精品解析：北京市西城区第十四中学2024-2025学年下学期3月考九年级数学试卷

初三数学 第二学期阶段检测 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据统计，2023考研报名人数为474万，2024考研报名人数为438万，2025考研报名人数比上一年少50万人，则2025年考研报名人数为（　　）人． A. B. C. D. 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，．若平分，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，弦相交于点E，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 不透明的袋子中有3个小球，其中有1个红球，1个黄球，1个绿球，除颜色外3个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，等边三角形的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为． 将绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论： ①当点C第一次落在上时，旋转角为； ②当第一次与相切时，旋转角为． 则结论正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①② D. 均不正确 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 分解因式_____． 11. 方程的解为______． 12. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为______． 13. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是__________． 14. 4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x（百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图．若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为____________名． 15. 如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为____________． 16. 某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；③每个步骤所需时间如表所示：在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要_________分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要_________分钟． 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 9 7 6 4 三、解答题（共68分，第17-20、22-23题，每题5分；第21、24-26题，每题6分；第27-28,每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长． 21. 无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 22. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与函数的图象交于点 （1）求k，b的值； （2）已知直线与图象分别交于点若结合函数图象，直接写出的取值范围． 23. 4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． a.初一、初二年级学生得分的折线图 b.初三年级学生得分： 10，9，6，10，8，7，10，7，3，10 c.初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下 年级 初一 初二 初三 平均数 8 8 m 中位数 8 8.5 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是__________（填“初一”或“初二”）； （2）统计表中__________，__________； （3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：__________（写出符合题意的序号）. ①平均数；②中位数；③众数；④方差. 24. 生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如下图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为__________； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率__________超过（填“能”或“不能”）． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）直接写出的值； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率__________（填“大于”“小于”或“等于”）． 25. 如图，为四边形的外接圆，平分，于点E． （1）求证：； （2）延长交于点F，连接，若，，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知点在抛物线上，对于都有，求a的取值范围． 27. 如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 如图1，对于外的线段（线段上的各点均在外）和直线上的点，给出如下定义：若线段绕点旋转某一角度得到的线段恰好是的弦，则称点为线段关于的“割圆点”，在平面直角坐标系中，的半径为1． （1）如图2，已知点，，，．在线段，，中，存在关于的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ； （2）直线经过点，与轴的交点为点．点，点都在线段上，且．若线段关于的“割圆点”为点，写出点的横坐标的取值范围； （3）直线经过点，不重合的四个点都在直线上，且点既是线段关于的“割圆点”，又是线段关于的“割圆点”，线段，的中点分别为点，，记线段的长为d．请直接写出d的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 第二学期阶段检测 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C． 可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 据统计，2023考研报名人数为474万，2024考研报名人数为438万，2025考研报名人数比上一年少50万人，则2025年考研报名人数为（　　）人． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得2025年考研报名人数为万人， 388万用科学记数法表示为， 故选：A． 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，确定原点的位置，根据实数与数轴，有理数的运算法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴原点在a，b的中间， 如图， 由图可得：，，，，， 故选项A错误， 故选A． 【点睛】本题考查数轴，绝对值，有理数的乘法、加法，解题的关键是确定原点的位置． 4. 如图，，．若平分，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义、几何图形中角的运算，先计算出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 5. 若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得． 故选：D． 6. 如图，在中，弦相交于点E，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理的应用．熟练掌握圆周角定理，对顶角性质，三角形内角和定理，是解决问题的关键． 根据对顶角相等得，由三角形内角和定理得，再根据圆周角定理得． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 故选：D． 7. 不透明的袋子中有3个小球，其中有1个红球，1个黄球，1个绿球，除颜色外3个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列表法或树状图法列出所有结果，找出满足条件的结果，即可得出结果． 【详解】解：列表如下， 红 黄 绿 红 （红，红） （红，黄） （红，绿） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，绿） 绿 （绿，红） （绿，黄） （绿，绿） 由表可知，共有9种等可能结果，其中满足条件的两次都是红球的结果只有1种， ∴P（两次都是红球）=， 故选：D． 【点睛】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． 8. 如图，等边三角形的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为． 将绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论： ①当点C第一次落在上时，旋转角为； ②当第一次与相切时，旋转角为． 则结论正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①② D. 均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键． ①当点C第一次落在上时，连接，可证明是等腰直角三角形，三点共线，再求出，可得； ②当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，先求出，，，即可得出结论． 【详解】解：①当点C第一次落在上时， 连接， ，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 三点共线， ， ， ， ， ，故①正确； 当与相切时，连接并延长与交于点M，连接， 是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当第一次与相切时，旋转角为，故②错误， 故选：A． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】x≠3 【解析】 【分析】根据分母不等于0解答． 【详解】∵有意义， ∴x-3≠0， ∴x≠3． 故答案为x≠3． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解决此类问题的关键是分母不等于0． 10. 分解因式_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，先提公因式，再用公式法分解． 先提取公因式3，再利用平方差公式对括号内的式子进行分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意先去分母，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得， 检验：将代入 ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 12. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作，垂足为E， 根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为E， 设正六边形的边长为a，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据条件分析函数性质是解题的关键．根据条件，分析出在每个象限内，y随x的增大而减小，得到，即可得到结果． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上，且， 函数的性质是： y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 14. 4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x（百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图．若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为____________名． 【答案】450 【解析】 【分析】本题考查了以样本估计总体的方法，通过样本100名学生中成绩不低于90分的学生占比直接乘以学生总数，便可估计出总体学生中成绩不低于90分的学生数量． 【详解】解：由扇形图可知：成绩不低于90分的人数占抽取人数的， 则1000名学生中，估计成绩不低于90分的人数为：（名）， 故答案为：450． 15. 如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【详解】解：作，，，垂足分别是D、E、F， 由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 16. 某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；③每个步骤所需时间如表所示：在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要_________分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要_________分钟． 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 9 7 6 4 【答案】 ①. 26 ②. 43 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意找出最优方案是解题的关键． 根据题意列出算式求出甲单独完成一间客房的清洁工作，需要的时间即可；按照题目要求让甲完成四间客房的打扫卫生工作，同时乙，丙完成另外三项工作，最后一间客房的另外三项工作由甲、乙、丙同时完成，计算出时间即可． 【详解】解：甲单独完成一间客房的清洁工作，需要的时间为： （分钟）， 甲先完成第1间客房的卫生打扫工作，然后乙完成第1间客房的更换客用物品和检查设备，丙完成第1间客房整理床铺工作，完成后再等2分钟，开始第1间客房的更换客用物品和检查设备，乙完成后再进行第2间客房整理床铺工作，完成后再等1分钟，开始第3间客房的更换客用物品和检查设备，丙完成第2间客房工作后，马上再完成第3间客房整理床铺工作，当甲完成第四间客房打扫卫生工作后，三个人同时完成剩余的三项工作，这样所需要的时间为： （分钟）， 即甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要43分钟． 故答案为：26；43． 三、解答题（共68分，第17-20、22-23题，每题5分；第21、24-26题，每题6分；第27-28,每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键． 18. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式，找到它们的公共部分，即可得出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 解集在数轴上表示如下： 所以，不等式组的解集为：； 19. 已知，求代数式的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，再由可得，代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ∵， ∴． ∴原式． 20. 如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证，再证，得，然后证四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据菱形的性质结合三角函数得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， 中，， ，， ，， 过点C作的垂线交其延长线于点E， ， 中，， ． 21. 无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解 【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩． 由题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 22. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与函数的图象交于点 （1）求k，b的值； （2）已知直线与图象分别交于点若结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的性质，，正确作出函数的图象是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出过点A的正比例函数解析式，再分别画出函数的图象，根据图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入，得； 把代入，得， 解得：； 【小问2详解】 解：设过点的正比例函数解析式为， 把代入，得， ∴过点的正比例函数解析式为，如图， 由图可得：直线与图象分别交于点若则． 23. 4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． a.初一、初二年级学生得分的折线图 b.初三年级学生得分： 10，9，6，10，8，7，10，7，3，10 c.初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下 年级 初一 初二 初三 平均数 8 8 m 中位数 8 8.5 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是__________（填“初一”或“初二”）； （2）统计表中__________，__________； （3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：__________（写出符合题意的序号）. ①平均数；②中位数；③众数；④方差. 【答案】（1）初一 （2）， （3）①②④ 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，平均数、中位数、众数和方差，理解相关统计量的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据方差的意义解答即可； （2）根据算术平均数的意义可得m的值；根据中位数的定义可得n的值； （3）分别根据平均数、中位数、众数和方差的定义和计算方法判断即可． 【小问1详解】 解：由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稳定的是初一． 故答案为：初一； 【小问2详解】 解：由题意得，， 把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、9， 故中位数， 故答案为：8，8.5； 【小问3详解】 解：将其中的数据6改为9，则数据变为：10，9，9，10，8，7，10，7，3，10 数据变化， 平均数、方差改变， 中位数为：， 中位数改变， 众数依然是10， 众数不变． 故答案为：①②④． 24. 生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如下图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为__________； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率__________超过（填“能”或“不能”）． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）直接写出的值； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率__________（填“大于”“小于”或“等于”）． 【答案】， 作图如下， 不能， （1），（2）小于 【解析】 【分析】本题主要考查表格信息与函数图象的关系，理解表格信息，掌握函数图象的绘制方法，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1），根据水解率的表格即可求解；，根据表格信息描点即可，结合图象分析即可； （2）根据表格信息可得，时间为时，水解率为，由此即可求解； （3）根据菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到可得时间，则，结合表格信息即可求解． 【详解】解：：根据水解率的大小可得，菌剂添加量为时最佳， 故答案为：； ：根据表格信息，描点，作函数图像得， 时间的变化情况为：每次增加量为小时；水解率的变化情况：，，，，，，，，， ∴随着时间的增加，水解率的增加量逐渐减小， ∴当水解时间为时，生活垃圾水解率不能超过， 故答案为：不能； （1）根据表格信息可知，时间为时，水解率为， ∴，即； （2）∵每隔测定一次水解率，如图所示， ∴根据当时，水解率小于，当时，水解率大于， ∴当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时， ∴， ∴当菌剂添加量为时，水解小时， ∴由表格信息可得，当水解时间为时，水解率为， ∴此时水解率小于， 故答案为：小于． 25. 如图，为四边形的外接圆，平分，于点E． （1）求证：； （2）延长交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义和垂径定理求证即可； （2）连接，，由圆周角定理和垂径定理可得，由勾股定理可得，再证，可得，由勾股定理求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴＝， ， 在中，， ； 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确的作出辅助线； 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知点在抛物线上，对于都有，求a的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的对称轴； （1）直接利用对称轴公式求解对称轴即可； （2）根据对称轴求出点A关于对称轴的对称点，再分与分析求解即可. 【小问1详解】 解：， 该抛物线的对称轴为直线：，即直线； 【小问2详解】 解：点在抛物线上，， 设点关于对称轴的对称点为， ， ， ； 若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 当时， 对于都有， ， ， ，与矛盾，不合题意； 当时， 对于都有， ，即， ， ； 若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 当时， 对于都有， ， ， ， ； 当时， 对于都有， ，即， ， ，与矛盾，不合题意； 综上可知，a的取值范围是或． 27. 如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 依题意补全图形如下： （2） 证明：连接． ∵点D关于直线的对称点为E，， ，． ． ， ． ． ， ． ． （3） 解：用等式表示线段与的数量关系是：． 证明：连接并延长到F，使得，连接． ∴点N是中点． ∵点D关于直线的对称点为E，与交于点M， ∴点M是中点． ∴为的中位线． ． ∵点N是中点， ． ，， ． ，． 又， ． ， ． ． ． ． ，， ． ． 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质等知识，准确作图、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）按照题意补全图形即可； （2）连接．证明，即可得到结论； （3）连接并延长到F，使得，连接．证明为的中位线．则．证明．由．得到．则．证明，，由即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 28. 如图1，对于外的线段（线段上的各点均在外）和直线上的点，给出如下定义：若线段绕点旋转某一角度得到的线段恰好是的弦，则称点为线段关于的“割圆点”，在平面直角坐标系中，的半径为1． （1）如图2，已知点，，，．在线段，，中，存在关于的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ； （2）直线经过点，与轴的交点为点．点，点都在线段上，且．若线段关于的“割圆点”为点，写出点的横坐标的取值范围； （3）直线经过点，不重合的四个点都在直线上，且点既是线段关于的“割圆点”，又是线段关于的“割圆点”，线段，的中点分别为点，，记线段的长为d．请直接写出d的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，若将绕着点R旋转后的圆记作，则经过，点在弦的垂直平分线上，且的半径与的半径相等，“割圆点”R在线段的垂直平分线于弦所在的直线的交点，由，得到不是关于的“割圆点”的线段；确定点为中点，而的垂直平分线于平行，故不是关于的“割圆点”的线段；对于线段，先确定点为中点，“割圆点”一定是弦所在的直线与的垂直平分线的交点，可求直线表达式为：，把代入得即可； （2）可求直线表达式为，为等腰直角三角形，则，，找到两个临界位置，当点Q与点V重合时，则点落在x轴上，此时，当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点落在y轴上，则，代入直线，可求，因此可求的取值范围； （3）可求，由于直线l经过点，以直线分析，由题意得，点在以点H为圆心，为半径的圆上，则线段是以点为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦，连接，，，第一种情况，当线段在点H异侧时，此时，当与直线相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接，则可求得，同理得，因此，但是取不到，故；第二种情况，当线段在点H同侧时，当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，则，当线段为与直线相交的线段，另一个与直线相切，此时最大，但是取不到，由于点C、D重合，连接，可求，故，综上即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴不是关于的“割圆点”的线段， 由题意得，若将绕着点R旋转后的圆记作，则经过， 则， ∴点R在的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∴点为中点， ∵的垂直平分线与平行， ∴不是关于的“割圆点”的线段， 由题意得圆心在弦的垂直平分线上，且根据旋转的性质， 得， ∴点即为中点， 由题意得“割圆点”一定是弦所在的直线与的垂直平分线的交点，如图： ∵，， ∴设直线表达式为： ， 代入得：， 解得， ∴直线表达式为：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴是关于的“割圆点”的线段， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：将代入得， ∴直线表达式为， 当时，， ∴， ∴， 由题意知点R为的垂直平分线与直线的交点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 而，， ∴， 当点Q与点V重合时，则点落在x轴上，此时，如图： 当点Q向上运动时，点R也向上运动，此时，如图： 当点Q运动到时，即的垂直平分线与直线平行，此时正无穷大，如图： ∴， 当点Q继续向上运动一点时，的垂直平分线与直线交点在第三象限很远处， 此时负无穷大，如图： 当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点落在y轴上， ∴，代入直线得：， ∴， ∴， 综上所述：或； 【小问3详解】 ∵点， ∴， ∵直线l经过点，以直线分析， 由题意得，点在以点H为圆心，为半径的圆上，则线段是以点为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦， 连接，， ∵经过圆心，点M为中点， ∴， ∴， 当减小时，增大直至等于，如图： 第一种情况，当线段在点H异侧时， 当点与点M重合时，此时，如图： 当与直线相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接，如图： 则，同理， ∴，但是取不到， ∴； 第二种情况，当线段在点H同侧时， 当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，如图： ∴， 当线段为与直线相交的线段，另一个与直线相切，此时最大，但是取不到，由于点C、D重合，如图，连接， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了新定义，难度很大，旋转的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握应用上述知识点，正确理解题意，找出临界位置是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $