专题4.3 利用平行四边形的性质与判定求解（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题4.3 利用平行四边形的性质与判定求解 · 典例分析 【典例1】【模型建构】 如图1，已知线段，所在直线交于点O，其所夹锐角为．小明在学习了平移之后，将图1中的线段，其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，，点D，E分别在，延长线上，且，，求证：． 方法一：过点E作，且，连接，，将证明，转化为证明； 方法二：过点C作，且，连接，，将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程． （2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己的思路解答下面问题： 如图5，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，，连接交于点G，求的度数． （3）如图6，在中，，D，E分别是边，上的点，且于点H，若，， ，请直接写出的长． 【思路点拨】 （1）先根据等腰直角三角形的性质得到； 方法一：如图1，过点作，且，连接，，证明四边形是平行四边形．得到，，再证明，，进而证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得到即可． 方法二：如图2，过点作，且，四边形是平行四边形．由，证明，得到，，再证明是等边三角形得到即可． （2）方法一：如答图3，过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形，得到，，再证明得到即可得结论； 方法二：如答图4，过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形得到，，再证明，得到，，进而求得即可； （3）如答图5，过点作，且，连接，作于点，证明四边形是平行四边，得到，，进而，则，在中，利用勾股定理分别求解即可． 【解题过程】 解：（1）证明：，， ， 方法一：如图1，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形． ，， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． ． 方法二：如图2，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形． ，， ， ，， ， 即， ， ， ， ，， ，， ， 是等边三角形， ．   （2）方法一：如图3，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ； 方法二：如图4，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ； （3）如图5，过点作，且．连接，作于点， 四边形是平行四边形． ，， ， ， 在中， 由勾股定理，得． 于点， ， 中，有． · 学霸必刷 1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的格点处，与相交于点O，若小正方形的边长为1，则的长为（   ） A． B．3 C． D．2 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 3．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，，且，则（    ） A．80° B．100° C．105° D．120° 4．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（    ） A．9 B．8 C．4 D．3 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，点D是的边的延长线上一点，点F是边上的一个动点（不与点B重合），以为邻边作平行四边形，又（点P、E在直线的同侧），如果，那么的面积与面积之比为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，四边形的对角线，交于点O，，，过O作直线分别交，于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为（    ） A．24 B．16 C．22.8 D．18.2 8．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（    ）．    A．28 B．26 C．24 D．20 9．（23-24八年级下·海南儋州·期中）如图，四边形中，交于点，，，，点在上，、分别在、上，且，，，连接，图中阴影部分的面积为（    ）    A．24 B．20 C．18 D．16 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为（    ） A．27 B．45 C．18 D．36 11．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知中，，点为上一动点，，连接．与交于点，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 12．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 13．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点E和F，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（2024·安徽阜阳·二模）如图，为等边三角形，D，E分别是边上的点，且满足，M是边上的一动点，以M，D，E为顶点，为对角线构造．若，则的最小值为（      ） A． B． C．6 D．4 15．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和为中点，连接、、，与交于点O，与交于点，连接，若，下列结论：①；②；③；④；⑤与的面积比为，其中正确的结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 16．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在等边中，，点M，N分别在边上，且，则线段的最小值为 ． 18．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，在四边形中，，，E是边上一点，连接，过点E作于点F，且．若，，则的长为 ． 19．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，点E、G分别是边上的点，，，作交于点F，交于点H，连接，若，则图中阴影面积为 ．    20．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 21．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，在四边形中，，，则 ． 22．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 23．（23-24九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在四边形中，，边的垂直平分线分别交边，于，，连接，若，，，则的长为 ． 