专题 直角三角形斜边上的中线的运用（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北京版）

（北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 专题 直角三角形斜边上的中线的运用 知识点 直角三角形斜边上的中线 ◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：如下图∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. ◆2、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形. 题型一 利用直角三角形斜边上的中线求线段长 1．（2025•四川模拟）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（　　） A．26° B．38° C．42° D．52° 2．（2025•峰峰矿区校级一模）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 3．（2024秋•海口期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 4．（2024秋•工业园区校级期中）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（　　） A．12 B．30 C．27 D．32 5．（2024春•南岗区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD＝4，AE＝5，则AC＝（　　） A．3 B． C．5 D． 6．（2024•饶平县校级模拟）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（　　） A． B． C． D．7 7．（2024春•镇江期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为　 　． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为　 ． 9．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是　 　． 10．（2024秋•沛县校级期中）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，AC＝26，BD＝24．求MN的长． 题型二 利用直角三角形斜边上的中线求角度 1．（2024秋•裕华区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝20°，E是斜边AB的中点，则∠DCE的度数为（　　） A．30° B．50° C．45° D．40° 2．（2024秋•凤翔区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD＝DB．若∠B＝20°，则∠DFE等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 3．（2024秋•西湖区校级期末）如图，在Rt△ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD＝1：2，则∠BAC的度数为（　　） A．60° B．54° C．48° D．32° 4．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（　　） A．5° B．10° C．20° D．30° 5．（2024秋•莲湖区期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足为D，点E是BC的中点，连接ED，则∠EDB的度数是 　 　． 6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BDA的度数是 ． 7．（2024秋•仓山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝　 　°． 8．（2024•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE，则∠ACD＝　 　度． A．15° B．30° C．22.5° D．45° 9．（2024秋•潍坊期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E为对角线AC的中点，∠DAC＝30°，∠CAB＝40°，连结BE，DE，BD，则∠BDE＝　 　． 10．（2024秋•市中区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度数． 题型三 利用直角三角形斜边上的中线性质证明 1．（2024春•零陵区校级期中）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D为AB中点，请说明DF∥BC的理由． 2．（2024秋•虹口区校级期末）如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE． 3．（2024秋•惠山区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE是边AC上的中线，且BD＝CE．求证： （1）点D在BE的垂直平分线上； （2）若∠BEC＝69°，求∠ABE的度数． 4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明： （1）MD＝MB； （2）MN⊥BD． 5．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 6．（2024秋•沛县期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，BE⊥AC，垂足为E，M为BC的中点，连接MF，ME． （1）求证：ME＝MF； （2）若∠ABC＝54°，∠ACB＝60°，求∠FME的大小． 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AD＝AF； （2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 8．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD． （1）求∠EDC的度数． （2）求证：BF＝AE． 9．（2024•安顺模拟）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM． （1）求证：EF； （2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB． 10．（2024秋•宿城区期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想． （3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由． 题型四 三角形中位线与直角三角形斜边上的中线的综合应用 1．（2024春•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接AF、CF，若∠AFC＝90°，DF＝1，AC＝6，则BC的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024秋•平昌县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（　　） A．1.5 B．1 C．0.5 D．2 3．如图，△ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作Rt△ADB和Rt△AEC，连接DG、GH、EH，则DG+GH+EH的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2024春•大足区期末）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CFBC，若EF＝2，则DE的长为（　　） A．2 B．1 C． D． 5．（2024•金乡县三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 　 　． 6．（2024秋•两江新区校级期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则GD＝ 　 　． 7．（2024春•赣榆区期中）如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，延长EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点G．AG与CG有怎样的位置关系？证明你的结论． 8．（2024春•徐州期中）已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高． （1）求证：DH＝EF； （2）求证：∠DHF＝∠DEF． 9．（2024春•罗湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM＝MN； （2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，写出求BN长的思路． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 专题 直角三角形斜边上的中线的运用 知识点 直角三角形斜边上的中线 ◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：如下图∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. ◆2、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形. 题型一 利用直角三角形斜边上的中线求线段长 1．（2025•四川模拟）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（　　） A．26° B．38° C．42° D．52° 【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴BD＝CD＝AD， ∴∠A＝∠DCA＝26°， ∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26°+26°＝52°． 故选：D． 【点评】本题考查了对三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD＝CD＝AD和∠DCA的度数是解此题的关键． 2．（2025•峰峰矿区校级一模）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长． 【解答】解：∵点A、B对应的刻度为1、7， ∴AB＝7﹣1＝6（cm）， ∵∠ACB＝90°，点D为线段AB的中点， ∴CDAB6＝3（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2024秋•海口期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AC， ∴∠CAD＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∵AD⊥DB， ∴∠ADB＝90°， ∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°． ∴∠ABD＝∠BDE． ∴DE＝BE． ∵AB＝6， ∴DE＝BE＝AEAB＝3， 故选：B． 【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等几何知识点的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键． 4．（2024秋•工业园区校级期中）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（　　） A．12 B．30 C．27 D．32 【分析】先根据直角三角形的性质求出DF与CF的长，再由等腰三角形的性质求出DE的长，根据勾股定理求出EF的长，进而可得出结论． 【解答】解：∵ADB＝∠ACB＝90°，F是AB的中点，AB＝26， ∴DF＝CFAB26＝13， ∴△CDF是等腰三角形． ∵点E是CD的中点，CD＝24， ∴EF⊥CD，DECD＝12． 在Rt△DEF中，DE5， ∴△DEF的周长为：DF+DE+EF＝13+12+5＝30． 故选：B． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 5．（2024春•南岗区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD＝4，AE＝5，则AC＝（　　） A．3 B． C．5 D． 【分析】由直角三角形斜边上的中线可求AB＝8，根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，再利用勾股定理求得CE的长，进而可求解AC的长． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4， ∴AB＝2CD＝8， ∵ED⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴BE＝AE＝5， ∵AC2＝AE2﹣CE2＝AB2﹣BC2， ∴52﹣CE2＝82﹣（5+CE）2， 解得CE＝1.4， ∴AC． 故选：B． 【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质与判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 6．（2024•饶平县校级模拟）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（　　） A． B． C． D．7 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DFAB，EFBC，然后代入数据计算即可得解． 【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点， ∴DE＝DFAB， ∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3， ∵BE⊥AC， ∴EFBC＝3， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7， ∴AB＝4， 由勾股定理知 AF， 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键． 7．（2024春•镇江期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为　 　． 【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线， ∴CDAB， 又∵EF是△ABC的中位线， ∴AB＝2CD＝2×5＝10cm， ∴EF10＝5cm． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为　 ． 【分析】根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC＝6；最后由等腰三角形ABC的两腰AB＝AC，求得AB＝6． 【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D， ∴△ADC是直角三角形； ∵E是AC的中点． ∴DEAC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）， 又∵DE＝3，AB＝AC， ∴AB＝6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是　 　． 【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC＝2EF＝4． 【解答】解：如图，连接AF． ∵AB＝AD，F是BD的中点， ∴AF⊥BD． ∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2， ∴AC＝2EF＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键． 10．