专题 与平行四边形有关的多结论问题（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北京版）

（北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 专题 与平行四边形有关的多结论问题 题型一 平行四边形中的多结论问题 1．（2024春•尉氏县月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，BC＝BD，E是CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，则下列结论：①BC∥AF； ②四边形BDFC是平行四边形；③BD＝DF；④BE＝BD．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024春•南海区校级月考）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AFB＝∠CED中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（2024春•惠山区期中）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接BF，则下列结论中其中正确的有（　　） ①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024•西城区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论： ①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（　　） A．①② B．③ C．②④ D．②③④ 5．（2024春•五华县期末）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③EG＝EF；④BF平分∠GFE．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024春•本溪期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接AE交CD于点G，连接OG．下列结论：①OGAD；②AE平分∠CAD；③以点A，C，E，D为顶点构成的四边形是平行四边形；④S▱ABCD＝6S△OCG.其中正确的是 　 　（填写所有正确结论的序号）． 8．（2024春•光明区期末）如图所示，在Rt△ABC外作等边△ADE，点E在AB边上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．将△ADE沿AB方向平移，得到△A′D′E′，连接BD′．给出下列结论：①AB＝10；②四边形ADD′A′为平行四边形；③AB平分∠D′BC；④当平移的距离为4时，BD′＝3．其中正确的是 　 　（填上所有正确结论的序号）． 9．（2024春•三明期末）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF，AF，DF，现给出以下结论：①∠C＝2∠AFB； ②AF⊥DF； ③S△ABF＝S△AFE； ④△ABF是等边三角形． 其中正确的是 　 　 （写出所有正确结论的序号）． 题型二 矩形中的多结论问题 1．（2024春•唐河县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE，其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•徐闻县月考）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF、DE、BO，若FB＝FD，则下列结论：①AE＝CF；②四边形BFDE是菱形；③BO垂直平分线段EF；④∠ACD＝30° 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024秋•宣汉县期末）如图，在矩形ABCD中，BCAB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题： （1）∠AEB＝∠AEH； （2）DH＝2EH； （3）OHAE； （4）BC﹣BFEH． 其中正确命题的序号（　　） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3） 5．（2024•菏泽二模）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（　　） （1）DC＝3OG；（2）OGBC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOES矩形ABCD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（2024春•宽城区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3．点E、F分别在边AD、BC上（点E不与A、D重合）且AF∥CE，DP⊥AF于点P，交CE于点Q，BM⊥CE于点M，交AF于点N．给出下面四个结论：①AC＝5；②DQ＝CM；③四边形PQMN是矩形；④AC平分四边形PQMN的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　． 8．（2024•益阳二模）如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：①ED平分∠AEC；②；③HE＝DF；④AB＝FH．其中正确的结论有 　 　个． 9．（2024秋•商河县月考）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④S△AOE：S△BCF＝1：2．其中正确结论的序号是 　 　． 题型三 菱形中的多结论问题 1．（2024秋•招远市期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法： ①四边形ABCD是平行四边形； ②AB＝BC； ③AC⊥BD ④AC平分∠BAD； ⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024春•绥滨县期末）如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE：AB＝4：5，则下列结论：①DE＝8cm；②BE＝4cm；③BD＝4cm；④AC＝8cm；⑤S菱形ABCD＝80cm2，正确的有（　　） A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 3．（2024•沙县一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（　　） ①△DEF的周长是△ABC周长的一半； ②AE与DF互相平分； ③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等； ④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024春•茌平区期末）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论： ①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④∠ACD＝∠DCE， 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024秋•城阳区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④，其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE；③EM＝BC；④AE+BMEM．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024春•龙湖区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD；其中正确的结论个数是　 　个． 8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动．给出以下四个结论： ①AE＝AF； ②∠CEF＝∠CFE； ③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形； ④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大． 上述结论中正确的序号有　 　．（把你认为正确的序号都填上） 9．如图，F是菱形ABCD的边AD的中点，AC与BF相交于E，EG⊥AB于G，已知∠1＝∠2，则下列结论：①AE＝BE；②BF⊥AD；③AC＝2BF；④CE＝BF+BG．其中正确的结论是　 　 ． 题型四 正方形中的多结论问题 1．（2024秋•松山区期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G．下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，∠AEB＝∠AFD．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 2．（2024春•随县期末）如图，在正方形ABCD中，点M，N分别为边CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•遵义期中）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O点的射线OM，ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，BO，EF交于点P，则下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE+BFOA，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024春•港北区期中）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于点F，交对角线BD于点G，取DG的中点H，连接AH，EH，FH．下列结论：①FH∥AE； ②AH＝EH且AH⊥EH；③∠BAH＝∠HEC；④△EHF≌△AHD．