24．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，梯形中，，，平分，，，则 ，梯形的周长为 ． 25．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，点点分别为的边上的点，连接，将沿翻折，点落在点处，连接．若，，，，，则的长为 ． 26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 27．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，E、F分别为边、上的点，且，连接，，则的最小值为 ．    28．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，、、都是等边三角形，则四边形的面积为 ．    29．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形中，，于点，在右侧的平面内有一点的面积是，当的最小值是时，那么 ． 30．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，中，，，，点为边上的中点，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为 ． 31．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在Rt中，，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在点处，当与的边平行时，线段的长为 ．        32．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如题图，为等边三角形，，分别是，边上的点，且，，是边上的一动点，以，，为顶点，为对角线构造平行四边形，则的最小值为 ． 33．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 34．（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，．  （1）求证：点E是中点； （2）若，，则的长为 ______． 35．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，六边形的六个内角均为，分别延长、交于点G，得到． （1）请判断的形状，并证明你的结论． （2）若，，，，直接写出六边形的周长为________． 36．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在等边中，D，E，F分别是边上的动点，满足，且．作点E关于的对称点G，连接． （1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形是平行四边形； （2）如图2，当，时，写出线段和的数量关系，并说明理由． 37．（23-24八年级下·河南南阳·期末）综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在中，，，，是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点． 【观察发现】 （1）如图1，若，则与的大小关系是 ；线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）当，且点在内部时，请直接写出线段的长． 38．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）问题背景：（1）如图1，点E为的边上一点，连接、，求证：； 尝试应用：（2）如图2，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接、交于点G，连接，若，求证：平分； 拓展创新：（3）如图3，和中，点D在边上，点B在边上，、交于点F，若，，，，，则______． 39．（23-24八年级下·广东佛山·期末）两张全等的纸片和，，，． （1）如图1，两张纸片拼在一起，使点、重合，点、重合，判断四边形的形状并说明理由； （2）将图1中的纸片沿方向平移（如图2），边，相交于点，边、相交于点，当平移距离是多少时，？ （3）如图3，两张纸片拼在一起，使点、重合，点落在边上，点落在边上，将纸片沿方向平移（如图4），边，相交于点，边、相交于点，平移过程（不含点、重合时）中，能平分吗？如果能，求平移的距离，如果不能，说明理由. 40．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，四边形为平行四边形，点P是边上一点，连接、，且和分别平分和． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，如果，求的周长． （3）如图3，点E、F在线段上，连接、，若，求的长度． 41．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知. （1）如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____； （2）如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接. ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系. 42．（23-24八年级下·四川成都·期末）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D是中点，平分，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，在中，，点C在线段的延长线上，且．在射线上取点E，若，请写出与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，对角线与交于点O，已知，，，点E在边上，连接的延长线交于点F，点G在对角线上，若，且的面积是面积的2倍，求线段的长．    43．（23-24九年级上·山东青岛·期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形” 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 应用：如图，在矩形中，，，点E在上，点F在上，，与交于点O． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）连接，若和是“友好三角形”，求四边形的面积． 探究：在中，，，点D在线段上，连接，和是“友好三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积． 44．（23-24八年级下·广东深圳·期末）问题背景：和都是等腰直角三角形，． （1）问题探究：连接与，与交点为F． ①如图1，与的数量关系是 （填“相等”或“不相等”），与的位置关系是 （填“平行”或“垂直”）； ②如图2，M、N分别是与的中点，； （2）问题拓展：当等腰直角旋转到如图3位置，连接，点H为中点，当B、C、D三点共线时，若，，请求出线段的长． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 利用平行四边形的性质与判定求解 · 典例分析 【典例1】【模型建构】 如图1，已知线段，所在直线交于点O，其所夹锐角为．