精品解析：山东省日照市日照港中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷

2025-2026学年度第一学期八级数学阶段检测题 一、单选题（毎题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，不是最简二次根式； 故选C． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减和乘法运算、二次根式的性质，掌握运算法则是解答的关键．据相关运算法则逐项计算可作出判断． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能加减，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算正确，符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 5、12、13 C. 9、14、15 D. 12、16、20 【答案】C 【解析】 【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、32+42=52，故能组成直角三角形，正确； B、52+122=132，故能组成直角三角形，正确； C、92+142≠152，故不能组成直角三角形，错误； D、92+122=152，故能组成直角三角形，正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 4. 在平行四边形中，，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及内角比可得，设每份为，则，解得，进而可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， 设每份为，则， 解得， 则． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5. 如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和三角形的面积和二次根式的混合运算，掌握算术平方根和二次根式的运算是解题的关键． 由题意得出大、小正方形的边长，再求出，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积，再代入数据，利用二次根式混合运算化简，即可得出答案． 【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴大正方形边长为，小正方形的边长为， ∴， ． 故选：C． 6. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP=AC，即可得出答案． 【详解】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴AC=， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， ∴AP=AC=， ∴点P表示的数是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长． 7. 化简二次根式的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式性质与化简，掌握是解题关键． 先判断a的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 已知，当分别取得1，2，3，…，2025时，所对应值的总和是（ ） A. 2027 B. 2025 C. 2023 D. 2021 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质． 依据二次根式的性质化简，即可得到，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的值的总和． 【详解】解：∵， 当时，， 即当时，； 当时，， 即当分别取时，的值均为 1 ， ∴当分别取时，所对应的值的总和是． 故选：A． 9. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键． 勾股定理求出的长，利用折叠得到，求出，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 根据翻折可得， ， 设，则． 根据勾股定理得，解得：． 故选：A． 10. 如图，在中，，，平分，点是的中点，过点作的垂线与的延长线相交于点，则下列结论中正确的个数；；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由，，得，由平分得，所以，则，而，所以，可证明，得，可判断正确；由，可判断正确；求得，可证明，可判断错误；由，且，推导出，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，平分， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， 交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ，故正确； ，， ，故正确； ，， ， 不是等腰直角三角形， ，故错误； ， ， ， ，故正确； 故选：C． 【点睛】此题考查直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 二、填空题（每题4分，共，24分） 11. 代数式中x的取值范围是 ________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且； 故答案为：且． 12. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质．根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由非负性得：， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：． 故答案为：3． 13. 已知x，y 是实数，且，则__________ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，直接利用二次根式有意义的条件分析即可得出答案，正确把握二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：要使有意义， 则， 解得：， ∴ ∴， 故答案为：1． 14. 已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止当t=_____时，△PBQ是直角三角形． 【答案】1或2． 【解析】 【详解】试题分析：根据题意得AP=cm，BQ=cm，△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=（）cm，△PBQ中，BP=，BQ=，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，①当∠BQP=90°时，BQ=BP，即，（秒），②当∠BPQ=90°时，BP=BQ，，（秒），∴当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．故答案为1或2． 考点：1．一元二次方程的应用；2．等边三角形的性质；3．勾股定理． 15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，先求出∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，然后证明△BAD≌△CED得到∠BED=∠DAC=90°，CE=AB=4，则AC=2CE=8． 【详解】解：如图所示，延长AD至E，使DE=AD，连接CE， ∵BA⊥AD， ∴∠DAB=90°， ∵∠BAC=120°， ∴∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°， ∵D为BC的中点， ∴BD=CD， 在△BAD和△CED中， ， ∴△BAD≌△CED（SAS）， ∴∠DEC=∠DAB=90°，CE=AB=4， ∴AC=2CE=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造出含30度角的直角三角形是解题的关键． 16. 我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是_______尺.  【答案】25. 【解析】 【详解】解：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形求斜边的问题. 根据勾股定理可求出葛藤长为（尺）． 故答案为：25． 三、解答题： 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）7 （2）1 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后计算括号里面的，再按照除法运算法则进行计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可； （3）先根据二次根式性质进行化简，然后按照二次根式加减运算法则进行计算即可； （4）根据平方差公式和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 已知求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据分式的减法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ； 【小问2详解】 解：． 19. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，三个顶点，，都在格点上 （1）请在图中描出点C关于轴对称的点，并写出点的坐标 ，连接，则的面积为 ，的形状为 ． （2）已知点是轴上的一点，则当取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】（1） 如图，点D为所作； ；；等腰直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，勾股定理及其逆定理． （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到D点坐标，再连线得到，利用勾股定理的逆定理可判断为等腰直角三角形，据此求出的面积即可； （2）取格点E，F，根据点C与点D关于y轴对称，的最小值为的长，利用等面积关系建立方程求解，即可求出P点坐标． 【小问1详解】 解：由图知：， ∵， ∴，，， ，， ， 为等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：如图，取格点E，F，H，根据点C与点D关于y轴对称，的最小值为的长， · 设，网格中小正方形边长为1， ， ，即， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 20. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】（1） （2）不能成功，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 过点作于点，则，，， 在中，， ； 【小问2详解】 不能成功，理由如下：假设能上升，如图所示， 延长至点，连接，则， ， 在中，， ，余线仅剩， ， 不能上升，即不能成功． 21. 已知：如图，在中，的平分线交于，的平分线交于，交于． （1）试说明：； （2）若将分成两部分，且，，求的周长． 【答案】（1） ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）32 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的性质即可得出，是等腰三角形，得到，进而得到求解即可； （2）首先根据题意求出，然后根据平行四边形的周长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ∴， ∴平行四边形的周长为； 所以平行四边形的周长为32． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． （1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； （2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； （3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；； （2） ∵， 即， 整理得， 故； （3）27 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【小问1详解】 解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 23. 【问题探究】 （1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD和Rt△ACE,连接CD、BE，是猜想CD、BE的大小关系_____________ ；（不必证明） 【深入探究】 （2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为________________ ；（不必证明） 线段 AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图③，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若 BD=9，CD=3， 求 AD 的长． 【答案】（1）CD=BE； （2）BC=CD+EC， BD2+CD2=2AD2，理由如下： ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD=CE，∠ACE=∠B， ∴∠DCE=90°， ∴CE2+CD2=ED2， 在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE， ∴BD2+CD2=2AD2； （3）AD =6. 【解析】 【分析】（1）如图所示，结论：CD = BE．只要证明△DAC≌△BAE即可； （2）结论：BC=CD+EC， BD2+CD2=2AD2，依据△DAB≌△EAC可得BD=CE,AD=AE, ∠B=∠ACE=45°,因此CE ²+CD ²=AD ²+AE ²,即可得出结论； （3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算算出DF=,从而得到AD=AF=6. 【详解】解：（1）CD=BE； （2）略 （3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE， ∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE=9， ∵∠ADC=45°，∠EDA=45°， ∴∠EDC=90°， ∴DE==6， ∵∠DAE=90°， ∴AD=AE=DE=6． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期八级数学阶段检测题 一、单选题（毎题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 5、12、13 C. 9、14、15 D. 12、16、20 4. 在平行四边形中，，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 化简二次根式的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，当分别取得1，2，3，…，2025时，所对应值的总和是（ ） A. 2027 B. 2025 C. 2023 D. 2021 9. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，平分，点是的中点，过点作的垂线与的延长线相交于点，则下列结论中正确的个数；；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每题4分，共，24分） 11. 代数式中x的取值范围是 ________． 12. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是________． 13. 已知x，y 是实数，且，则__________ 14. 已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止当t=_____时，△PBQ是直角三角形． 15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为__________． 16. 我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是_______尺.  三、解答题： 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知求下列各式的值． （1） （2） 19. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，三个顶点，，都在格点上 （1）请在图中描出点C关于轴对称的点，并写出点的坐标 ，连接，则的面积为 ，的形状为 ． （2）已知点是轴上的一点，则当取最小值时，点的坐标为 ． 20. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 21. 已知：如图，在中，的平分线交于，的平分线交于，交于． （1）试说明：； （2）若将分成两部分，且，，求的周长． 22. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． （1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； （2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； （3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 23. 【问题探究】 （1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD和Rt△ACE,连接CD、BE，是猜想CD、BE的大小关系_____________ ；（不必证明） 【深入探究】 （2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为________________ ；（不必证明） 线段 AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图③，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若 BD=9，CD=3， 求 AD 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $