＝OE， ∵CE＝FE，EH⊥CF， ∴CH＝FH， ∴CF＝2CH＝2OE＝2（BE﹣OB）＝2BE﹣2OB＝2BE﹣BD＝BE﹣（BD﹣BE）＝BE﹣DE， ∴CF+DE＝BE； （3）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴AD＝AB＝4，OB＝OD，∠BAD＝90°， ∴BD＝AB＝4， ∴OB＝BD＝2， ①点E在线段BD上时，BE+DE＝BD＝4， ∵BE＝3DE， ∴4DE＝4， ∴DE＝， 由（2）可知，CF+DE＝BE， ∴CF＝BE﹣DE＝2DE＝2； ②如图3，点E在线段BD的延长线上时，BE＝DE+BD， 连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H， ∵BE＝3DE， ∴2DE＝4， ∴DE＝2， ∴BE＝3DE＝6， ∵EH⊥CF，CE＝FE， ∴CF＝2CH＝2OE＝2（BE﹣OB）＝2（6﹣2）＝8； 综上所述，线段CF的长为2或8． 5．【解答】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCN＝∠CDM＝90°， 又∵CN＝DM， ∴△BCN≌△CDM（SAS）， ∴CM＝BN，∠BNC＝∠CMD， 又∵∠DMC+∠DCM＝90°， ∴∠BNC+∠DCM＝90°， ∴∠CPN＝90°， ∴CM⊥BN， 综上，CM＝BN，CM⊥BN； ②如图1，分别在边AB、BC上取点E、F，使AE＝BF＝CN＝DM，交点分别为P、Q、J、K，连接GK， 由①可得：BN＝CM，BN⊥CM， 同理可证：DE＝CM，DE⊥CM，AF＝DE，AF⊥DE，AF＝BN，AF⊥BN， ∴四边形PQJK是矩形， ∵∠NCP＝∠MDQ，∠NPC＝∠MQD＝90°，CN＝DM， ∴△NCP≌△MDQ（AAS）， ∴CP＝DQ，NP＝MQ， 同理可得：CP＝BK＝AJ，MQ＝EJ＝FK， ∴PK＝PQ， ∴矩形PQJK为正方形， ∵点G为正方形ABCD对角线的交点， ∴G为正方形PQJK对角线交点， ∴PK＝PG， ∵PK＝PB﹣BK， ∴PK＝PB﹣PC， ∴PB﹣PC＝PG， 即； （2）证明：如图2，将△DFA绕点F逆时针旋转90°至△MFE，连接DM， 则△DMF是等腰直角三角形， ∴AD＝EM，∠DAF＝∠MEF， 由旋转可知：∠APQ＝90°， 又∵∠ADC＝90°， ∴∠ADC＝∠APQ， ∴CD∥EM， ∵AD＝CD，AD＝EM， ∴CD＝EM， ∴四边形CDME是平行四边形， ∴CE＝DM， ∵△DMF是等腰直角三角形， ∴DM＝DF， ∴CE＝DF． 6．【解答】（1）解：垂直，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵∠CEF＝∠BAE， ∴∠CEF+∠AEB＝90°， ∴∠AEF＝90°， ∴AE⊥EF； （2）①证明：如图1， 作FG⊥BN于G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCN＝∠BCD＝90°，AB＝BC， ∵CMP平分∠DCN， ∴∠DCM＝∠MCN＝45°， ∴CF＝， ∵CF＝， ∴BE＝CG＝CF， ∴BE+EC＝CG+EC， ∴BC＝EG， ∴EG＝AB， ∵∠FCG＝∠B＝90°， ∴△ABE≌△EGF（SAS）， ∴AE＝EF，∠FEG＝∠BAE， ∴由（1）得：∠AEF＝90°， ∴＝； ②解：如图2， 在CB的延长线上截取BH＝DG，连接AH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABH＝∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD＝BC＝CD， ∴△ABH≌△ADG（SAS）， ∴∠DAG＝∠BAH，AH＝AG， 由①知：∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAG＝45°， ∴∠BAE+∠BAH＝45°， ∴∠EAH＝45°， ∴∠EAH＝∠EAF， ∵AE＝AE， ∴△AEH≌△AEG， ∴EG＝EH＝BH+BE＝DG+BE， ∴EG+CG+EC＝DG+BE+CG+EC＝CD+BC＝2BC＝a， ∴BC＝， ∴S正方形ABCD＝BC2＝． 7．【解答】（1）①证明：∵在正方形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，OA＝AC，OD＝BD， ∴OA＝OD， ∵AQ⊥DM， ∴∠DNQ＝∠AOQ＝90°， ∴∠QAO＝∠ODM， ∴△AOQ≌△DOM（ASA）， ∴OQ＝OM； ②证明：连接ON，作OP⊥ON于O交MD于点P， ∴∠NOP＝∠QOM＝90°， ∴∠NOP﹣∠NOM＝∠QOM﹣∠NOM， 即∠NOQ＝∠POM， 由（1）得△AOQ≌△DOM， ∴OQ＝OM，∠NQO＝∠PMO，AQ＝MD， ∴△NOQ≌△POM（ASA）， ∴ON＝OP，QN＝MP， ∴QN+NM＝MP+NM＝NP， 又NP＝ON， ∴QN+NM＝ON， ∵DQ＝DA，AQ⊥DM， ∴AN＝NQ， ∵∠AOQ＝90°， ∴AQ＝2ON， ∴NQ+NM＝AQ＝MD， ∴＝； （3）解：∵正方形ABCD中，AB＝4， ∴BD＝4， ∴OD＝2， 取AD的中点P，连接FP，MP，CP，且CP交BD于点H， ∵M为AO的中点， ∴MP∥OD，MP＝OD＝， ∵EF＝， ∴EF＝MP， ∴四边形MEFP为平行四边形， ∴ME＝PF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴A，C关于BD对称， ∴AF＝CF， ∵AF+ME＝CF+FP≥CP， 即F与H重合时，AF+ME最小，最小值为PC的长， ∵PD＝2，CD＝4， ∴PC＝＝＝2， ∴AF+ME的最小值为2， ∴DF＝BF＝BD＝＝． 