安徽合肥市第四十八中学2025年九年级中考一模数学试卷

第1页（共15页） 中考数学模拟卷 一．选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分） 1．（4 分） 2024− 的相反数是 ( ) A． 2024− B．2024 C． 1 2024 D． 1 2024 − 2．（4 分）下列计算正确的是 ( ) A． 3 2 6a a a = B． 2 3 6( 2 ) 8a a− = − C． 2 2 2( )a b a b+ = + D． 22 4 6a a a+ = 3．（4 分）如图几何体的俯视图是 ( ) A． B． C． D． 4．（4 分）2023 年我国经济持续发展，国内生产总值达到 126 万亿元，同比增长5.2%．其中 126 万亿用科 学记数法可表示为 ( ) A． 121.26 10 B． 131.26 10 C． 141.26 10 D． 151.26 10 5．（4 分）如图是根据某班 40 名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班 40 名同学一周参 加体育锻炼时间的众数、中位数分别是 ( ) A．16，10.5 B．8，9 C．16，8.5 D．8，8.5 6．（4 分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果 46 = ，则  的度数是 ( ) 第2页（共15页） A．54 B． 46 C．34 D．44 7．（4 分）下列函数中， y 的值随 x 值的增大而增大的是 ( ) A． 22 3y x= + B． 1 y x = − C． 5y x= − D． 2 1y x= − + 8．（4 分）已知整数 a ，b 满足 0a  ， 0b  ，3 4a b− = − ，则 a b+ 的值为 ( ) A． 2− B． 1− C．0 D．2 9．（4 分）二次函数 2y ax bx c= + + 的图象如图所示，则一次函数 ( 3 ) b y c a x a = + − 的图象可能是 ( ) A． B． C． D． 10．（4 分）如图，点O是 ABCD的对角线的交点， 120ABC = ， ADC 的平分线 DE 交 AB 于点E ， 2AB AD= ，连接OE ．下列结论：① ABCDS AD BD=  ；②DB平分 CDE ；③ AO DE= ；④ : 3 : 6OE BD = ； ⑤ 5ADE OFES S = ，其中正确的个数有 ( ) 第3页（共15页） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 11．（5 分）分解因式： 23 18 27x x− + = ． 12．（5 分）如图， C经过正六边形 ABCDEF 的顶点 A、E，则弧 AE所对的圆周角 APE 等于 ． 13．（5 分）如图，把一块直角三角板 ( 30 )ABO =  的直角顶点O放在坐标原点处，顶点 A在函数 1 1 y x = − 的图象上，顶点B在函数 2 k y x = 的图象上，则 k = ． 14．（5 分）如图，在Rt ABC 中， 90C = ， 30B = ， 2AC = ，点 D是 BC 的中点，点E是边 AB 上 一动点，沿 DE 所在直线把 BDE 翻折到△B DE 的位置，B D 交 AB 于点 F ，连接 AB． （1） AB的最小值是 ； （2）若△ AB F 为直角三角形，则 BE 的长为 ． 三．（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分） 第4页（共15页） 15．（8 分）计算： 09 (2024 ) 2 cos 45− − + ． 16．（8 分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得 乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八，问甲、乙二人原持钱各几何？”译文：“甲，乙两人各 有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 48 文，如果乙得到甲所有钱的 2 3 ，那么乙也共有 钱 48 文，问甲，乙二人原来各有多少钱？” 四．（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分） 17．（8 分）某校数学兴趣小组一次综合实践活动中，利用无人机测量一个池塘的宽度．如图，无人机在距 离地面的铅直高度为 24 3 米的 A处测得池塘左岸B处的俯角为 63.4，无人机沿水平线 AC 方向继续飞行 12 米至C处，测得池塘右岸 D的俯角为30．求池塘的宽度BD（结果精确到 1 米，参考数据： 3 1.7= ， sin63.4 0.89  ， cos63.4 0.45  ， tan63.4 2.00)  ． 18．（8 分）如图，在由边长为 1 个单位的小正方形组成的网格中，△ ABC 的顶点均为格点（网格线的交 点）． （1）将△ ABC 先向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，得到△ 1 1 1A B C ，请画出△ 1 1 1A B C（其中 A，B， C的对应点分别为 1A ， 1B ， 1)C ； （2）再将线段 AB绕点 1B 顺时针旋转90得到线段 2 2A B ，请画出线段 2 2A B ； （3）在网格内描出两个格点M ， N ，请画出直线MN ，使得直线MN 垂直平分线段 2 2A B ． 五．（共 2 小题，满分 20 分，每小题 10 分） 第5页（共15页） 19．（10 分）观察以下等式： 第 1 个等式： 1 2 5 3 1 1 1 2 2 + + = + ； 第 2 个等式： 1 2 6 6 1 4 2 4 8 + + = + ； 第 3 个等式： 1 2 7 11 1 9 3 6 18 + + = + ； 第 4 个等式： 1 2 8 18 1 16 4 8 32 + + = + ；  按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第 5 个等式： ； （2）写出你猜想的第 n 个等式： （用含 n 得到等式表示），并证明． 20．（10 分）如图 1，CD为 O 的直径，弦 AB CD⊥ 于点G ，且B为弧CF 的中点，CF 交 AB 于点H ， 若 2CG = ， 8CF = ． （1）求半径的长； （2）如图 2，连接OH ，BC ，求证：OH BC⊥ ． 六．（本题满分 12 分） 21．（12 分）深化素质教育，促进学生全面发展，合肥市某学校开展了丰富多彩的社团活动．为了了解七 年级新生对选择社团的意向，对该校 600 名七年级新生进行了抽样调查． 调查问卷 1．你最喜欢的社团_____（单选）． A．机器人社团 B．足球、篮球社团 C ．模拟联合国 D．民乐社团 秦奋同学根据有效问卷绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题： （1）求扇形统计图中m 的值，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为 ； （3）在社团招新生时，七（2）班的甲同学从他喜欢的 A．机器人社团、B．足球、篮球社团、C ．模拟 联合国中随机选择了一个社团，乙同学也从他喜欢的 A．机器人社团、C ．模拟联合国、D．民乐社团中 第6页（共15页） 随机选择了一个社团，利用树状图求他们进入了同一社团的概率． 七．（本题满分 12 分） 22．（12 分）四边形 ABCD的两条对角线 AC ， BD相交于点O， 90BAD = ． （1）如图 1，已知 AC CD= ． ①求证： 2ACD BAC =  ； ②若 2 5 OC OA = ，求 OB OD 的值； （2）如图 2，若 90BCD = ， AB AD= ， 3CD BC= ，求 AC BD 的值． 八．（本题满分 14 分） 23．（14 分）在平面直角坐标系中，抛物线 2y ax bx c= + + 与 x 轴交于 ( 3,0)A − ， (1,0)B 两点，与 y 轴交于C ． （1）若点C的坐标为 (0,3)． ①求抛物线的函数表达式； ②点P为该抛物线上一动点，过点P且与 x 轴垂直的直线交线段 AC 于 D，交 x 轴于E．若 1PD DE− = ， 求点P的横坐标； （2）设 0a  ，经过 A，C两点的直线为 y mx n= + ，当 x 为何值时，函数 2 ( )y ax b m x= + − 取最大值？ 第7页（共15页） 中考数学模拟卷答题卡 学校:_________姓名：_________班级：_________考号：_________ 一．选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 11. 12. 13. 14. ； 三．解答题（共 9 小题，满分 90 分） 15.答： 16.答： 17.答： 第8页（共15页） 18.答： 19.答： 20.答： 第9页（共15页） 21.答： 22.答： 第10页（共15页） 23.答： 第11页（共15页） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C B D C C B B 二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 11． 23( 3)x − ． 12． 30． 13． 3． 14．（1） 7 3− ；（2）1 或 6 5 ． 三．解答题（共 9 小题，满分 90 分） 15．【解答】 解：原式 2 3 1 2 2 = − +  ………………………………………..6 分 3 1 1= − + 3= ．………………………………………..8 分 16．【解答】解：设甲原有的钱数为 x ，乙原有的钱数为 y ，根据题意，得 1 48 2 2 48 3 x y x y  + =   + =  ，………………………………………..4 分 解得： 36 24 x y =  = ， 答：甲、乙两人各带的钱数为 36 和 24．………………………………………..8 分 17．【解答】解：过点B作 BE AC⊥ 于点E，过点 D作 DF AC⊥ 于点 F ．则四边形 EBFD是矩形．  24 3,BE DF EF BD= = = ，在Rt ABE 中， 63.4BAC = ， tan 63.4 2 BE AE = = ， 24 3 2 AE = ，  12 3AE = ，……………………………………….2 分 第12页（共15页） 在Rt FCD 中， 30FCD = ， tan DF DCF CF  = ， 24 3 3 tan 30 3CF  = = ，  24 3 3 72DE =  = ，………………………………………..4 分  72 12 3 12BD EF AC CF AE= = + − = − + ， 84 12 3 84 12 1.7 84 20.4 64= −  −  = −  米． 答：池塘的宽度BD约为 64 米．………………………………………..8 分 18． 【解答】解：（1）如图，△ 1 1 1A B C 即为所求；………………………………………..3 分 （2）如图，线段 2 2A B 即为所求；……………………………………….5 分 （3）如图，直线MN 即为所求．………………………………………8 分 19． 【解答】解：（1）第 5 个等式： 1 2 9 27 1 25 5 10 50 + + = + ， 故答案为： 1 2 9 27 1 25 5 10 50 + + = + ．………………………………………..2 分 （2）第 n 个等式： 2 2 2 1 2 4 2 1 2 2 n n n n n n + + + + = + ，………………………………………..5 分 证明：等式左边 2 2 2 2 1 2 ( 1)n n n n n + + + = = ， 等式右边 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 4 2 ( 1) 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n + + + + + + + = + = + = = ， 即等式左边=等式右边 2 2 ( 1)n n + = ， 等式成立，………………………………………..10 分 20．【解答】解：（1）如图 1，连接OB ， CD为 O 的直径，弦 AB CD⊥ 于点G ，  AC BC= ， 1 2 AG BG AB= = ， B为弧CF 的中点， BC BF= ，OB CF⊥ ，  AC BC BC BF+ = + ，即 AB CF= ， 8AB CF = = ， 1 4 2 AG BG AB = = = ； 由勾股定理得 5r = ………………………………………..5 分 第13页（共15页） （2）如图 2，连接BC，OB ， AC BF= ， BCH CBH = ， HB HC = ， 在 OCH 和 OBH 中， OC OB= ， HC HB= ，OH OH= ， ( )OCH OBH SSS   ， COH BOH = ， OC OB= ， OH BC ⊥ ．………………………………………..10 分 21． 【解答】解：（1）解：总人数 15 25% 60=  = （人 ) ． A类人数 60 24 15 9 12= − − − = （人 ) ． 12 60 0.2 20% = = ， 20m = ； 条形统计图如图： ，………………………………………..6 分 （2） 24 360 144 60   = ，  “B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为144；………………………………………..9 分 （3）画树状图如下： 共有 9 种等可能结果，其中甲乙进入同一社团的有 2 种结果． 所以P（甲乙进入同一社团） 2 9 = ．………………………………………..12 分 22． 【解答】（1）过C 作CN AD⊥ 于M ，交BD于 N ，如图： ① 证明：设 ACD a = ， AC CD= ， 2ACD ACM =  ， AD AB⊥ ， AD CM⊥ ， 第14页（共15页） / /AB CM ， ACM BAC = ， 2ACD BAD =  ；………………………………………..3 分 ②解： / /AB CM ，M 为 AD中点， BN DN = ， 2 5 OC OA = ， 2 5 ON OB = ， 5 9 OB OD = ；………………………………………..6 分 （2）延长CD至E，使得DE BC= ，连接 AE，如图： 90BAD = ， AB AD= ， 45ABD ADB = = ， BDE ADE ADB BCD CBD = + = + ， 45ADE CBD = + ，又 45ABC ABD CBD CBD = + = + ， ADE ABC = ．在 ABC 和 ADE 中， AB AD ABC ADE BC DE =   =  = ， ( )ABC ADE SAS   ， AE AC = ， DAE BAC = ， 90BAD = ， 90CAE = ， ACE 为等腰直角三角形， 2CE AC = ，即， 2BC CD CE AC+ = = ， 3CD BC= ， 4 2BC AC = ， 2 2AC BC= ． 在直角 BCD 中． 10BD BC= ， 2 5 5 AC BD = ．……………………………………….12 分 23． 【解答】解：（1）①将 A，B，C 三点坐标，代入抛物线解析式得： 9 3 0 0 3 a b c a b c c − + =  + + =  = ，解得： 1a = − ， 2b = − ， 3c = ， 抛物线的函数表达式为： 2 2 3y x x= − − + ；………………………………………..4 分 ②设 AC 所在直线的表达式为： y tx n= + ， 3 0 3 t n n − + =  = ，解得： 1t = ， 3n = ， 3y x = + ， 设 2( , 2 3)P t t t− − + ，则 ( , 3)D t t + ， ( ,0)E t ，且 3 0t− ， 2 22 2 3 2( 3) 4 3( 3 0)PD DE PE DE t t t t t t − = − = − − + − + = − − − − ， 1PD DE− = ， 2 4 3 1t t− − − = ， 解得： 2t = − ，即点P的横坐标为 2− ；………………………………………..9 分 （2） 抛物线过 ( 3,0)A − ， (1,0)B 两点，该抛物线的对称轴为直线 1x = − ， 1 2 b a − = − ，即 2b a= ． 第15页（共15页） 0a  ，当 2 b m x a − = − 时，函数 2 ( )y ax b m x= + − 有最大值， 直线 y mx n= + 过 ( 3,0)A − ， (0, )C c 两点，  3 0m n n c − + =  = ， 1 3 m c = ，又 抛物线过点 ( 3,0)A − ， 9 3 0a b c − + = ， 3c a =− ， m a =− ， 当 2 ( ) 3 2 2 2 b m a a x a a − − − = − = − = − 时，函数 2 ( )y ax b m x= + − 取最大值．……………………………………….14 分