（2024秋•沛县校级期中）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，AC＝26，BD＝24．求MN的长． 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM＝DM＝13，根据等腰三角形的性质得到BN＝12，根据勾股定理得到答案． 【解答】解：连接BM、DM， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴26＝13，26＝13， ∴BM＝DM＝13， ∵N是BD的中点， ∴，MN⊥BD， ∴MN5． 所以MN的长为5． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 题型二 利用直角三角形斜边上的中线求角度 1．（2024秋•裕华区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝20°，E是斜边AB的中点，则∠DCE的度数为（　　） A．30° B．50° C．45° D．40° 【分析】由先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，再由E是斜边AB的中点得出CE＝BE，故可得出∠ECB＝∠B＝70°，进而得出结论． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∵∠BCD＝20°， ∴∠B＝90°﹣20°＝70°， ∵∠ACB＝90°，E是斜边AB的中点， ∴CE＝BEAB， ∴∠ECB＝∠B＝70°， ∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝70°﹣20°＝50°， 故选：B． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 2．（2024秋•凤翔区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD＝DB．若∠B＝20°，则∠DFE等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据直角三角形斜边上中线性质得出BE＝CE，根据等腰三角形性质得出∠ECB＝∠B＝20°，∠DAB＝∠B＝20°，根据三角形外角性质求出∠ADC＝∠B+∠DAB＝40°，根据∠三角形外角性质得出DFE＝∠ADC+∠ECB，代入求出即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点， ∴BE＝CE， ∵∠B＝20° ∴∠ECB＝∠B＝20°， ∵AD＝BD，∠B＝20°， ∴∠DAB＝∠B＝20°， ∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝20°+20°＝40°， ∴∠DFE＝∠ADC+∠ECB＝40°+20°＝60°， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能求出∠ADC和∠ECB的度数是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 3．（2024秋•西湖区校级期末）如图，在Rt△ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD＝1：2，则∠BAC的度数为（　　） A．60° B．54° C．48° D．32° 【分析】首先根据垂直平分线的性质“线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”证明DA＝DB，易得∠B＝∠DAB，可设∠CAD＝x，则有∠B＝∠DAB＝2x，然后列出方程并求解，即可获得答案． 【解答】解：∵E为AB的中点，ED⊥AB， ∴DE为AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠B＝∠DAB， ∵∠CAD：∠BAD＝1：2，∠C＝90°， 设∠CAD＝x，则∠B＝∠DAB＝2x， ∴∠B+∠DAB+∠CAD＝180°﹣∠C， 即2x+2x+x＝180°﹣90°， 解得x＝18°， ∴∠CAD＝18°，∠B＝∠DAB＝36°， ∴∠BAC＝∠CAD+∠BAD＝54°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，结合垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明∠B＝∠DAB是解题关键． 4．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（　　） A．5° B．10° C．20° D．30° 【分析】连接AH，CH，根据在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点可知AH＝CHBD，再由点G时AC的中点可知HG是线段AC的垂直平分线，故∠EGH＝90°，再由对顶角相等可知∠GEH＝∠BEC＝80°，由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：连接AH，CH， ∵在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点， ∴AH＝CHBD． ∵点G时AC的中点， ∴HG是线段AC的垂直平分线， ∴∠EGH＝90°． ∵∠BEC＝80°， ∴∠GEH＝∠BEC＝80°， ∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°． 故选：B． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键． 5．（2024秋•莲湖区期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足为D，点E是BC的中点，连接ED，则∠EDB的度数是 　 　． 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝28°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得ED＝EB，从而利用等腰三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝62°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝28°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴ED＝EBBC， ∴∠EDB＝∠B＝28°， 故答案为：28°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BDA的度数是 ． 【分析】根据直角三角形的性质得到DA＝DB，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵∠E＝35°，ED⊥BC， ∴∠B＝55° ∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴DA＝DB， ∴∠B＝∠DAB＝55°， ∴∠BDA＝180°﹣55°﹣55°＝70°． 故答案为：70°． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 7．（2024秋•仓山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝　 　°． 【分析】根据已知条件可以判断EA＝EB＝EC＝DE，根据三角形外角定理可得到：∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝2∠DAE+2∠BAE＝2∠DAB＝104°，在等腰三角形BED中，已知顶角，即可求出底角∠EBD的度数． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴EA＝EB＝EC＝DE， ∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA， 在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE， 同理可得到：∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝2×52°＝104°， 在等腰三角形BED中，； 故答案是：38． 