专题09 相似三角形模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（安徽专用）

专题09 相似模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模型 目录 1 模型1.相似模型之“A”字模型 1 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） 16 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 21 29 模型1.相似模型之“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，同位角相等两直线平行等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理可得，由可得，进而可得，再结合，可证得，于是可得，由同位角相等两直线平行可得结论； （2）由（1）可得，由平行线分线段成比例定理及可得，进而可得，设，则，，，由此即可求出的值． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：由（1）可得：， 又， ， ， ， 设，则，，， ． 例2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点G，H分别在、上，与的交点为M，且矩形长是宽的3倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证； （2）设设，，由相似三角形的性质可得，解方程求出x即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，，则， ∵； ∴， 解得， ∴这个矩形的周长= 例3．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，所以，同理可得，故，即得答案； （2）先证明，得到，设，求出，的值，即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， ， 同理， ， ， ；     （2），恰好将三等分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， 设，则，， 由得，， （负值舍去）， ． 例4．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图，在中，分别是边的中点，交于点，求证：； 【应用】如图，在中，分别是边的中点，交于点，若的面积为，则四边形的面积为_________； 【拓展】如图，在中，是边的中点，是的重心，过点的直线分别交边于点，若，，，则_________． 【答案】[解决问题]见解析；[应用] ；[拓展] 【知识点】重心的有关性质、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了主要考查了三角形的重心，中位线定理，相似三角形的性质与判定，掌握知识点的应用是解题的关键． [解决问题] 连接，由中位线定理得，，证明，最后由相似三角形的性质即可求证； [应用] 连接，由中位线定理得，，证明，则，所以，由上得，则的面积为，的面积为，的面积为，故有，设，则，求出，最后由面积和差即可求解； [拓展] 过点作交于，交于，证明∴，，，，求出，，，则，再证明，由相似三角形的性质和线段和差即可求解； 【详解】[解决问题]证明：如图，连接，    ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； [应用]解：连接，    ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由上得， ∵的面积为， ∴的面积为，的面积为，的面积为， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， ∴四边形， 故答案为：； [拓展]解：如图，过点作交于，交于，    ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（24-25九年级上·河北·期末）如图，在中，点在边上，平分，分别交于点．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）角平分线得到，三角形的内角和定理，得到，进而得到即可； （2）根据，得到，，推出，证明，得到，进而得到即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 设，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 例2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，，与交于点E，且，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法． （1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果； （2）证明，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 例3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，对角线相交于点，平分，过点作分别交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，推出，即可得出结论； （2）先根据勾股定理得出，再证明，得出，求出，再证明，得出，求出，，再根据勾股定理求出，进而可求出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ 例4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）   【问题提出】 （1）如图1，与相交于点，连接，，，，若的长为21，求的长； 【问题解决】 （2） 如图2，四边形是一个植物园的花卉区，经测量，，工作人员计划将该花卉区进行扩建，在对角线上取一点，在边的延长线上取一点，连接，，，与交于点，根据工作人员的规划要求，与相等，与互相垂直，在扩建部分区域内）新增加一种花卉，请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，连接，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，得到，等量代换得到，连接交于，根据菱形的性质得到，，根据余角的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），， ， ， ，的长为21， ， ； （2）， 理由：， 四边形是菱形， 连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接交于， ，， ， ， ， ．    模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，连接对角线，延长至点E，使，连接，分别交、交于点F、G． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，证明，即可得出结论； （2）证明出，得到，由（1）可知，，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 例2．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可证得，从而推出，即，得证； （2）根据题意得到和证明，，推出，，设，则，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ，即， ； （2）解：，， ， 四边形是正方形， ，，， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为． 例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得． （2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件． 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在中，是上一点，已知． (1)求证：； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可判断三角形相似，进而求解即可； （2）由三角形内角和可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：，， ， ， ． 例2．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点是边的上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，得即可证明结论； （2）由相似三角形的性质求得，进而即可得解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∵ ∴ （2）解：由（）得且 ∴ ∵， ∴ ∴ 例3．（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据题意，，证明即可求证； （2）根据题意可得，则有，由，得到，如图所示，作，垂足是，由勾股定理、三角函数的计算得到，在中，，则有，得到，再根据，即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当时，可证平分，根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得；第二种情况：当时，可得，则，即，即可求解；第三种情况：当时，结合（2）的计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 即； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 如图所示，作，垂足是，   ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，即， ； （3）解：若是等腰三角形，那么或或， 第一种情况：当时， ， ， 又， ， ，即  ， ， ∵， ∴， ∴， ， 在中，， ，即 第二种情况：当时 ， ， ， ，即， ； 第三种情况：当时， ， ， 又， ， ， ， 由（2）可知，在中，， ， ， ，即； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 例4．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，，三条边及边上的高分别记为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，能够根据所求内容找到相关的量是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据勾股定理得，式子变形可得，又有，即可证明； （3）过点作直径交圆于点，连接，即可证明，推出，即． 【详解】（1）证明：，，，，， ， ． （2）证明：在中，，根据勾股定理得，， ， ， 又（已证）， ， ． （3）解：，证明如下： 过点作直径交圆于点，连接， 为圆的直径， ， ， ， ，即：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，，若，则的值是（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，因为所以，，得出，然后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知点，分别在的边，上，．若，，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键．证明出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故选：D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，点、在边上，点、在边上，连接、，，与交于点H，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，故C正确； ∴， ∵， ∴，，故B正确； ∴，故A正确； ∵， ∴， ∴，故D错误； 故选：D． 4．（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，，， 点 在上，若平分， 则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过点作的平行线，延长交该平行线于点，则，，根据角平分线的定义得出，故有，再由勾股定理求出，再证明，则有，然后代入求值即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，延长交该平行线于点， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在菱形中，点是边上一点，且，连接交于点，若的面积为3，则的面积为（   ） A．4 B． C．16 D． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，先根据菱形的性质得到，，再利用比例性质得到，接着证明，根据相似三角形的性质即可解答，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，，为与的交点，点在上，若，，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，由得，由得，即得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，，是的高．，，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及矩形的性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．交于点，如图，设，则，先证明四边形为矩形得到，则，再证明，根据相似三角形的性质得到，即，然后求出，从而得到的长． 【详解】解：交于点，如图，设，则， 四边形为矩形， ，， 是的高， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， 解得， ． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据相似三角形的判定结合正方形的性质证得，求得，根据相似三角形的性质求得，，证得，根据相似三角形的性质得到，证得，求出，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 9．（24-25九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，点为的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接交于点，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 证明四边形为平行四边形得，，证明得，证明得，即可求解． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ，， 点为的中点，， 为的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，在等边的，边上各取一点P，Q，使，，相交于点O．若，． （1） ； （2）的长为 ； 【答案】 60°/60度 / 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由等边三角形得和，可证明，则，则； (2)由和，证明，有，求得，作，垂足为，则，求得，解得和，利用勾股定理和即可． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， (2)，， ， ， ，， ， ， 作，垂足为，如图， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：60°， 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质得和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉三角形的性质结合全等和相似解答． 三、解答题 11．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知：如图，在中，、分别在边、上，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)15 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，，，，求得，，则，而，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，因为，所以． 【详解】（1）证明：，，，， ，， ，， ， ， ． （2）解：， ， ， ， 的值为15． 12．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，线段与相交于点，，三点在同一条直线上． (1)求证：． (2)当，时，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的定理，相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，运用平行线分线段成比例即可得到答案； （2）由，可得，得到即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ； （2）解：， ∴ ， ，， ， ∴ ， 的值为． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点是的边延长线上一点，与交于点． (1)求证：． (2)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为48． 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识． （1）由平行四边形的性质得，，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，证明，则，求得，由，证明，得，则，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为48． 14．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知：四边形中，，平分，交于，且，延长线交于，，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据等角对等边证明边相等、根据三角形中线求面积、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线定义得，即可解决问题； （2）结合（1）得，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得，，则，即可求得，，，从而求得，，，代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ，， ， ∴． 设，则， ∴， ∵， ∴  ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴． 15．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识： （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由得，则，再分别求出，，，从而可得结论． 【详解】（1）证明： （2）解：由（1）得 又 ，点是的中点 16．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且． (1)若，求线段的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质求出， 即可判定，根据相似三角形的性质解答即可； （2）推导出根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”及比例的性质求出，再结合比例的性质、三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形的面积为， ， ， ， ， ． 17．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）问题背景 如图在中，点在上，点在上，． 问题探究 （1）如图（1），若是等边三角形，求证：； 变式探究 将特殊化成直角三角形． （2）如图（2），若，求证：； （3）如图（3），若，直接写出的长（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）根据等边三角形的性质得到，，由此即可求解； （2）如图2中，过点作于点，于点，可证，，得到，则，由三线合一得到是中线，根据中线平分面积的得到即可求解； （3）在上取一点，使得，连接，设，由题意得到，则，由角的关系得到，则，由勾股定理得到，即①，再证，得到，即②，联立方程可得，，由即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图1中， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2中，过点作于点，于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使得，连接，设， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即①， ∵， ∴， ∴， ∴②， 由①②解得，， ∴． 18．（24-25九年级下·江西·阶段练习）综合与实践 如图1，在矩形中，点分别在直线和上，直线相交于点，，某数学兴趣小组在探究四条线段的比例关系时，经历了如下过程： 【特例感知】 （1）①如图1，当，时，若，则______； ②如图2，当时，若，求的值； 【类比探究】 （2）如图3，在四边形中，对角线相交于点，，，，若，试求边的长． 【答案】（1）①；②；（2） 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①当时，矩形是正方形，可证，得到，由此即可求解；②当时，四边形是矩形，则，，，可证，得到，由此即可求解 ； （2）如图所示，过作交于，则，，设，则，，设，，先证明，得到，解得，，再证明，得到，求出，，最后根据和列方程求解即可． 【详解】解：（1）①当时，矩形是正方形， ∴， ∵ ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②当时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过作交于， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∵， ∴ ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 去分母得， 整理得， ∵中，， ∴，整理得， ∴，整理得，， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明相似． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 相似模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模型 目录 1 模型1.相似模型之“A”字模型 1 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） 16 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 21 29 模型1.相似模型之“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的值． 例2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点G，H分别在、上，与的交点为M，且矩形长是宽的3倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 例3．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 例4．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图，在中，分别是边的中点，交于点，求证：； 【应用】如图，在中，分别是边的中点，交于点，若的面积为，则四边形的面积为_________； 【拓展】如图，在中，是边的中点，是的重心，过点的直线分别交边于点，若，，，则_________． 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（24-25九年级上·河北·期末）如图，在中，点在边上，平分，分别交于点．    (1)求证：； (2)求证：． 例2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，，与交于点E，且，，． (1)求的长． (2)求证：． 例3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，对角线相交于点，平分，过点作分别交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，，求的长． 例4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）   【问题提出】 （1）如图1，与相交于点，连接，，，，若的长为21，求的长； 【问题解决】 （2） 如图2，四边形是一个植物园的花卉区，经测量，，工作人员计划将该花卉区进行扩建，在对角线上取一点，在边的延长线上取一点，连接，，，与交于点，根据工作人员的规划要求，与相等，与互相垂直，在扩建部分区域内）新增加一种花卉，请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，连接对角线，延长至点E，使，连接，分别交、交于点F、G． (1)求证：； (2)若，求的长． 例2．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在中，是上一点，已知． (1)求证：； (2)已知，求的度数． 例2．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点是边的上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 例3．（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的长． 例4．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，，三条边及边上的高分别记为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，，若，则的值是（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知点，分别在的边，上，．若，，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，点、在边上，点、在边上，连接、，，与交于点H，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，，， 点 在上，若平分， 则的长是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在菱形中，点是边上一点，且，连接交于点，若的面积为3，则的面积为（   ） A．4 B． C．16 D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，，为与的交点，点在上，若，，则 ． 7．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，，是的高．，，那么的长为 ． 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则 ． 9．（24-25九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，点为的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接交于点，则 ． 10．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，在等边的，边上各取一点P，Q，使，，相交于点O．若，． （1） ； （2）的长为 ； 三、解答题 11．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知：如图，在中，、分别在边、上，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，求的值． 12．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，线段与相交于点，，三点在同一条直线上． (1)求证：． (2)当，时，求的值． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点是的边延长线上一点，与交于点． (1)求证：． (2)若的面积为4，求的面积． 14．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知：四边形中，，平分，交于，且，延长线交于，，． (1)求证：； (2)求的值． 15．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 16．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且． (1)若，求线段的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 17．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）问题背景 如图在中，点在上，点在上，． 问题探究 （1）如图（1），若是等边三角形，求证：； 变式探究 将特殊化成直角三角形． （2）如图（2），若，求证：； （3）如图（3），若，直接写出的长（用含的式子表示）． 18．（24-25九年级下·江西·阶段练习）综合与实践 如图1，在矩形中，点分别在直线和上，直线相交于点，，某数学兴趣小组在探究四条线段的比例关系时，经历了如下过程： 【特例感知】 （1）①如图1，当，时，若，则______； ②如图2，当时，若，求的值； 【类比探究】 （2）如图3，在四边形中，对角线相交于点，，，，若，试求边的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$