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2024•宜兴市模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC上的有一动点P，以DP为边作正方形DPFG．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；④△CDP为等腰三角形时，AP的值为2或44．其中结论正确的是（　　） A． ①②③ B．①③④ C．①③ D．②④ B． 6．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°下列三个结论：①当MNMC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变． 其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2024秋•开原市月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，且不与A，C重合，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接ED，FG，①；②若，则DE＝2；③DE＝FG；④FG的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　 ． 8．（2024春•江阴市期中）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　 　 ． 9．（2024•青岛一模）如图，四边形ABCD是边长为4cm的正方形，点E在边CD上，DE＝1cm，作EF∥BC，分别交AC，AB于点G、F，M，N分别是AG，BE的中点，则下列5个结论中： ①点F、N、C共线；②；③AC⊥BE；④△MNC的面积为；⑤∠MEB＝45°．正确的是 　 　 （填写所有正确结论的序号）． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 专题 与平行四边形有关的多结论问题 题型一 平行四边形中的多结论问题 1．（2024春•尉氏县月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，BC＝BD，E是CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，则下列结论：①BC∥AF； ②四边形BDFC是平行四边形；③BD＝DF；④BE＝BD．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据∠A＝∠ABC＝90°，可得BC∥AF，得出内错角相等，证明△BCE≌△FDE，可判断BC∥DF且BC＝DF，从而得出四边形BDFC为平行四边形；进而证得四边形BDFC是菱形，得到BD＝DF，BF⊥CD，根据直角三角形的斜边大于直角边得到BD＞BE． 【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∴BC∥AF，故①正确； ∵AF∥BC， ∴∠DCB＝∠CDF，∠FBC＝∠BFD， 又DE＝EC， ∴△BCE≌△FDE（AAS）， ∴DF＝BC， 又∵DF∥BC， ∴四边形BDFC为平行四边形，故②正确； ∵四边形BDFC为平行四边形，BC＝BD， ∴四边形BDFC是菱形， ∴BD＝DF，故③正确； ∵四边形BDFC是菱形， ∴BF⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∴BD＞BE，故④错误． ∴正确的结论为①②③， 故选：C． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 2．（2024春•南海区校级月考）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AFB＝∠CED中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】通过证明三角形全等，得出四边形DEBF的一组对边平行且相等，即可得出是平行四边形． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD， ∴∠DAE＝∠BCF，∠DCF＝∠BAE， ①DE＝BF时，不能证明△ADE≌△CBF， 不能证明四边形DEBF是平行四边形； ②∠ADE＝∠CBF时， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形； ③AF＝CE时，AE＝CF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形； ④当∠AFB＝∠CED时，则∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∵∠AEB＝∠CFD， ∴∠BEF＝∠DFE， ∴BE∥DF， ∴四边形DEBF是平行四边形； 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（2024春•惠山区期中）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接BF，则下列结论中其中正确的有（　　） ①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】连接EC，过点C作CH⊥EF于点H．先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形，即可解决问题． 【解答】解：连接EC，过点C作CH⊥EF于点H． ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS），故①正确； ∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFC＝∠ACB＝60°， ∴△EFC是等边三角形， ∴EF＝EC＝BD＝1，FH＝EH， ∴CH， ∵EF∥BD， ∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确， ∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF， ∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确， ∵S平行四边形BDEF＝BD•CH＝1，故③正确， ∵AC＝BC＝3，BD＝CF＝1， ∴CD＝2BD，AF＝2CF， ∵S△ABD， ∴S△AEF•S△AECS△ABD，故④正确， ∴①②③④都正确， 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 4．（2024•西城区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论： ①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（　　） A．①② B．③ C．②④ D．②③④ 【分析】构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解． 【解答】解：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N， ∵BDAB，DB＜DC， ∴CDAB， 故①不符合题意； ∵EF∥NG∥BC，EG＝CG， ∴FN＝NB， ∵GN⊥AB， ∴FG＝GB， 故②符合题意； ∵∠EAF＝∠MAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFM， ∴△AEF≌△AMF（ASA）， ∴FE＝FM， ∵EG＝GC， ∴FG∥AC， ∴∠GFB＝∠CAB， ∴∠GBF＝∠EAB， ∴EA∥BG， ∵∠EAD＝∠DBG，AD＝BD，∠ADE＝∠BDG， ∴△AED≌△BGD（ASA）， ∴AE＝BG， ∴四边形AEBG是平行四边形， 故③符合题意； ∵∠BFG+∠FBG+∠FGB＝180°， ∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF， ∴∠EAC+∠FGB＝180°， 故④符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，平行四边形的判定，关键是灵活应用这些知识点． 5．（2024春•五华县期末）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③EG＝EF；④BF平分∠GFE．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】①根据平行四边形性质及BD＝2AD得OB＝BC，再根据点E为OC的中点得BE⊥AC，由此可对结论①进行判断； ②证明EF为△OCD的中位线得EF∥CD∥AB，EF＝1/2CD，再根据点G为AB的中点得BGAB，由此得EF＝BG，由此可对结论②进行判断； ③根据BE⊥AC，点G为AB的中点得EGAB，再根据EF＝BGAB可对结论③进行判断； ④假设BF平分∠GFE，则平行四边形BEFG为菱形，进而得△BEG为等边三角形，则∠GBF＝∠EBF＝30°，再根据OB＝BC，点E为OC的中点得∠CBE＝∠EBF＝30°，由此得∠ABC＝90°，此时四边形ABCD为矩形，与四边形ABCD是平行四边形相矛盾，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，OB＝ODAD， ∵BD＝2AD， ∴ADBD， ∴OB＝BC， ∵点E为OC的中点， ∴BE⊥AC， 故结论①正确； ②∵点E为OC的中点，点F为OD的中点， ∴EF为△OCD的中位线， ∴EF∥CD，EFCD， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴EF∥AB，EFAB， ∵点G为AB的中点 ∴BGAB， ∴EF＝BG， ∴四边形BEFG为平行四边形， 故结论②正确； ③∵BE⊥AC，点G为AB的中点， ∴EG为Rt△ABE的斜边AB上的中线， ∴EGAB， ∵EF＝BGAB， ∴EG＝EF， 故结论③正确； ④假设BF平分∠GFE， ∵四边形BEFG为平行四边形， ∴平行四边形BEFG为菱形， ∴BG＝BE＝EF， ∵EG＝EF， ∴BG＝BE＝GE， ∴△BEG为等边三角形， ∴∠GBE＝60°，即∠GBF＝∠EBF＝30°， ∵OB＝BC，点E为OC的中点， ∴∠CBE＝∠EBF＝30°， ∴∠ABC＝∠GBE+∠CBE＝90°， 则四边形ABCD为矩形，这与四边形ABCD是平行四边形相矛盾， ∴假设是错误的， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，准确识图，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键． 