8.1.3 第2课时 零次幂、负整数次幂及科学记数法（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（沪科版2024）

第8章 整式乘法与因式分解 8.1 幂的运算 第2课时 零次幂、负整数次幂及科学记数法 3.同底数幂的除法 七年级下册数学（沪科版） 1. 理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算；（重点，难点） 2. 会用科学记数法表示绝对值较小的数.（重点） 学习目标 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 即 问题 同底数幂的除法法则是什么？ 若 m≤n，同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？ 导入新课 根据除法法则，如果 a ≠ 0，m 是正整数，那么 am÷am 等于多少？ am÷am = 1. 零次幂 想一想 1 新知探究 如果把公式 am÷an = am-n (a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m>n) 推广到 m = n 的情形，那么就会有： 想一想：为何 a 不能等于 0 呢？ 任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1. 要点归纳 am÷an = am-m = a0. 这启发我们规定： 例1 已知 (3x - 2)0 有意义，则 x 应满足的条件是_______． 解析：根据零次幂的意义可知：若 (3x－2)0 有意义，则 3x - 2 ≠ 0. 方法总结：零次幂有意义的条件是底数不等于 0，所以解决有关零次幂的意义问题时，可列出关于底数不等于 0 的式子求解． 典例精析 解：①当 x＋1 = 0，即 x = -1 时，(x - 1)x＋1 = (-2)0 = 1； ②当 x - 1 = 1，即 x = 2 时，(x - 1)x＋1 = 13 = 1； ③当 x - 1 = -1，即 x = 0 时，(x - 1)x＋1 = (-1)1 = -1， （不合题意，舍去）. 故 x 的值为 -1 或 2. 例2 若 (x - 1)x＋1 = 1，求 x 的值. 方法总结：乘方的结果为 1，可分为三种情况：不为零的数的零次幂等于 1；1 的任何次幂都等于 1；－1 的偶次幂等于 1. 即在底数不等于 0 的情况下要考虑指数等于 0，另外还需考虑底数等于 1 或－1 的情况. 问题：计算：a3÷a5 (a ≠ 0). 解法1 解法2 假如把同底数幂的除法法则 am÷an = am-n (a ≠ 0，m，n 是正整数，m＞n) 中的 m＞n 这个条件去掉，那么 a3÷a5 = a3-5 = a-2. 于是得到： 负整数指数幂 2 如果令公式 am÷an = am-n 中的 m = 0，n = p 则有: 任何一个不等于零的数的 -p ( p是正整数 )次幂,等于这个数的 p 次幂的倒数. 有了上述约定，我们再遇到计算 am÷an 时，就不必限制 m >n了. 这样，幂指数的范围就从全体正整数扩充到全体整数. 要点归纳 例3 计算： 典例精析 (1) 106÷106； (2) (3) (-2)3÷(-2)5. 解：(1) 106÷106＝106－6＝100＝1. (2) ＝＝＝. (3) (-2)3÷(-2)5＝(-2)3－5＝(-2)－2＝＝. 例4 把下列各数写成分数的形式： 解： 方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当指数是负数时，只要把底数的分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． 1. 若 a = ，b = (-1)-1，c = ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A．a＞b＝c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a B 解析：a = = = ，b = (-1)-1 = -1， c = = 1，所以 a＞c＞b，故选B. 练一练 2. 计算： 方法点拨：根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算． (3) . (5) (-2xy)5÷(-2xy)5 = (-2xy)0 =1. (6) (xy)5÷(-xy)2 = (xy)3 = x3y3. (4) (-m)5÷(-m)9 = (-m)-4 = . 1.计算： (5)(-2xy)5÷(-2xy)5； (6)(xy)5÷(-xy)2. (1) (2) 37 39； (4)(-m)5÷(-m)9； (3) ； =3-2= 课本练习 2. 用分数或小数表示下列各数: (1) 5-3；(2)2.1×10-4； (3) ； (4) (-4)-3. 3.把下列各数写成负整数指数幂的形式: (1) 0.001； (2) ； (3) . 0.00021 1×10-3 3-4 -2-5 科学记数法：绝对值大于 10 的数记成 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 是正整数. 忆一忆： 例如，864000 可以写成 . 怎样用科学记数法表示 0.0000864？ 