故答案为：2，． 8．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：∵AD∥BC，点E在BC的延长线上， ∴AD∥CE， ∵DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴CE＝AD＝BC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BDE＝∠BFC＝90°， ∵AC＝6，CD＝3， ∴DE＝AC＝6，CD＝BC＝CEBE＝3， ∴BE＝2CD＝6， ∴BD12， ∴S△BDEBD•DE12×6＝36， ∴△BDE的面积为36． 9．【解答】（1）证明：∵PQ⊥CP， ∴∠CPQ＝90°， ∵CQ平分∠DCP， ∴∠DCQ＝∠PCQ， 又∵CP＝CD，CQ＝CQ， ∴△DCQ≌△PCQ（SAS）， ∴∠D＝∠QPC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵CP＝CD， ∴设CP＝CD＝x，则PB＝x﹣2， 在Rt△BCP中，BC2+BP2＝CP2， ∴（x﹣2）2+42＝x2， ∴x＝5， ∴CD＝5． 10．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形， ∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF， ∵DH＝CE＝BK， ∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB， 在△ADH和△ABK中， ， ∴△ADH≌△ABK（SAS）， ∴AK＝AH； （2）证明：∵△ADH≌△ABK， ∴∠HAD＝∠BAK． ∴∠HAK＝90°， 同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH， ∴AH＝AK＝HF＝FK， ∴四边形AKFH是正方形； （3）解：∵四边形AKFH的面积为10， ∴KF， ∵EF＝CE＝1， ∴KE， ∴AB＝KE＝3， ∵BK＝EF＝1， ∴BE＝BK+KE＝4， ∴AE， 故点A，E之间的距离为5． 11．【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N， ∴EM＝EN， ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是矩形， ∵EF⊥DE， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF（ASA）， ∴ED＝EF， ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形； （2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE， ∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝6； （3）解：连接DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝3，AB∥CD， ∵F是AB中点， ∴AF＝FB， ∴DF， ∴正方形DEFG的面积DF2（）2． 12．【解答】（1）解：结论：点Q在线段PC的垂直平分线上． 理由：连接QC．∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O， ∴BD⊥AC，OA＝OC， ∴QA＝QC， ∵QA＝QP， ∴QC＝QP， ∴点Q在线段PC的垂直平分线上； （2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB， ∵BD⊥AC，∴∠ADO＝∠CDO， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO． ∵∠BAP＝∠ADB， ∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD． ∴AE＝BE，∠APB＝90°，∠BAP+∠ABP＝90°，∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30° 在 Rt△BPE 中，∠EPB＝90°，∠PBE＝30°， ∴EPBE， ∵AE＝BE， ∴， ∴AE＝2EP； ②如图，连接QC． ∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．∠APB＝90°， ∴BP＝CP，EP＝a， ∴AE＝2a，AP＝3a， 在Rt△APB中，∠APB＝90°， ∵， ∴， ∴， ∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ， △AOE≌△COQ（SAS）， ∴AE＝CQ＝2a，∠EAO＝∠QCO， ∴AE∥CQ， ∵∠APB＝90°， ∴∠QCP＝90°， 在Rt△PCQ中，∠QCP＝90°， 由勾股定理得 PQ2＝PC2+CQ2， ∴PQ2＝PC2+CQ2， ∴PQa． 13．【解答】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA．∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝90°， 由题意得CD＝CE，∠DCE＝α： ∴∠CDE＝∠CED（180°﹣α）＝90°α． ∴∠ADF＝90°﹣∠CDE＝90°﹣（90°α）α， ∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠AFDα， ∴∠FAD＝180°﹣∠ADF﹣∠AFD＝180°﹣α， ∴∠BAF＝∠FAD﹣∠BAD＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α； ②连接BE． ∵∠DCE＝α， ∴∠BCE﹣90°﹣α＝∠BAF， ∵CD＝CE＝AD＝AF＝BC， ∴△BCE≌△BAF（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE． ∵∠ABC＝90°， ∴∠EBF＝90° ∴△EBF是等腰直角三角形， ∴EFBF； （2）解：过点G作AD的垂线，交直线AD于点H，连接AC，BD相交于点，O，连接OG， 由（1）得△EBF是等腰直角三角形，又点G为斜边EF的中点， ∴BG⊥EF，即∠BGD＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OD． ∴OB＝OD＝OG， ∴点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上， 当点H、O、G在同一直线上时，GH有最大值，则△ADG面积的最大值， ∴GHAB+OGABBD221． ∴△ADG面积的最大值为AD×GH＝1． 14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠GEF＝∠BFE， ∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称， ∴∠BFE＝∠GFE， ∴∠GEF＝∠GFE， ∴GE＝GF； （2）解：过G作GH⊥BC于H，如图： 设DG＝x，则AE＝2x， ∴GE＝AD﹣AE﹣DG＝8﹣3x＝GF， ∵∠GHC＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形GHCD是矩形， ∴GH＝CD＝AB＝4，CH＝DG＝x， ∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴CF＝AE＝2x， ∴FH＝CF﹣CH＝x， 在Rt△GFH中，FH2+GH2＝GF2， ∴x2+42＝（8﹣3x）2， 解得x＝3（此时AE大于AD，舍去）或x＝3， ∴AE＝2x＝6﹣2； ∴AE的长为6﹣2； （3）①证明：过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，如图： ∵点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O， ∴O为EF中点，OA＝OD，OQAB＝2， ∵GE＝GF， ∴OG⊥EF， ∴∠GOQ＝90°﹣∠EOQ＝∠QEO， ∵∠GQO＝90°＝∠OQE， ∴△GOQ∽△OEQ， ∴，即GQ•EQ＝OQ2， ∴GQ•EQ＝4， ∵OA＝OD，OQ⊥AD， ∴AQ＝DQAD＝4， ∴EQ＝AQ﹣AE＝4﹣a，GQ＝DQ﹣GD＝4﹣b， ∴（4﹣a）（4﹣b）＝4； ②解：连接B'D，OG，OB，如图： ∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称， ∴BF＝B'F， ∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴BF＝DE， ∴B'F＝DE， 同理OD＝OB＝OB'， 由（1）知GF＝GE， ∴B'F﹣GF＝DE﹣GE，即B'G＝DG， ∵OG＝OG， ∴△DOG≌△B'OG（SSS）， ∴∠ODG＝∠OB'G， ∵DG＝B'G，∠DGK＝∠B'GH， ∴△DGK≌△B'GH（ASA）， ∴DK＝B'H，GK＝GH， ∴OD﹣DK＝OB'﹣B'H，即OK＝OH， ∵OG＝OG， ∴△OGK≌△OGH（SSS）， ∴S△OGK＝S△OGH， ∴S1＝2S△OGK， ∴， ∵∠EGF＝∠DGB'，GE＝GF，GD＝GB'， ∴∠GEF＝∠GFE＝∠GDB'＝∠GB'D， ∴EF∥B'D， ∴△OKF∽△DKB'，△EGF∽△DGB'， ∴， ∵， ∴， ∵△EGF∽△DGB'， ∴， 当a＝1时，由①知（4﹣1）×（4﹣b）＝4， ∴b， ∴AE＝1，DG， ∴GE＝AD﹣AE﹣DG， ∴， ∴的值为． 15.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BC＝AB＝13， ∵AE⊥BC， ∴S四边形ABCD＝BC•AE， 在Rt△ABO中，由勾股定理可得： ∴， ∴BD＝2BO＝24， ∵S四边形ABCDAC•BD＝BC•AE， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$