6．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝CF＝EF，判定△ECF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确；若CE∥DF，则C、F、A三点共线，故④错误；即可得出答案． 【解答】解：在▱ABCD中，∠ADC＝∠ABC，AD＝BC，CD＝AB， ∵△ABE、△ADF都是等边三角形， ∴AD＝DF，AB＝EB，∠DFA＝∠ADF＝∠ABE＝60°， ∴DF＝BC，CD＝BE， ∴∠CDF＝∠ADC﹣60°， ∠EBC＝∠ABC﹣60°， ∴∠CDF＝∠EBC， 在△CDF和△EBC中，， ∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确； 在▱ABCD中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图： ∵AB∥CD， ∴∠DOA＝∠OAB＝60°， ∴∠DOA＝∠DFO， ∵∠OKD＝∠AKF， ∴∠ODF＝∠OAF， 故③正确； 在△CDF和△EAF中，， ∴△CDF≌△EAF（SAS）， ∴EF＝CF， ∵△CDF≌△EBC， ∴CE＝CF， ∴EC＝CF＝EF， ∴△ECF是等边三角形，故②正确； 则∠CFE＝60°， 若CE∥DF时， 则∠DFE＝∠CEF＝60°， ∵∠DFA＝60°＝∠CFE， ∴∠CFE+∠DFE+∠DFA＝180°， 则C、F、A三点共线 已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，邻角互补的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 7．（2024春•本溪期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接AE交CD于点G，连接OG．下列结论：①OGAD；②AE平分∠CAD；③以点A，C，E，D为顶点构成的四边形是平行四边形；④S▱ABCD＝6S△OCG.其中正确的是 　 　（填写所有正确结论的序号）． 【分析】根据平行四边形的性质先证得△ADG≌△ECG，得出DG＝CG，AG＝EG即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，AO＝OC， ∴∠DAG＝∠E，∠ADG＝∠ECG， ∵CE＝BC， ∴CE＝AD， ∴△ADG≌△ECG（ASA）， ∴AG＝GE，DG＝GC， ∴OG是△CAD的中位线，四边形ACED是平行四边形，故③正确； ∴OGAD，故①正确； ∴OG∥AD， ∴S△ACD＝4S△OCG， ∴S▱ABCD＝8S△OCG，故④错误； ∵AC≠CE， ∴∠E≠CAE， ∴∠CAE≠∠DAG，故②错误． ∴正确的是①③． 故答案为①③． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质并灵活运用．平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分． 8．（2024春•光明区期末）如图所示，在Rt△ABC外作等边△ADE，点E在AB边上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．将△ADE沿AB方向平移，得到△A′D′E′，连接BD′．给出下列结论：①AB＝10；②四边形ADD′A′为平行四边形；③AB平分∠D′BC；④当平移的距离为4时，BD′＝3．其中正确的是 　 　（填上所有正确结论的序号）． 【分析】由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2AC＝10，故①正确；再由平移的性质得A'D'＝AD，A'D'∥AD，则四边形ADD′A′为平行四边形，故②正确；当平移的距离为4时，EE'＝4，证出BE'＝D'E'，则∠E'BD'＝∠E'D'B∠A'E'D'＝30°，得∠A'D'B＝60°+30°＝90°，由含30°角的直角三角形的性质得BD'A'D'＝3，故④正确；由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，故③错误；即可得出答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝10，故①正确； 由平移的性质得：A'D'＝AD，A'D'∥AD， ∴四边形ADD′A′为平行四边形，故②正确； 当平移的距离为4时，EE'＝4， ∴BE'＝AB﹣AE﹣EE'＝10﹣3﹣4＝3， 由平移的性质得：∠A'D'E'＝∠A'E'D'＝∠AED＝60°，A'D'＝D'E'＝DE＝AD＝3， ∴BE'＝D'E'， ∴∠E'BD'＝∠E'D'B∠A'E'D'＝30°， ∴∠A'D'B＝60°+30°＝90°， ∴BD'A'D'＝3，故④正确； 由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，故③错误； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、平移的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和平移的性质，证明四边形ADD′A′为平行四边形是解题的关键． 9．（2024春•三明期末）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF，AF，DF，现给出以下结论：①∠C＝2∠AFB； ②AF⊥DF； ③S△ABF＝S△AFE； ④△ABF是等边三角形． 其中正确的是 　 　 （写出所有正确结论的序号）． 【分析】①由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠C，AB＝CD，AB∥CD，结合等腰三角形的性质可证得∠AFB＝∠BAF＝∠DAF，进而可证明①的结论； ②先证明CF＝CD，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可得FAD+∠ADF＝90°，即可得∠AFD＝90°，进而可证明②的结论； ③延长EF交AB的延长线于点G，利用AAS证明△BGF≌△CEF，可得S△AGF＝S△AFE，进而可证明③的结论； ④通过证明AF＝GF＝EF及BF＜GF可证明④的结论． 【解答】解：①∵F是BC的中点， ∴BC＝2BF＝2CF， 在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠C，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠AFB＝∠DAF， ∵AD＝2AB， ∴BF＝AB， ∴∠AFB＝∠BAF， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴2∠BAF＝∠BAD， ∴∠C＝2∠AFB，故①正确； ②∵AB＝BF＝CF，AB＝CD， ∴CF＝CD， ∴∠CFD＝∠CDF， ∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠CFD， ∴∠ADF＝∠CDF， ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∴∠FAD+∠ADF＝90°， ∴∠AFD＝90°， 即AF⊥DF，故②正确； ③延长EF交AB的延长线于点G， ∵AB∥CD， ∴∠G＝∠CEF，∠GBF＝∠C， 在△BGF和△CEF中， ， ∴△BGF≌△CEF（AAS）， ∴GF＝EF， ∴S△AGF＝S△AFE， ∴S△ABF＜S△AFE，故③错误； ④∵AE⊥CD，AB∥CD， ∴AE⊥AB，即∠BAE＝90°， ∵GF＝EF， ∴AF＝GF＝EF， 若△ABF为等边三角形，则BF＝AF＝GF，而F＜GF，故④错误， 故答案为：①②． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的面积等知识的综合运用，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 题型二 矩形中的多结论问题 1．（2024春•唐河县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由矩形的判定、菱形的判定分别对各个条件进行判断即可． 【解答】解：①∵∠1+∠3＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∴▱ABCD是矩形，故①正确； ②∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵BC2+CD2＝AC2， ∴BC2+AB2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴▱ABCD是矩形，故②正确； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵∠1＝∠2， ∴OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故③正确； ④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故④错误； 能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 2．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE，其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据矩形性质求出OD＝OC，根据角求出∠DOC＝60°即可得出三角形DOC是等边三角形，求出AC＝2AB，即可判断②，求出∠BOE＝75°，∠AOB＝60°，相加即可求出∠AOE，根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE＝S△COE． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD， ∴OA＝OD＝OC＝OB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝45°， ∵∠CAE＝15°， ∴∠DAC＝30°， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠DAC＝30°， ∴∠DOC＝60°， ∵OD＝OC， ∴△ODC是等边三角形，∴①正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90° ∴∠DAC＝∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB， ∵AC＞BC， ∴2AB＞BC，∴②错误； ∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB＝30°， ∵AE平分∠DAB，∠DAB＝90°， ∴∠DAE＝∠BAE＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠AEB＝∠BAE， ∴AB＝BE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DOC＝60°，DC＝AB， ∵△DOC是等边三角形， ∴DC＝OD， ∴BE＝BO， ∴∠BOE＝∠BEO（180°﹣∠OBE）＝75°， ∵∠AOB＝∠DOC＝60°， ∴∠AOE＝60°+75°＝135°，∴③正确； ∵OA＝OC， ∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE＝S△COE，∴④正确； 故选：C． 【点评】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用． 3．（2024春•徐闻县月考）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF、DE、BO，若FB＝FD，则下列结论：①AE＝CF；②四边形BFDE是菱形；③BO垂直平分线段EF；④∠ACD＝30° 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据CD∥AB，则∠CAB＝∠ACD，根据点O是AC的中点，证明△AOE≌△COF，判断①；根据矩形的性质，证明四边形BEDF是平行四边形，结合FB＝FD，即可判断②；由BE＝BF，结合OE＝OF，可判断③；假设∠ACD＝30°，推出与已知矛盾的结论，即可判断④． 【解答】解：在矩形ABCD中，CD∥AB， ∴∠CAB＝∠ACD， ∵点O是AC的中点， ∴AO＝CO ∵∠AOE＝∠COF ∴△AOE≌△COF ∴AE＝CF，故①正确； 在矩形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝CF， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵FB＝FD， ∴平行四边形BEDF是菱形．故②正确； ∴BE＝BF， ∵△AOE≌△COF， ∴OE＝OF， ∴BO垂直平分线段EF，故③正确； 若∠ACD＝30°，而AB∥DC， ∴∠CAB＝30°， ∵O为AC中点，∠ABC＝90°， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OBA＝∠OAB＝30°， ∵BE＝BF，BO⊥EF， ∴∠EBO＝30°＝∠CBF， ∴△BEF是等边三角形， 与题干条件矛盾．故④不正确． 综上所述，正确的有①②③． 故选：C． 【点评】本题考查矩形，菱形，垂直平分线的性质，等边三角形和全等三角形等知识，解题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形判定和性质． 4．（2024秋•宣汉县期末）如图，在矩形ABCD中，BCAB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题： （1）∠AEB＝∠AEH； （2）DH＝2EH； （3）OHAE； （4）BC﹣BFEH． 其中正确命题的序号（　　） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3） 【分析】（1）根据矩形的性质得到AD＝BCABCD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DECD，得到等腰三角形求出∠AED＝67.5°，∠AEB＝67.5°，得到（1）正确； （2）设DH＝1，则AH＝DH＝1，AD＝DE，求出HE1，得到2HE≠1，所以（2）不正确； （3）通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到（3）正确； （4）由△AFH≌△CHE，得到AF＝EH，由△ABE≌△AHE，得到BE＝EH，于是得到BC﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，从而得到（4）不正确． 【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD＝BCABCD，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE＝45°， ∵AH⊥DE， ∴△ADH是等腰直角三角形， ∴ADAH， ∴AH＝AB＝CD， ∵△DEC是等腰直角三角形， ∴DECD， ∴AD＝DE， ∴∠AED＝67.5°， ∴∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠AEH＝∠AEB， 所以（1）结论正确； （2）设DH＝1， 则AH＝DH＝1，AD＝DE， ∴HE＝DE﹣DH1， ∴2HE＝2（1）＝4﹣21， 所以（2）结论不正确； （3）∵∠AEH＝67.5°， ∴∠EAH＝22.5°， ∵DH＝CD，∠EDC＝45°， ∴∠DHC＝67.5°， ∴∠OHA＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠OAH＝∠OHA＝22.5°， ∴OA＝OH， ∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°， ∴OH＝OE＝OA， ∴OHAE， 所以（3）正确； （4）∵AH＝DH＝CD＝CE， 在△AFH与△CHE中， ， ∴△AFH≌△CHE（ASA）， ∴AF＝EH， 在Rt△ABE与Rt△AHE中， ， ∴△ABE≌△AHE（AAS）， ∴BE＝EH， ∴BC﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH， 所以（4）不正确， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 5．（2024•菏泽二模）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（　　） （1）DC＝3OG；（2）OGBC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOES矩形ABCD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG＝AG＝GEAE，再根据等边对等角可得∠OAG＝30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE＝60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（3）正确；设AE＝2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB＝3a，从而判断出（1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确． 【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点， ∴OG＝AG＝GEAE， ∵∠AOG＝30°， ∴∠OAG＝∠AOG＝30°， ∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°， ∴△OGE是等边三角形，故（3）正确； 设AE＝2a，则OE＝OG＝a， 由勾股定理得，AOa， ∵O为AC中点， ∴AC＝2AO＝2a， ∴BCAC2aa， 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB3a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝3a， ∴DC＝3OG，故（1）正确； ∵OG＝a，BCa， ∴OGBC，故（2）错误； ∵S△AOEa•aa2， SABCD＝3a•a＝3a2， ∴S△AOESABCD，故（4）正确； 综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边更容易理解． 6．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①只要证明OC＝OE，OC＝OF即可． ②首先证明∠ECF＝90°，若EC＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误， ③利用勾股定理可得EF＝13，推出OC＝6.5，故③错误． ④根据矩形的判定方法即可证明． 【解答】解：∵MN∥CB， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠ACF ∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF， ∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF， ∴OC＝OE＝OF，故①正确， ∵∠BCD＝180°， ∴∠ECF＝90°， 若EC＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误， ∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5， ∴EF13， ∴OCEF＝6.5，故③错误， ∴OE＝OF，OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 故选：C． 【点评】本题考查矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（2024春•宽城区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3．点E、F分别在边AD、BC上（点E不与A、D重合）且AF∥CE，DP⊥AF于点P，交CE于点Q，BM⊥CE于点M，交AF于点N．