专题 平行四边形中的最值问题（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北京版）

（北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 专题 平行四边形中的最值问题 题型一 与平行四边形有关的最值问题 【例题1】（2024春•溧水区期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 　 　． 【分析】当PQ⊥OA时，PQ最短，利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答即可． 【解答】解：∵四边形PBQO是平行四边形， ∴PH＝HQ，OH＝HB， 当PQ⊥OA时，PQ最短， ∵∠AOB＝30°，OB＝4， ∴OH＝2， ∴PQ＝2PH＝2， 故答案为：2． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答． 【变式1-1】（2024春•乐平市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝8，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（　　） A．4 B．2 C．8 D．4 【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′，从而求解． 【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示： 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝8， ∴AC＝8， ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴OA＝OCAC＝4， ∴OP′＝2， 当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小， ∴PQ的最小值＝2OP′＝4． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是得到当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小． 【变式1-2】（2024春•惠安县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（　　） A．6 B．8 C．2 D．4 【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形， ∴AO＝CO，OP＝OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP′⊥AB与P′， ∵∠BAC＝45°， ∴△AP′O是等腰直角三角形， ∵AOAC＝4， ∴OP′AO＝2， ∴PQ的最小值＝2OP′＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线等腰直角三角形． 【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，AB＝4，AD＝5，过对角线中点O的直线分别交AD，BC于E，F点，当四边形CDEF的周长最小时，AE的值是（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD＝AB＝4，AD＝BC＝5．再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≌△COF．根据全等三角形的性质得CF＝AE，故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD，可得EF⊥AD时，四边形CDEF的周长最小，进一步求得AE的值． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝5，OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴CF＝AE， 故四边形EFCD的周长＝CD+EF+AD， 当EF⊥AD时，四边形CDEF的周长最小， 过C点作CG⊥AD于D， ∵∠D=60°， ∴∠DCG=30°， ∴DGCD＝2， ∴AG＝AD﹣DG＝5﹣2＝3， ∴AEAG． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键． 【变式1-4】（2024秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】因为不论怎么变化MN始终是△AEF的中位线，MNAE这个等量关系不发生变化，当AE最小时，MN就最小，根据垂线段最短性质知，当AE⊥BC时，AE取最小值，求出此时的AE便可． 【解答】解：∵点M，N分别是AF，EF的中点． ∴MNAE， 当AE⊥BC时，AE的值最小，此时MN取最小值， ∵四边形ABCD是平行四边形中，AB∥CD，∠BCD＝120°， ∴∠B＝60°， ∵AE⊥BC， ∴∠BAE＝30°， ∴BEAB＝1， ∴AE， ∴， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短定理，关键是运用垂线段最短性质求得AE的最小值． 【变式1-5】（2024春•雁塔区校级月考）在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（　　） A． B．3 C．2 D．2 【分析】由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求FC，AN，EN，AE的长，即可求解． 【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点N作NE⊥AD于E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠D＝60°， ∵CF⊥AB，AN⊥CD， ∴AN∥CF，∠BCF＝30°， ∴四边形AFCN是平行四边形，BFBC＝2，CFBF＝2， ∴AN＝CF＝2， ∵AN⊥CD，∠D＝60°， ∴∠NAD＝30°， ∴ENAN，AEEN＝3， ∵AM⊥BC，NE⊥AD， ∴AM∥EN， ∴当MN⊥EN时，MN有最小值为3， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式1-6】（2024•瑶海区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，ABAD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD＝2，则PE+PB的最小值为（　　） A．2 B．2 C． D．2 【分析】如图，作点E关于AD的对称点E′，连接AE′，BE′，BE′交AD于点P，连接PE，此时PE+PB的值最小．利用勾股定理求出BE′，可得结论． 【解答】解：如图，作点E关于AD的对称点E′，连接AE′，BE′，BE′交AD于点P，连接PE，此时PE+PB的值最小． ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵ABAD， ∴∠DAB＝45°， ∴AD＝BD＝2，AB＝2， ∵AE＝EB，E，E′关于AD对称， ∴∠PAE′＝∠PAE＝45°，AE′＝AE， ∴BE′， ∴PE+PB的最小值＝PB+PE′＝BE′， 故选：C． 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 【变式1-7】（2024春•九江期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝8，AB＝4，点H、G分别是边CD，BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C． D．2 【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD＝90°，求出AC＝4、AN＝2；然后由三角形中位线定理，可得EFAG，最后求出AG的最大值和最小值即可． 【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N. ∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°， ∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝4， ∴AM＝DM＝DC＝4， ∴△CDM是等边三角形， ∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC， ∴∠MAC＝∠MCA＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∴AC＝4， 在Rt△ACN中，AC＝4，∠ACN＝∠DAC＝30°， ∴ANAC＝2， ∵AE＝EH，GF＝FH， ∴EFAG， ∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长， ∵AG的最大值为4，最小值为2， ∴EF的最大值为2，最小值为， ∴EF的最大值与最小值的差为2． 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，正确添加辅助线和证得∠ACD＝90是解答本题的关键． 【变式1-8】（2024•榆林模拟）如图，在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2．点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点．连接PD并延长，使DE＝PD．以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值 　 　． 【分析】根据直角三角形的性质得出AB＝4，进而利用直角三角形的性质和平行四边形的性质解答即可． 【解答】解：∵AC＝2，BC＝2，∠ACB＝90°， ∴AB＝4， ∵D是AC的中点， ∴AD＝DC， ∵PD＝DE， ∴PE＝2PD， 当P为AB的中点时，此时PQ⊥AB，对角线PQ最小， ∴2PD＝BC＝2， ∴PE＝2， ∴2PC＝AB＝4， ∴PC＝2， ∴平行四边形PEQC是菱形， ∴PQ＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，题中主要涉及直角三角形的性质的计算问题，应熟练掌握此类问题并能够求解． 【变式1-9】（2024秋•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为 　 ． 【分析】过点P作PH⊥AD交于点H，在AD上取一点M，使得AM＝BQ＝4，连接PM，BQ．求出PM，MQ．可得结论． 【解答】解：过点P作PH⊥AD交于点H，在AD上取一点M，使得AM＝BQ＝4，连接PM，BQ． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AM＝BQ， ∴四边形ABQM是平行四边形， ∴MQ＝AB＝6， ∵PD＝PA＝10，PH⊥AD， ∴DH＝AH＝6， ∴PH8， ∴HM＝AH＝AM＝6﹣4＝2， ∴PM2， ∴PQ≥PM﹣MQ＝26， ∴PQ的最小值为26． 故答案为：26． 【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 【变式1-10】如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P，Q分别是AC，BC上的动点，在P，Q运动过程中，PB+PQ的最小值是 　 　． 【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于E，则BE的长即为PB+PQ的最小值． 【解答】解：取BC的中点G，连接AG． ∵AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°， ∴△ABG是等边三角形， ∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°， ∴∠GAC＝∠GCA＝30°， ∴∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于E，则BE的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短）， ∵作点B关于AC的对称点F，即BC＝BF，∠AGB＝∠BAG＝60°， ∴△BCF是等边三角形，BE4＝2， ∴BP+PQ的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型二 与矩形有关的最值问题 【例题2】（2021•内江模拟）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝ODBD＝6，由等腰三角形的性质可求∠OAD＝∠ODA＝30°，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝ODBD＝6， ∵∠BOC＝120°＝∠AOD， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， 当OP⊥AD时，OP有最小值， ∴OPOD＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是本题的关键． 【变式2-1】（2022春•永春县期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，AB＝6，BC＝2．当B在边ON上运动时（点B与O不重合），A随之在OM上运动．点E在AB边上，AE＝2EB，四边形OADE的面积为，则OA+OB的值等于（　　） A．7 B． C．8 D．8.5 【分析】由面积关系可求OA×OB＝14，由勾股定理可求36＝AO2+BO2，即可求解． 【解答】解：如图， ∵AB＝6，AE＝2BE， ∴AE＝4，BE＝2， ∴S△AEDAD×AE4×2＝4， ∵四边形OADE的面积为， ∴S△AOE， ∵AE＝2BE， ∴S△AOB＝7， ∴OA×OB＝7， ∴OA×OB＝14， ∵AB2＝AO2+BO2， ∴36＝AO2+BO2， ∴（AO+BO）2＝36+28， ∴AO+BO＝8（负值舍去）， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，求出OA×OB＝14是解题的关键． 【变式2-2】（2024春•靖江市校级月考）如图，矩形ABCD中，CD＝5，BC＝12，点P为对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则线段EF长的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 【分析】作CG⊥BD于点G，连接PC，可证明四边形PECF是矩形，所以EF＝CP，则∠ECF＝90°，CD＝5，BC＝12，求得BD＝13，由S△BCD13CG5×12，求得CG，由CP≥CG，得EF，则EF的最小值为，于是得到问题的答案． 【解答】解：作CG⊥BD于点G，连接PC， ∵四边形ABCD是矩形，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F， ∴∠ECF＝∠PEC＝∠PFC＝90°， ∴四边形PECF是矩形， ∴EF＝CP， ∵CD＝5，BC＝12， ∴BD13， ∴S△BCD13CG5×12， ∴CG， ∵CP≥CG， ∴EF， ∴EF的最小值为， 故选：B． 【点评】此题重点考查矩形的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式2-3】（2024春•灌南县期中）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为 　 　． 【分析】先由矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝ODBD＝6，再由等腰三角形的性质可求∠OAD＝∠ODA＝30°，然后由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝12， ∴OA＝OB＝OC＝ODBD＝6， ∵∠BOC＝120°＝∠AOD， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， 当OP⊥AD时，OP有最小值， ∴OPOD＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识；掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式2-4】（2024秋•南安市期末）如图，点P是长方形ABCD内部的一个动点，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面积等于30，则点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值是 　 ． 【分析】首先证明动点P在与CD平行且与CD的距离是3的直线l上，过点B作直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点P，B′C的长就是所求的最短距离． 【解答】解：设△BPC中BC边上的高是h． ∵S△PBC＝30，BC＝15， ∴•BC•h＝30， ∴h＝4， ∴动点P在与CD平行且与CD的距离是4的直线l上， 过点B作直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点P，B′C的长就是所求的最短距离， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵BC＝15，B′B＝15， ∴B′C15， 故答案为：15． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 【变式2-5】如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为 　　 ． 【分析】由题知，当E点与D点重合时GH最长，设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，根据勾股定理计算出x的值即可． 【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长， 设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x， 由勾股定理得，HC2+CE2＝HE2， 即（10﹣x）2+62＝x2， 解得x＝6.8， 故答案为：6.8． 【点评】本题主要考查图形的翻折，矩形的性质以及勾股定理的知识，确定当D点与E点重合时GH最长时解题的关键． 【变式2-6】（2024春•余杭区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且四边形EFGH为平行四边形，则平行四边形EFGH周长的最小值为（　　） A．4 B．8 C．4 D．8 【分析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′＝AB，GG′＝AD，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值． 【解答】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时EF+FG最小，即四边形EFGH周长最小，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝D＝90°，AD＝BC， 又∵四边形EHGF为平行四边形， ∴EH＝FG， ∵AE′∥GC，EH∥GE′， ∴∠E′＝∠FGC，∠E′＝∠AEH， ∴△AEH≌△CGF（AAS）， ∴AE＝CG， ∵AE＝CG，BE＝BE′， ∴E′G′＝AB＝8， ∵GG′＝AD＝4， ∴E′G4， ∴C四边形EFGH＝2E′G＝8． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称中的最短路线问题以及矩形的性质，找出四边形EFGH周长取最小值时点E、F、G之间为位置关系是解题的关键． 【变式2-7】（2024春•沭阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．2 【分析】取BC中点O，连接OE，OF，根据矩形的性质可求OC，CF的长，根据勾股定理可求OF的长，根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，EF有最大值，即EF＝OE+OF． 【解答】解：如图，取BC中点O，连接OE，OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠BCD＝90°， ∵点F是CD中点，点O是BC的中点， ∴CF＝3，CO＝4， ∴OF5， ∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点， ∴OE＝OC＝4， ∵根据三角形三边关系可得：OE+OF＞EF， ∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为OE+OF＝4+5＝9． 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点O，点E，点F共线时，EF有最大值是本题的关键． 【变式2-8】（2024春•仪征市期中）如图，矩形ABCD的边AB＝7，BC＝3，点E在边AB上，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接CG，则CG的最小值为（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】由旋转的性质可得AE＝HE，AF＝HG，∠A＝∠H＝∠AEH＝90°，则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，即当HG＝AD＝3时，GC有最小值，由勾股定理可求解． 【解答】解：将△AEF绕点E顺时针旋转90°得到△HEG，延长HG交BC于点N， ∴AE＝HE，AF＝HG，∠A＝∠H＝∠AEH＝90°， ∴HG∥HN， 则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动， ∴当HG＝AD＝3时，GC有最小值， ∵∠HEB＝∠B＝∠EHN＝90°， ∴四边形EHNB是矩形， ∴HE＝BN＝1，BE＝HN＝6， ∴CN＝2，GN＝3， ∴CG， 故选D． 【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，确定点G的轨迹是解题的关键． 【变式2-9】（2024春•邯郸期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为 　 　． 【分析】连接AP、EF，依据PE⊥AB，PF⊥AD，∠A＝90°，可得四边形AEPF为矩形，借助矩形的对角线相等，将求EF的最小值转化成AP的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求Rt△BAD斜边上的高，利用面积法即可得解． 【解答】解：如图，连接AP、EF， ∵PE⊥AB，PF⊥AD， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°． ∴四边形AEPF为矩形． ∴AP＝EF． ∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值． ∵点P从B点沿着BD往D点移动， ∴当AP⊥BD时，AP取最小值． 下面求此时AP的值， 在Rt△BAD中， ∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8， ∴BD10． ∵S△ABDAB•ADAP•BD， ∴AP． ∴EF的长度最小为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用． 题型三 与菱形有关的最值问题 【例题3】如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝6，CE＝4，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（　　） A．4 B．6 C．2 D．4 【分析】先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值． 【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE＝CG＝4， 连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°， ∴Rt△BHC中，BH＝CHBC＝6， ∴HG＝6﹣4＝2， ∴Rt△BHG中，BG2， ∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短）， ∴PE+PF的最小值是2． 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质和轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是得到PE+PF的最小值为BG的长度． 【变式3-1】如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形．当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是（　　） A．8 B．10 C．10.4 D．12 【分析】由矩形和菱形的性质可得AE＝EC，∠B＝90°，由勾股定理可求AE的长，即可求四边形AECF的周长． 【解答】解：如图所示，此时菱形的周长最大， ∵四边形AECF是菱形 ∴AE＝CF＝EC＝AF， 在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2， ∴AE2＝1+（5﹣AE）2， ∴AE＝2.6 ∴菱形AECF的周长＝2.6×4＝10.4 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长度是本题的关键． 【变式3-2】（2024秋•南关区校级期中）如图，E是▱ABCD的BC边的中点，P是对角线AC上一点．若BC＝CD＝2，∠DCB＝60°，则PB+PE的最小值是（　　） A．1 B．2 C． D．4 【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝CD＝2， ∴▱ABCD是菱形， 连接BD，交AC于O，连接DE交AC于P， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD＝PB， ∴PE+PB＝PE+PD＝DE， 即DE就是PE+PB的最小值． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DCB＝∠DAB＝60°，DC＝BC＝2， ∴△DCB是等边三角形， ∵BE＝CE＝1， ∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）． 在Rt△ADE中，DE． 即PB+PE的最小值为． 故选：C． 【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键． 【变式3-3】（2024•花都区二模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BOBD＝3，OCAC＝4，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥AB时，OP有最小值，由面积法可求解． 【解答】解：连接OP，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴AC⊥BD，BOBD＝3，AOAC＝4， ∴AB＝5， ∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD， ∴四边形OEPF是矩形， ∴FE＝OP， ∵当OP⊥AB时，OP有最小值， 此时S△OBCOB×OAAB×OP， ∴OP＝2.4， ∴EF的最小值为2.4， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键． 【变式3-4】（2024春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ADC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A．4 B．8 C．8 D．