精品解析：2025年河南省开封市尉氏县九年级中考第一次模拟考试数学试题

尉氏县2025年第一次模拟卷•数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年1月，国家统计局公布了2024年出生人口数据，全年出生人口由降转增，2024年全年出生人口数约为9540000，相比2023年增加了520000人．其中数字9540000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，E、F分别是矩形ABCD边AB、CD上的点，将矩形ABCD沿EF折叠，使A、D分别落在A′和D′处，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A. 65° B. 60° C. 50° D. 40° 6. 化简的结果为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 若关于x一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论： ①；②；③； ④方程有两个不相等的实数根； ⑤若点在该抛物线上，则其中正确个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 根据物理学知识，压强就是单位面积上受到压力，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P是它的受力面积S的反比例函数，其函数图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. P关于S的函数关系式为，； B. 当时，物体所受的压强是； C. 当时，受力面积； D. 压强随着面积的增大而增大． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个y随x增大而减小且过原点的函数______． 12. 不等式组的解集是______． 13. 如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1．点A、B、C、D均在格点上．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 14. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，斜边轴，点的坐标为且，反比例函数的图象经过点，则的值为________． 15. 如图，在矩形中，，．点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D的对应点恰好落在直线上，则的长为_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 问题情境：某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有A、B两款语音识别输入软件满足公司需求，该公司准备择优购买． 实践发现：测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都有10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理数据如下． A款软件每段短文中识别正确的字数记录为：5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10． B款软件每段短文中识别正确的字数折线统计图 实践探究：A、B两款软件每段短文中识别正确的字数分析数据如表： 软件 平均数 众数 中位数 识别正确9字及以上的段数所占百分比 A款 7.7 6 8 B款 7.7 a b 问题解决： （1）上述表格中： ， ． （2）若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若会议记录员用A、B两款软件各识别了400段短文，每段短文有10个文字，请估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？ 18. 如图，是矩形的对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作点关于的对称点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，交于点．求证：． 19. 日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察，如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即与相切于点D），点A在上，AO为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与交于点E，与交于点B，连接AC，，dm，. （1）求证：； （2）求的长． 20. 为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》订购单价的 1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元． （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《朝花夕拾》最多购买多少本． 21. 数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长． 测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可． 解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度． 运算过程 ．．．．．．．． 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，， 22. 已知二次函数（a为常数，）． （1）该函数图象的对称轴是直线________； （2）若，当时，求函数值y的取值范围； （3）若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． 23. 【问题情境】 在综合实践活动课上，马老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，设． 【操作探究】 如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接． （1）当时，______； （2）当时，求； （3）如图2，取的中点，将绕着点旋转一周，求点的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 尉氏县2025年第一次模拟卷•数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是绝对值相等，符号相反的两个数是解题关键． 根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：的相反数是． 故选：B． 2. 2025年1月，国家统计局公布了2024年出生人口数据，全年出生人口由降转增，2024年全年出生人口数约为9540000，相比2023年增加了520000人．其中数字9540000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：C． 3. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查立体几何的三视图，理解并掌握三视图的特点是解题的关键． 根据立体几何的特点，确定三视图，注意：立体几何中能看到的线用实线，存在但看不到的线用虚线表示，由此即可求解． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形， 即看到的图形为， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由合并同类项可判断A，由单项式除以单项式可判断B，由积的乘方运算可判断C，由完全平方公式可判断D，从而可得答案． 【详解】解：和不是同类项，不能合并，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是合并同类项，单项式除以单项式，积的乘方运算，完全平方公式的应用，掌握以上基础运算是解本题的关键． 5. 如图，E、F分别是矩形ABCD边AB、CD上的点，将矩形ABCD沿EF折叠，使A、D分别落在A′和D′处，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A. 65° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质得到∠AEF＝∠A′EF，再根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】由折叠的性质得，∠AEF＝∠A′EF， ∵∠1＝50°， ∴∠AEF＝∠A′EF＝＝65°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠2＝∠AEF＝65°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形中折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠的性质，是解题的关键． 6. 化简的结果为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，利用分式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 7. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解∶∵一元二次方程没有实数根， ∴， 解得， 故选：B． 8. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了树状图法，概率公式，画树状图，共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记A、B、C、D， 画树状图如下， 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的结果有2种， ∴小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是， 故选：B． 9. 抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论： ①；②；③； ④方程有两个不相等的实数根； ⑤若点在该抛物线上，则其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由开口方向及与轴的交点可判断，，，再根据“左同右异”的方法可判断的符号，从而可判断①；由对称轴可判断②；由图象得和对称轴可求，可得抛物线与的另一个交点为，代入即可判断③；设，则图象为过且垂直于轴的一条直线，并且与抛物线有两个交点，可判断④；当时，，即可判断⑤． 【详解】解：由图得：，， 对称轴在轴右侧， ， ， 故①错误； 抛物线的对称轴是直线， ， ， 故②正确； 由图象得， 解得：， 抛物线与的另一个交点为， ， 即：， 故③正确； 设，则图象为过且垂直于轴的一条直线， 与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根； 故④正确； 抛物线的对称轴是直线， 且， 当时， ， ， 故⑤正确； 综上所述：正确的有②③④⑤，共个； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握性质，能利用数形结合的思想解题是解题的关键． 10. 根据物理学知识，压强就是单位面积上受到的压力，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P是它的受力面积S的反比例函数，其函数图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. P关于S的函数关系式为，； B. 当时，物体所受的压强是； C. 当时，受力面积是； D. 压强随着面积的增大而增大． 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出反比例函数解析式，再利用函数解析式和函数图象分别进行解答即可． 【详解】解：把代入得到，， ∴P关于S的函数关系式为，， 故A正确； 当时，物体所受的压强是，故B正确； 当时，，解得，即受力面积是；故C正确； ∵， ∴在压力不变情况下，某物体承受的压强随着面积的增大而减小，故D错误． 故选：D 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个y随x增大而减小且过原点的函数______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查函数和图象的性质，熟悉相关的知识是解题的关键；根据y随x增大而减小且过原点，若此函数为正比例函数，则，即可求解． 【详解】解：∵函数y随x增大而减小且过原点； 若此函数为正比例函数； ∴； 则此函数可以：； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 不等式组解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定公共部分即可得答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 故答案为：． 13. 如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1．点A、B、C、D均在格点上．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积、勾股定理及逆定理，先利用勾股定理求得，，再利用勾股定理的逆定理得，再根据即可求解，熟练掌握扇形的面积公式及勾股定理及逆定理是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接，，如图： 根据勾股定理得：，， ， ， 为圆的直径，点是的中点， ，， ， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，斜边轴，点的坐标为且，反比例函数的图象经过点，则的值为________． 【答案】－12 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形，解直角三角形，作轴于，轴于，根据点的坐标为且，得出的坐标，进而根据得出的坐标，进而即可求解． 【详解】解：作轴于，轴于， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点的坐标为且， ∵轴， ∴ ∴, ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，．点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D的对应点恰好落在直线上，则的长为_________． 【答案】4或16 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质． 分点Q在线段上，由翻折得；和点在的延长线上，由翻折得，两种情况讨论，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：①当点Q在线段上时，如图1， 四边形是矩形， ， ． 由翻折得， ． ． 在中，， ． ②当点在的延长线上时，如图2， 四边形是矩形， ， ． 由翻折得， ， ． 在中，， 综上所述，的长度为4或16 故答案为：4或16． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】此题主要考查了绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、整式的混合运算． （1）直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用完全平方公式以及平方差公式化简，再合并同类项得出答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 问题情境：某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有A、B两款语音识别输入软件满足公司需求，该公司准备择优购买． 实践发现：测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都有10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理数据如下． A款软件每段短文中识别正确的字数记录为：5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10． B款软件每段短文中识别正确的字数折线统计图 实践探究：A、B两款软件每段短文中识别正确的字数分析数据如表： 软件 平均数 众数 中位数 识别正确9字及以上的段数所占百分比 A款 7.7 6 8 B款 7.7 a b 问题解决： （1）上述表格中： ， ． （2）若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若会议记录员用A、B两款软件各识别了400段短文，每段短文有10个文字，请估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？ 