小明在学习了平移之后，将图1中的线段，其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，，点D，E分别在，延长线上，且，，求证：． 方法一：过点E作，且，连接，，将证明，转化为证明； 方法二：过点C作，且，连接，，将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程． （2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己的思路解答下面问题： 如图5，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，，连接交于点G，求的度数． （3）如图6，在中，，D，E分别是边，上的点，且于点H，若，， ，请直接写出的长． 【思路点拨】 （1）先根据等腰直角三角形的性质得到； 方法一：如图1，过点作，且，连接，，证明四边形是平行四边形．得到，，再证明，，进而证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得到即可． 方法二：如图2，过点作，且，四边形是平行四边形．由，证明，得到，，再证明是等边三角形得到即可． （2）方法一：如答图3，过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形，得到，，再证明得到即可得结论； 方法二：如答图4，过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形得到，，再证明，得到，，进而求得即可； （3）如答图5，过点作，且，连接，作于点，证明四边形是平行四边，得到，，进而，则，在中，利用勾股定理分别求解即可． 【解题过程】 解：（1）证明：，， ， 方法一：如图1，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形． ，， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． ． 方法二：如图2，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形． ，， ， ，， ， 即， ， ， ， ，， ，， ， 是等边三角形， ．   （2）方法一：如图3，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ； 方法二：如图4，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ； （3）如图5，过点作，且．连接，作于点， 四边形是平行四边形． ，， ， ， 在中， 由勾股定理，得． 于点， ， 中，有． · 学霸必刷 1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的格点处，与相交于点O，若小正方形的边长为1，则的长为（   ） A． B．3 C． D．2 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键．连接，证明四边形是平行四边形得，由勾股定理得，从而有，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，进而可得，从而可得答案． 【解题过程】 解：如图，延长至点，使，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选D 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F，则可证明，继而，可证明四边形是平行四边形，故四边形的面积与平行四边形的面积相等，即可求解． 【解题过程】 解：过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F， ∴ ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积与平行四边形的面积相等， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，，且，则（    ） A．80° B．100° C．105° D．120° 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角．设，作出如图的辅助线，证明是等边三角形，由，得到，据此求解即可． 【解题过程】 解：作，，与交于点，连接， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 4．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（    ） A．9 B．8 C．4 D．3 【思路点拨】 本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，延长交于点，延长交于点，证明四边形、四边形均为平行四边形，得到，再证明和是等边三角形，得到，进而推出，则． 【解题过程】 解：延长交于点，延长交于点，   ∵，，， 四边形、四边形均为平行四边形， ∴． 为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴， ∵的周长为9， ∴ ， 故选D． 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，点D是的边的延长线上一点，点F是边上的一个动点（不与点B重合），以为邻边作平行四边形，又（点P、E在直线的同侧），如果，那么的面积与面积之比为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的判定和性质，数来你掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．过点P作交于H，连接，可证得四边形，是平行四边形，再根据四边形是平行四边形，设，可得，再根据，即可求解． 【解题过程】 解：过点P作交于H，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴P，E，F共线， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴． 故选：D． 6．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键．过作交于，根据平行四边形的性质得到，求得，得到，，根据已知条件得到，求得，根据平行线的性质得到，得到，于是得到结论． 【解题过程】 解：过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∵于，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，四边形的对角线，交于点O，，，过O作直线分别交，于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为（    ） A．24 B．16 C．22.8 D．18.2 【思路点拨】 本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．理解当最小时最小，且当时最小是解题关键．由题意易证四边形为平行四边形，从而可证，得出，进而求出，即说明当最小时最小，且当时最小．过点A作，可知，由勾股定理可求得，最后根据等积法可求出，进而即可求解． 【解题过程】 解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴当最小时最小，且当时最小． 如图过点A作， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即， ∴，即最小值为， ∴四边形周长的最小值为． 故选C． 8．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（    ）．    A．28 B．26 C．24 D．20 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质与判定和全等三角形的性质与判定．连接，先根据平行四边形的性质得到，再证明，可得，可判定四边形是平行四边形，从而得到，再证明四边形是平行四边形，可得，最后根据阴影部分的面积，即可求解． 【解题过程】 解：连接，如图，    ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故选：A 9．（23-24八年级下·海南儋州·期中）如图，四边形中，交于点，，，，点在上，、分别在、上，且，，，连接，图中阴影部分的面积为（    ）    A．24 B．20 C．18 D．16 【思路点拨】 用勾股定理求出，由得到，则，设交于点O，证明四边形是平行四边形，则，，可证，则，再证四边形是平行四边形，得，可证，则,即可得到． 【解题过程】 解：∵交于点， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交于点O，    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 故选：C． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为（    ） A．27 B．45 C．18 D．36 【思路点拨】 连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、．利用平行四边形的判定和性质，三角形不等式计算即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移，折叠，三角形不等式，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形不等式，勾股定理是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、． ∵，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵D、T关于对称， ∴，， ∴， ∵， ∴B、A、T共线， ∴， ∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的最小值为45， 故选B． 11．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知中，，点为上一动点，，连接．与交于点，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 【思路点拨】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．延长，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据勾股定理求出即可． 【解题过程】 解：延长，过点作，交的延长线于点，如图所示：    ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ，即， 解得：或（舍去）， 在中根据勾股定理得：， ， ． 故选：B． 12．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【思路点拨】 如图，设交于点，取的中点，连接，证明，推出，再证明即可． 【解题过程】 解：如图，设交于点，取的中点，连接， ，， ，， 是的中点，是的中点， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：A． 13．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点E和F，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】 设与的交点为H，过点A作，交于点O，根据平行四边形的性质可得，，，即可得，再根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质和等腰三角形的判定可得，，即可求得，，即可求解． 【解题过程】 解：如图，设与的交点为H，过点A作，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：A． 14．（2024·安徽阜阳·二模）如图，为等边三角形，D，E分别是边上的点，且满足，M是边上的一动点，以M，D，E为顶点，为对角线构造．若，则的最小值为（      ） A． B． C．6 D．4 【思路点拨】 本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．作交于点，证明四边形是平行四边形，推出，得到，点在直线上，当时，即有最小值，据此计算即可求解． 【解题过程】 解：作交于点，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上， 当时，即有最小值，根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边三角形的高， 作于点， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 15．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和为中点，连接、、，与交于点O，与交于点，连接，若，下列结论：①；②；③；④；⑤与的面积比为，其中正确的结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 利用等边三角形的性质，直角三角形的特征，等边三角形的三线合一性质，可判定①；利用直角三角形性质，斜边大于直角边，可判定②；利用全等三角形的性质，可判定③；利用平行四边形的性质，直角三角形的性质，可判定④；利用三角形面积特点，可判定⑤． 本题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识点的综合运用． 【解题过程】 解：设， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，F为中点， ∴， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故①正确； ∵，， ∴， 故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故④正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤错误， 故选B． 16．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 根据平行四边形性质得出，，，，根据，得出，即可判断②正确；取的中点N，连接，证明四边形为平行四边形，得出，证明，根据等腰三角形的性质得出，，求出，即可判断①正确；根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，即可判断③正确；求出，根据平行四边形的性质得出，判断④错误． 【解题过程】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴，故②正确； 取的中点N，连接，如图所示： 则， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，故④错误； 综上分析可知：正确的有3个，故C正确． 故选：C． 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在等边中，，点M，N分别在边上，且，则线段的最小值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查等边三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与平行四边形的性质与判定是解题的关键；过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线，然后可得四边形是平行四边形，则有，，进而可得，所以可知当当时，有最小值，最后问题可求解 【解题过程】 解：如解图，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线． ， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， ． ∵四边形是平行四边形， ， ∴当时，有最小值，此时， 最小值是． 故答案为 18．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，在四边形中，，，E是边上一点，连接，过点E作于点F，且．若，，则的长为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，角平分线的判定，先证明，再由角平分线的判定定理得到，进而证明四边形是平行四边形得到；利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【解题过程】 解：， ， ， ∵，，， 是的平分线， ， ， 四边形是平行四边形， ． ，，， ， ， ，即， 解得， ， ∴ 故答案为：． 19．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，点E、G分别是边上的点，，，作交于点F，交于点H，连接，若，则图中阴影面积为 ．    【思路点拨】 本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．先证四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，由面积的和差关系可求解． 【解题过程】 解：如图，设与的交点为O，连接，    ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴阴影面积， 故答案为：25． 20．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 【思路点拨】 由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，即，进而可求出，则，由已知条件可证得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，于是得解． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴,， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，在四边形中，，，则 ． 【思路点拨】 本题考查的是平行四边形的判定与性质，旋转的性质及勾股定理，将绕点D顺时针旋转得到，连接，作于点H，先求出，证明四边形是平行四边形，从而求出，进而求出答案． 【解题过程】 解：如下图，将绕点D顺时针旋转得到，连接，作于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：15． 22．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．由平行四边形的性质结合等腰三角形的判定，可得，再由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【解题过程】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∵的平分线与的延长线交于点E，与交于点F， ∴， ∴ ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（23-24九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在四边形中，，边的垂直平分线分别交边，于，，连接，若，，，则的长为 ． 【思路点拨】 本题考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，延长，交于点，由线段垂直平分线的性质得出，，证明四边形是平行四边形，得出，推出，证明，即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解题过程】 解：如图，延长，交于点， ， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，梯形中，，，平分，，，则 ，梯形的周长为 ． 【思路点拨】 此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形中所对直角边与斜边的关系等知识，根据题意得出的长是解决问题的关键．根据，以及得出，从而得出，进而得出，，即可得出答案． 【解题过程】 解：平分， ， ∵， ∴，，， ∴，， ， ∴， 过点C作，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴， 梯形的周长为：． 故答案为：90；． 25．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，点点分别为的边上的点，连接，将沿翻折，点落在点处，连接．若，，，，，则的长为 ． 【思路点拨】 本题考查了折叠的性质、平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．延长交于G，延长，交于点M，根据折叠的性质得，由勾股定理求出，，再证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质及等角对等边即可得出． 【解题过程】 解：如图，延长交于G，延长，交于点M， ∵将沿折叠，得到， ∴，，，； ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 【思路点拨】 作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，则，根据轴对称得和，那么，周长为，当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为，利用勾股定理求得，等面积法求得，则有，在中求得即可． 【解题过程】 解：作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，如图， 则四边形为平行四边形， ∴， ∵点C关于线段AB的对称点， ∴，， ∴， 则周长为， 当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， 则，周长最小为， 故答案为：． 27．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，E、F分别为边、上的点，且，连接，，则的最小值为 ．    【思路点拨】 本题主要考查平行四变形的判定和性质，含30度直角三角形及轴对称的性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，作点C关于的对称点H，连接，根据平行四边形的性质及判定得出四边形为平行四边形，再由轴对称的性质确定当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长，然后结合图形利用勾股定理求解即可． 【解题过程】 解：连接，作点C关于的对称点H，连接，如图所示：    ∵平行四边形，，，， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点C、H关于对称， ∴， ， ， 当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 28．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，、、都是等边三角形，则四边形的面积为 ．    【思路点拨】 根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形为平行四边形．由勾股定理的逆定理判定，则，故易求所以由平行四边形的面积公式即可解答． 【解题过程】 解：在中，，，， ， ， ，都是等边三角形， ， ． 和都是等边三角形， ， ． 在与中， ≌， ， 同理可证≌， ， 四边形是平行四边形． ， 如图，过点作，交于点，    ， ． 即四边形的面积是． 故答案为． 29．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形中，，于点，在右侧的平面内有一点的面积是，当的最小值是时，那么 ． 【思路点拨】 设的上的高为，先证明点在平行于，且到边的距离等于的直线上，延长交于点，并在射线上取，连接交直线于点，连接，过点作于，求得点、关于直线对称时， ，再证四边形是平行四边形，得，，最后利用勾股定理即可得解． 【解题过程】 解：设的上的高为， ∵的面积是，， ∴， 解得， ∴点在平行于，且到边的距离等于的直线上， 延长交于点，并在射线上取，连接交直线于点，连接，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点、关于直线对称， ∵当的最小值是， ∴点、关于直线对称时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 30．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，中，，，，点为边上的中点，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角的性质和判定，轴对称等．过点F作交于点Q，作点E关于的对称点P，连接，并延长交于点M，则，可得五边形的周长最小值为，再根据平行四边形的性质可得，从而得到是等腰直角三角形，进而得到，，再由勾股定理可得，即可求解． 【解题过程】 解：如图，过点F作交于点Q，作点E关于的对称点P，连接，并延长交于点M，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴五边形的周长为， ∴五边形的周长最小值为， ∵点为边上的中点，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即五边形的周长最小值为． 故答案为：． 31．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在Rt中，，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在点处，当与的边平行时，线段的长为 ．        【思路点拨】 本题考查了平行四边形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，分平行和平行两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【解题过程】 解：当时，则，如图，    在中，，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 当时，则，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行， ∴四边形是平行四边形， ∴, 由折叠的性质得， ∴； 综上，线段的长为或， 故答案为：或 32．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如题图，为等边三角形，，分别是，边上的点，且，，是边上的一动点，以，，为顶点，为对角线构造平行四边形，则的最小值为 ． 【思路点拨】 作交于点，证明四边形是平行四边形，推出 ，得到，点在直线上, 当 时， 即有最小值，据此计算即可求解． 【解题过程】 解：作交于点，连接，， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上， 当时，即有最小值，根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边的高， 作于点， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 33．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【思路点拨】 本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等． （1）根据三等分点可得，依据平行线的性质可得，，即可证明全等； （2）证明四边形为平行四边形，得到，过点E作于点M，根据含30度角直角三角形的性质即可求解． 【解题过程】 （1）证明：∵G，H分别是的三等分点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）由（1）知，且， 四边形为平行四边形， ， ， 过点E作于点M， ， ， ， ， 又G，H分别是的三等分点， 34．（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，．    （1）求证：点E是中点； （2）若，，则的长为 ___． 【思路点拨】 （1）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，即可证明结论； （2）证明四边形为平行四边形，得出，求出，证明，，得出，，最后求出结果即可． 【解题过程】 （1）证：如图： ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵、分别平分和， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点； （2）解：根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4． 35．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，六边形的六个内角均为，分别延长、交于点G，得到． （1）请判断的形状，并证明你的结论． （2）若，，，，直接写出六边形的周长为________． 【思路点拨】 （1）根据，得出，，证明，即可证明结论； （2）延长，交于点H，根据等边三角形的性质得出，，，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，，最后求出结果即可． 