10.3 平行线的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（沪科版2024）

10.3 平行线的性质 第10章 相交线、平行线与平移 七年级下册数学（沪科版） 1.掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行关系判 断角相等或互补；（重点） 2.能够根据平行线的性质进行简单的推理. 学习目标 根据右图填空： ① 如果∠1＝∠C， 　 那么＿＿∥＿＿（ 　　　 ）. ② 如果∠1＝∠B， 那么＿＿∥＿＿（ 　　 　　 　 ）. ③ 如果∠2＋∠B＝180°， 　 那么＿＿∥＿＿（ 　　 ）. AB CD EC BD 同位角相等， 两直线平行 内错角相等，两直线平行 EC BD 同旁内角互补，两直线平行 E A C D B 1 2 3 4 导入新课 两直线平行 1. 同位角相等 2. 内错角相等 3. 同旁内角互补 问题 通过上题可知平行线的判定方法有哪些？ 思考 反过来，如果已知两条平行线被第三条直线所截，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么数量关系呢? 活动 画两条平行线 a∥b，然后画一条截线 c 与 a、b 相交，标出如图所示的角. 度量所形成的 8 个角的度数，把结果填入下表： 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数 角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 b 1 2 a c 5 6 7 8 3 4 一、平行线的性质 1 平行线的性质 1 新知探究 观察 ∠1~∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间 有什么关系？说出你的猜想： 猜想 两条平行线被第三条直线所截，同位角＿＿＿. 相等 b 1 2 a c 5 6 7 8 3 4 a b d 再任意画一条截线 d，同样度量各个角的度数，你的猜想还成立吗？ 如果两直线不平行，上述结论还成立吗？ 一般地，平行线具有如下性质： 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. b 1 2 a c 所以∠1 =∠2 (两直线平行，同位角相等). 因为直线 a∥b (已知)， 应用格式： 要点归纳 思考：在上一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”，类似地，已知“两直线平行，同位角相等”， 能否得到内错角之间的数量关系？ 二、平行线的性质 2 如图，已知 a∥b，那么 2 与3 相等吗？为什么? 解：相等，理由如下： 因为 a∥b(已知)， 所以 ∠1 =∠2(两直线平行，同位角相等). 又因为∠1 =∠3(对顶角相等)， 所以∠2 =∠3(等量代换). b 1 2 a c 3 性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 所以 ∠2 =∠3 （两直线平行，内错角相等）. 因为直线 a∥b（已知）， 应用格式： b 1 2 a c 3 要点归纳 b 1 2 a c 4 解：2 +4 = 180°， 因为 a∥b (已知)， 所以1 =2 (两直线平行，同位角相等). 因为1 +4 = 180° (平角的定义)， 所以2 +4 = 180° (等量代换). 思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？ 三、平行线的性质 3 如图，已知 a∥b，那么 2 与 4 有什么关系呢？为什么? 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. b 1 2 a c 4 所以∠2 +∠4 = 180° （两直线平行，同旁内角互补）. 因为直线 a∥b（已知）， 应用格式： 典例精析 例1 如图，已知点 D，E，F 分别在三角形 ABC 的边 AB，AC，BC 上，且 DE∥BC，∠B = 48°. （1）求∠ADE 的度数； （2）若 FD 是∠BFE 的平分线，且EF∥AB. 求∠EDF 的度数. D A C B E F 解：（1）因为 DE∥BC， 所以∠ADE =∠B = 48°. 解：因为 FD 平分∠BFE， 所以∠BFD =∠EFD = ∠BFE. 由 EF∥AB， 得∠B +∠BFE = 180°， 且∠BFD = ∠BFE， 即∠B + 2∠BFD = 180°. 因为∠B = 48°，所以∠BFD = 66°. 因为DE∥BC， 所以∠EDF=∠BFD=66°. D A C B E F (2) 若 FD 是∠BFE 的平分线，且 EF∥AB. 求∠EDF 的度数. (1) 由 DE∥BC，可以得到∠ADE =_______. 依据是____________________________. (2) 由DE∥BC，可以得到∠DFB =________. 依据是_______________________________. (3) 由 DE∥BC ，可以得到∠C +_______ = 180° 依据是_________________________. (4)由 DF∥AC，可以得到∠AED =_______， 依据是_________________________. (5)由 DF∥AC，可以得到∠C =______， 依据是_________________________. 1. 看图填空: ∠B 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同位角相等 ∠EDF ∠DEC ∠EDF ∠BFD 课本练习 2. 如图，直线 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB 于点 E、交 CD 于点 F，且∠AEF = 90°，求 ∠DFE 的度数.由此你能得到直线 EF 与直线 CD 有怎样的位置关系? A B C D E F 解：因为 AB∥CD，∠AEF = 90°， 所以∠DFE =∠AEF = 90° (两直线平行，内错角相等). 所以直线 EF 与直线 CD 互相垂直. 3.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠C = 71°，试求∠D 的度数. 解：因为 AD∥BC， 所以∠C +∠D = 180° (两直线平行，同旁内角互补). 因为∠C = 71°， 所以∠D = 180°－∠C=180°－71° = 109°. 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 平行线的判定 平行线的性质 线的关系 角的关系 性质 角的关系 线的关系 判定 讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论） 四、平行线的判定与性质 解：∠BAP +∠APC =∠PCD. 方法一：如图,作∠PCE =∠APC， 交 AB 于点 E.则 AP∥CE. 所以 ∠AEC =∠A. 所以∠BAP +∠APC =∠PCE +∠AEC. 因为AB∥CD，所以 ∠ECD =∠AEC. 所以∠BAP +∠APC =∠PCE +∠ECD =∠PCD. 例2 如图，AB∥CD，猜想∠BAP，∠APC，∠PCD 的数量关系，并说明理由. A B C D P E 还可以怎样作辅助线？ A B C D P E 方法二：如图，作∠APE =∠BAP， 则 EP∥AB. 因为 AB∥CD， 所以 EP∥CD. 所以∠EPC =∠PCD. 所以∠APE +∠APC =∠PCD， 即∠BAP +∠APC =∠PCD. 例2 如图，AB∥CD，猜想∠BAP，∠APC，∠PCD 的数量关系，并说明理由. 例3 如图，若 AB∥CD，你能确定∠B，∠D 与∠BED 之间的等量关系吗？说说你的看法． B D C E A 解：如图，过点 E 向右作 EF∥AB． 则∠B =∠BEF． 因为 AB∥CD，所以EF∥CD． 所以∠D =∠DEF． 所以∠B +∠D =∠BEF +∠DEF， 即∠B +∠D =∠BED． F 如图，AB∥CD，探索∠B、∠D 与∠DEB 之间的等量关系 . 变式1 解：如图，过点 E 向左作 EF∥AB． 所以∠B +∠BEF＝180°． 因为AB∥CD， 所以EF∥CD． 所以∠D +∠DEF＝180°． 所以∠B +∠BEF+∠D +∠DEF=360° 又因为∠DEB=∠BEF+∠DEF， 所以∠B +∠D +∠DEB＝360°． F 变式2 如图，AB∥CD，则 C A B D E A C D B E2 E1 当有一个拐点时：∠A +∠E +∠C = 360° 当有两个拐点时：∠A +∠E1 + ∠E2 +∠C = 540° 当有三个拐点时：∠A +∠E1 + ∠E2 +∠E3 +∠C = 720° A B C D E1 E2 E3 … A B C D E1 E2 En 当有 n 个拐点时：∠A +∠E1 + ∠E2 +…+∠En +∠C = 180° (n + 1) 若有 n 个拐点，你能找到规律吗？ … 变式3 如图，若 AB∥CD，则 A B C D E 当左边有两个角，右边有一个角时：∠A +∠C =∠E 当左边有两个角，右边有两个角时：∠A +∠F =∠E +∠D C A B D E F E1 C A B D E2 F1 当左边有三个角，右边有两个角时：∠A +∠F1 +∠C = ∠E1 +∠E2 C A B D E1 F1 E2 Em F2 Fn ∠A +∠F1 +∠F2 +…+∠Fn =∠E1 +∠E2 +…+∠Em +∠D 当左边有 n 个拐点，右边有 m 个拐点时， 若左边有 n 个拐点，右边有 m 个拐点，你能找到规律吗？ 点击 gsp 文件开始演示 （演示状态下，点击按钮操作） 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 判定 性质 已知 得到 得到 已知 课堂小结 1. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截. (1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度吗？为什么？ (2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度吗？为什么？ (3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度吗？为什么？ 2 3 E 1 4 A B D C 解：(1) ∠2 = 110°.两直线平行，内错角相等. （2）∠3 = 110°. 两直线平行，同位角相等. （3）∠4 = 70°. 两直线平行，同旁内角互补. 课后练习 2. 如图，直线 a∥b，直线 b 垂直于直线 c，那么直线 a 垂直于直线 c 吗？为什么？ a b c 解：a⊥c. 因为两直线平行，同位角相等. 3. 如果有两条直线被第三条直线所截，那么必有（ ） A. 内错角相等 B. 同位角相等 C. 同旁内角互补 D. 以上都不对 D 解：因为 AB∥DE ( )， 所以∠A =_______ ( ). 因为 AC∥DF ( ) ， 因为∠D =______ ( ). 所以∠A =∠D ( ). 4. (1) 有这样一题：如图1，若AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据. P F C E B A D 图 1 已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 等量代换 解：因为 AB∥DE ( )， 所以∠A = ______ ( ). 因为 AC∥DF ( ) ， 所以∠D + _______= 180° ( ). 所以∠A +∠D = 180° ( ). 两直线平行,同位角相等 (2) 如图 2，若AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，并在括号内填写依据. 图2 F C E B A D P 已知 ∠CPD 已知 ∠CPD 两直线平行,同旁内角互补 等量代换 $$