【答案】（1）8；8 （2）会向公司推荐A款软件，理由见解析 （3）估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有140段 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计总体，看懂统计图，灵活运用所给数据求解是解答的关键． （1）直接根据所给数据，以及众数和中位数的求法解答即可； （2）根据表格中两款统计数据求解即可； （3）分别用两款软件识别的总段数乘以各自样本中一字不差地识别正确的段数所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图知，B款软件每段短文中识别正确的字数8出现段数最多，故众数； 处于第10和11位的数据都为8，故中位数； 故答案为：8；8； 【小问2详解】 解：会向公司推荐A款软件 理由如下：A款语音识别输入软件更准确，因为在识别正确9字及以上段数所占百分比中，A款是50%，大于B款的30%，说明A款识别准确率更高，所以会向公司推荐A款软件； 【小问3详解】 解：A款软件识别完全正确的百分比是， B款软件识别完全正确的百分比是， （段）． 答：估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有140段． 18. 如图，是矩形的对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作点关于的对称点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，交于点．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）按作过外一点的垂线的尺规作图方法作出的垂线，垂足为O，再以O为圆心，在射线上的另一侧截取，即得点关于的对称点； （2）由线段垂直平分线的性质得，由等腰三角形的性质得；再由矩形的性质及平行线的性质即可得，从而证得结论成立． 【小问1详解】 解：如图所示，点E即为所求．（作法不唯一） 【小问2详解】 证明：由对称的性质，可知垂直平分线段， ∴． ∴． ∵四边形为矩形， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，对称的性质，垂直平分线的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，正确作图是解题的关键． 19. 日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察，如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即与相切于点D），点A在上，AO为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与交于点E，与交于点B，连接AC，，dm，. （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可推出，通过证可得，即可求证； （2）由可得，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图： ∵与相切于点D ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：由（1）可得： ∴ ∵ ∴ 在直角三角形中：， ∴ ∴ 在直角三角形中： ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判断及性质、利用勾股定理及三角函数解三角形．熟悉相关结论进行几何推导是解题关键． 20. 为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》订购单价的 1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元． （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《朝花夕拾》最多购买多少本． 【答案】（1）《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元． （2）《朝花夕拾》最多购买50本 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元，列出关于x的分式方程求解即可； （2）设再订购本《朝花夕拾》，则再订购本《西游记》，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围． 【小问1详解】 设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元．由题意得． 解得． 经检验，是所列方程解，且符合题意． （元）． 答：《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元． 【小问2详解】 设再订购本《朝花夕拾》，则再订购本《西游记》． 由题意得． 解得． 答：《朝花夕拾》最多购买50本． 21. 数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长． 测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可． 解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度． 运算过程 ．．．．．．．． 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，， 【答案】（1）遮阳篷前端到墙面的距离约为（2）挡沿部分的约为． 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的相关知识． （1）作于，由，，可得，即可求解； （2）作于，于，延长交于，则，可得四边形、四边形是矩形，在中，由，求出，根据，求出，然后根据，求出，最后由线段的和差即可求解． 【详解】解：（1）如图，作于， ，． 在中，，即， ， 答：遮阳篷前端到墙面的距离约为； （2）解：如图，作于，于，延长交于，则， 四边形、四边形是矩形， 由（1）得， ， 在中，，即， ， 由题意得：， ， 在中，，即， ， ， 答：挡沿部分的长约为． 22. 已知二次函数（a为常数，）． （1）该函数图象的对称轴是直线________； （2）若，当时，求函数值y的取值范围； （3）若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据的对称轴为求解，即可解题； （2）将代入函数解析式计算，得到函数解析式，再根据抛物线的增减性和最值求解，即可解题； （3）根据根的判别式，以及不等式性质求解，即可证明该函数的图象与x轴有两个公共点． 【小问1详解】 解：， 该函数图象的对称轴是直线； 故答案为：； 【小问2详解】 解：将代入函数解析式得，， 抛物线的对称轴为直线，开口向下． ， 当时，y最大是4，当时，y最小是0， ； 【小问3详解】 证明：，且， ，， ， 该函数的图象与x轴有两个公共点． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线对称轴，增减性、最值，与坐标轴交点情况，根的判别式，不等式性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 23. 【问题情境】 在综合实践活动课上，马老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，设． 【操作探究】 如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接． （1）当时，______； （2）当时，求； （3）如图2，取的中点，将绕着点旋转一周，求点的运动路径长． 【答案】（1）4 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，当时，与重合，证明为等边三角形，得出即可； （2）当时，根据勾股定理逆定理得出，两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可； （3）根据等腰三角形的性质，得出，即，确定将绕着点旋转一周，点在以为直径的圆上运动，求出圆的周长即可． 【小问1详解】 解：∵和中，，， ∴，，则 ∴当时，与重合，如图所示：连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：4； 【小问2详解】 当时， ∵，则， ∴当时，为直角三角形，， ∴， 当在下方时，如图所示： ∵， ∴此时； 当在上方时，如图所示： ∵， ∴此时； 综上分析可知，当时，或； 【小问3详解】 解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∴将绕着点旋转一周，点在以为直径的圆上运动， ∵ ∴点运动的路径长为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是画出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$