精品解析：浙江省义乌中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

2024-2025学年第二学期高一年级第一次阶段性考试 数学试题 命题：王鑫 审校：傅华伟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用复数除法运算求出，再根据虚部概念得解． 【详解】由于，则，则复数的虚部为． 故选：B. 2. 已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据向量共线的坐标形式可求参数的值. 【详解】，因为三点共线， 故共线，故，故， 故选：C. 3. 在中，，，则角A的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案. 【详解】由题意知中，，， 故，即， 由于，故，则或， 故A的大小为或， 故选：D 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，再利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 5. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案. 【详解】解：因为在中，满足， 由正弦定理知，代入上式得， 又由余弦定理可得，因为是三角形的内角，所以， 所以为钝角三角形， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可. 【详解】设，则可得， 由，可得B是AC的中点，所以， 而，则， ，中，由余弦定理可得：， 解得：，所以该建筑的高度米. 故选：B. 7. 已知向量，满足，，若对任意实数x都有，则（）的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作 由任意实数都有，得取，设，可得在直线上，即可求解答案. 【详解】如图，由，，可得在上的投影为2，即 因为对任意实数都有，由射影定理可得, 所以. 设，取，可得在直线上， 所以线段的最小值为到直线的距离， 当时， 故答案：. 8. 已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围． 【详解】由 及余弦定理，可得 正弦定理边化角，得 是锐角三角形， ，即． ，， 那么： 则， 故选： 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，都是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】举例说明判断AB；利用代数形式的复数运算，结合共轭复数以及模的计算求解判断CD. 【详解】对于A，取，满足，而且，A错误； 对于B，取，，B错误； 对于C，设， ，C正确； 对于D，设，， ，D正确. 故选：CD 10. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（ ） A. 三个内角A、B、C满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于D，则的长为 D. 若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用正弦定理得出三边关系，结合余弦定理可判定；对B，由三角形面积公式计算可得三边长，从而判定；对C，利用三角形面积公式结合已知条件求解；对D，设，利用正弦定理表示出，由数量积定义求出，利用三角函数求出答案. 【详解】对于A，由，设， 由余弦定理，，又， ，则，故A正确； 对于B，由，解得， ，则的周长为，故B正确； 对于C，由， 所以，解得，故C错误； 对于D，当E在优弧AC上时，设，，则， 在中，， 由正弦定理，， ， 因为，所以， 当，即时，，即取得最大值； 又当点与点重合时，； 当点与点重合时，； 当E在劣弧AC上时，若相同时，此时小于E在优弧AC上； 综上，的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知平面向量，，，，满足，，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为14 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算求模，利用向量的坐标运算，针对二次式结合三角换元可求最值． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，因为， 所以，故B错误； 对于C，建立如图坐标系， 可知，，，, 所以 ， 又因为，所以， 即，代入上式得： ， 由得： ， 不妨设，则 ，其中 当，即此时取到最大值，故C正确； 对于D, 利用代入得： ， 其中，取最值条件就是和， 即此时取到最大值， 即此时取到最小值， 故D正确； 故选：ACD． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最大值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】设，由题设可得，由复数的几何意义求解最值即可. 【详解】设， 则， 得， 表示以为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离， 所以. 故答案为：6. 13. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得的坐标，进而可得向量的坐标，由数量积的坐标运算可得数量积. 【详解】解：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，，，，； ∴，，； ∴， ∴. 故答案为：2. 14. 设G为的重心，满足．若．则实数的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式，结合正弦定理角化边得，再利用三角形重心性质及向量数量积的运算律计算得即可得解. 【详解】在中，， 则，由正弦定理得， 由G为的重心，，得， 即，则， 即，因此，所以. 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（R），为实数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值. 【小问1详解】 由，为实数，则为实数， 所以，即，， 所以. 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 又为实系数方程根， 则， 所以，， 又，所以. 16. 如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，． （1）求的值； （2）若为边上一点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解，由正弦定理即可求解. （2）作辅助线根据解直角三角形知识分别求出和即可. 【小问1详解】 由余弦定理得： ∴ , 由正弦定理：得. 【小问2详解】 如图所示： 过作于，在中， ，， ∴，，在中，. ∴ ∴ ∴ 17. 如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． （1）试用表示和； （2）若，求． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，设，根据平面向量共线定理的推论求出，即可求出； （2）首先用、表示出、，再根据数量积的运算律及定义计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 设，所以， 又三点共线，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 设， 又三点共线，所以，解得，所以， 所以， 又，即， 即，解得或（舍去）. 18. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式化角为边后，再运用余弦定理即可求得； （2）根据余弦定理化简后，利用基本不等式即可求得的最大值，即得周长最大值； （3）利用三角形面积相等得到，根据正弦定理，将边分别用角表示，利用三角恒等变换将三角形面积表示成，求得的取值范围，利用正弦函数的值域即可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； 【小问2详解】 由余弦定理，，即， 整理得，，当且仅当时等号成立，即， 于是，，即当时，周长的最大值为； 【小问3详解】 由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数的图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 【点睛】思路点睛：对于三角形的周长最大值，可考虑余弦定理和基本不等式相结合解决；对于三角形面积的范围，一般考虑利用正、余弦定理将面积化成与正弦型函数相关的解析式，利用三角函数的值域求解. 19. 在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、可得，再由求出，利用向量平行四边形法则解得，得为的外心，再由正弦定理对称答案； （2）由向量的数量积公式可得，求出的范围可得的范围，从而求出最小值； （3）取的中点，由向量的加法运算可得，，再由平面向量数量积的定义可得，代入、得、，联立两式求出，再由正弦定理、基本不等式可得答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 又由， 可得， 解得，即，所以为的外心， 由正弦定理有，所以； 【小问2详解】 因，所以，且， ， 因为，解得， 则，则，所以， 所以， 所以； 【小问3详解】 如图所示：取的中点，连接，则， 所以， 同理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，所以，， 即，所以，① ，即， 所以，② 联立①②可得， 所以，， 又因为， 因为，所以，可得， 可得，当且仅当等号成立， 令，， 函数，令， ， 因为，所以， 可得，所以在上单调递增， 所以， 所以． 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”；二是利用余弦定理实现“角化边”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高一年级第一次阶段性考试 数学试题 命题：王鑫 审校：傅华伟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，则角A的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知向量，，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知向量，满足，，若对任意实数x都有，则（）最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，都是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A 若，则 B. C. D. 10. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（ ） A. 三个内角A、B、C满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于D，则的长为 D. 若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 11. 已知平面向量，，，，满足，，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为14 D. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最大值为________． 13. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是___________. 14. 设G为的重心，满足．若．则实数的值为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（R），实数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 16. 如图，在中，内角所对边分别为，已知，，． （1）求的值； （2）若为边上一点，且，求的长． 17. 如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． （1）试用表示和； （2）若，求． 18. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长的最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 19. 在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $