8.2.3 多项式与多项式相乘（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（沪科版2024）

第8章 整式乘法与因式分解 8.2 整式乘法 3.多项式与多项式相乘 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1. 理解并掌握多项式与多项式的乘法运算法则；（重点） 2. 能够用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算. （难点） 1. 如何进行单项式与多项式乘法的运算？ ② 再把所得的积相加. ① 将单项式分别乘以多项式的各项； 2. 进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么? ① 不能漏乘： 即单项式要乘遍多项式的每一项； ② 去括号时注意符号的确定. 导入新课 问题1 一块长方形的菜地，长为 a，宽为 m，现将它的长增加 b，宽增加 n，求扩大后的菜地面积. 多项式乘多项式 1 ① ② ③ ④ n a b m 新知探究 方法一：扩大后菜地的长是 a + b，宽是 m + n，所以它的面积是______________. 方法二：先算 4 块小长方形的面积，再求总面积，扩大后菜地的面积是__________________. (a + b)(m + n) am + bm + an + bn (a + b)(m + n) = am + bm + an + bn ① ② ③ ④ n a b m 如何进行多项式与多项式相乘的运算？ 实际上，把 (m + n) 看成一个整体，有： = ma + mb + na + nb. (m + n)(a + b) = (m + n)a + (m + n)b 小提示：(m+n) 和 (a + b) 这两个多项式叫作所得积的因式. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 多项式与多项式的乘法法则 1 2 3 4 (a + b)(m + n) = am 1 2 3 4 + an + bm + bn 多乘多顺口溜： 多乘多，来计算，多项式各项都见面，乘后结果要相加，化简、排列才算完. 要点归纳 典例精析 (1) (－2x－1)(3x－2) ； (2) (x + a)(x + b) . 解：(1) (－2x－1)(3x－2) = (－2x) · 3x＋(－2x)·(－2)＋(－1) · 3x＋(－1)×(－2) = －6x2＋4x－3x＋2 = －6x2＋x＋2 例1 计算： (2) (x＋a)(x＋b) = x2＋bx＋ax＋ab = x2＋(a＋b)x＋ab 例2 计算： （1）(a + b)(a2－ab + b2) ； （2）(y2 + y + 1)(y + 2) . 解：(1) (a + b)(a2－ab + b2) = a · a2－a · ab + a · b2 + b · a2－b · ab + b · b2 = a3 + b3. (2) (y2 + y + 1)(y + 2) = y3 + 2y2 + y2 + 2y + y + 2 = y3 + 3y2 + 3y + 2 注意：(1) 漏乘；(2) 符号问题；(3) 最后结果应化成 最简形式 (是同类项的要合并). 例3 先化简，再求值： (a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)， 其中 a＝－1，b＝1. 解：原式＝ a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b) ＝ a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2 ＝－8b3＋2a2b＋15ab2. 当 a＝－1，b＝1 时，原式＝－8＋2－15＝－21. 方法总结：化简求值的题型，一般应先化简，再 求值，而不是先代值，再计算． 1. 计算： (1) (2n + 6)(n - 3)； (2) (-3x -1)(-x2 + 1). 解：(1) 原式= 2n2 - 6n + 6n - 18 = 2n2 - 18. (2) 原式= 3x3 - 3x + x2 - 1 = 3x3 + x2 - 3x -1. 课本练习 2. 计算： (1)(3x - y)(3x + y)； (2)(3a + 2)(3a - 2) - 9a(a - 1)； (3)(x - y)(x2 + xy + y2)； (4)(x + 1)(x2 - 2x + 3). (3) (x - y)(x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 - x2y - xy2 - y3 =x3 - y3. 解：(1) (3x - y)(3x + y) = 9x2 - y2. (2) (3a + 2)(3a - 2) - 9a(a -1) = 9a2 - 4 - 9a2 + 9a = 9a -4. (4) (x + 1)(x2 -2x + 3) = x3 - 2x2 + 3x + x2 - 2x + 3 = x3 - x2 + x + 3. 3. 先化简，再求值：(x - 4)(x - 2) - (x - 1)(x + 3)， 其中 x = -2. 解：(x - 4)(x - 2) - (x - 1)(x + 3) = x2 - 2x - 4x + 8 - (x2 + 3x - x - 3) = x2 - 2x - 4x + 8 - x2 - 2x + 3 = -8x + 11. 将 x = -2 代入式中，则有 -8x +11 = 27. 多项式乘多项式 运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 (a + b)(m + n) = am + an + bm + bn 注意 不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简 实质上是转化为单项式×多项式的运算 (x－1)2=(x－1)(x－1)，而不是x2－12 课堂小结 1.判断下列解法是否正确，若不正确请说出理由. 解：原式 不正确 课后练习 解：原式 不正确 2.计算：(1) (x − 3y)(x + 7y)； (2) (2x + 5y)(3x − 2y). = x2 + 4xy − 21y2. 解：(1) 原式 = x2 + 7xy − 3yx − 21y2 (2) 原式 = 2x • 3x − 2x • 2y + 5y • 3x − 5y • 2y = 6x2 − 4xy + 15xy − 10y2 = 6x2 + 11xy − 10y2. 3. 化简求值：(4x + 3y)(4x－3y) + (2x + y)(3x－5y)， 其中 x = 1，y =－2. 解：原式 = 当 x = 1，y = －2 时， 原式 = 22×12－7×1×(－2)－14×(－2)2 = 22 + 14－56 = －20. 观察上面四个等式，你能发现什么规律？并应用这个规律解决下面的问题： 5 6 (-3) (-4) 2 (-8) (-5) 6 口答： 4. 填空： 5. 小东找来一张挂历画包数学课本．如图，已知课本长 a 厘米，宽 b 厘米，厚 c 厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去 m 厘米，问小东至少应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？ 七年级(下) 姓名：__________ 数学 c b a 单位：厘米 a b c m b m 面积：(2m + 2b + c)(2m + a) m m 解：(2m + 2b + c)(2m + a) = 4m2 + 2ma + 4bm + 2ab + 2cm + ca. 答：小东至少应在挂历画上裁下一块 (4m2 + 2ma + 4bm + 2ab + 2cm + ca) 平方厘米的长方形. $$