【解题过程】 （1）解：为等边三角形． 理由如下： ∵六边形的六个内角均为， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：延长，交于点H，如图所示： 根据（1）知，是等边三角形，同理也是等边三角形 ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴六边形的周长为：． 36．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在等边中，D，E，F分别是边上的动点，满足，且．作点E关于的对称点G，连接． （1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形是平行四边形； （2）如图2，当，时，写出线段和的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）先补图，证明，则，由点E、G关于对称，可得，则，由，证明，进而结论得证； （2）如图2，作点E关于的对称点G，连接，，则，，同理（1），四边形是平行四边形，则，证明是等边三角形，则，由，可得，则，，由勾股定理得，，进而可得． 【解题过程】 （1）解：补图如下图1；         ∵等边， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵点E、G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下； 如图2，作点E关于的对称点G，连接，，         ∴，， 同理（1），四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴． 37．（23-24八年级下·河南南阳·期末）综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在中，，，，是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点． 【观察发现】 （1）如图1，若，则与的大小关系是 ；线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）当，且点在内部时，请直接写出线段的长． 【思路点拨】 本题考查折叠性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）根据折叠性质得到，，则利用平角定义得，利用中点性质和等边对等角得，利用三角形的内角和定理得到，进而可证，，证明四边形是平行四边形可得； （2）与（1）证明方法类同，可得结论仍然成立； （3）作于点，利用折叠性质可得，则为等腰直角三角形，进而求得，在中，由勾股定理可得，进而可求解． 【解题过程】 解：（1）由折叠性质得，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，则， ∴，即； ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：，，； （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立， 理由如下：由折叠，可得，． ∵为的中点， ∴． ∴． ∴， 又， ∴． ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （3）作于点，则， ∵， ∴， ∴，则为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴． 38．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）问题背景：（1）如图1，点E为的边上一点，连接、，求证：； 尝试应用：（2）如图2，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接、交于点G，连接，若，求证：平分； 拓展创新：（3）如图3，和中，点D在边上，点B在边上，、交于点F，若，，，，，则______． 【思路点拨】 （1）设中边上的高为h，根据平行四边形和三角形的面积公式计算即可的得证； （2）连接，，过A作于M，于N，利用（1）的结论可得出，然后利用三角形面积可证明，最后利用角平分线的判定即可得证； （3）过点C作，过E作，两线相交于K，连接，过K作于Q，过E作于P，由（2）可知平分，即，进而求出，在中，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，在中，同理求出，，然后在中，利用勾股定理求，即可求解． 【解题过程】 （1）证明：设中边上的高为h， 则，， ∴； （2）证明：如图，连接，，过A作于M，于N， 由（1）知，， ∴， ∴， 又 ∴， 又，， ∴平分； （3）解：过点C作，过E作，两线相交于K，连接，过K作于Q，过E作于P， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴由（2）可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 故答案为：． 39．（23-24八年级下·广东佛山·期末）综合探究 两张全等的纸片和，，，． （1）如图1，两张纸片拼在一起，使点、重合，点、重合，判断四边形的形状并说明理由； （2）将图1中的纸片沿方向平移（如图2），边，相交于点，边、相交于点，当平移距离是多少时，？ （3）如图3，两张纸片拼在一起，使点、重合，点落在边上，点落在边上，将纸片沿方向平移（如图4），边，相交于点，边、相交于点，平移过程（不含点、重合时）中，能平分吗？如果能，求平移的距离，如果不能，说明理由. 【思路点拨】 （1）根据平行四边形的判定方法进行解答即可； （2）设，则根据直角三角形的性质得出，，，列出关于x的方程，求出，得出，即可得出答案； （3）过点作于，延长交于，证明四边形是平行四边形，得出，假设平移过程中可能平分，证明，得出，证明，根据直角三角形的性质得出，说明这与矛盾，假设不成立，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 全等的和， ，， 四边形是平行四边形. （2）解：由题可得：，，， ，， 由平移的性质可知：， ，， ， 设， 则，， 若，则， ， 解得：， ， 即平移的距离是时，． （3）解：平移过程中不会平分，理由如下： 过点作于，延长交于，如图所示： 由平移的性质可知：， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， 假设平移过程中可能平分， 则有：， ，， ， ， ，， 由题意可知：， ， ， 这与矛盾， 假设不成立， 综上所述，平移过程中不能平分． 40．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，四边形为平行四边形，点P是边上一点，连接、，且和分别平分和． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，如果，求的周长． （3）如图3，点E、F在线段上，连接、，若，求的长度． 【思路点拨】 （1）先根据平行四边形的性质得出，再根据平行线的性质得出角之间的关系，再根据角平分线的意义求解即可； （2）根据角平分线的意义和平行四边形的性质进而得出，，再由勾股定理得出长度，进而求解即可； （3）在上截取，连接，在上截取，连接，连接，过点M作，交延长线于点Q，先证明四边形是平行四边形，继而得出，再证明，继而得出，再利用含30度的直角三角形的性质及勾股定理求出长度，再由平行四边形的性质求解即可． 【解题过程】 （1）∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴ （2）∵四边形为平行四边形， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为； （3）如图，在上截取，连接，在上截取，连接，连接，过点M作，交延长线于点Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵和分别平分和， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 41．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知. （1）如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____； （2）如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接. ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系. 【思路点拨】 （1）作于点I，利用等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）①依照题意补全图形即可； ②延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，利用证明，推出，，再证明，推出，即可证明； （3）连接，作并交的延长线于点K，推出四边形是平行四边形，得到是直角三角形，，求得即可解决问题． 【解题过程】 （1）解：解：作于点I， 由题意得，是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴此时的面积为， 故答案为：； （2）解：①补全图形如图， ②；理由如下， 延长交的延长线于点H，延长交于点J， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 连接，作并交的延长线于点K， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 42．（23-24八年级下·四川成都·期末）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D是中点，平分，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，在中，，点C在线段的延长线上，且．在射线上取点E，若，请写出与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，对角线与交于点O，已知，，，点E在边上，连接的延长线交于点F，点G在对角线上，若，且的面积是面积的2倍，求线段的长．    【思路点拨】 （1）延长至点E，使，连接，证明，可得，再由平分，可得，从而得到，即可； （2）延长至点K，使，连接，证明，可得，，从而得到，然后根据等腰三角形的性质可得，即可； （3）连接，过点F作于点P，，可得到四边形是平行四边形，从而得到，，进而得到，再由的面积是面积的2倍，可得，从而得到，然后根据直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理可求出，即可求解． 【解题过程】 （1）证明：如图，延长至点E，使，连接， ∵点D是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长至点K，使，连接，    ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，过点F作于点P，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 43．（23-24九年级上·山东青岛·期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形” 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 应用：如图，在矩形中，，，点E在上，点F在上，，与交于点O． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）连接，若和是“友好三角形”，求四边形的面积． 探究：在中，，，点D在线段上，连接，和是“友好三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积． 【思路点拨】 应用：（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得，即可证得和是友好三角形； （2）和是“友好三角形”，即可得到是的中点，则可以求得、的面积，根据即可求解． 探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形是平行四边形，求出和推出，根据三角形面积公式求出即可；②求出高，再求出△的面积，即可求出的面积． 【解题过程】 解：应用：（1）证明：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 和是友好三角形． （2）解：和是友好三角形， ，， 与是友好三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， ； 探究： 解：分为两种情况：如图1所示， ． ， 沿折叠和重合， ， △与重合部分的面积等于面积的， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 过作于， ，， ， 即和重合， ， 由勾股定理得：， 的面积是， 如图2所示， ． ， 沿折叠和重合， ， 与重合部分的面积等于面积的， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 过作于， ，， ， ； 即的面积是2或． 44．（23-24八年级下·广东深圳·期末）问题背景：和都是等腰直角三角形，． （1）问题探究：连接与，与交点为F． ①如图1，与的数量关系是 （填“相等”或“不相等”），与的位置关系是 （填“平行”或“垂直”）； ②如图2，M、N分别是与的中点， ； （2）问题拓展：当等腰直角旋转到如图3位置，连接，点H为中点，当B、C、D三点共线时，若，，请求出线段的长． 【思路点拨】 （1）①可证得，从而，进一步得出结果；②连接，可证得，从而，进一步得出结果； （2）当C在上时，作于R，延长至W，使，结合勾股定理可求得，再证四边形是平行四边形，可得，可得，可证得，从而，即可得出的值；当点C在的延长线上时，同样的方法得出的值． 【解题过程】 （1）解：①如图1，设与交于点O， ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：相等，垂直； ②如图2，连接， 由①知，， ∵M、N分别是与的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）解：如图3，当C在上时，作于R，延长至W，使， ∴， ∵， ， ， ， ∵H是的中点， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图4，当点C在的延长线上时，作于R， 同理， ∴， 综上所述：的长为 2或4． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$