8.64×105 想一想： 用科学计数法表示绝对值小于 1 的数 3 探一探： 因为 所以，0.0000864 = 8.64×0.00001 = 8.64 ×10-5. 类似地，我们可以利用 10 的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10. 算一算： 10－2 = ___________； 10－4 = ___________； 10－8 = ___________. 议一议：指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？ 一般地，10 的 -n 次幂，在 1 前面有_____个 0. 想一想： 10－21 的小数点后的位数是几位？1 前面有几个零？ 0.01 0.0001 0.00000001 通过上面的探索，你发现了什么？ n 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 利用 10 的负整数次幂，把一个绝对值小于 1 的数表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10. n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 要点归纳 例5 用科学记数法表示下列各数，并在计算器上把它们表示出来：(1) 0.00076； (2) -0.000 001 59 . 解：(1) 0.000 76 = 7.6×0.000 1 = 7.6×10-4. 典例精析 在计算器上输入 0.00076，最后按“=”键，屏幕显示如图所示. (2) -0.000 00159 = -1.59×0.000 001 = -1.59 ×10-6. 在计算器上输入 -0.00000159，最后按“=”键，屏幕显示如图所示. 例6 用小数表示下列各数： (1) 2×10－7； (2) 3.14×10－5； (3) 7.08×10－3； (4) 2.17×10－1. 分析：小数点向左移动相应的位数即可． 解：(1) 2×10－7＝0.0000002. (2) 3.14×10－5＝0.0000314. (3) 7.08×10－3＝0.00708. (4) 2.17×10－1＝0.217. 3. 用科学记数法表示： （1）0.000 03； （2）-0.000 006 4； （3）0.000 0314. 4. 用科学记数法填空： （1）1 s 是 1 μs 的 1 000 000 倍，则 1 μs＝_______s； （2）1 mg＝_______kg； （3）1 μm＝_______m；　　　　　 （4）1 nm＝_______μm； （5）1 cm2＝_______ m2； （6）1 mL＝_______m3. 3×10-5 3.14×10-5 -6.4×10-6 1×10-6 1×10-6 1×10-6 1×10-3 1×10-4 1×10-6 练一练 1.用科学记数法表示下列各数： 0.060 2， -0.006 02，0.000 060 2，153.8， -34 000. 解：0.060 2＝6.02×10-2； -34 000＝-3.4×104. 0.000 060 2＝6.02×10-5； 153.8＝1.538×102； -0.006 02＝ -6.02×10-3； 2.水分子是由氢、氧两种原子组成的，1 个氢原子的质量约为 1.674 ×10-27 kg，1 个氧原子的质量约为 2.657×10-26 kg. 1个氢原子与 1 个氧原子的质量哪个大? 解：2.657×10－26 kg = 26.57×10－27 kg 答：一个氧原子的质量较大 课本练习 3. 雷达发出的微波以 3×105 km/s 的速度射向飞机 ,飞机再将微波反射回来，若经 12.6 μs 后雷达站收到反射微波,则飞机与雷达站的距离是多少千米? (1μs = 10-6 s) 解：3×105×12.6×10-6 ÷2 = 1.89 (km) 答：飞机与雷达站的距离是1.89千米. 整数指数幂 非正整数 指数幂 1. 零指数幂：当 a ≠ 0 时，a0 = 1 2. 负整数指数幂：当 n 是正整数时，a-n＝ 科学记数法表示绝对值较小的数 0.00…01 n 个 0 课堂小结 1. 计算： 1 1 64 2. 把下列各数写成分数的形式： 课后练习 3. 用小数表示 5.6×10-4. 解：原式 = 5.6×0.0001 = 0.00056. 4. 比较大小： （1）3.01×10－4_______9.5×10－3； （2）3.01×10－4_______3.10×10－4. ＜ ＜ 5. 用科学记数法把小数 0.000 009 405 表示成 9.405×10n 的形式，那么 n = . -6 6.计算：－32＋(－ )－2＋(2023＋π)0－|2－ π|. ＝－9＋9＋1－2＋ π ＝ π－1. 解：－32＋(－ )－2＋(2023＋π)0－|2－ π| 7. 随着微电子制造技术的不断进步，半导体材料的精加工尺寸大幅度缩小，目前已经能够在 350 平方毫米的芯片上集成 5 亿个元件，问 1 个这样的元件大约占多少平方毫米？ 解析：因为 350 平方毫米的芯片上集成 5 亿个元件，说明 5 亿个元件所占的面积为 350 平方毫米，要计算 1 个元件所占的面积，可用 350 除以 5 亿． 解：350÷(5×108) = 350÷5×10-8 = 70×10-8 = 7×10-7 (平方毫米) 所以1个这样的元件大约占7x10-7平方毫米 $$