精品解析：北京市第八中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期阶段练习一2025.03.25 姓名： 年级： 初三科目：数学班级： 一、选择题（本题共16分，每小题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 5. 不透明的袋子中有2个黄球，1个绿球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 7. 如图，为了测量水池两边和的距离，可以先过点作射线，再过点作于点，在的延长线上截取，连接，则的长就是点和点之间的距离，其中用来判断的理由是（ ） A. SAS B. SSS C. HL D. AAS 8. 如图，在中，，，为中点，为的外心．将绕点顺时针旋转，点，，，的对应点分别为，，，．交于点，交于点．在旋转过程中，给出下面三个结论：①对于任意的，点到，距离相等；②存在唯一的，使得；③有最大值．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是____________． 10. 分解因式：_______． 11. 方程的解为________． 12. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，若，是该反比例函数图象任意两点，且满足，则________（填“”，“”或“”）． 13. 某城市共100家邮政企业，为了解该城市企业4月份收入的情况，从中随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据如下，根据以上数据，估计该城市邮政企业中收入超过1400万的有________家． 14. 如图，是的外接圆，，，平分，交于点D，则的度数为________． 15. 如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为_________． 16. “北京八中好声音”彰显了八中学子的音乐素养，是八中素质教育的一种体现、为了更好的准备节目，学校提供场地供学生进行彩排．现有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参加一个节目．一位演员的候场时间是指第一个彩排节目开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其它因素）． （1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排原则，应按_______顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； （2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这名演员等待总时长最少为________． 三、解答题（本题共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，为中点，过点，分别作，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接交于点，若，，求的长． 21. 一方有难，八方支援．某地洪水灾害牵动着数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往该地．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件物资；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件物资． （1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物资； （2）现有3100件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若该公司计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移1个单位，与函数的图象交于点． （1）求k，n的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：），数据整理如下： a．甲班23名学生的身高： 163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180． b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 169 m n 乙 169 170 167 （1）写出表中m，n的值； （2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为，则___________（填“”“”或“”）； （3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为 ___________． 24. 如图，是的直径，点在上，点为的中点，连接，过点作，交延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）过点作的切线交延长线于点，若，，求的长． 25. 某实验室为了研究在同一实验条件下同一营养液对不同品种植物幼苗生长速度的影响，进行如下实验：首先，选取甲、乙两种在不使用营养液前提下生长速度相同的幼苗进行培养，再开始培育幼苗时添加到培育容器中．经过一定的实验，得到如下数据．设营养素用量为毫克，甲幼苗生长速度为毫米/天，乙幼苗生长速度为毫米/天． （1）根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （2）结合函数图象，回答下列问题： ①使用约________毫克营养素时，甲种幼苗生长速度最快（结果保留小数点后两位），使用营养液________（“一定”或“不一定”）加快乙种幼苗生长速度； ②与甲种幼苗的生长速度相比，当使用营养素用量的取值范围为________时，更能促进乙种幼苗的生长速度（结果保留小数点后两位）． 26. 在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点． （1）求抛物线的对称轴； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 27. 已知，为等腰直角三角形，，点为中点，点为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交延长线于点，交延长线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，连接，， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 28. 在平面直角坐标系中，对于点P，C，Q（点P与点C不重合），给出如下定义：若，且，则称点Q为点P关于点C的“k—关联点”．已知点 ，的半径为r． （1）①在点中，是点A关于点O的“1—关联点”的为 ； ②点B关于点O的“—关联点”的坐标为 ； （2）点P为线段上的任意一点，点C为线段上任意一点（不与点B重合）． ①若上存在点P关于点O的“—关联点”，直接写出r的最大值及最小值； ②当时，上不存在点P关于点C“k—关联点”，直接写出k的取值范围： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期阶段练习一2025.03.25 姓名： 年级： 初三科目：数学班级： 一、选择题（本题共16分，每小题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的识别.轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；而在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进一步判断求出答案即可. 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项符合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； 故选：C. 2. 如图，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题平行线的性质，垂直的定义根据垂直定义得，即可由，再根据平行线的性质得，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴．有理数减法，绝对值计算，根据数轴可得，，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴，，，， ∴四个选项中只有B选项正确，符合题意； 故选：B． 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此列方程求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 故选：C． 5. 不透明的袋子中有2个黄球，1个绿球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到绿球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 绿 黄 黄 绿 绿绿 黄绿 黄绿 黄 绿黄 黄黄 黄黄 黄 绿黄 黄黄 黄黄 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球的颜色相同5种， ∴两次都摸到小球的颜色相同的概率为． 故选：D． 6. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，确定的值是解题的关键． 科学记数法的形式为，确定值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值；由此即可求解． 【详解】解：前三日，总票房便达到亿元， ∴平均每天的票房为（亿）， ∴亿， 故选：D ． 7. 如图，为了测量水池两边和的距离，可以先过点作射线，再过点作于点，在的延长线上截取，连接，则的长就是点和点之间的距离，其中用来判断的理由是（ ） A. SAS B. SSS C. HL D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据，，，利用判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴ 故选：A． 8. 如图，在中，，，为的中点，为的外心．将绕点顺时针旋转，点，，，的对应点分别为，，，．交于点，交于点．在旋转过程中，给出下面三个结论：①对于任意的，点到，距离相等；②存在唯一的，使得；③有最大值．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，作的外接圆，设半径为，根据题意可得分别是圆内接正六边形的一条边，根据正六边形的性质即可判断①，进而证明当时，即可判断②，根据得出有最小值，没有最大值，即可判断③，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的外接圆，设半径为， ∵中，，， ∴分别是圆内接正六边形的一条边， 当将绕点顺时针旋转，是圆内接正六边形的一条边， ∴点到，距离相等，故①正确； 如图， 连接， ∵分别是圆内接正六边形的一条边， ∴， ∴，则四边形是菱形， 同理是菱形， 当时，则， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵又， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴当且仅当时，使得，故②正确； 如图，∵为的中点，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴在为半径的圆上运动， 当旋转角为时，有最小值，没有最大值，故③错误． 故选：A． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，代入求解即可．． 根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可． 【详解】∵代数式有意义， ∴ ∴． 故答案为：． 10. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得： 解得： 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，若，是该反比例函数图象任意两点，且满足，则________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意得出，反比例函数图象在第一，三象限，随的增大而减小，进而根据即可求解． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴ ∴反比例函数图象在第一，三象限，随的增大而减小， ∵ ∴，在第三象限， ∴ 故答案为：． 13. 某城市共100家邮政企业，为了解该城市企业4月份收入的情况，从中随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据如下，根据以上数据，估计该城市邮政企业中收入超过1400万的有________家． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，用乘以超过1400万的企业在25家企业中的占比，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 14. 如图，是的外接圆，，，平分，交于点D，则的度数为________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键． 根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，再由角平分线及圆周角定理确定，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键．设，则，得出，解，得出，解，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则 ∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴的面积为 故答案为：． 16. “北京八中好声音”彰显了八中学子的音乐素养，是八中素质教育的一种体现、为了更好的准备节目，学校提供场地供学生进行彩排．现有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参加一个节目．一位演员候场时间是指第一个彩排节目开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其它因素）． （1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按_______顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； （2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这名演员等待总时长最少为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意本着节目人数多先彩排的原则，按照人数排列和彩排时间排列，即可求解； （2）人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是，进而计算等待总时长，即可求解． 【详解】解：（1）两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； 故答案为：． （2）将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目， 人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是 ∴按照顺序，则等待时间分别为：， 故答案为：． 三、解答题（本题共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减． 此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先求出每一个不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．先将分式进行化简，再将变形整体代入化简好的分式计算即可． 【详解】解：原式， 由可得， 将代入原式可得，原式． 20. 如图，在中，，为中点，过点，分别作，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定，证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定，证明即可； （2）根据已知得出，设，则，，勾股定理得出，证明得出，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：由题意得，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，点为中点， ，即， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴，则 解得： ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握定理与性质是解题的关键． 21. 一方有难，八方支援．某地洪水灾害牵动着数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往该地．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件物资；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件物资． （1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物资； （2）现有3100件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若该公司计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 【答案】（1）辆小货车一次满载运输件物资，辆大货车一次满载运输件物资 （2）该公司计划支出元用于租车，够用， 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，弄清量与量之间的关系是解答本题的关键． （1）设辆小货车一次满载运输件物资，辆大货车一次满载运输件物资，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得0，再用表示出，然后根据、均为整数进行列举即可解答，将小货车和大货车每次的租金代入里计算，然后比较即可． 【小问1详解】 解：设辆小货车一次满载运输件物资，辆大货车一次满载运输件物资， 依题意得： 解得： 答：辆小货车一次满载运输件物资，辆大货车一次满载运输件物资． 【小问2详解】 解：该公司计划支出元用于租车，够用，理由如下， 设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得：， ． 又，均为非负整数， 或 或， 共有种租车方案， 方案：租用辆小货车，辆大货车，租车费为（元）； 方案：租用辆小货车，辆大货车，租车费（元）； 方案：租用辆小货车，辆大货车，租车费为（元）． 该公司计划支出元用于租车，够用 22. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移1个单位，与函数的图象交于点． （1）求k，n的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】根据平移的性质求出平移后的函数解析式，把点代入平移后的函数解析式求出n的值，再把点代入，求出k的值即可． （2）根据题意，当时，分别求出，，的值，再根据题意列不等式组求解即可． 本题考查了一此函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 【小问1详解】 函数的图象向下平移1个单位长度得到， ∵函数的图象向下平移1个单位，与函数的图象交于点 ∴将点代入，解得， 将点代入，解得， 【小问2详解】 把代入，求得， 把代入，求得， ∵当时，的值大于函数的值，且小于函数的值， ∴当时，， 解得． 23. 某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：），数据整理如下： a．甲班23名学生的身高： 163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180． b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 169 m n 乙 169 170 167 （1）写出表中m，n的值； （2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为，则___________（填“”“”或“”）； （3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为 ___________． 【答案】（1）或 （2） （3）163、164、180 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，掌握统计量的确定方法或计算公式是解题的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据平均数和方差的定义解答即可． 【小问1详解】 解：把甲班23名学生的身高从小到大排列，排在中间的数是168， 故中位数； 甲班23名学生的身高中165和166出现的次数最多， 故众数或； 小问2详解】 解：由题意得，， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴甲班未入选的3名学生的身高分别为． 故答案为：163、164、180． 24. 如图，是的直径，点在上，点为的中点，连接，过点作，交延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）过点作的切线交延长线于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据垂径定理的推论可得，进而可得，根据已知条件，即可得出，即可得证； （2）过点作于点，则，根据已知得出，进而得出，根据得出进而可得，进而解，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，则， ∵，， ∴，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，垂径定理的推论，矩形的性质与判定等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 某实验室为了研究在同一实验条件下同一营养液对不同品种植物幼苗生长速度的影响，进行如下实验：首先，选取甲、乙两种在不使用营养液前提下生长速度相同的幼苗进行培养，再开始培育幼苗时添加到培育容器中．经过一定的实验，得到如下数据．设营养素用量为毫克，甲幼苗生长速度为毫米/天，乙幼苗生长速度为毫米/天． （1）根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （2）结合函数图象，回答下列问题： ①使用约________毫克的营养素时，甲种幼苗生长速度最快（结果保留小数点后两位），使用营养液________（“一定”或“不一定”）加快乙种幼苗生长速度； ②与甲种幼苗的生长速度相比，当使用营养素用量的取值范围为________时，更能促进乙种幼苗的生长速度（结果保留小数点后两位）． 【答案】（1）见解析 （2）①，一定，② 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，画函数图象； （1）根据描点法画出函数图象，即可求解； （2）①根据表格数据分析，即可求解； ②根据表格与图象可得交点大约在．进而得出结论； 小问1详解】 解：如图所示 【小问2详解】 ①由表中可见，甲种幼苗在毫克时取到最大值； 故答案为：，一定． 将 从增至时，乙种幼苗 也由 增至  (大于原来的) ，使用营养液“一定”能加快乙种幼苗的生长速度． ②比较与：由表中数据可见，在 与  时 都大于，而到了时， 略小于 ，说明两曲线在  与之间相交 可求得交点大约在．故当  时，更能促进乙种幼苗的生长速度 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点． （1）求抛物线的对称轴； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性和增减性，解一元一次不等式组，是解题的关键． （1）化为顶点式，根据二次函数的性质，即可求解； （2）根据，分时，时，根据二次函数的性质，分情况列出不等式组解不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：对于，， ∴ ∴ ∴ ①当时，若且， ∴即 ∴， 解得，（舍去） 若且， ∴即 解得：， ②当时，若且， ∴即 ∴， ∴无解 若且， ∴即 解得：（舍去） 综上所述， 27. 已知，为等腰直角三角形，，点为中点，点为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交延长线于点，交延长线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，连接，， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）①；②补全图形见解析，旋转过程中的最小值为 【解析】 【分析】（1）证明得出，又，等量代换即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据题意补全图形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，当重合时，最小，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵为等腰直角三角形，，点为中点， ∴， ， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴是等腰三角形，则， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即 ②如图所示，取中点，连接， ∵，则 又， ∴当取得最小值时最小 ∴当与点重合时，在上，此时点与点重合， ∴ 又 ∴ ∴旋转过程中的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的与判定，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于点P，C，Q（点P与点C不重合），给出如下定义：若，且，则称点Q为点P关于点C的“k—关联点”．已知点 ，的半径为r． （1）①在点中，是点A关于点O的“1—关联点”的为 ； ②点B关于点O的“—关联点”的坐标为 ； （2）点P为线段上的任意一点，点C为线段上任意一点（不与点B重合）． ①若上存在点P关于点O的“—关联点”，直接写出r的最大值及最小值； ②当时，上不存在点P关于点C的“k—关联点”，直接写出k的取值范围： ． 【答案】（1）①D；②或； （2）①3，；② 【解析】 【分析】（1）①在坐标系中描出对应的点，再根据“k—关联点”的定义逐一判断即可； ②设点B关于点O的“—关联点”为T，由题意得，，则点T一定在x轴上，再求出的长即可得到答案； （2）①设上存在一点Q是点P关于点O的“—关联点”，过点O作于H，根据定义可得，则当最大时，最大，即的半径r最大，当最小时，最小，即的半径r最小，当点P与点B重合时，最大，点P与点H重合时，最小，据此求解即可；②假设C、P都为定点，那么k值越小，越大，因此总存在一个特定的值t使得当时，点Q恰好在上，当，点Q一定在圆内，则当C、P在运动过程中要保证上不存在点P关于点C的“k—关联点”，那么就要保证当最大时，此时即可；当点C与点B重合，点P与点A重合时，此时取得临界最大值，如图所示，连接，过点O作交延长线于H，通过解直角三角形和勾股定理求出，则当时满足题意，由于点C不与点B重合，则上述临界情况也符合题意，即可得到． 【小问1详解】 解：①由题意得，如果一个点M是点A关于点O的“1—关联点”，则， 如下图坐标系中，只有点D和点E满足， 又∵，， ∴只有点D是点A关于点O的“1—关联点”， 故答案为：D； ②解：设点B关于点O的“—关联点”为T， 由题意得，， ∴点T一定在x轴上， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点T在x轴上， ∴点T的坐标为或； 故答案为：或； 【小问2详解】 解：①设上存在一点Q是点P关于点O的“—关联点”，过点O作于H， 由题意得，， ∴， ∴当最大时，最大，即的半径r最大，当最小时，最小，即的半径r最小， ∵点P在线段上运动， ∴当点P与点B重合时，最大，点P与点H重合时，最小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设点P关于点C的“k—关联点”为Q， ∴，且， ∴， 假设C、P都为定点，那么k值越小，越大，因此总存在一个特定的值t使得当时，点Q恰好在上，当，点Q一定在圆内， ∴当C、P在运动过程中要保证上不存在点P关于点C的“k—关联点”，那么就要保证当最大时，此时即可； ∵点C在上运动，点P在上运动， ∴， 当点C与点B重合，点P与点A重合时，此时取得临界最大值，如图所示，连接，过点O作交延长线于H， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴当时满足题意， 由于点C不与点B重合，则上述临界情况也符合题意， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，解直角三角形，圆的基本性质，正确理解题意，找到临界情况是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$