10.1 第1课时 对顶角及其性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（沪科版2024）

3月1号，黄桷湾立交匝道沥青铺设全部完成，进入最后的收尾阶段。作为主城最大最复杂的立交，黄桷湾立交是连接朝天门大桥、慈母山隧道、内环高速、机场专用快速路的重要节点。该立交共5层15条匝道，第一层是连接朝天门大桥与慈母山隧道的三横线快速干道，第二层是机场专用快速匝道，第三、四层分布着各条匝道，最底层是弹子石至广阳岛道路。黄桷湾立交预计年内全面建成，届时主城区南部交通网络将得到很大的改善。 10.1 相交线 第1课时 对顶角及其性质 第10章 相交线、平行线 与平移 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1. 理解对顶角的概念； 2. 掌握对顶角的性质，并能运用它们的性质进行角的计算及解决简单实际问题.（重点、难点） 点击视频开始播放→ 导入新课 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系. 活动：逐渐握紧剪刀刀柄时，随着两个刀柄之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题. 对顶角的概念 1 新知探究 如下图中，两直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠1和∠3 有公共顶点 O ，并且它们的两边分别互为反向延长线，称这样的两个角互为对顶角. 要点归纳 A B C D O 1 3 例 1 下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ） D 1 2 C 1 2 D 1 2 A 1 2 B 方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角． 典例精析 问题：对顶角在数量上又有什么关系呢？如下图中的∠1 与∠3. 猜想：对顶角相等. C O A B D 4 3 2 1 思考：你能利用所学知识来验证∠1 与∠3 之间的数量关系吗？ 在之前的学习中我们已经知道平角为 180°. 对顶角的性质 2 O A B C D 4 3 2 1 已知：如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O. 试说明：∠1 =∠3，∠2 =∠4. 解：因为直线 AB 与 CD 相交于点 O， 所以∠1 +∠2 = 180°， ∠3 +∠2 = 180°. 所以∠1 =∠3. 同理可得∠2 =∠4. 应用格式：因为直线 AB 与 CD 相交于 O 点， 所以∠1 =∠3，∠2 =∠4. 例2 想一想：如图所示是对顶角量角器，你能说出用它测量角的度数的原理吗？ 对顶角相等 3. 同上图，若 1∶2 = 2∶7，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为____________________. 2. 同上图，若∠2 是∠1 的 3 倍，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为_____________________. 1. 如图，若∠1 +∠3 = 60°，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为_____ ________________. 30°， 150°，30°，150° 45°，135°，45°，135° 40°，140°，40°，140° 变式训练： 例3 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，∠1 = 40°，∠BOC = 110°，求∠2 的度数. 解：因为∠1 = 40°，∠BOC = 110°(已知)， 所以∠BOF =∠BOC－∠1 = 110°－40° = 70°. 因为∠BOF =∠2(对顶角相等)， 所以∠2 = 70°(等量代换)． 注意：隐含条件“对顶角相等”. 1. 如图，直线 AB、CD、EF 两两相交，若∠1 +∠5 = 180°，找出图中与∠1 相等的角. D B E A C F 解：由图可知∠1 =∠3 (对顶角相等). 1 2 3 4 5 6 8 7 因为∠8 +∠5 = 180°，且∠1 +∠5 = 180°， 所以∠8 =∠1. 因为 ∠8 =∠6 (对顶角相等)， 所以∠6 =∠1. 变式训练： 综上可知，与∠1 相等的角有∠3，∠6，∠8. 2. 如图，直线 AB、CD、EF、MN 相交，若∠2 =∠5，找出图中与∠2 互补的角. F N C E A B D M 1 2 3 4 5 8 6 7 解：由图易得∠1 和∠3 都是∠2 的补角， 因为∠6 和∠8 都是∠5 的补角， 所以∠5 +∠6 =180°， ∠5 +∠8 = 180°. 所以∠2 +∠6 = 180°， ∠2 +∠8 = 180°.所以∠6,∠8与∠2互补. 综上可知，与∠2 互补的角有∠1，∠3，∠6，∠8. 因为∠2 =∠5， 1、判断下列各图中 ∠1 与 ∠2 是否为对顶角，并说明理由. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 不在反向延长线上 没有公共顶点 不在反向延长线上 不在反向延长线上 对顶角 没有公共顶点 课本练习 1 2 3 2. 如图，两条直线相交，∠1 = 35°，求 ∠2 和 ∠3 的度数. 因为∠1 + ∠3 = 180°（补角的意义）， = 180° - 35° 所以∠3 = 180° - ∠1， = 145°. 解：因为∠1 和∠2 互为对顶角， 所以∠2 = ∠1 = 35°. 对顶角的概念 对顶角的性质：对顶角相等 对顶角 课堂小结 1. 下列各图中，∠1，∠2 是对顶角吗？ ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 2 1 不是 是 不是 课后练习 ） 2. 找出图中∠AOE 的补角及对顶角，若没有请画出. A B C O D E ） F 解：如图， 补角是∠EOB 和∠AOF； 对顶角是∠BOF. ） 3. 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O. (1) 写出∠AOC，∠BOE 的补角； (2) 写出∠DOA，∠EOC 的对顶角； (3) 如果∠AOC = 50°，求∠BOD，∠COB 的度数. A E D B F C O 解：(1)∠AOC 的补角是∠AOD 和 ∠COB；∠BOE 的补角是 ∠EOA 和∠BOF. (2)∠DOA 的对顶角是∠COB； ∠EOC 的对顶角是∠DOF. (3)∠BOD =∠AOC = 50°； ∠COB = 180° -∠AOC = 130°. 4. （应用题）在下图中，花坛转角（红色标注的角）按图纸要求为 135°，施工结束后，请你设计检测的方法，检测它是否合格. 解：方法一：如图，检测∠1 是否为 45°； 方法二：如图，检测∠2 是否为 135°. 1 2 拓展题：观察下列各图，寻找对顶角（不含平角) . (1) 如图 a，图中共有 对对顶角； (2) 如图 b，图中共有 对对顶角； (3) 如图 c，图中共有 对对顶角； (4) 猜测：若有 n 条直线相交于一点，则可形成______对对顶角； (5) 若有 10 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角. 图 a 图 b 图 c 2 6 12 n(n-1) 90 视频：寻找对顶角 点击视频开始播放→ $$今天让我们共同来探究N条对角线相交于一点时，共可构成几对对顶角。首先我们来看两条直线相交，直线A与直线B相交于一点。根据对顶角的定义，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角。可知AB直线相交于一点，共可构成两对对顶角。继续看三条直线相交的情况，直线ABC香蕉于一点。由前面的结论可知，直线AB相交可产生两对对顶角，再加上直线C与A产生两对，直线C与B产生两对，加起来共构成6对对顶角。继续看四条直线相交的情况，直线ABCD相交于一点，有前面的结论，ABC直线相交产生6对对顶角，再加上D与A产生两对，D与B产生两对，D与C产生两对，加起来共构成12对对顶角。下面让我们结合相交直线的数量，对产生的对顶角的数量进行分解。直线二对顶角2，数字2可以分解为2乘1。直线三对顶角6，数字6可分解为3乘2。直线四对顶角为12，数字12可分解为4乘3。同学们你们有没有发现其中的规律呢？对N条直线相交时，共可产生N乘N减一对对顶角。最后让我们来看一道习题，100条直线相交于一点共可构成多少对对顶角？根据前面我们得出的规律，N条直线相交于一点时共可构成N乘N减一对对顶角。可知，100条直线相交于一点时，共可构成100乘110对对顶角，也就是9900对。