4+4 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD， ∵菱形ABCD中，∠ADC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME， ∵MD＝MB， ∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE， 根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为8， ∴DE4， ∴2DE＝8． ∴MA+MB+MD的最小值是8． 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 【变式3-5】（2024春•鼓楼区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC＝60°，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的最小值即可． 【解答】】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小． ∵AH＝EF，AH∥EF， ∴四边形EFHA是平行四边形， ∴EA＝FH， ∵FA＝FC， ∴AE+AF＝FH+CF＝CH， ∵菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60°， ∴AC＝AB＝3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AH∥DB， ∴AC⊥AH， ∴∠CAH＝90°， 在Rt△CAH中，CH， ∴AE+AF的最小值， 故选：D． 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 【变式3-6】（2024春•惠民县期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（　　） A．2+2 B．4 C．4 D．6 【分析】连接DE．因为BE的长度固定，所以要使△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小即可． 【解答】解：连接DE． ∵BE的长度固定， ∴要使△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小即可， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC与BD互相垂直平分， ∴P′D＝P′B， ∴PB+PE的最小长度为DE的长， ∵菱形ABCD的边长为4，E为BC的中点，∠DAB＝60°， ∴△BCD是等边三角形， 又∵菱形ABCD的边长为4， ∴BD＝4，BE＝2，DE＝2， ∴△PBE的最小周长＝DE+BE＝22， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【变式3-7】（2024•槐荫区一模）如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8，，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD，连接PE，取AD的中点O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段OE的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D． 【分析】连接ED，由菱形的性质及AC＝8，，得出AF＝4，DF＝4，AC⊥BD，BA＝DA，由勾股定理求出AD＝8，进而得出∠ADB＝∠ABD＝30°，证明△BAP≌△DAE，得出∠ADE＝30°，进而得出当OE⊥DE时，OE的值最小，求出此时OE的长度即可． 【解答】解：如图，连接ED， ∵四边形ABCD是菱形，且AC＝8，， ∴AFAC＝4，DFBD＝4，AC⊥BD，BA＝DA， ∴AD8， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°， 将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD， ∴AP＝AE， ∴∠BAP＝∠DAE， 在△BAP和△DAE中， ， ∴△BAP≌△DAE（SAS）， ∴∠ADE＝∠ABP＝30°， ∴DE是满足∠ADE＝30°的线段， 当OE⊥DE时，OE的值最小， ∵O是AD的中点， ∴ODAD8＝4， ∴OEOD4＝2， ∴在点P的运动过程中，线段OE的最小值为2， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找出全等的三角形，证明∠ADE＝30°是解决问题的关键． 【变式3-8】（2024•安徽一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是（　　） A． B． C． D．2 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可． 【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时， 过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， ∴∠FMD＝30°， ∴FDMD， ∴FM＝DM×， ∴MC， ∴A′C＝MC﹣MA′1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键． 【变式3-9】如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是边AD、CD上的动点，且AE+CF＝4，连接BE、EF、FB． （1）证明：BE＝BF； （2）求△BEF面积的最小值． 【分析】（1）由在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，易得△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，继而证得△BDE≌△BCF（SAS），则可证得结论； （2）由△BDE≌△BCF，易证得△BEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点D或点A时，BE的最大，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小，此时△BEF的面积最小． 【解答】解：（1）BE＝BF，证明如下： ∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD＝4， ∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形， ∵AE+CF＝4， ∴CF＝4﹣AE＝AD﹣AE＝DE， 又∵BD＝BC＝4，∠BDE＝∠C＝60°， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（SAS）， ∴BE＝BF； （2）∵△BDE≌△BCF， ∴∠EBD＝∠FBC， ∴∠EBD+∠DBF＝∠FBC+∠DBF， ∴∠EBF＝∠DBC＝60°， 又∵BE＝BF， ∴△BEF是正三角形， ∴EF＝BE＝BF， 当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为2， 此时△BEF的面积为•（2）2＝3． 【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△BDE≌△BCF是解此题的关键． 题型四 与正方形有关的最值问题 【例题4】（2024春•海州区校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C．3 D．2 【分析】连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MCBC＝3，即可得出结果． 【解答】解：连接MC，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，∠DBC＝45°， ∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F ∴四边形MECF为矩形， ∴EF＝MC， 当MC⊥BD时，MC取得最小值， 此时△BCM是等腰直角三角形， ∴MCBC3， ∴EF的最小值为3； 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键． 【变式4-1】（2024春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝2，则EF的长的最小值为（　　） A．2 B．1 C． D． 【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解． 【解答】解：如图，连接OP、EF， ∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F， ∴四边形OEPF为矩形， ∴EF＝OP， ∴EF最小时OP最小， 当OP⊥BC于P的时候OP最小， 而当OP⊥BC时，P为BC的中点， ∴OPBC， ∵AC＝2， 则BC＝2， ∴OP＝1， ∴EF的长的最小值为1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题． 【变式4-2】（2024秋•长丰县校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E在BC边上，且BE＝3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作正方形EFGH，且点H在矩形ABCD内，连接CH，则CH的最小值为（　　） A．3 B．4 C． D． 【分析】过点H作HM⊥BC于点M，过H点作PQ∥BC，分别与AB、CD交于点P、点Q，证明△AEF≌△MHE，得BE＝MH＝3，BF＝ME，设BF＝x，根据勾股定理用x表示CH，再解析式特点求得CH的最小值． 【解答】解：过点H作HM⊥BC于点M，连接CH， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EF＝HE，∠FEH＝90°， ∴∠BEF+∠MEH＝∠MEH+∠MHE＝90°， ∴∠BEF＝∠MHE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°＝∠EMH， ∴△BEF≌△MHE（AAS）， ∴BE＝HM＝3，BF＝EM， 设BF＝EM＝x，则CM＝BC﹣BE﹣EM＝8﹣3﹣x＝5﹣x， ∴CH， ∵0≤x≤4， ∴当x＝4时，CH有最小值为CH 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等，确定H点运动的轨迹． 【变式4-3】（2024•河东区一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC上的点，且DE＝CF，连接DF，BE，求DF+BE的最小值为（　　） A．2 B．2 C．4 D．2+2 【分析】延长AB到点G，使BG＝AB＝2，连接DG交BC于F'，连接GF，由四边形ABCD是正方形，可得AD＝AB＝BC＝BG＝2，∠ABC＝∠FBG＝∠C＝90°，DG2，证明△BCE≌△GBF（SAS），得BE＝FG，从而DF+BE＝DF+FG，当F运动到F'，DF+FG最小，此时DF+BE最小，最小值为DG的长． 【解答】解：延长AB到G，使BG＝AB＝2，连接DG交BC于F'，连接GF，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝BC＝BG＝2，∠ABC＝∠FBG＝∠C＝90°， ∴DG2， 在△BCE和△GBF中， ， ∴△BCE≌△GBF（SAS）， ∴BE＝FG， ∴DF+BE＝DF+FG， ∴当F运动到F'，即D、F、G共线时，DF+FG最小，此时DF+BE最小，最小值为DG的长， ∴DF+BE最小值为2． 故选：B． 【点评】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把DF+BE转化为DF+FG． 【变式4-4】如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（　　） A．10 B．83 C．63 D．35 【分析】延长CD到C′，使C′D＝CD，CP+PM＝C′P+PM，当C′，P，M三点共线时，C′P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：延长CD到C′，使C′D＝CD， CP+PM＝C′P+PM， 当C′，P，M三点共线时，C′P+PM的值最小， 根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上， 圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3， ∵BC＝CD＝8， ∴CC′＝16， ∴C′B8． ∴CP+PM的最小值是83． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键． 【变式4-5】（2024•科尔沁区模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（　　） A．3 B．22 C．2 D．23 【分析】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF＝∠MEG，所以再证明∠EIF＝90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OIBE，由OD﹣OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值． 【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，AB∥CD， ∴四边形ADME是矩形， ∴EM＝AD＝AB， ∵BF＝EG， ∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL）， ∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM， ∵AB∥CD ∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB ∵∠ABF+∠AFB＝90° ∴∠ABF+∠BEG＝90° ∴∠EIF＝90°， ∴BF⊥EG； ∵△EIB是直角三角形， ∴OIBE， ∵AB＝6，AE＝2， ∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2， ∵OD﹣OI≤DI， ∴当O、D、I共线时，DI有最小值， ∵IOBE＝2， ∴OD2， ∴ID＝22，即DI的最小值为22， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题． 