精品解析：陕西省宝鸡市凤翔区2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

九年级教学素养摸底测评 数学 中考全部内容 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．利用有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 在数学活动课中，同学们利用画图软件绘制出了下列曲线．其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键，根据定义解答即可． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，，平分．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义．根据平行线的性质求得，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，根据积的乘方与幂的乘方的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 5. 的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值及实数的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．把的值代入计算即可得答案． 【详解】解：． 故选：D． 6. 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，即可得出结果． 【详解】点在第二象限， ． 则一次函数经过一、二、四象限， A选项图象符合题意. 故选：A． 7. 如图，在中，，与相交于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意得到，，，继而得到，得到，即，得出，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 已知抛物线，点，在抛物线上，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵点，在抛物线上，且， ∴， 解得：， 故选：B． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法，解题的关键是正确提取公因式． 10. 如图，在正五边形中，是边的中点，则的度数为_______． 【答案】##54度 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质．连接，，由正五边形得到，，即可证明，从而有，，进而可得． 【详解】解：如图连接，， ∵五边形是正五边形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，是的直径，是上的两点，平分，若，则的度数是_______． 【答案】##66度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、直径所对的圆周角是直角，根据已知条件得出是解题的关键．根据，，得出，根据是的直径，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴． 故答案为：． 12. 如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，设，则，进而得到，再把代入反比例函数解析式中进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∵点是的中点， ∴， 把代入中得：， 解得， 故答案为：4． 13. 如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意可证明，得到，继而得到，，当三点共线（点与点）时，的值最大，即，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， 在矩形中， ， ， ， ， ， ， 当三点共线（点与点）时，的值最大，即， ，， ， 在中，， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，零次幂，绝对值．根据有理数的乘法，零次幂，绝对值的性质求解即可． 【详解】解： ． 15. 解不等式：，并在如图所示的数轴上表示解集． 【答案】，数轴如图所示： 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的解集找出不等式的解集是解此题的关键．先根据不等式的性质求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得三等分．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质．作的垂直平分线交于点，连接，则即为所求． 【详解】略 18. 如图，在四边形中，，为上一点，，分别平分，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，， ∵，分别平分，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边．利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，再利用等角对等边结合等量代换即可证明结论成立． 【详解】略 19. 现有三张分别写有3，5，8的不透明卡片，卡片除正面数字外，其余均相同，将三张卡片正面朝下洗匀，从中随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后正面朝下放回并洗匀，记作随机抽取1次． （1）随机抽取20次，其中抽中数字“8”共6次，则这20次抽取中，抽中数字“8”的频率是 ． （2）现随机抽取2次，用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，正确理解列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． （）直接利用频率计算公式求解即可； （）画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：随机抽取20次，其中抽中数字“8”共6次，则这20次抽取中，抽中数字“8”的频率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图， ∴共有6种等可能结果，其中两张卡片上的数字之和为偶数的情况有2种， ∴（两张卡片上的数字之和为偶数）． 20. 如图，在方格内填入 9 个数，满足每个横行、竖列、对角线上的三个数字之和都相等，求的值． 5 1 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用．根据行、列、对角线上三个数字之和都相等，列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则． 21. 如图，风力发电机的主塔在一座山坡上，山坡的坡比为，在坡底测得塔顶的仰角．已知山坡的坡面为水平地面，风力发电机的主塔．求的高．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】的高为 【解析】 【分析】本题主要考查坡比、仰俯角解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算方法是关键． 如图所示，延长交于点，则，由坡比可得，，在中由，得到，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，则， ∵山坡的坡比为， ∴设， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴，， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴的高为． 22. 某学校拟定购买A，B两种型号机器人模型共40台，A型号机器人模型原单价为250元，B型号机器人模型原单价为150元，商家给两种型号机器人模型均打八折优惠．设购买了台A型号机器人模型，购买总费用为元． （1）求与之间的函数关系式（无需写出的取值范围）． （2）若B型号机器人模型数量不超过A型号机器人模型的3倍，请问购买A型号和B型号机器人模型各多少台时，总费用最少？并求出最少的总费用． 【答案】（1）； （2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是5600元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用和一次函数的性质． （1）设购买了台A型号机器人模型，购买总费用为元，根据题意可求得与之间的函数关系式； （2）根据题意求出的范围，再结合一次函数的性质即可求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设购买了台A型号机器人模型，购买总费用为元， 由购买B型机器人模型台， ∴， 即； 【小问2详解】 解：由题意得：，解得． ∵，， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值5600，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是5600元． 23. 冬季，天气变得干燥而寒冷，这也意味着火灾、煤气中毒等安全事故进入高发阶段．为了强化同学们的冬季安全意识，提高对各种潜在危险的防范能力，某学校特别举办了校园冬季安全主题班会，并开展冬季安全主题知识竞赛，赛后随机抽取部分参赛同学的竞赛成绩（满分10分），进行整理并绘制成如下统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所抽取同学竞赛成绩的众数是 ，中位数是 ． （2）计算所抽取同学竞赛成绩的平均数． （3）若参加此次竞赛的同学有800名，请估计此次竞赛成绩不低于8分的同学有多少名？ 【答案】（1）9；8.5 （2）所抽取同学竞赛成绩的平均数为分； （3）估计此次竞赛成绩不低于8分的同学约有560名． 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数、平均数、利用样本估计总体等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据算术平均数的定义，即可获得答案； （3）利用样本估计总体即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，所抽取同学的竞赛成绩中，出现次数最多的是9分，出现了12次， ∴所抽取同学竞赛成绩的众数是9分； 所抽取同学的人数为人， 将所抽取同学竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第20位和21位的是8和9， ∴所抽取同学竞赛成绩的中位数是分． 故答案为：9；8.5； 【小问2详解】 解：（分）， ∴所抽取同学竞赛成绩的平均数为分； 【小问3详解】 解：（名）， ∴估计此次竞赛成绩不低于8分的同学约有560名． 24. 如图，为四边形的外接圆，的延长线相交于点，连接，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意可证明，得到，即可得到结论； （2）作于点，连接，得到，根据勾股定理求出，继而求出，，由（1）知，得到，计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点，连接， ， 由（1）知， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 由（1）知 ， ， ． 25. 为了研究足球运动员的射门情况，教练组采用高速摄像机记录下球员的射门实况，并将视频中足球的飞行轨迹逐帧进行记录．如图，某球员从球门正前方的处射门，足球飞向球门的轨迹呈抛物线形状．当足球距离球门时，足球达到最高点，此时足球离地面的距离为．现以球门柱底为原点，所在直线为轴，球门柱所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求足球飞行轨迹对应的抛物线的表达式． （2）教练组发现，当足球的落点在点时，进球率最高，已知点在上，，请你分析：该球员按照原有射门力度在点处射门（即足球飞行的抛物线轨迹形状不变，最大高度不变），足球落点是否经过点？若不经过，该如何调整点的位置，使足球经过点，即求出点调整后对应的坐标． 【答案】（1）； （2）足球落点不会经过点，点调整后对应的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）令求得的值，与比较，可判断足球落点是否经过点，设该球员带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点代入，算出的值，即可作答． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴足球落点不会经过点， 设该球员带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， ， ∴点调整后对应的坐标为． 26. 问题提出 （1）如图1，在矩形中，，是上一点，是上一点，连接，．当是等腰直角三角形时，求的面积． 问题解决 （2）如图2，工人师傅需要制作一个零件模板，其形状为四边形，零件要求： ，，为了后续零件安装，需要在零件上刻画一道凹槽，即在边上确定一点，沿着刻画凹槽，同时为了使零件能够符合安装规格，还要求．请你根据要求，找出点的位置并求出边的长． 【答案】（1）（2）点的位置是到点的距离为处，边的长为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先证明 ，得到，根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则，在上截取，连接，得到四边形是平行四边形，可证明是等边三角形三角形，得到，得出，，得到，即可得到答案． 【详解】解：（1）在矩形中，，， ，， 在等腰中，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则，在上截取，连接， ， ，四边形是平行四边形， ， ，， 是等边三角形三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即点的位置是到点的距离为处，边的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级教学素养摸底测评 数学 中考全部内容 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（　　） A. B. C. D. 2. 在数学活动课中，同学们利用画图软件绘制出了下列曲线．其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，平分．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 6. 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，与相交于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，点，在抛物线上，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解：______． 10. 如图，在正五边形中，是边的中点，则的度数为_______． 11. 如图，是的直径，是上的两点，平分，若，则的度数是_______． 12. 如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是______． 13. 如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式：，并在如图所示的数轴上表示解集． 16. 化简：． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得三等分．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在四边形中，，为上一点，，分别平分，．求证：． 19. 现有三张分别写有3，5，8的不透明卡片，卡片除正面数字外，其余均相同，将三张卡片正面朝下洗匀，从中随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后正面朝下放回并洗匀，记作随机抽取1次． （1）随机抽取20次，其中抽中数字“8”共6次，则这20次抽取中，抽中数字“8”的频率是 ． （2）现随机抽取2次，用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率． 20. 如图，在方格内填入 9 个数，满足每个横行、竖列、对角线上的三个数字之和都相等，求的值． 5 1 21. 如图，风力发电机的主塔在一座山坡上，山坡的坡比为，在坡底测得塔顶的仰角．已知山坡的坡面为水平地面，风力发电机的主塔．求的高．（参考数据：，，结果精确到） 22. 某学校拟定购买A，B两种型号机器人模型共40台，A型号机器人模型原单价为250元，B型号机器人模型原单价为150元，商家给两种型号机器人模型均打八折优惠．设购买了台A型号机器人模型，购买总费用为元． （1）求与之间的函数关系式（无需写出的取值范围）． （2）若B型号机器人模型数量不超过A型号机器人模型的3倍，请问购买A型号和B型号机器人模型各多少台时，总费用最少？并求出最少的总费用． 23. 冬季，天气变得干燥而寒冷，这也意味着火灾、煤气中毒等安全事故进入高发阶段．为了强化同学们的冬季安全意识，提高对各种潜在危险的防范能力，某学校特别举办了校园冬季安全主题班会，并开展冬季安全主题知识竞赛，赛后随机抽取部分参赛同学的竞赛成绩（满分10分），进行整理并绘制成如下统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所抽取同学竞赛成绩的众数是 ，中位数是 ． （2）计算所抽取同学竞赛成绩的平均数． （3）若参加此次竞赛的同学有800名，请估计此次竞赛成绩不低于8分的同学有多少名？ 24. 如图，为四边形的外接圆，的延长线相交于点，连接，． （1）求证：． （2）若，求的长． 25. 为了研究足球运动员的射门情况，教练组采用高速摄像机记录下球员的射门实况，并将视频中足球的飞行轨迹逐帧进行记录．如图，某球员从球门正前方的处射门，足球飞向球门的轨迹呈抛物线形状．当足球距离球门时，足球达到最高点，此时足球离地面的距离为．现以球门柱底为原点，所在直线为轴，球门柱所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求足球飞行轨迹对应的抛物线的表达式． （2）教练组发现，当足球的落点在点时，进球率最高，已知点在上，，请你分析：该球员按照原有射门力度在点处射门（即足球飞行的抛物线轨迹形状不变，最大高度不变），足球落点是否经过点？若不经过，该如何调整点的位置，使足球经过点，即求出点调整后对应的坐标． 26. 问题提出 （1）如图1，在矩形中，，是上一点，是上一点，连接，．当是等腰直角三角形时，求的面积． 问题解决 （2）如图2，工人师傅需要制作一个零件模板，其形状为四边形，零件要求： ，，为了后续零件安装，需要在零件上刻画一道凹槽，即在边上确定一点，沿着刻画凹槽，同时为了使零件能够符合安装规格，还要求．请你根据要求，找出点的位置并求出边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $