精品解析：福建省福州市福州恒一高级中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试题 考试时间：120分钟 命题人：曾桂英 审题人：白根生 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 小米汽车首款车型小米SU7于2024年3月28日正式发布，该款车型有9种外观颜色，4种内搭颜色可供选择．若车主自由选择车的外观和内搭颜色，共有（ ）种情况 A. 4 B. 9 C. 13 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】先选颜色，再选内搭，根据分步乘法计数原理运算求解. 【详解】第一步：选外观颜色，有9种选择； 第二步：选内搭，有4种选择； 所以共有种情况． 故选：D. 2. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义求解. 【详解】因为, 所以, 故选:A. 3. 已知函数，则（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，由此可求. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：A 4. 下列函数中，既是奇函数，又在上是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性定义判断各选项函数的奇偶性，并应用导数研究A中函数的单调性，即可得答案. 【详解】A：且定义域为R，为奇函数，又，故单调递增，满足要求； B：，不满足； C：且定义域为R，为偶函数，不满足； D：，不满足. 故选：A 5. 已知函数，在区间上任取两个不相等的实数，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可知在上单调递增，进而由导数即可求解. 【详解】由可知在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以， 故选：C 6. 如图，某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有（ ）种. A. 40 B. 80 C. 120 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】将此类问题看成涂色问题，根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理讨论. 【详解】根据图示，区域3和6、区域3和5、区域2和5、区域2和4、区域4和6不相邻，可以栽种相同颜色的花. 因为要栽种4种不同颜色的花，所以分为5类： 第一类：区域3和6同色且区域2和4同色：种； 第二类：区域3和6同色且区域2和5同色：种； 第三类：区域3和5同色且区域2和4同色：种； 第四类：区域4和6同色且区域2和5同色：种； 第五类：区域4和6同色且区域3和5同色：种； 所以，共有种. 故选：C 7. 已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合即可求出结果. 【详解】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，； 时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，； 作出在上的图象，如图： 由图可知要使有3个不同的实根，则. 故选：D. 8. 已知函数在区间上有且仅有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，利用导数在所给区间上有两个变号零点可求答案. 【详解】，因为有且仅有两个极值点， 所以有两个变号零点，即在所给区间上有两个不等实数根. 令，则，上式可化为，其中； 令，则， 令，则，即为增函数， 又，所以时，，为减函数；时，，为增函数； 因为，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ） A. B. 函数在上递增，在上递减 C. 函数的极值点为， D. 函数的极大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断，， 的大小以及的单调性，对C，D由极值的定义即可判断. 【详解】解：由题图知可，当时，， 当时，，当时，， 所以在上递增， 在上递减，在上递增， 对A，，故A错误； 对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误； 对C，函数的极值点为，，故C正确； 对D，函数的极大值为，故D错误. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A．，解得，所以A正确； 对于B．， 当时，，当时，或， 所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间， 所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确． 对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 故选：ABC. 【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了． 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数存在唯一极值点，且 B. 令，则函数无零点 C. 若恒成立，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由在单调递增，又，，即可判断A；由导数判断出恒大于0，恒大于0，即可判断B；由的值域即可判断C；由的单调性即可判断D． 【详解】对于A，，显然在单调递增，又，， 所以，使得，故A正确； 对于B，由A得，，使得，即，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以恒大于0； 由，令， ，当时，，即在单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以，即，即在单调递增， 又时，，所以， 由恒大于0，恒大于0，故无零点，B正确； 对于C，由B得，由恒成立，得在恒成立， 所以，即，故C错误； 对于D，因为在单调递增，又，，则， 所以，即， 整理得， 不等式两边同除以得，，故D正确， 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是________. 【答案】33 【解析】 【分析】先求出物体在时的导数，再结合瞬时速度与导数的关系求解即可. 【详解】由，则， 则， 所以物体在时物体的瞬时速度是33. 故答案为：33. 13. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： ①函数的对称中心坐标为______； ②计算______. 【答案】 ①. ②. 2023 【解析】 【分析】①先对函数求二阶导，得到，根据题意求出拐点，即可得出结果；②先由①得到，推出，用倒序相加法，即可求出结果. 【详解】①因为， 所以，所以， 由得，此时， 由题意可得，即为函数的对称中心； ②由①知，函数关于中心对称， 所以，即， 因此； 记， 则 ， 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解三次函数对称中心与拐点的关系，从而得解. 14. 已知不等式在上恒成立，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式转化为，构造函数，求导确定其单调性，从而将不等式再转化为，设，求导讨论单调性得最值，即可打求得的取值范围. 【详解】整理得，即， 设，则恒成立，所以在上单调递增， 则由不等式即为恒成立，所以在上恒成立， 故，设，则， 当时，恒成立，在上单调递增，则，符合题意； 当时，时，，单调递减，时，，单调递增， 则，解得； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三次函数f（x）＝x3+ax2﹣6x+b，a，b∈R，f（0）＝1，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为﹣6. （1）求函数y＝f（x）的解析式； （2）求f（x）在区间[﹣2，4]上的最值. 【答案】（1）；（2）最大值为17，最小值为﹣9. 【解析】 【分析】 （1）先求函数的导数，进而根据求出a的值，然后根据f（0）＝1，求出b的值即可求出函数的解析式； （2）先利用导数判断函数的单调性，进而求出函数在区间[﹣2，4]上的最值. 【详解】（1）， 由导数的几何意义，，， ∵f（0）＝1，∴b＝1， . （2）， 令得， 当时，，f（x）单调递增； 当时，，f（x）单调递减； 当x∈（2，4]时，，f（x）单调递增， ∴函数f（x）在x＝﹣1取得极大值为， 在x＝2时取得极小值为f（2）＝﹣9， ， 在区间上的最大值为17，最小值为﹣9. 16. 已知函数，，为函数的导函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若任意，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先对参数进行分类讨论，再利用导数求解单调性即可. （2）利用分离参数法得到，再利用导数得到，最后得到参数范围即可. 【小问1详解】 因为，且定义域为， 所以，令，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，得到，令，得到， 故函数在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增； 当时在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）得， 因为对于任意，恒成立， 所以恒成立， 化简得恒成立，故恒成立， 令，则恒成立，， 令，则， 得到在单调递增，即 故，在单调递增，而， 即，故. 17. 已知函数，其中为实数． （1）若，试求函数的单调区间； （2）当，，且时，若恒有，试求实数取值范围． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，根据导函数的正负情况即可得出的单调区间； （2）由及得，即在区间上为增函数，设，且，由得，设函数，得在时为减函数，则，由不等式恒成立求解即可． 【小问1详解】 由题可知，， ，，， 令，得， 所以在上单调递增；在上单调递减． 函数的单调增区间为，单调减区间为． 【小问2详解】 函数 令，， 当时，可知，故恒成立， 可知，在区间上为单调增函数， 不妨设，且， 则变， 即， 设函数 ， 由，得在时为减函数， 即，即， 所以，对与恒成立， 因为当，， 所以， 即对时恒成立， 由，可得，即取值范围为． 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程; （2）当时，在上恒成立，求的取值范围; （3）若（是自然对数的底数），求证:. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程， （2）法一：利用导数证明在上单调递增，利用单调性，讨论，时函数的函数值的变化规律，由此可得的取值范围； 法二：验证时，不等式成立，当时，条件可转化为，结合导数求函数的最小值可得结论； （3）法一：判断的单调性结合零点存在性定理证明存在，使得，结合函数的单调性可得，再利用导数证明，证明结论； 法二：，在条件下，结合一次函数性质，利用导数证明结论. 【小问1详解】 时，， 函数的定义域为， 所以在处的切线斜率 又， 所以函数在处的切线方程为 即切线方程为， 【小问2详解】 法一: 由已知，令， 则，又，所以， 所以在上单调递增， 又， 当时，， 所以在上单调递增， 恒成立;. 当时，， 所以存在，当时，， 在上单调递减，， 此时在上恒成立，不成立.. 综上，， 法二:， 当时，，不等式成立 当时，不等式可化为， 所以， 由已知可得，.. 令，则， 令， 则， 所以在上单调递增，， 所以，在单调递增， 又， 综上， 【小问3详解】 法一:由已知，， 因为函数在都是增函数， 所以在上单调递增， 又， 所以存在，有， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以. 令，则 所以在上单调递增，即， 综上:当时，， 法二:令 当，即时，（恒成立）. 当，即时，在时单调递增， ， 令，， 因为在上都为增函数，且， 所以当，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 当，即时，在时单调递减， 所以， 令，则， 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递增， 所以， 综上：当时， 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 已知函数，若存在实数，使得，则称与为“互补函数”，为“互补数”. （1）判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由. （2）已知函数为“互补函数”，且为“互补数”. （i）是否存在，使得？说明理由. （ii）若，用的代数式表示的最大值. 【答案】（1）不是“互补函数”，理由见解析； （2）（i）存在，理由见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用导数分别求出，的值域，由“互补函数”的定义判断即可； （2）（i）根据定义，可得，即可求解；（ii）根据条件可化简得，令，利用导数求出的单调性，从而可得的最大值. 【小问1详解】 因为，则， 所以在单调递增，在单调递减，则，所以， 因为，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以. 故不存在实数，使得，则与不是“互补函数”. 【小问2详解】 （i）存在，使得. 由，得， 则，故存在. （ii）令，则， 两式相加可得， 两式相减可得 所以， 故. 令， 则 . 因为，所以， 故当时，，即在上是减函数. 因为， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试题 考试时间：120分钟 命题人：曾桂英 审题人：白根生 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 小米汽车首款车型小米SU7于2024年3月28日正式发布，该款车型有9种外观颜色，4种内搭颜色可供选择．若车主自由选择车的外观和内搭颜色，共有（ ）种情况 A. 4 B. 9 C. 13 D. 36 2. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知函数，则（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 4. 下列函数中，既是奇函数，又在上是单调函数的是（ ） A B. C. D. 5. 已知函数，在区间上任取两个不相等的实数，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有（ ）种. A. 40 B. 80 C. 120 D. 160 7. 已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（       ） A B. C. D. 8. 已知函数在区间上有且仅有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ） A. B. 函数在上递增，在上递减 C. 函数的极值点为， D. 函数的极大值为 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则的最小值为 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数存在唯一极值点，且 B. 令，则函数无零点 C. 若恒成立，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是________. 13. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： ①函数的对称中心坐标为______； ②计算______. 14. 已知不等式在上恒成立，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三次函数f（x）＝x3+ax2﹣6x+b，a，b∈R，f（0）＝1，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为﹣6. （1）求函数y＝f（x）的解析式； （2）求f（x）在区间[﹣2，4]上的最值. 16. 已知函数，，为函数的导函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若任意，恒成立，求a的取值范围． 17. 已知函数，其中为实数． （1）若，试求函数单调区间； （2）当，，且时，若恒有，试求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程; （2）当时，在上恒成立，求的取值范围; （3）若（是自然对数的底数），求证:. 19. 已知函数，若存在实数，使得，则称与“互补函数”，为“互补数”. （1）判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由. （2）已知函数为“互补函数”，且为“互补数”. （i）是否存在，使得？说明理由. （ii）若，用代数式表示的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $