精品解析：山东省滨州市阳信县城区集团校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年第二学期第一次质量检测初二数学 第一卷（选择题，共24分） 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 1，， B. 6，8，10 C. 7，8，9 D. 0.3，0.4，0.5 2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 3. 如图， 是 的中位线， 的平分线交 于点，连接 并延长交于，若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 如图，已知P、R分别是长方形 的边、上的点，E、F分别是、的中点，点P在上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（　　） A. 线段 的长不变 B. 线段 的长逐渐变小 C. 线段 的长逐渐增大 D. 无法确定 5. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中， ，且，，点 是斜边上的一个动点，过点 分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形 的对角线、 相交于点，过点 作于点，连接，若，．则菱形 的面积为（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 24 第二卷（非选择题，共96分） 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 如下图以直角三角形三条边为分别向外作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则图中正方形字母A所代表的正方形的面积为______． 10. 如图，四边形 是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为_____． 11. 如图，以正方形 的边向外作等边三角形，则的度数是___________． 12. 如图，在 中，的平分线交于点 ，的平分线交于点，若，，则 的长是_______． 13. 如图，一架15m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时梯子的顶端A离地面距离OA为12m，如果梯子顶端A沿墙下滑3m至C点，那么梯子底端B向外移至D点，则BD的长为___m． 14. 如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为，将矩形沿对角线OB翻折使点A落在点D处，则点D的坐标为__________． 15. 2024年9月22日是第七个中国农民丰收节。小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为_____． 16. 如图，平行四边形 的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；② 平分；③；④．其中结论正确的序号有______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 如图，在 中，E，F为 上的点，，那么四边形是什么图形？为什么． 18. 如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，， ． （1）求之间的距离； （2）求四边形 的面积． 19. 【教材呈现】如图是人教版八年级下册第页部分内容： 如图，点分别是 的边与的中点，根据画出的图形，可以猜想：且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明． （1）请完成教材的证明： 【结论应用】 （2）如图 ，在四边形 中， ，是对角线 的中点，是 的中点，是的中点．请判断的形状，并说明理由． 20. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，小慧同学利用直尺和规进行了如下操作：①连接AC，分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线PQ，分别交BC、AC、AD于点E、O、F，连接AE、CF．根据操作结果，解答下列问题： （1）线段AF与CF的数量关系是 . （2）若∠BAD=120°，AE平分∠BAD，AB=8，求四边形AECF的面积． 21. 如图，在平行四边形 中，，E，F是对角线 上的点，且，连接，， ， ．求证：四边形是菱形． 22. 如图，在四边形 中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C出发，以的速度向点B运动．点P与点Q同时出发．设运动时间为． （1）用含t的代数式表示：______；______；______；______； （2）从点P，Q运动开始，经过多长时间以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？ （3）从点P，Q运动开始，经过多长时间以点A，B，Q，P为顶点的四边形是矩形？ 23. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形 的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ （2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 24. 综合与实践 问题呈现： 如图①，在四边形 中，，， 求证： 平分． 问题解决： 小明在解决问题时发现可以通过构造全等三角形来解决问题，而且他找到了两种“构造”方案： 方案一：如图②，过 作于，于； 方案二：如图③，延长至，使． （1）请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程． 思维发散： （2）如图④，在等边 中，点 是的中点，， 与交于点 ，与交于点，请直接写出 ，和的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期第一次质量检测初二数学 第一卷（选择题，共24分） 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 1，， B. 6，8，10 C. 7，8，9 D. 0.3，0.4，0.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．1，，不都是整数，故不是勾股数，不符合题意； B．，故是勾股数，符合题意； C．，故不是勾股数，不符合题意； D．0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 3. 如图， 是 的中位线，的平分线交 于点，连接 并延长交于，若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵ 是 的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 如图，已知P、R分别是长方形 的边、上的点，E、F分别是、的中点，点P在上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（　　） A. 线段的长不变 B. 线段的长逐渐变小 C. 线段的长逐渐增大 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，连接．由三角形中位线定理得出，即可得出答案，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵、分别是、的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∵ 不动， ∴的长度不变， ∴线段的长不变． 故选：A． 5. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据面积关系证明勾股定理是解题的关键；根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积之和证明即可． 