8.1.2 幂的乘方与积的乘方（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（沪科版2024）

8.1 幂的运算 2.幂的乘方与积的乘方 第8章 整式乘法与因式分解 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1.理解并掌握幂的乘方法则和积的乘方法则；（重点） 2.掌握幂的乘方和积的乘方法则的推导过程并能灵活运用.（难点） 乘方的意义： a · a · … · a n 个 a = an. 同底数幂的乘法运算法则： am · an = am · an am+n (m，n 都是正整数). = (a · a · … · a)· m 个 a (a · a · … · a) n 个 a = a · a · … · a (m + n) 个 a = am+n. 复习 导入新课 思考 算式 运算过程 结果 幂的乘方 1 怎样计算 (am)n ? 先完成下表： 新知探究 思考：观察上面的计算过程，幂的乘方有什么规律? （1） （2） （3） （4） 典例精析 am · am · …· am n 个 am = am + m + …… + m n 个 m = amn. (am)n = 一般地，如果 m，n 都是正整数，那么 归纳总结 (am)n = amn (m，n 都是正整数). 幂的乘方，底数＿＿，指数＿＿. 不变 相乘 幂的运算性质2 (幂的乘方法则)： 知识要点 例1 计算：(1) (105)3； (2) (x4)2. 典例精析 解：(1) (105)3 = 105×3 = 1015 (2) (x4)2 = x4×2 = x8 例2 计算：(1) (x3)2＋x2·x4 ； (2) (x2)3·(x4)3. 解：(1) (x3)2＋x2·x4 (2) (x2)3·(x4)3＝x6·x12 ＝2x6. ＝x6＋12 ＝x18. ＝x6＋x6 我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？ 思考下面两道题： (1) (2) 根据乘方的意义及乘法交换律、结合律思考一下应该如何计算. 这两个式子有什么特点？ 底数为两个因式相乘，积的形式. 这种形式称为积的乘方 积的乘方 2 同理： （乘方的意义） （乘法交换律、结合律） （同底数幂相乘的法则） (ab)n = (ab)· (ab)· … ·(ab) n个ab = (a · a · … ·a) · (b · b · … · b) n 个 a n 个 b = anbn. 证明： 思考：积的乘方 (ab)n = ? 猜想结论： 因此可得：(ab)n = anbn (n 为正整数). (ab)n = anbn (n为正整数). 合作探究 积的乘方等于各因式乘方的积. (ab)n = anbn (n 为正整数). 想一想：三个或三个以上的因式的积的乘方等于什么？ (abc)n = anbncn (n 为正整数). 积的乘方 乘方的积 要点归纳 幂的运算性质3： (积的乘方法则) （1） （2） （3） （4） （5） （6） 判断对错： （ × ） （ × ） （ √ ） （ × ） （ × ） （ √ ） 想一想 幂的运算法则的逆用： an·bn = (ab)n am+n = am · an amn = (am)n 知识要点 例3 计算： 解：(1) ( 2x )4 = 24·x4 = 16x4. 小提示：注意区分幂的乘方与同底数幂的乘法． (1) ( 2x )4； (2) ( -3ab2c3 )2； (2) ( -3ab2c3 )2 典例精析 = ( -3 )2·a2·( b2 )2·( c3 )2 = 9a2b4c6 例4 球的体积公式是 V= r3 ( r 为球的半径)，已知地球半径约为 6.4×103 km，求地球的体积. (π取3.14) 解：V = πr3 因而,地球的体积约为 1.1×1012 km3 ≈ ×3.14×(6.4×103)3 ＝×3.14×6.43×109 ≈ 1.1×1012 (km3) 方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏算. (1) (a3b)3 = a6b3 (2) (6xy)2 = 12x2y2 (3) -(3x3)2 = 9x6 (4) (-2ax2)2 = -4a2x4 1. 下面的计算是否正确? 为什么? （ ） （ ） （ ） （ ） × × × × 课本练习 2.计算 (1) ( 2×103 )3； (2) ( -3×104 )2； (3) ( 3mn2 )3； (4) ( -2a3b2c )2. 解：原式= 23×109 = 8×109. 原式= 32×108 = 9×108. 原式= 33×m3n6 = 27m3n6. 原式= 22×a6b4c2 = 4a6b4c2. 幂的乘方 法则 (am)n = amn ( m，n 都是正整数) 注意 幂的乘方，底数不变，指数相乘 幂的乘方与同底数幂的乘法的 区别：(am)n = amn，am·an = am+n 幂的乘方法则的逆用： amn = (am)n = (an)m 课堂小结 幂的运算性质 性质 am · an = am+n ; (am)n = amn ; (ab)n = anbn ( m, n 都是正整数) 反向运用 am+n = am · an amn = (am)n= (an)m an · bn = (ab)n 合理使用可以简化运算 注意 运用积的乘方法则时要注意：公式中的 a、b 代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；计算时需要注意结果的符号、幂指数及其逆向运用(混合运算要注意运算顺序) (4) －(－ab2)2 = a2b4 ( ) (3) (－2a2)2 = －4a4 ( ) (2) (3xy)3 = 9x3y3 ( ) (1) (ab2)3 = ab6 ( ) × × × × 1. 判断： 2. 下列运算正确的是（ ） A. x · x2 = x2 B. (xy)2 = xy2 C. (x2)3= x6 D. x2 + x2 = x4 C 3. (0.04)2025×[(－5)2025]2 =_____. 1 课后练习 4.计算： (1) ( 103 )3； (2) ( x3 )4 · x2； (3) [(-x)2]3； (4) x · x4 – x2 · x3. 解：（1）原式 = 103×3 = 109. （2）原式 = x12 · x2 = x14. （3）原式 = (–x)6= x6. （4）原式 = x5 – x5 = 0. (1) (ab)8； (2) (2m)3； (3) (-xy)5； (4) (5ab2)3； (5) (2×102)2； (6) (-3×103)3. 5. 计算： 解：(1) 原式 = a8b8. (2) 原式 = 23 ·m3 = 8m3. (3) 原式 = (－x)5 ·y5 = －x5y5. (4) 原式 = 53 ·a3 ·(b2)3 = 125a3b6. (5) 原式 = 22 ×(102)2 = 4×104. (6) 原式 = (－3)3×(103)3 = －27×109 = －2.7×1010. (1) 2(x3)2·x3－(3x3)3 + (5x)2 · x7； (2) (3xy2)2 + (－4xy3) · (－xy)； (3) (－2x3)3 · (x2)2. 解：原式 = 2x6·x3－27x9 + 25x2 · x7 = 2x9－27x9 + 25x9 = 0. 解：原式 = 9x2y4 + 4x2y4 = 13x2y4. 解：原式 = －8x9·x4 = －8x13. 注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减. 6.计算： 7.已知 am = 2，an = 3. 求：(1) a2m，a3n 的值； 解：(1) a2m = (am)2 = 22 = 4， a3n = (an)3 = 33 = 27. (3) a2m+3n = a2m. a3n = (am)2 . (an)3 = 4×27 = 108. (3) a2m+3n 的值. (2) am+n 的值； (2) am+n = am . an = 2×3 = 6. 能力提升：如果 (an . bm . b )3 = a9b15 (a，b 均不为 0 和±1)，求 m，n 的值. 所以 3n = 9，3m + 3 = 15. 解得 n = 3，m = 4. 解： (an · bm · b)3 = (an)3 · (bm)3 · b3 =a3n · b3m+3 = a9b15 你能比较　　　　　　　的大小吗？　　　　　 解： 拓展延伸 $$