【点评】本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键． 8．（2024•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE，则∠ACD＝　 　． 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BC＝2DE＝2，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，由AB＝2AC可求解∠ABC＝30°，然后根据同角的余角相等即可得出∠ACD＝∠ABC即可求解． 【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，DE， ∴BC＝2DE＝2， ∵AB＝4，AC＝2， ∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，且∠ABC＝30°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵∠ABC+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠ABC＝30°． 故答案为：30°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，余角的性质，证明△ABC是直角三角形是解题的关键． 9．（2024秋•潍坊期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E为对角线AC的中点，∠DAC＝30°，∠CAB＝40°，连结BE，DE，BD，则∠BDE＝　 　度． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝BE＝DEAC，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求得∠BEC＝80°，∠CED＝60°，那么∠BED＝140°，然后在等腰△BDE中即可求出底角∠BDE的度数． 【解答】解：∵∠ADC＝∠ABC＝90°，E为对角线AC的中点， ∴AE＝BE＝DEAC， ∴∠ABE＝∠CAB＝40°，∠ADE＝∠DAC＝30°， ∴∠BEC＝∠ABE+∠CAB＝80°，∠CED＝∠ADE+∠DAC＝60°， ∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝140°． ∵BE＝DE， ∴∠BDE＝∠DBE20°． 故答案为：20． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 10．（2024秋•市中区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度数． 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CO＝BO＝AOAB，得到△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，于是得到结论． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC， ∴∠CAE＝∠AEC＝45°， ∵∠BAE＝15°， ∴∠CAB＝60°， ∴∠B＝30°， ∵∠ACB＝90°，O为AB的中点， ∴CO＝BO＝AOAB， ∴△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°， ∴AC＝OC＝CE， ∴∠COE＝∠CEO（180°﹣30°）＝75°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 题型三 利用直角三角形斜边上的中线性质证明 1．（2024春•零陵区校级期中）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D为AB中点，请说明DF∥BC的理由． 【分析】根据在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半得，BD＝DF，∠DFB＝∠DBF，根据角的平分线的定义知∠FBC＝∠FBD，∴∠DFB＝∠FBC，再根据内错角相等两直线平行得DF∥BC． 【解答】解：∵在直角△AFB中，点D是斜边上的中点， ∴DF＝BDAB， ∴∠DFB＝∠DBF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FBC＝∠FBD， ∴∠DFB＝∠FBC， ∴DF∥BC． 【点评】本题的关键是明白在直角三角形的性质中斜边上的中线是斜边的一半，角的平分线的定义，平行线的判定中内错角相等，两直线平行．注意等边对等角的运用． 2．（2024秋•虹口区校级期末）如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE． 【分析】连接EN、DN、EM、DM，由BD与CE为三角形ABC的两条高，可得∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°，根据M，N为BC，AO的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得EN＝DN，EM＝DM，根据线段垂直平分线的逆定理得到M、N在线段DE的垂直平分线上，得证． 【解答】证明：连接EN、DN、EM、DM， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°， ∵M、N是BC、AO的中点， ∴， ∴EN＝DN，EM＝DM， ∴M、N在线段DE的垂直平分线上， ∴MN垂直平分DE． 【点评】此题考查了直角三角形斜边上中线的性质，以及线段垂直平分线的逆定理，利用了转化的思想，其中连接出如图所示的辅助线是解本题的关键． 3．（2024秋•惠山区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE是边AC上的中线，且BD＝CE．求证： （1）点D在BE的垂直平分线上； （2）若∠BEC＝69°，求∠ABE的度数． 【分析】（1）连接DE．运用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，则DE＝CE，再进行线段的等量代换，证明DB＝DE即可作答． （2）利用等边对等角，得出∠3＝∠4，∠1＝∠2，根据外角性质得∠4＝∠1+∠2＝2∠1，结合∠BEC＝69°，解得∠1＝23°，即可作答． 【解答】（1）证明：连接DE， 由条件可知∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵BE是AC边上的中线， ∴AE＝CE， ∴， ∵BD＝CE， ∴BD＝DE， ∴点D在BE的垂直平分线上． （2）解：由条件可知∠3＝∠4， ∵DB＝DE． ∴∠1＝∠2， ∵∠BEC＝69°， ∴∠BEC＝∠1+∠3＝69°， ∴∠3＝2∠1， ∴3∠1＝69°， 解得∠1＝23°， 即∠ABE＝23°． 【点评】本题考查等边对等角，三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明： （1）MD＝MB； （2）MN⊥BD． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质即可证明； （2）根据等腰三角形的三线合一证明． 【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴BMAC，DMAC， ∴DM＝BM； （2）由（1）可知DM＝BM， ∵N是BD的中点， ∴MN⊥BD． 【点评】此题主要是运用了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，题目难度不大． 5．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 【分析】（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DFAB＝BF，进而证明DC＝DF，根据等腰三角形的三线合一证明结论； （2）根据三角形的外角性质得到∠FDB＝2∠DFC，根据等腰三角形的性质证明结论． 【解答】证明：（1）连接DF， ∵AD是边BC上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵点F是AB的中点， ∴DFAB＝BF， ∵DC＝BF， ∴DC＝DF， ∵点E是CF的中点． ∴DE⊥CF； （2）∵DC＝DF， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC， ∵DF＝BF， ∴∠FDB＝∠B， ∴∠B＝2∠BCF． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 6．（2024秋•沛县期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，BE⊥AC，垂足为E，M为BC的中点，连接MF，ME． （1）求证：ME＝MF； （2）若∠ABC＝54°，∠ACB＝60°，求∠FME的大小． 【分析】（1）根据CF⊥AB，BE⊥AC，△BCE和△BCF是直角三角形，再根据M为BC的中点，由直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出ME＝MF； （2）根据ME＝MF＝BM＝CM，可得∠MBF＝∠MFB，∠MEC＝∠MCE，由∠ABC＝54°，∠ACB＝60°，由三角形内角和即可求得∠EMF的度数． 【解答】（1）证明：由条件可知△BCE和△BCF均是直角三角形， ∴MF＝BM＝CM，ME＝BM＝CM， ∴ME＝MF； （2）解：∵MB＝MF，ME＝MC， ∴∠MBF＝∠MFB，∠MEC＝∠MCE， ∵∠ABC＝54°，∠ACB＝60°， ∴∠BMF＝180°﹣2×54°＝72°，∠CME＝180°﹣2×60°＝60°， ∴∠EMF＝180°﹣72°﹣60°＝48°， ∴∠FME的度数为48°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AD＝AF； （2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF＝BD，又由在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD＝BD＝CDBC，即可证得：AD＝AF； （2）当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形．由AF＝BD＝DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD＝DC，继而可得四边形ADCF是正方形． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠EAF＝∠EDB， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEB中，， ∴△AEF≌△DEB（ASA）， ∴AF＝BD， ∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线， ∴AD＝BD＝DCBC， ∴AD＝AF； （2）当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形． ∵AF＝BD＝DC，AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC，AD是中线， ∴AD⊥BC， ∵AD＝AF， ∴四边形ADCF是正方形． 【点评】此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中． 8．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD． （1）求∠EDC的度数． （2）求证：BF＝AE． 【分析】（1）由角平分线的性质可得∠ABD＝∠DBC＝45°，可求∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，由直角三角形的性质可得∠C＝∠FBC＝30°，即可求解； （2）由直角三角形的性质可得BF＝AB，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝AE，可证BF＝AE． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝45°， ∵∠FBC＝2∠FBD． ∴∠FBD＝15°，∠FBC＝30°， ∵∠ABC＝90°，点F是AC中点， ∴AF＝BF＝CF， ∴∠C＝∠FBC＝30°， ∴∠EDC＝∠C+∠DBC＝75°； （2）∵∠C＝30°，∠ABC＝90°， ∴AC＝2AB， ∴AB＝AF＝BF， ∵AE∥BC， ∴∠E＝∠DBC＝45°＝∠ABD， ∴AB＝AE， ∴AE＝BF． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质是本题的关键． 9．（2024•安顺模拟）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM． （1）求证：EF； （2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF； （2）根据“SAS”证明△AFM≌△CFM，可得AM＝CM，进而可得结论． 【解答】（1）证明：连接CE，如图， ∵CD＝CB，E为BD的中点， ∴CE⊥BD， ∵F为AC的中点， ∴EF； （2）证明：∵EF⊥AC， ∴∠AFM＝∠CFM， ∵F为AC的中点， ∴AF＝CF， ∵MF＝MF， ∴△AFM≌△CFM（SAS）， ∴AM＝CM， ∵CD＝DM+MC， ∴CD＝DM+AM， ∵BC＝DC， ∴AM+DM＝CB． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，灵活应用定理是解决本题的关键． 10．（2024秋•宿城区期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想． （3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DMBC，MEBC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可得到结论； （3）仿照（2）的计算过程解答即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME， ∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点， ∴DMBC，MEBC， ∴DM＝ME， 又∵N为DE中点， ∴MN⊥DE； （2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB） ＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB） ＝360°﹣2（180°﹣∠A） ＝2∠A， ∴∠DME＝180°﹣2∠A； （3）结论（1）成立，结论（2）不成立， 理由如下：连接DM，ME， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC ＝2（180°﹣∠BAC） ＝360°﹣2∠BAC， ∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC） ＝2∠BAC﹣180°． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 题型四 三角形中位线与直角三角形斜边上的中线的综合应用 1．（2024春•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接AF、CF，若∠AFC＝90°，DF＝1，AC＝6，则BC的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，AC＝6， 则EFAC＝3， ∵DF＝1， ∴DE＝3﹣1＝2， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝4， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 2．（2024秋•平昌县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（　　） A．1.5 B．1 C．0.5 D．2 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，计算即可． 【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，BC＝6， ∴DEBC＝3， ∵AF⊥CF， ∴∠AFC＝90°， ∵E为AC的中点，AC＝3， ∴FEAC＝1.5， ∴DF＝DE﹣FE＝1.5， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 3．如图，△ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作Rt△ADB和Rt△AEC，连接DG、GH、EH，则DG+GH+EH的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DGAB，EHAC，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GHBC，然后求出DG+GH+EH的值为△ABC的一半． 【解答】解：∵G、H分别为AB、AC的中点，△ADB和△AEC为直角三角形， ∴DGAB，EHAC， ∴GH为△ABC的中位线， ∴GHBC， ∴DG+GH+EH（AB+AC+BC）16＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质和定理是解题的关键． 4．（2024春•大足区期末）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CFBC，若EF＝2，则DE的长为（　　） A．2 B．1 C． D． 【分析】连接CD，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DEBC，根据平行四边形的性质求出CD，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，进而求出DE． 【解答】解：连接CD， ∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∵CFBC， ∴DE∥CF， ∴四边形DEFC为平行四边形， ∴CD＝EF＝2， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点， 则AB＝2CD＝4， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， 则BCAB＝2， ∴DEBC＝1， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°角的直角三角形的性质，灵活运用各个定理是解题的关键． 5．（2024•金乡县三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 　 　． 【分析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形斜边上的中线性质求出DE和DF，根据三角形的中位线性质求出EF，再求出答案即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC10， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10， ∴DEAB＝4，DFAC＝3，EFBC＝5， ∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的中位线性质等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 6．（2024秋•两江新区校级期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则GD＝ 　 　． 【分析】延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，依据等腰三角形的判定与性质，即可得到PQ的长；再根据三角形中位线定理，即可得到DG的长等于PQ的长的一半． 【解答】解：如图所示，延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q， ∵CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC， ∴∠ACD＝∠PCD，∠ABG＝∠QBG， 又∵AD⊥CF，AG⊥BE， ∴∠ADC＝∠PDC，∠AGB＝∠QGB， ∴∠CAP＝∠P，∠BAG＝∠Q， ∴AC＝PC＝8，AB＝QB＝9， 又∵BC＝7， ∴PQ＝BQ+PC﹣BC＝9+8﹣7＝10， ∵AC＝PC，CD平分∠ACP， ∴点D是AP的中点， 同理可得，点G是AQ的中点， ∴DG是△APQ的中位线， ∴， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．问题的难点在于过关键点作辅助线构造△APQ． 7．（2024春•赣榆区期中）如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，延长EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点G．AG与CG有怎样的位置关系？证明你的结论． 【分析】利用三角形中位线定理推知EF∥BC．所以利用平行线的性质、三角形角平分线的性质以及等腰三角形的判定证得FG＝FC．又由AF＝CF，则FG是△ACG中AC边上的中线，且FGAC，则△AGC是直角三角形． 【解答】解：AG⊥CG， 理由：∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线，AF＝CF， ∴EF∥BC， ∴∠FGC＝∠GCD． ∵CG平分∠ACD， ∴∠FCG＝∠GCD， ∴∠FCG＝∠FGC， ∴FG＝FC． 又∵AF＝CF， ∴FG是△ACG中AC边上的中线，且FGAC， ∴△AGC是直角三角形， ∴AG⊥CG． 【点评】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线定理．一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形． 8．（2024春•徐州期中）已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高． （1）求证：DH＝EF； （2）求证：∠DHF＝∠DEF． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EFAB，根据直角三角形的性质得到DHAB，证明结论； （2）连接DF，证明△DHF≌△DEF，证明结论． 【解答】证明：（1）∵E、F分别是边BC、AC的中点， ∴EFAB， ∵AH⊥BC，D是AB的中点， ∴DHAB， ∴DH＝EF； （2）连接DF， 由（1）得，DH＝EF， 同理DE＝HF， 在△DHF和△DEF中， ， ∴△DHF≌△DEF， ∴∠DHF＝∠DEF． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 9．（2024春•罗湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM＝MN； （2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，写出求BN长的思路． 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BMAC，根据三角形中位线定理得到MNAD，根据题意证明； （2）证明△NMB是等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，M为AC中点， ∴BMAC， ∵M为AC中点，N为DC中点， ∴MNAD， ∵AD＝AC， ∴BM＝MN； （2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠CAB＝30°， ∴BM＝AMAC＝1， ∴∠MAB＝∠MBA＝30°， ∴∠CMB＝60° 根据三角形中位线定理得，MN∥AD，MNAD＝1， ∴∠DAC＝∠NMC＝30°， ∴△NMB是等腰直角三角形， 由勾股定理得，BN.. 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$