8.2.2 单项式乘以多项式（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（沪科版2024）

第8章 整式乘法与因式分解 8.2 整式乘法 2.单项式与多项式相乘 七年级下册数学（沪科版） 1.能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则， 探究单项式与多项式相乘的法则； 2.掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用.（重难点）. 学习目标 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 问题 同学们还记得单项式的乘法法则吗？ 导入新课 问 题 一个施工队修筑一条路面宽为 n m的公路，第一天修筑 a m 长,第二天修筑 b m 长，第三天修筑 c m 长，3 天共修筑路面的面积是多少? 单项式乘多项式 1 n a 第一天 第二天 第三天 b c na nb nc a + b + c （单位：m） 新知探究 方法一 3 天共修筑路面的总长为 (a + b + c) m，因为路面的宽为 n m，所以 3 天共修筑路面 _________m2. n(a+b+c) n a 第一天 第二天 第三天 b c na nb nc a + b + c 方法二 先分别计算每天修筑路面的面积，然后相加，则 3 天共修筑路面 ____________ m2. na + nb + nc 因此，有 n( a + b + c) na + nb + nc = n a 第一天 第二天 第三天 b c na nb nc a + b + c 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加. 单项式与多项式的乘法法则: 本质是运用分配律，把单项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘. 反思与提升： 要点归纳 b n a c 试一试 计算：2a2 · (3a2－5b). 解：原式 = 2a2·3a2 + 2a2· (－5b) = 6a4－10a2b. 方法总结：根据乘法分配律，将单项式乘多项式的每一项，然后求和． 单项式与多项式相乘 2 例1 计算： (1) (-2x)(x2 - x + 1)； (2) a(a2 + a) - a2(a - 2). 典例精析 解： (1) (-2x)(x2-x+1) (2) a(a2 + a) - a2(a - 2) = -2x3 + 2x2 - 2x = (-2x)·x2 + (-2x)·(-x)+(-2x)·1 = 3a2 = a3 + a2 - a3+2a2 = a·a2 + a·a - a2·a + 2a2 例2 一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽 a 米， 下底宽 (a＋2b) 米，坝高 a 米． (1) 求这条防洪堤坝的横断面面积； 解： [ a＋(a＋2b) ]× a ＝ a (2a＋2b) ＝ a2＋ ab (平方米). 故这条防洪堤坝的横断面面积为 ( a2＋ ab) 平方米. (2) 如果这条防洪堤坝长 100 米，那么这条防洪堤坝的体积是多少立方米？ 解： ( a2＋ ab)×100＝50a2＋50ab (立方米)． 故这条防洪堤坝的体积为 (50a2＋50ab) 立方米． 例3 先化简，再求值： 5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中 a＝2. 解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2 ＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2 ＝－28a2＋15a， 当 a＝2 时，原式＝－82. 方法总结：在计算时要注意先化简然后再代值计算． 整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项． 1. 计算：(1) 5x · (3x + 4)； (3) x(x2 + 3) + x2(x - 3) - 3x(x2 - x - 1)； (4) (-a) · (-2ab) + 3a ·(ab - b - 1). (2) (5a2 - a + 1)(-3a)； 解：(1) 5x · (3x + 4) = 15x2 + 20x. (2) (5a2 - a + 1)(-3a) = -15a3 + 4a2 - 3a. (3) x(x2 + 3) + x2(x - 3) - 3x(x2 - x - 1)= -x3 + 6x. (4) (-a) · (-2ab) + 3a ·(ab - b - 1)= 5a2b - ab - 3a. 课本练习 2. 如图，某长方体的长为 a + 1，宽为 a，高为 3，问这个长方体的体积是多少? a +1 a 3 解：由题，V = 3(a + 1)a = 3a2 + 3a. 分析：长方形体积=长×宽×高 3. 在 x(c + d) = xc + xd 中，如果将 x 换为 (a + b) 如何计算(a + b)(c + d ) ? 写出你的思考过程. 将 (a + b) 当作一个整体 则有 (a + b)(c + d ) = (a + b)c + (a + b) d = ac+ bc + ad + bd 对于一些较复杂的式子，可以将某一个部分当作一个整体来化简较为方便 整体思想 整式的乘法 单项式乘多项式 实质上是转化为单项式×单项式 注意 (1) 计算时，要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负； (2) 不要出现漏乘现象； (3) 运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减； (4) 对于混合运算，最后应合并同类项 课堂小结 1.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的 ________，再把所得的积________. 2. 4(a - b + 1) =____________. 每一项 相加 4a - 4b + 4 3. 3x(2x - y2) =____________. 6x2 - 3xy2 4. (2x - 5y + 6z)(-3x) =__________________. -6x2 + 15xy - 18xz 5. (-2a2)2 (-a - 2b + c) =_________________. -4a5 - 8a4b + 4a4c 课后练习 6.计算： (1) (－4x) · (2x2 + 3x－1)； ＝－8x3 － 12x2 + 4x. 解：原式＝(－4x) · (2x2) + (－4x) · 3x + (－4x) · (－1) (2) ( ab2－2ab) · ab. 解：原式＝ ab2 · ab－2ab · ab ＝ a2b3－a2b2. 7. 计算：- 2x2 · ( xy + y2 ) - 5x(x2y - xy2). (1) 2x2 与 5x 前面的“-”不能看漏； (2) 单项式与多项式相乘的结果中，应将 同类项 合并. 注意 解：原式 = ( -2x2)·xy + (-2x2)·y2 + (-5x)·x2y + (-5x)·(-xy2) = -2x3y + (-2x2y2) + (-5x3y) + 5x2y2 = -7x3y + 3x2y2. 8.先化简，再求值： 3a(2a2 - 4a + 3) - 2a2(3a + 4)， 其中 a = -2. 解：3a(2a2 - 4a + 3) - 2a2(3a + 4) = 6a3 - 12a2 + 9a - 6a3 - 8a2 = -20a2 + 9a. 当 a = -2 时，原式 = -20×(-2)2 + 9×(-2) = -98. 住宅 广场 商厦 3a 3a + 2b 2a-b 4a 9. 如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦， 求这块地的总面积. 解：4a [(3a + 2b) + (2a－b)] ＝ 4a (5a + b) ＝ 4a · 5a + 4a · b ＝ 20a2 + 4ab. 答：这块地的总面积为 20a2 + 4ab. $$