【变式4-6】（2024春•惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　） A．5 B．9 C．9 D． 【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM．∠ADM＝90°，得出△ADM是等腰直角三角形，推出ADAM，当AM的值最大时，AD的值最大，根据三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题． 【解答】解：如图， 将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM， 由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°， ∴△ADM是等腰直角三角形， ∴ADAM， ∴当AM的值最大时，AD的值最大， ∵AM≤AC+CM， ∴AM≤9， ∴AM的最大值为9， ∴AD的最大值为． 故选：D． 【点评】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 【变式4-7】（2024•永寿县模拟）如图，在△ABP中，，BP＝4，分别以AP、AB为边向外作正方形APMN和正方形ABCD，连接DP，当DP取最大值时，AB的长是 　 　． 【分析】如图①，连接BN、NP，证明△ADP≌△ABN（SAS），则当BN最大时，DP最大，此时B、P、N三点共线，如图②，过A作AH⊥BN于H，则∠APH＝45°，，由勾股定理，计算求解即可． 【解答】解：如图①，连接BN、NP， ∵四边形APMN和四边形ABCD均是正方形， ∴AD＝AB，AP＝AN，∠DAB＝90°＝∠PAN， ∴∠DAP＝∠BAN， ∴△ADP≌△ABN（SAS）， 当BN最大时，DP最大，此时B、P、N三点共线， 如图②，过A作AH⊥BN于H， ∴∠APH＝45°， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 【变式4-8】（2024秋•雁塔区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 　 　． 【分析】以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证MH＝BN，由“SAS”可证△FEH≌△GEC，可得FH＝GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，连接FH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M， 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形MHNB是矩形， ∴MH＝BN， ∵BE＝2， ∴EC＝3， ∵△EHC是等边三角形，HN⊥EC， ∴EC＝EH＝3，EN＝NC＝1.5，∠HEC＝60°， ∴BN＝3.5＝MH， ∵△FGE是等边三角形， ∴FE＝GE，∠FEG＝60°＝∠HEC， ∴∠FEH＝∠GEC， 在△FEH和△GEC中， ， ∴△FEH≌△GEC（SAS）， ∴FH＝GC， ∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值， ∴点F与点M重合时，FH＝HM＝3.5， 故答案为：3.5． 【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 专题 平行四边形中的最值问题 题型一 与平行四边形有关的最值问题 【例题1】（2024春•溧水区期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 　 　． 【变式1-1】（2024春•乐平市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝8，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（　　） A．4 B．2 C．8 D．4 【变式1-2】（2024春•惠安县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（　　） A．6 B．8 C．2 D．4 【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，AB＝4，AD＝5，过对角线中点O的直线分别交AD，BC于E，F点，当四边形CDEF的周长最小时，AE的值是（　　） A．1 B． C． D．2 【变式1-4】（2024秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【变式1-5】（2024春•雁塔区校级月考）在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（　　） A． B．3 C．2 D．2 【变式1-6】（2024•瑶海区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，ABAD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD＝2，则PE+PB的最小值为（　　） A．2 B．2 C． D．2 【变式1-7】（2024春•九江期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝8，AB＝4，点H、G分别是边CD，BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C． D．2 【变式1-8】（2024•榆林模拟）如图，在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2．点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点．连接PD并延长，使DE＝PD．以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值 　 　． 【变式1-9】（2024秋•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为 　 ． 【变式1-10】如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P，Q分别是AC，BC上的动点，在P，Q运动过程中，PB+PQ的最小值是 　 　． 题型二 与矩形有关的最值问题 【例题2】（2021•内江模拟）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-1】（2022春•永春县期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，AB＝6，BC＝2．当B在边ON上运动时（点B与O不重合），A随之在OM上运动．点E在AB边上，AE＝2EB，四边形OADE的面积为，则OA+OB的值等于（　　） A．7 B． C．8 D．8.5 【变式2-2】（2024春•靖江市校级月考）如图，矩形ABCD中，CD＝5，BC＝12，点P为对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则线段EF长的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 【变式2-3】（2024春•灌南县期中）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为 　 　． 【变式2-4】（2024秋•南安市期末）如图，点P是长方形ABCD内部的一个动点，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面积等于30，则点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值是 　 ． 【变式2-5】如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为 　　 ． 【变式2-6】（2024春•余杭区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且四边形EFGH为平行四边形，则平行四边形EFGH周长的最小值为（　　） A．4 B．8 C．4 D．8 【变式2-7】（2024春•沭阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．2 【变式2-8】（2024春•仪征市期中）如图，矩形ABCD的边AB＝7，BC＝3，点E在边AB上，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接CG，则CG的最小值为（　　） A．2 B．3 C． D． 【变式2-9】（2024春•邯郸期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为 　 　． 题型三 与菱形有关的最值问题 【例题3】如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝6，CE＝4，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（　　） A．4 B．6 C．2 D．4 【变式3-1】如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形．当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是（　　） A．8 B．10 C．10.4 D．12 【变式3-2】（2024秋•南关区校级期中）如图，E是▱ABCD的BC边的中点，P是对角线AC上一点．若BC＝CD＝2，∠DCB＝60°，则PB+PE的最小值是（　　） A．1 B．2 C． D．4 【变式3-3】（2024•花都区二模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【变式3-4】（2024春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ADC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A．4 B．8 C．8 D．4+4 【变式3-5】（2024春•鼓楼区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC＝60°，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式3-6】（2024春•惠民县期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（　　） A．2+2 B．4 C．4 D．6 【变式3-7】（2024•槐荫区一模）如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8，，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD，连接PE，取AD的中点O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段OE的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D． 【变式3-8】（2024•安徽一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是（　　） A． B． C． D．2 【变式3-9】如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是边AD、CD上的动点，且AE+CF＝4，连接BE、EF、FB． （1）证明：BE＝BF； （2）求△BEF面积的最小值． 题型四 与正方形有关的最值问题 【例题4】（2024春•海州区校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C．3 D．2 【变式4-1】（2024春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝2，则EF的长的最小值为（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式4-2】（2024秋•长丰县校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E在BC边上，且BE＝3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作正方形EFGH，且点H在矩形ABCD内，连接CH，则CH的最小值为（　　） A．3 B．4 C． D． 【变式4-3】（2024•河东区一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC上的点，且DE＝CF，连接DF，BE，求DF+BE的最小值为（　　） A．2 B．2 C．4 D．2+2 【变式4-4】如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（　　） A．10 B．83 C．63 D．35 【变式4-5】（2024•科尔沁区模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（　　） A．3 B．22 C．2 D．23 【变式4-6】（2024春•惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　） A．5 B．9 C．9 D． 【变式4-7】（2024•永寿县模拟）如图，在△ABP中，，BP＝4，分别以AP、AB为边向外作正方形APMN和正方形ABCD，连接DP，当DP取最大值时，AB的长是 　 　． 【变式4-8】（2024秋•雁塔区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 　 　． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$