精品解析： 北京市房山区房山中学2024-2025学年高二下学期诊断检测一数学试题

房山中学2024—2025学年度第二学期诊断检测一 高二数学 试卷共4页，共150分.考试时间90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、选择题：（每小题5分，共50分） 1. 数列，3，，，…，则是这个数列的第（ ） A. 8项 B. 7项 C. 6项 D. 5项 2. 设数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若等比数列满足，且公比，则 A B. C. D. 5. 下列求导运算正确的是 A B. C. D. 6. 等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（ ） A. 有最小值，有最小值 B. 有最大值，有最大值 C. 有最小值，有最大值 D. 有最大值，有最小值 7. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为　　 A. 5， B. ，5 C. ，0 D. 0， 8. 若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知函数满足，，则函数在处的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 在等差数列中，已知，则该数列前5项和_______． 12. 已知函数，则______；______. 13. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是______. 14. 已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列.则该等比数列的公比为______. 15. 无穷数列的前n项和记为．若是递增数列，而是递减数列，则数列的通项公式可以为____． 16. 过原点作曲线的切线，则切点坐标为________，切线方程为________. 三、解答题（共70分.要求有必要的解题步骤） 17. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求曲线在点处的切线方程. 18. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）等比数列的前项和为，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足的的最大值.条件①：；条件②：；条件③：. 19 已知数列满足，， （1）计算，，，并推测的通项公式； （2）证明你所得到的结论. 20. 在数列中，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和公式. 21. 设和是两个等差数列，记（，2，3，…），其中表示，，…这s个数中最小的数. （1）若，，求证：不等差数列； （2）若，，证明：是等差数列； （3）证明：或者对任意实数M，存在正整数m，当时，；或者存在正整数m，使得，，，…是等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 房山中学2024—2025学年度第二学期诊断检测一 高二数学 试卷共4页，共150分.考试时间90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、选择题：（每小题5分，共50分） 1. 数列，3，，，…，则是这个数列的第（ ） A. 8项 B. 7项 C. 6项 D. 5项 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知中数列的前若干项，我们可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于的方程，解方程得到答案． 【详解】解：数列，3，，，， 可化为：数列，，，，， 则数列的通项公式为：， 当时，则， 解得：， 故是这个数列的第6项. 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是数列的函数特性，数列的通项公式，其中根据已知归纳总结出数列的通项公式，是解答的关键． 2. 设数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用公式进行求解即可. 【详解】由于数列的前项和， 所以，， 所以. 故选：A 3. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导后，代入即可构造方程求得结果. 【详解】，，解得：. 故选：B. 4. 若等比数列满足，且公比，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：方法一：根据观察，数列可以为，即，那么. 方法二：对于，又，则. 方法三：对于，解方程可得，，那么通项，可知，，则. 故选C. 考点：1等比数列的基本性质;2等比数列的通项公式. 5. 下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的运算公式，即可作出判定，即可求解. 【详解】由题意，常数的导数为0，可得是正确的，所以A是正确的； 根据导数的运算公式，可得，，，所以B、C、D是错误的，故选A. 【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（ ） A. 有最小值，有最小值 B. 有最大值，有最大值 C. 有最小值，有最大值 D. 有最大值，有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进而求得，结合数列的有关性质确定正确选项. 详解】依题意， 由解得，， 所以等差数列的前项和满足：最小，无最大值. ，…… ，…… 所以时：，且为递减数列. 故有最大值，没有最小值. 故选：C 7. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为　　 A. 5， B. ，5 C. ，0 D. 0， 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得到f'（5）等于直线的斜率﹣1，由切点横坐标为5， 得到纵坐标即f（5）． 【详解】由题意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1． 故选D． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题． 8. 若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可. 【详解】若，则 可得：，故选项A错误； 若，则 可得：，故选项B错误； 若，则 可得：，故选项C错误； 不妨设的首项为，公差为，则有： 则有：，故选项D正确 故选：D 9. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 10. 已知函数满足，，则函数在处的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的概念和运算法则，求导后代入即可. 【详解】， 在处的瞬时变化率为. 故选：C. 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 在等差数列中，已知，则该数列前5项和_______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，结合前项和的公式求解即可 【详解】∵，∴． 故答案为：15 12. 已知函数，则______；______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据解析式和导数的定义直接求解即可. 【详解】，； . 故答案为：；. 13. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解. 【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为， 则，解得 所以第二天织布的尺数为. 故答案为：. 14. 已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列.则该等比数列的公比为______. 【答案】2 【解析】 【分析】设，因，，成等比数列，则，据此可得答案. 【详解】设，则，， 又，，成等比数列，则，又， 则，则公比为. 故答案为：2 15. 无穷数列的前n项和记为．若是递增数列，而是递减数列，则数列的通项公式可以为____． 【答案】 （答案不唯一）. 【解析】 【分析】根据是递减数列，可以考虑该数列各项均为负数，再根据是递增数列，可以联想到在上是递增的函数，进而构造出数列. 【详解】因为是递减数列，可以考虑，而是递增数列，可以构造. 故答案为：（答案不唯一）. 16. 过原点作曲线的切线，则切点坐标为________，切线方程为________. 【答案】 ①. （e，1） ②. x-ey=0 【解析】 【分析】 设切点坐标为：，求导，根据切线过原点，由切线的斜率求解. 【详解】设切点坐标为：， 因为， 所以， 因为切线过原点， 所以切线的斜率为：， 解得， ， 所以切点坐标为：， 切线方程为：，即x-ey=0， 故答案为：； x-ey=0. 三、解答题（共70分.要求有必要的解题步骤） 17. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数乘法公式可得答案； （2）由题可得切线斜率，然后利用点斜式可得答案 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由（1），，又， 则切线方程满足. 18. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）等比数列的前项和为，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足的的最大值.条件①：；条件②：；条件③：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列下标和性质和通项公式直接推导求解即可； （2）若选①②，根据等比数列通项公式和可求得公比；若选①③，根据等比数列通项公式和单调性可求得公比；若选②③，根据和等比数列单调性可求得公比；根据和可得，结合单调性可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， ，，， . 【小问2详解】 由（1）知：，设等比数列的公比为 若选①②：，，， ，， 为递增数列，，， 满足的的最大值为； 若选①③：，， 又，，， 为递增数列，，， 满足的的最大值为； 若选②③：，或， 又，，， 为递增数列，，， 满足的的最大值为. 19. 已知数列满足，， （1）计算，，，并推测的通项公式； （2）证明你所得到的结论. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由递推公式计算，，，即可推测通项公式； （2）利用数学归纳法可完成证明. 【小问1详解】 由题，； ；. 则推测； 【小问2详解】 证明：. 当时，结论显然成立； 假设成立，则， 则. 即成立时，也成立，又时，结论成立， 则结论对所有正整数均成立，则. 20. 在数列中，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和公式. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式和等比数列定义直接证明即可； （2）根据等比数列通项公式可求得，进而得到； （3）采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 【小问1详解】 ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得：，. 小问3详解】 由（2）得：. 21. 设和是两个等差数列，记（，2，3，…），其中表示，，…这s个数中最小的数. （1）若，，求证：不是等差数列； （2）若，，证明：是等差数列； （3）证明：或者对任意实数M，存在正整数m，当时，；或者存在正整数m，使得，，，…是等差数列. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）把代入即可求得，即可证明不是等差数列； （2）在（1）的启发下，证明当时，，所以关于单调递增. 所以，从而得证； （3）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明. 小问1详解】 ，， ， 所以不是等差数列. 【小问2详解】 ， 当时， 当时，， 所以关于单调递增， 所以， 所以对任意，因此， 所以是等差数列； 【小问3详解】 设数列和的公差分别为，则 . 所以 ①当时，取正整数，则当时，，因此. 此时，是等差数列. ②当时，对任意， 此时，是等差数列. ③当时， 当时，有. 所以 对任意正数，取正整数， 故当时，. 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊函数，它的图像是一群孤立的点； (2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题； (3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$