给出下面四个结论：①AC＝5；②DQ＝CM；③四边形PQMN是矩形；④AC平分四边形PQMN的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　． 【分析】由勾股定理判断①，由反证法判断②，由矩形定义判断③，由三角形全等判断④即可． 【解答】解：①AC5，故①正确； ②若DQ＝CM，则有△CQD≌△BMC，推出BC＝DC，与已知矛盾，故②错误； ③AE∥CF，DP⊥AF，BM⊥CE，四个角都是直角，是矩形，故③正确； ④∵∠ADP+∠PDC＝90°，∠DCE+∠PDC＝90°， ∴∠ADP＝∠DCQ， 在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴∠DAP＝∠BCM， ∵∠APD＝∠CMB， ∴△APD≌△CMB（AAS）， ∴AP＝CM， 如图，设PQ、MN分别交AC于点J、K， ∵AF∥CE， ∴∠PAJ＝∠MCK， 又∵∠APD＝∠CMB， ∴△APJ≌△CMK（ASA）， ∴PJ＝MK， ∵四边形PQMN是矩形， ∴PQ＝MN，PN＝QM， ∴AC平分四边形PQMN的周长， 故④正确； 正确的序号为①③④． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 8．（2024•益阳二模）如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：①ED平分∠AEC；②；③HE＝DF；④AB＝FH．其中正确的结论有 　 　个． 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，证出AE＝AD，证明△ABE≌△AHD，可得BE＝DH，求出∠ADE＝∠AED＝∠CED＝67.5°，从而判断出①正确；求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确；求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，证明△BEH≌△HDF，可得BH＝HF，判断出③正确；判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴AE＝AD， 在△ABE和△AHD中， ， ∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴B E＝D H， ∴AB＝BE＝AH＝HD， ∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠CED， ∴ED平分∠AEC，故①正确； ∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB， ∴∠OHE＝∠AED， ∴OE＝OH， ∵∠OHD＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠OHD＝∠ODH， ∴OH＝OD， ∴OE＝OD＝OH， ，故②正确； ∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠EBH＝∠OHD， 又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°， 在△BEH和△HDF中， ， ∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确； ∵AB＝AH，∠BAE＝45°， ∴△ABH不是等边三角形， ∴AB≠BH， ∴即AB≠HF，故④错误； ∴①②③是正确的. 故答案为：3． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 9．（2024秋•商河县月考）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④S△AOE：S△BCF＝1：2．其中正确结论的序号是 　 　． 【分析】①根据已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF与△CBF关于直线BF对称，进而求得FB⊥OC，OM＝CM； ③先证得∠ABO＝∠OBF＝30°，再证得OE＝OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形； ②由菱形的性质和线段垂直平分线的性质得△EOB≌△FOB≌△FCB，即可得出结论． ④设S△EGO＝x，则S△AOE＝2x，S△BCF＝S△BOF＝4x，即可得出结论． 【解答】解：如图，连接OD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AC、BD互相平分，∠BCD＝90°， ∵O为AC中点， ∴BD也过O点， ∴OB＝OC， ∵∠COB＝60°，OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°， 在△OBF与△CBF中， ， ∴△OBF≌△CBF（SSS）， ∴△OBF与△CBF关于直线BF对称， ∴FB⊥OC，OM＝CM，故①正确； ∵∠OBC＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∵△OBF≌△CBF， ∴∠OBM＝∠CBM＝30°，∠BOF＝∠BCF＝90°， ∴∠ABO＝∠OBF，BD⊥EF， ∵AB∥CD， ∴∠OCF＝∠OAE， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴BD⊥EF， ∴平行四边形EBFD是菱形，故③正确， 由四边形EBFD是菱形，得△EOB≌△FOB， 由①可知BF是OC的垂直平分线，则有△FOB≌△FCB， ∴△EOB≌△FOB≌△FCB， ∴△EOB≌△CMB错误．故②错误； ④∵四边形ABCD是矩形，四边形EBFD是菱形， ∴OA＝OC，∠COF＝∠AOE，OF＝OE， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴S△AOE＝S△COF， ∵S△COF＝2S△CMF， ∵∠FCO＝30°， ∴FMCM，BMCM， ∴， ∴S△FOM：S△BOF＝1：4， ∵∠OGE＝∠OMF，∠GOE＝∠MOF，OE＝OF， ∴△GEO≌△MFO（AAS）， ∴S△GEO＝S△MFO， ∴S△DEF＝S△EFB＝2S△BOF， 设S△EGO＝x，则S△AOE＝2x，S△BCF＝S△BOF＝4x， ∴S△AOE：S△BCF＝2x：4x＝1：2，故④正确； 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型三 菱形中的多结论问题 1．（2024秋•招远市期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法： ①四边形ABCD是平行四边形； ②AB＝BC； ③AC⊥BD ④AC平分∠BAD； ⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是菱形，即可得出结论． 【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵AD＝DC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确， ∵AC＝6，BD＝8， ∴菱形ABCD的面积AC×BD6×8＝24，故⑤正确； 正确的个数有5个， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 2．（2024春•绥滨县期末）如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE：AB＝4：5，则下列结论：①DE＝8cm；②BE＝4cm；③BD＝4cm；④AC＝8cm；⑤S菱形ABCD＝80cm2，正确的有（　　） A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【分析】由菱形的性质可求得菱形的边长，结合DE：AB＝4：5可判断①；在Rt△ABE中由勾股定理可求得AE，则可求得BE，可判断②；在Rt△BDE中由勾股定理可求得BD，可判断③；由菱形的对角线互相平分，可求得BO，在Rt△AOB中可求得AO，可求得AC，可判断④；根据求得的AC和BD可求得菱形的面积，可判断⑤，可得出答案． 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40cm， ∴AB4cm＝10cm， ∵DE：AB＝4：5， ∴DE＝8cm， 故①正确； ∵DE⊥AB，且AD＝10cm，DE＝8cm， ∴AE6（cm）， ∴BE＝AB﹣AE＝10cm﹣6cm＝4cm， 故②正确； ∵DE＝8cm，BE＝4cm， ∴BD4（cm）， 故③正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴BOBD＝2cm，且AC⊥BD， ∴AO4（cm）， ∴AC＝2AO＝8cm， 故④正确； ∴S菱形ABCDAC•BD8480（cm2）， 故⑤正确； ∴正确的为①②③④⑤， 故选：D． 【点评】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直且平分是解题的关键．注意菱形面积公式的应用． 3．（2024•沙县一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（　　） ①△DEF的周长是△ABC周长的一半； ②AE与DF互相平分； ③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等； ④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据三角形中位线定理即可解决问题； ②根据三角形中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，进而可以解决问题； ③证明四边形ADEF是矩形，进而可以解决问题； ④证明四边形ADEF是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题． 【解答】解：①∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点， ∴EFAB，DF，DEAC， ∴EF+DF+DE（AB+BC+AC）， ∴△DEF的周长是△ABC周长的一半，故①正确； ②∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点， ∴DE∥AC，DF∥∥BC， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴AE与DF互相平分，故②正确； ③∵∠BAC＝90°，四边形ADEF是平行四边形， ∴四边形ADEF是矩形， ∴AE＝DF，OA＝OE＝OD＝OF， ∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等，故③正确； ④∵AB＝AC， ∴AD＝AF， ∵四边形ADEF是平行四边形， ∴四边形ADEF是菱形， ∴AE，DF是菱形两组对角的平分线， ∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故④正确． 综上所述：正确的是①②③④，共4个， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理． 4．（2024春•茌平区期末）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论： ①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④∠ACD＝∠DCE， 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由△ABC、△DCE是等边三角形，可求出∠ACD＝60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断四边形ACED是菱形，即③正确，继而判定④正确． 【解答】解：∵△ABC、△DCE是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝CD， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AD＝AC＝BC，故①正确； 由①可得AD＝BC， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BD、AC互相平分，故②正确； 由①可得AD＝AC＝CE＝DE， 故四边形ACED是菱形，即③正确； ∵四边形ACED是菱形， ∴∠ACD＝∠DCE；故④正确． 故选：D． 【点评】本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定．解答本题的关键是先判断出△ACD是等边三角形． 5．（2024秋•城阳区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④，其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据菱形的性质和∠A＝60°，可知△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BFD＝∠DEB＝90°，∠GDB＝∠GBD＝30°，即可判断①选项；根据SSS可证△CDG≌△CBG，根据全等三角形的性质可得∠DGC＝∠BGC＝60°，再根据含30°角的直角三角形的性质可判断②选项；根据△GBC为直角三角形，可知CG＞BC，进一步可知CG≠BD，即可判断③选项；根据勾股定理可得DEAB，再根据三角形面积的求法即可判断④选项． 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠A＝60°， ∴∠BCD＝∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形， ∴∠ADB＝∠ABD＝60°，∠CDB＝∠CBD＝60°， ∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴∠BFD＝∠DEB＝90°， ∴∠GDB＝∠GBD＝30°， ∴∠GDC＝∠GBC＝90°，DG＝BG， ∴∠BGD＝180°﹣30°﹣30°＝120°， 故①选项正确； 在△CDG和△CBG中， ， ∴△CDG≌△CBG（SSS）， ∴∠DGC＝∠BGC＝60°， ∴∠GCD＝30°， ∴CG＝2GD， ∵DG＝BG， ∴CG＝DG+BG， 故②选项正确； ∵△GBC为直角三角形， ∴CG＞BC， ∴CG≠BD， ∴△BDF与△CGB不全等， 故③选项错误； ∵BEAB，BD＝AB，∠DEB＝90°， 根据勾股定理，得DEAB， ∴S△ABD， 故④选项正确， 故正确的有①②④， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 6．如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE；③EM＝BC；④AE+BMEM．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝30°，再由三角形的外角性质得∠BFE＝80°，则∠EBF＝50°，然后证△CDE≌△CBE（SAS），得∠DEC＝∠BEC＝50°，进而得出①正确；由SAS证△ADE≌△ABE，得②正确；证出△BEM≌△EBC（AAS），得BM＝EC，EM＝BC，③正确；连接BD交AC于O，由菱形的性质得AC⊥BD，再由直角三角形的性质得ODCDBC，OCOD，则OCBC，进而得出④正确即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°， ∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE∠BCD＝30°， ∵∠BFE＝∠BCE+∠CBF＝30°+50°＝80°， ∴∠EBF＝180°﹣∠BEC﹣∠BFE＝180°﹣50°﹣80°＝50°， 在△CDE和△CBE中， ， ∴△CDE≌△CBE（SAS）， ∴∠DEC＝∠BEC＝50°， ∴∠BEM＝∠DEC+∠BEC＝100°， ∴∠BME＝180°﹣∠BEM﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣50°＝30°，故①正确； 在△ADE和△ABE中， ， ∴△ADE≌△ABE（SAS），故②正确； ∵∠EBC＝∠EBF+∠CBF＝100°， ∴∠BEM＝∠EBC， 在△BEM和△EBC中， ， ∴△BEM≌△EBC（AAS）， ∴BM＝EC，EM＝BC，故③正确； 连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，AC⊥BD， ∵∠DCO＝30°， ∴ODCDBC，OCOD， ∴OCBC， ∴AC＝2OCBC， ∵BM＝EC，EM＝BC， ∴AE+BM＝AE+EC＝ACBCEM，故④正确， 正确结论的个数是4个， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 7．（2024春•龙湖区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD；其中正确的结论个数是　 　个． 【分析】证得△ABC是等边三角形，则可得∠B＝∠EAC＝60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE，可得∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，由外角性质可得∠FHC＝∠B，①②正确；由∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，③△ADO≌△ACH不正确；求出△ABC的面积AB2，得菱形ABCD的面积，④不正确；即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC， 即△ABC是等边三角形， ∴AB＝CA，∠EAC＝∠B＝60°， 同理：△ADC是等边三角形 ∴∠OAD＝60°， 在△ABF和△CAE中，， ∴△ABF≌△CAE（SAS）； ∴∠BAF＝∠ACE，EC＝AF， ∵∠FHC＝∠ACE+∠FAC＝∠BAF+∠FAC＝∠BAC＝60°， ∴∠FHC＝∠B， 故①正确，②正确； ∵∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC， 故③△ADO≌△ACH不正确； ∵△ABC是等边三角形，AB＝AC＝1， ∴△ABC的面积AB2， ∴菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积， 故④不正确； ∴正确的有①②两个 故答案为：2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动．给出以下四个结论： ①AE＝AF； ②∠CEF＝∠CFE； ③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形； ④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大． 上述结论中正确的序号有　 　．（把你认为正确的序号都填上） 【分析】根据菱形的性质对各个结论进行验证从而得到正确的序号． 【解答】解：∵点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动， ∴BE＝DF， ∵AB＝AD，∠B＝∠D， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE＝AF，①正确； ∴CE＝CF， ∴∠CEF＝∠CFE，②正确； ∵在菱形ABCD中，∠B＝60°， ∴AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴当点E，F分别为边BC，DC的中点时，BEAB，DFAD， ∴△ABE和△ADF是直角三角形，且∠BAE＝∠DAF＝30°， ∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°， ∴△AEF是等边三角形，③正确； ∵△AEF的面积＝菱形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△ADF的面积﹣△CEF的面积AB2BE•AB2（AB﹣BE）2BE2AB2， ∴△AEF的面积是BE的二次函数， ∴当BE＝0时，△AEF的面积最大，④错误． 故正确的序号有①②③． 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定． 9．如图，F是菱形ABCD的边AD的中点，AC与BF相交于E，EG⊥AB于G，已知∠1＝∠2，则下列结论：①AE＝BE；②BF⊥AD；③AC＝2BF；④CE＝BF+BG．其中正确的结论是　 　 ． 【分析】连接DB交AC于O，由菱形性质可得∠DAC＝∠CAB＝∠1，可得∠1＝∠2，可得AE＝BE，且EG⊥AB，可得AGAB，SAS可证△AEF≌△AEG，可判断①②；由△ABO≌△ABF可判断③；由∠DAC＝∠CAB＝∠2，可得∠DAC＝∠CAB＝∠2＝30°，可得BO＝BG，可证△BEO≌△BEG，可得EG＝EO，则CE＝CO+EO＝BF+EG可判断④． 【解答】解：连接DB交AC于O， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥CB，AD＝AB，AC⊥BD，AO＝CO，∠DAC＝∠CAB， ∴∠1＝∠DAC，∠1＝∠2， ∴∠CAB＝∠2， ∴AE＝BE， 故①正确； ∵AE＝BE，EG⊥AB， ∴AG＝GBAB， ∵F是AD中点， ∴AFAD， ∴AF＝AG， 在△AEF与△AEG中， ， ∴△AEF≌△AEG（SAS）， ∴∠AFE＝∠AEG＝90°， ∴BF⊥AD， 故②正确； 在△AFB与△ABO中， ， ∴△AFB≌△ABO（AAS）， ∴BF＝AOAC， ∴AC＝2BF， 故③正确； ∵∠2+∠CAB+∠CAD＝90°，∠2＝∠CAB＝∠CAD， ∴∠2＝∠CAB＝∠CAD＝30°， ∴BOAB＝BG， 在Rt△EGB与Rt△EOB中， ， ∴Rt△EGB≌Rt△EOB（HL）， ∴EG＝EO， ∴CE＝CO+EO＝BF+EG， 故④错误． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是灵活运用菱形的性质解决问题． 题型四 正方形中的多结论问题 1．（2024秋•松山区期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G．下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，∠AEB＝∠AFD．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△ADF，可得BE＝DF，可得CE＝CF，由等腰直角三角形的性质可得AC垂直平分EF，可判断①，由等腰直角三角形的性质可得EG＝GF，由角平分线的性质可得BE＝EG，可判断②，由全等三角形的性质可得∠DAF＝∠BAE＝15°，可证△AEF是等边三角形，可判断③，通过分别求出∠AEB，∠AEF的度数，可判断④，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°， ∵AB＝AD，AE＝AF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∴CE＝CF， 又∵∠ACD＝∠ACB＝45°， ∴AC垂直平分EF，故①正确； ∵CE＝CF，∠BCD＝90°，AC垂直平分EF， ∴EG＝GF， ∵BE＝DF， ∵EB⊥AB，EG⊥AC， ∴当AE平分∠BAC时，BE＝EG，即BE+DF＝EF，而题干中没有此条件，故②错误； ∵Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠DAF＝∠BAE＝15°， ∴∠EAF＝60°， 又∵AE＝AF， ∴△AEF是等边三角形，故③正确； ∵Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠AEB＝∠AFD，故④正确； 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，证明Rt△ABE≌Rt△ADF是本题的关键． 2．（2024春•随县期末）如图，在正方形ABCD中，点M，N分别为边CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①正确，证明△ADM≌△DCN（SAS），可得结论． ②③错误，利用反证法证明即可． ④正确，利用勾股定理求出AN，再利用直角三角形斜边中线的性质求出PQ，可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADM＝∠DCN＝90°， 在△ADM和△DCN， ， ∴△ADM≌△DCN（SAS）， ∴∠DAM＝∠CDN， ∵∠CDN+∠ADP＝90°， ∴∠ADP+∠DAM＝90°， ∴∠APD＝90°， ∴AM⊥DN，故①正确， 不妨假设∠MAN＝∠BAN， 在△APN和△ABN中， ， ∴△PAN≌△ABN（AAS）， ∴AB＝AP， 这与AP＜AD，AB＝AD，矛盾， ∴假设不成立，故②错误， 不妨假设△PQN≌△BQN， 则∠ANP＝∠ANB，同法可证△APN≌△ABN， ∴AP＝AB， 这与AP＜AD，AB＝AD，矛盾， ∴假设不成立，故③错误， ∵DM＝CN＝2，AB＝BC＝8， ∴BN＝6， ∵∠ABN＝90°， ∴AN10， ∵∠APN＝90°，AQ＝QN， ∴PQAN＝5．故④正确， ∴正确的有：①④，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用反证法解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 3．（2024春•遵义期中）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O点的射线OM，ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，BO，EF交于点P，则下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE+BFOA，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正方形的性质可证有四对全等三角形，可判断①选项；根据△AOE≌△BOF可判断②③选项，根据△BOE≌△COF可判断④选项，即可得出答案． 【解答】解：图形中全等的三角形有四对：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF； ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∵AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）； ∵点O为对角线AC的中点， ∴OA＝OC， 又∵OB＝OB，AB＝CB， ∴△AOB≌△COB（SSS）； ∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，∠BAO＝∠BCO＝45°， ∵AB＝CB，OA＝OC，∠ABC＝90°， ∴∠AOB＝90°，∠OBC＝45°， 又∵∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， ∵∠OAE＝∠OBF，OA＝OB， ∴△AOE≌△BOF（ASA）； 同理可证△BOE≌△COF（ASA）； 故①选项不符合题意； ∵△AOE≌△BOF， ∴OE＝OF， ∵∠EOF＝90°， ∴△EOF是等腰直角三角形， 故②选项符合题意； ∵△AOE≌△BOF， ∴四边形OEBF的面积＝△ABO的面积， ∵正方形ABCD的面积＝2△ABC的面积＝4△ABO的面积＝4四边形OEBF的面积， ∴③选项符合题意； ∵△BOE≌△COF， ∴BE＝CF， ∴BE+BF＝CF+BF＝BC＝ABOA， 故④选项符合题意， 故正确的有②③④， 故选：C． 【点评】本题考查了四边形的综合题，涉及全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等，本题综合性较强，难度较大． 4．（2024春•港北区期中）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于点F，交对角线BD于点G，取DG的中点H，连接AH，EH，FH．下列结论：①FH∥AE； ②AH＝EH且AH⊥EH；③∠BAH＝∠HEC；④△EHF≌△AHD．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①根据正方形对角线互相垂直、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可得结论； ②根据矩形的判定和性质、直角三角形的性质，证明三角形全等即可得结论； ③根据全等三角形性质、矩形的性质进行角的计算即可得结论； ④根据边边边证明三角形全等即可得结论． 【解答】解：①在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，∠ADB＝45°， ∵EF∥CD， ∴∠EFD＝90°， ∴四边形EFDC是矩形． 在Rt△FDG中，∠FDG＝45°， ∴FD＝FG， ∵H是DG中点， ∴FH⊥BD， ∵正方形对角线互相垂直，过A点只能有一条垂直于BD的直线， ∴AE不垂直于BD， ∴FH与AE不平行． 所以①不正确； ②∵四边形ABEF是矩形， ∴AF＝EB，∠BEF＝90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴BE＝GE， ∴AF＝EG． 在Rt△FGD中，H是DG的中点， ∴FH＝GH，FH⊥BD， ∴∠AFH＝∠AFE+∠GFH＝90°+45°＝135°， ∠EGH＝180°﹣∠EGB＝180°﹣45°＝135°， ∴∠AFH＝∠EGH， 在△AFH和△EGH中， ， ∴△AFH≌△EGH（SAS）， ∴AH＝EH，∠AHF＝∠EHG， ∴∠AHF+AHG＝∠EHG+∠AHG， 即∠FHG＝∠AHE＝90°， ∴AH⊥EH． 所以②正确； ③∵△AFH≌△EGH， ∴∠FAH＝∠GEH， ∵∠BAF＝CEG＝90°， ∴∠BAH＝∠HEC． 所以③正确； ④在△EHF和△AHD中， ， ∴△EHF≌△AHD（SSS）， 所以④正确． 所以其中正确有②③④，共3个， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题关键是得到△AFH≌△EGH，综合利用以上知识解决问题． 5．（2024•宜兴市模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC上的有一动点P，以DP为边作正方形DPFG．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；④△CDP为等腰三角形时，AP的值为2或44．其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④ 【分析】由“SAS”可证△DPH≌△FPC，可得∠PHD＝∠PCF＝135°，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由三角形的外角可得∠CPD不可能为135°，故②错误；由△DPN≌△DGE（SAS），可得EG＝PN，当NP⊥AC时，NP有最小值为，即EG有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得AP的值为或44或0，故④不正确，即可求解． 【解答】解：如图，连接CF，过点P作PH⊥PC交CD于H， ∵四边形ABCD和四边形DPFG是正方形， ∴PD＝PF，∠DPF＝∠HPC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°， ∴∠DPH＝∠CPF，∠PCH＝∠PHC＝45°， ∴PH＝PC，∠PHD＝135°， ∴△DPH≌△FPC（SAS）， ∴∠PHD＝∠PCF＝135°， ∴∠ACB+∠PCF＝180°， ∴点B，点C，点F三点共线，故①正确； ∵∠CPD＝∠CAD+∠ADP，∠CAD＝45°，∠CPD＝135°， ∴∠ADP＝90°， 则点P与点C重合， 此时∠CPD不存在，故②错误； 如图，取AD的中点N，连接PN， ∵点N是AD的中点，点E是CD中点， ∴AN＝DE＝DN＝2， ∵∠ADC＝∠PDG＝90°， ∴∠ADP＝∠GDE， 又∵DP＝DG， ∴△DPN≌△DGE（SAS）， ∴EG＝PN， ∵点P是线段AC上一点， ∴当NP⊥AC时，NP有最小值为， ∴EG有最小值为，故③正确； ∵AD＝CD＝4， ∴ACAD＝4， 当点P是AC中点时，AP＝PD＝PC＝2，则△PCD是等腰三角形， 当CP＝CD＝4时，△PCD是等腰三角形， ∴AP＝44， 当点P是AC起点A的时候，AP＝0，△PCD是等腰三角形， 故④不正确， 故选：C． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°下列三个结论：①当MNMC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变． 其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①先用勾股定理求得MC＝NC，则易得△ABM≌△ADN（SAS），再结合∠MAN＝45°，可得答案； ②将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，证明△EAN≌△MAN（SAS），再利用四边形内角和及邻补角关系，可证得结论； ③由△EAN≌△MAN，可得MN＝BM+DN，从而将△MNC的三边相加即可得答案． 【解答】解：①：∵正方形ABCD中，∠C＝90°， ∴MN， ∴MN2＝MC2+NC2． 当MNMC时， MN2＝2MC2， ∴MC2＝NC2 ∴MC＝NC． ∴BM＝DN 易证△ABM≌△ADN（SAS）． ∴∠BAM＝∠DAN， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAM＝22.5°，故①正确； ②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE， 则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°， 则在△EAN和△MAN中， ∴△EAN≌△MAN（SAS）， ∴∠AMN＝∠AED， ∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°， ∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°， ∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°， 故②正确； ③：∵△EAN≌△MAN， ∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN， ∴△MNC的周长为： MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC， ∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变． 综上①②③都正确． 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识点，本题具有一定的综合性，难度中等略大． 7．（2024秋•开原市月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，且不与A，C重合，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接ED，FG，①；②若，则DE＝2；③DE＝FG；④FG的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　 ． 【分析】由正方形的性质得∠B＝90°，AB＝BC＝4，由勾股定理求解，即可判断①；连接BD交AC于O，由正方形的性质得OE＝OA﹣AE，由勾股定理得，即可判断②；连接BE，由矩形的判定方法得四边形BGEF是矩形，由矩形的性质得BE＝FG，由SAS可判定△BCE≌△BCE，由全等三角形的性质即可判断③；当BE⊥AC时，BE的值最小，此时BE＝BO，即可判断④． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， AB＝BC＝4， ∴，故①正确； 如图1，连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OD⊥AC， OD＝OA， ∴OE＝OA﹣AE， ∴，故②不正确； 如图2，连接BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，BC＝DC，∠BCE＝∠DCE， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠BFE＝∠BGE＝90°， ∴四边形BGEF是矩形， ∴BE＝FG， 在△BCE和△DCE中 ， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴BE＝DE， ∴DE＝FG，故③正确； 当BE⊥AC时，BE的值最小， 此时BE＝BO， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴FG的最小值为；故④正确； 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，化为最简二次根式等；掌握相关的判定方法及性质，找出取得最值的条件是解题的关键． 8．（2024春•江阴市期中）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　 　 ． 【分析】如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到∠MEN＝90°，求得EM＝EN，根据全等三角形的性质得到EF＝DE，根据正方形的判定定理得到矩形DEFG是正方形，故②正确；根据正方形的性质得到DE＝DG，∠EDG＝∠ADC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DAE＝∠DCG＝45°，得到∠ACG＝90°是定值，故③错误；根据正方形的性质得到DE＝DG，AD＝DC，根据全等三角形的性质得到AE＝CG，求得E+CG＝CE+AE＝ACAB＝3是定值．故④正确． 【解答】 解：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形，故②正确； ∴DE＝DG，∠EDG＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∵AD＝CD， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故①正确； ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝90°是定值，故③错误； ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝3是定值．故④正确； 故答案为：①②④． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等． 9．（2024•青岛一模）如图，四边形ABCD是边长为4cm的正方形，点E在边CD上，DE＝1cm，作EF∥BC，分别交AC，AB于点G、F，M，N分别是AG，BE的中点，则下列5个结论中： ①点F、N、C共线；②；③AC⊥BE；④△MNC的面积为；⑤∠MEB＝45°．正确的是 　 　 （填写所有正确结论的序号）． 【分析】连接FM，FC，ME，MB，BD．四边形ABCD是正方形，EF∥BC．∠BAC＝45°，四边形BCEF为矩形，AC⊥BD，△AFG为等腰直角三角形，BE＝CF，证明△AMB≌△FME，N是FC中点，MN．点F、N、C共线，根据勾股定理求MN，用三角形面积公式计算三角形MNC，因为△BME是等腰直角三角形，∠BME＝90°，∠MEB＝45°． 【解答】解：连接FM，FC，ME，MB，BD． ∵四边形ABCD是正方形，EF∥BC． ∴∠BAC＝45°，四边形BCEF为矩形，AC⊥BD． （∴AC⊥BE是错误的，故③不符合题意）． ∴△AFG为等腰直角三角形，BE＝CF． ∵M是AG中点， ∴AM＝MG＝FM， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BAC＝∠AMF＝∠MFG＝∠MGF＝45°， ∴△AFM与△FMG为等腰直角三角形， ∴FM⊥AC， ∴△FMC是直角三角形， ∵四边形FBCE是矩形， ∴FE＝BC， ∵BC＝AB， ∴FE＝AB，∠BAC＝∠EFM＝45°，AM＝FM， ∴． ∴△AMB≌△FME（SAS）． ∴BM＝EM． ∵N是FC中点， ∴MN． （∴点F、N、C共线，故①正确，符合题意）， ∵DE＝1，BC＝DC＝4， ∴CE＝3，BE＝FC． ∴MNFC． （MN，故②正确，符合题意）， 在△FMC中，N是FC中点， ∴S△MFN＝S△MNCS△FMC． 在Rt△ABC中，AC4，MC． ∴S△MNC． （故④正确，符合题意）， ∵BM＝EM，MNFC， ∵FC＝BE， ∴MN，点N是BE中点， ∴△BME是等腰直角三角形，∠BME＝90°， ∴∠MEB＝45°， （故⑤正确，符合题意）， 综上所述：正确的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 【点评】本题考查了正方形的性质，解题关键在于读懂题意，掌握正方形的性质以及全等三角形的性质． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$