【详解】解：由题意知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， 则， ， 故选： ． 6. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为 尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：如图，木杆长为 尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，且，，点 是斜边上的一个动点，过点 分别作于点 ，于点 ，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接 ，根据勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：连接 ， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当 时， 的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是掌握矩形的性质并理解垂线段最短的意义． 8. 如图，菱形 的对角线、 相交于点 ，过点 作于点，连接，若，．则菱形 的面积为（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH=2，则，BD=4，由菱形对角线的性质可得AC=6，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形 的面积． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键． 第二卷（非选择题，共96分） 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 如下图以直角三角形三条边为分别向外作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则图中正方形字母A所代表的正方形的面积为______． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，正方形的面积，利用数形结合的思想是解题关键．根据勾股定理可直接求得正方形字母A所代表的正方形的边长． 【详解】解：如图， ∵其中两个正方形的面积分别为和， ∴，． ∵为直角三角形， ∴， ∴正方形字母A所代表的正方形的面积为64． 故答案为：64． 10. 如图，四边形 是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 设与交于点 ，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，则，，在中，可得，，则，，再根据四边形的面积为可得答案． 【详解】解：设与交于点 ， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形 为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 在中，，， ，， ，， 四边形的面积为． 故答案为：． 11. 如图，以正方形 的边向外作等边三角形，则的度数是___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，根据正方形的性质及等边三角形的性质可求解，再根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形 为正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 12. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行四边形的性质可得，，进而得，又由角平分线的定义可得，即可得，得到，即得，同理可得，最后根据线段的和差关系即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 13. 如图，一架15m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时梯子的顶端A离地面距离OA为12m，如果梯子顶端A沿墙下滑3m至C点，那么梯子底端B向外移至D点，则BD的长为___m． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出OB的长，再在Rt△COD中求出OD的长，进而可得出结论． 【详解】解：在Rt△ABO中， ∵AB＝15m，AO＝12m， ∴OB＝＝9m． 同理，在Rt△COD中，DO＝＝12m， ∴BD＝OD﹣OB＝12﹣9＝3(m)． 故答案是：3． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 14. 如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为，将矩形沿对角线OB翻折使点A落在点D处，则点D的坐标为__________． 【答案】(，6) 【解析】 【分析】过点D作轴于点E，由点B坐标可求出．再根据翻折可知，，即得出，最后根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求出，，即得出D点坐标． 【详解】如图，过点D作轴于点E． ∵B， ∴， ∴． 由翻折可知，， ∴， ∴， ∴． ∴D(，6)． 故答案为：(，6)． 【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形以及三角函数的应用．利用数形结合的思想是解题关键． 15. 2024年9月22日是第七个中国农民丰收节。小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图、利用勾股定理求解最短路径问题，先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接，则的长为装饰带的最短长度， 在中，，，， ∴， ∴装饰带的长度最短为， 故答案为：15． 16. 如图，平行四边形 的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，确定是 的中位线是解题的关键．首先可知是等边三角形，得，再利用平行线的性质可得，可知①正确，由，得平分，故②正确；由平行四边形的性质得是 的中位线，利用三角形中位线定理可对③进行判断．根据等底同高的三角形面积相等可得，再由③可知，进而可得，可对④进行判断． 【详解】解：是的中点， ， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ，， ， 平分， 故②正确； 平行四边形 的对角线， 相交于点 ， ， 是的中点， 是 的中位线， ， 又， ， ， 故③正确； ， ， ，， ， ， ，故④错误． 故答案为：①②③ 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 如图，在中，E，F为 上的点，，那么四边形是什么图形？为什么． 【答案】四边形是平行四边形；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，可证明，因此 ，，所以，再根据平行四边形的判断即得答案． 【详解】解：四边形 是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 18. 如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，， ． （1）求之间的距离； （2）求四边形 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出答案； （2）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据直角三角形面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：连接 ， 在中， ，，， 由勾股定理得，， ∴之间的距离为； 【小问2详解】 ∵m，m，m， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 所以四边形 的面积为． 19. 【教材呈现】如图是人教版八年级下册第页部分内容： 如图，点分别是 的边与的中点，根据画出的图形，可以猜想：且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明． （1）请完成教材的证明： 【结论应用】 （2）如图 ，在四边形 中， ， 是对角线 的中点， 是的中点， 是的中点．请判断的形状，并说明理由． 【答案】（ ）见解析；（ ）是等腰三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】（ ）延长 至点，使，连接 ，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （ ）根据教材呈现中的结论，得出，，再利用，即可得出结论． 【详解】证明：延长 至点，使，连接 ， ∵点分别是 的边与的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴且； （2）是等腰三角形， 理由：∵ 是 的中点， 是的中点， ∴， ∵ 是 的中点， 是的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键熟练掌握知识点的应用． 20. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，小慧同学利用直尺和规进行了如下操作：①连接AC，分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线PQ，分别交BC、AC、AD于点E、O、F，连接AE、CF．根据操作结果，解答下列问题： （1）线段AF与CF的数量关系是 . （2）若∠BAD=120°，AE平分∠BAD，AB=8，求四边形AECF的面积． 【答案】（1）FA=FC；（2） 【解析】 【分析】（1）根据基本作图和线段垂直平分线的性质进行判断； （2））由AE平分∠BAD得到∠BAE=∠DAE=∠BAD=60°，利用平行四边形的性质得AD∥BC，则∠AEB=∠DAE=60°，所以△ABE为等边三角形，则AE=AB=8，∠B=60°，于是可计算出AC=AB=8，再证明△AEF为等边三角形得到EF=8，然后根据三角形面积公式利用四边形AECF的面积=EF×AC进行计算． 【详解】解：（1）由作法得EF垂直平分AC， 所以FA=FC． 故答案为FA=FC； （2）∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE=∠BAD=60°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAE=60°， ∴△ABE为等边三角形， ∴AE=AB=8，∠B=60°， ∵EA=EC， ∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°， ∴AC=AB=8， ∵∠CAD=60°-30°=30°， 即OA平分∠EAF， ∴AF=AE=8， ∴△AEF为等边三角形， ∴EF=8， ∴四边形AECF的面积=． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 21. 如图，在平行四边形 中，，E，F是对角线 上的点，且，连接，， ，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：如图，设交 于点O，    ∵，四边形 是平行四边形， ∴平行四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接，交 于点O，证明平行四边形 是菱形，得，再证明，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】略 22. 如图，在四边形 中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C出发，以的速度向点B运动．点P与点Q同时出发．设运动时间为． （1）用含t的代数式表示：______；______；______；______； （2）从点P，Q运动开始，经过多长时间以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？ （3）从点P，Q运动开始，经过多长时间以点A，B，Q，P为顶点的四边形是矩形？ 【答案】（1）；；； （2）经过，四边形是平行四边形 （3）经过，四边形是矩形 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据运动时间乘以速度等于运动路径求解即可； （2）根据，构建方程求解即可； （3）根据，构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ∵，， ∴，， 故答案为：；；；； 【小问2详解】 解：当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得． ∴时，四边形是平行四边形． 【小问3详解】 解：当时，四边形是矩形， ∴ 解得， ∴时，四边形是矩形． 23. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形 的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ （2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 【答案】（1）①见解析；②； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． ①用两种不同的方法去求正方形的面积即可． ②利用①中发现的结论即可解决问题． 设，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：①证明：中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 又四个直角三角形的面积为：， 大正方形的面积为： 又大正方形的边长为c， 大正方形的面积还可以表示为， ； ②解：由①可知， ， ， ， ， ， 舍负， 即直角三角形两直角边之和为； 【小问2详解】 解：设， ， 外围轮廓实线的周长为48， ， 则 在中， ， 解得， 即， ． 24. 综合与实践 问题呈现： 如图①，在四边形 中，，， 求证： 平分． 问题解决： 小明在解决问题时发现可以通过构造全等三角形来解决问题，而且他找到了两种“构造”方案： 方案一：如图②，过 作于，于； 方案二：如图③，延长至 ，使． （1）请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程． 思维发散： （2）如图④，在等边 中，点 是的中点，， 与交于点，与交于点，请直接写出，和的数量关系． 【答案】（1）证明过详解 （2），理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，中位线的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，构造三角形全等是解题的关键． （1）方案一：先证明，得到，再证明，得到，即可求解； 方案二：证明，得到，则有，即可求解； （2）如图所示，取线段的中点，连接，可得，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：（1）方案一：如图②，过 作于，于， 证明：在四边形中，， ∴， ∵共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 平分； 方案二：如图③，延长至 ，使， 证明：在四边形中，， ∴， ∵点三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 平分； （2），理由如下， ∵是等边三角形， ∴， ∵点 是中点， ∴， 如图所示，取线段的中点，连接， ∴， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $