福建省厦门第一中学2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（3月份）仿真卷2

2024-2025学年福建省厦门一中八年级（下）月考数学试卷（3月份）仿真卷2 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A．x B．x C．x D．x 2．（4分）如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，下列验证方法不正确的是（　　） A．AC＝BD B．AB⊥BC C．OB＝OD D．OA＝OD 3．（4分）已知直角三角形的两直角边长分别为7，24，则斜边长为（　　） A．20 B．25 C．30 D．28 4．（4分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD＝3，则HE等于（　　） A．2 B．3 C． D． 6．（4分）母亲节，小敏准备送礼物给妈妈，她用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长为（　　） A．2分米 B．分米 C．2.5分米 D．3分米 7．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC＝60°，ABBC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD；③S▱ABCD＝AB•AC；④OEAD；⑤S△APO，正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（4分）如图是嘉淇不完整的推理过程． ∵∠A+∠D＝180 AB∥CD ∵（　　） ∴四边形ABCD是平行四边形 小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列正确的是（　　） A．∠B+∠C＝180° B．AB＝CD C．∠A＝∠B D．AD＝BC 9．（4分）已知a是（﹣2）2的负的平方根，b，c，则a，b，c中最大的实数与最小的实数的差是（　　） A．﹣2 B．6 C．﹣8 D． 10．（4分）如图是我国汉代著名的数学家与天文学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的一个著名图形，人们称它为“赵爽弦图”．它是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形．若EF＝4，DE＝6，则正方形ABCD的边长为（　　） A．2 B．8 C．2 D．10 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是 　 　 ． 12．（4分）平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过 　 　 变换可使它们互相重合． 13．（4分）已知直角三角形斜边上的中线是2.5cm，斜边上的高是2cm，则这个直角三角形的面积是 　 　 cm2． 14．（4分）如果最简二次根式与能合并，那么x的值是 　 　 ． 15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，CD＝BD且∠C＝2∠ABD，AE⊥BD，交BD的延长线于点E．若BE＝8，AC＝11，则边AB的长为 　 　 ． 16．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，，BC＝1，P为DC边上一点，将△PAD沿PA折叠，得到△PAE，点E，F关于AC对称，若EF＝1，则∠PAD的度数为 　 　 ． 三、解答题（共9小题，86分） 17．（9分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题： （1）化简：； （2）化简：． 18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．四边形ABDE是平行四边形，DE交AC于点F，连接CE．求证：四边形AECD是矩形． 19．（9分）要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材？（精确到0.1m） 20．（9分）如图，矩形ABCD中，点E是BC上的一点，连接AE，且AE＝BC． （1）尺规作图：过点D作AE的垂线交AE于点F，连接DE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，小育和小才猜测EF＝EC．于是他们进行了如下探究，他们的思路是先利用矩形的性质得到对边平行且相等，∠C＝90°，再根据条件进行等量代换证明△DFE≌△DCE，最后根据全等三角形的性质证得EF＝EC．请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝DC，∠C＝90°，AD∥BC， ∵BC＝AE， ∴　 　 ①＝AE， ∴　 　 ②＝∠ADE， ∵AD∥BC． ∴　 　 ③＝∠DEC， ∴∠DEC＝∠AED． 又∵DF⊥AE， ∴　 　 ④＝90°， ∴∠DFE＝∠C． 在△DFE和△DCE中 ∵， ∴△DFE≌△DCE（AAS）． ∴EF＝EC． 21．（9分）观察下列等式：①；②；③． 解决下列问题： （1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子； （2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律； （3）利用上述结果计算：． 22．（9分）如图，已知▱ABCD与▱EBFD的顶点A、E、F、C在同一条直线上． 求证：AE＝CF． 23．（9分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝6千米，HB＝4.5千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝8，BC＝10，AB＝12，设AH＝x，求x的值． 24．（9分）如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）当∠ABC＝90°时，G是EF的中点，联结DB，DG（如图2），请直接写出∠BDG的度数 （2）当∠ABC＝120°时，FG∥CE，且FG＝CE，分别联结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数． 25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为1cm/s，若射线AB，AD分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东45°方向画一条射线交矩形ABCD的边于点E，过点E作直线EF⊥PE交矩形ABCD的边于点F，连接PF，设△PEF的面积为y（cm2），点P运动的时间为x（s）．（线段可视为面积为0的三角形） （1）当点F与矩形ABCD顶点重合时，x 　 　 ； （2）求当E在线段AD上时，y关于x的函数解析式； （3）直接写出在整个运动过程中PF中点不动时，x的取值范围． 2024-2025学年福建省厦门一中八年级（下）月考数学试卷（3月份）仿真卷2 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C B B C B B C 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A．x B．x C．x D．x 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：4x﹣2≥0， 解得：x， 故选：B． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2．（4分）如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，下列验证方法不正确的是（　　） A．AC＝BD B．AB⊥BC C．OB＝OD D．OA＝OD 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD，可根据矩形的判定定理证明四边形ABCD是矩形，可判断A不符合题意；由AB⊥BC，得∠ABC＝90°，即可根据矩形的定义证明四边形ABCD是矩形，可判断B不符合题意；由平行四边形的性质得OB＝OD，由OB＝OD不能验证四边形ABCD是矩形，可判断C符合题意；由OA＝OC＝OB＝OD，证明AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， 故A不符合题意； ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 故B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O， ∴OB＝OD， ∴由OB＝OD不能验证四边形ABCD是矩形， 故C符合题意； ∵OA＝OC，OB＝OD，且OA＝OD， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∴OA+OC＝OB+OD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， 故D不符合题意， 故选：C． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的定义及矩形的判定定理等知识，适当选择矩形的定义或判定定理证明四边形ABCD是矩形是解题的关键． 3．（4分）已知直角三角形的两直角边长分别为7，24，则斜边长为（　　） A．20 B．25 C．30 D．28 【分析】根据勾股定理求出斜边即可得到结论． 【解答】解：由勾股定理得，斜边长为25， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 4．（4分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的减法、二次根式的乘法、二次根式的性质与化简、立方根的运算法则计算判断即可． 【解答】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的减法、二次根式的乘法、二次根式的性质与化简、立方根，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 5．（4分）如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD＝3，则HE等于（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】根据三角形中位线定理求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答． 【解答】解：∵D，F分别为BC，AB边的中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴AC＝2DF＝2×3＝6， 又∵AH⊥BC，E是AC的中点， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是根据三角形中位线定理求出AC． 6．（4分）母亲节，小敏准备送礼物给妈妈，她用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长为（　　） A．2分米 B．分米 C．2.5分米 D．3分米 【分析】依题意得EF为这个礼品盒的边长，设AE＝x分米，则AF＝AE＝x分米，DE＝DG＝（10﹣x）分米，进而得EF分米，EG分米，同时EG＝4EF分米，由此得，由此解出x＝2，进而可得EF的长． 【解答】解：如图所示： 设AE＝x分米， 依题意得：△AEF和△DEG均为等腰三角形，正方形ABCD的边长为10分米， ∴AF＝AE＝x分米，DE＝DG＝（10﹣x）分米， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF（分米）， 在Rt△DEG中，由勾股定理得：EG（分米）， 又∵EG＝4EF（分米）， ∴， 解得：x＝2， ∴EF（分米）， 即这个礼品盒的边长为分米． 故选：B． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，准确识图，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 7．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC＝60°，ABBC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD；③S▱ABCD＝AB•AC；④OEAD；⑤S△APO，正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据平行四边形的性质和三角形中位线定理可作判断；⑤由OA＝OC求解，再进一步可得答案． 【解答】解：①∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°， ∴∠DAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE＝1， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝BE＝1， ∵BC＝2， ∴EC＝1， ∴AE＝EC， ∴∠EAC＝∠ACE， ∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°， ∴∠ACE＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACE＝30°，故①正确； ②∵BE＝EC，OA＝OC， ∴，OE∥AB， ∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠BAD＝120°， ∵∠ACB＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∴， ∴，故②正确； ③由②知：∠BAC＝90°， ∴S▱ABCD＝AB•AC，故③正确； ④由②知：OE是△ABC的中位线， ∴， ∵， ∴，故④正确； ⑤∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∵S△AOP＜S△AOE， ∴，故⑤错误； 本题正确的有：①②③④，共4个， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、含30°的直角三角形性质、三角形的中位线性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 8．（4分）如图是嘉淇不完整的推理过程． ∵∠A+∠D＝180 AB∥CD ∵（　　） ∴四边形ABCD是平行四边形 小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列正确的是（　　） A．∠B+∠C＝180° B．AB＝CD C．∠A＝∠B D．AD＝BC 【分析】根据平行四边形的5条判定定理可得到，在有一组对边平行的情况下，只能添加另一组对边平行或这一组对边相等，查看选项可得到答案． 【解答】解：选项A中，∠B+∠C＝180°，得到AB∥CD，无法证明平行四边形，选项A错误，不合题意； 选项B中，AB＝CD，得到AB与CD平行且相等，可证明平行四边形，选项B正确，符合题意； 选项C中，∠A≠∠B，选项C错误，不合题意； 选项D中，一组对边平行，另一组对边相等，可能为等腰梯形，不能判定平行四边形，选项D错误，不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的判定，需要严格按照判定定理进行推理论证，熟悉5条平行四边形的判定是解题的关键． 9．（4分）已知a是（﹣2）2的负的平方根，b，c，则a，b，c中最大的实数与最小的实数的差是（　　） A．﹣2 B．6 C．﹣8 D． 【分析】利用平方根的定义，立方根的定义，绝对值的定义，实数的大小比较判断即可． 【解答】解：∵a是（﹣2）2的负的平方根，b，c， ∴a＝﹣2，b＝2，c＝﹣4， ∴a，b，c中最大的实数为2，最小的实数为﹣4， ∴2﹣（﹣4）＝6， 故选：B． 【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握平方根的定义，立方根的定义，绝对值的定义，实数的大小比较． 10．（4分）如图是我国汉代著名的数学家与天文学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的一个著名图形，人们称它为“赵爽弦图”．它是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形．若EF＝4，DE＝6，则正方形ABCD的边长为（　　） A．2 B．8 C．2 D．10 【分析】根据全等三角形的性质得到DE＝AF＝6，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：由题意得，DE＝AF＝6， ∵EF＝4， ∴AE＝AF﹣EF＝2， ∵∠AED＝90°， ∴AD2， 故正方形ABCD的边长为2， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是 　5　 ． 【分析】把的被开方数配成一个最小的完全平方数，因5是质数，不需要进行分解质因数，容易看出n为5． 【解答】解：根据题意得：5n≥0，即n≥0， ∵当n＝5时，是整数， ∴正整数n的最小值是5． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握相应的运算法则是关键． 12．（4分）平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过 　旋转　 变换可使它们互相重合． 【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题． 【解答】解：平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过旋转变换可使它们互相重合． 故答案为：旋转． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 13．（4分）已知直角三角形斜边上的中线是2.5cm，斜边上的高是2cm，则这个直角三角形的面积是 　5　 cm2． 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到斜边的长，再根据三角形面积公式计算即可解答． 【解答】解：根据题意可得： 直角三角形的斜边长为2.5×2＝5（cm）， ∴其面积为： （cm2）． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握该知识点是解题的关键． 14．（4分）如果最简二次根式与能合并，那么x的值是 　4　 ． 【分析】根据同类项二次根式的定义可得3x﹣5＝x+3，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：3x﹣5＝x+3， 解得：x＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了最简二次根式，同类项二次根式，熟练掌握同类项二次根式的定义是解题的关键． 15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，CD＝BD且∠C＝2∠ABD，AE⊥BD，交BD的延长线于点E．若BE＝8，AC＝11，则边AB的长为 　4　 ． 【分析】延长BE到点F，使得EF＝BE，连接AF，则△BAF是等腰三角形，得出AB＝AF，∠F＝∠ABD，BE＝EF＝8，再过点A作AH∥BC，交BF于点H，然后证HF＝HA，AC＝BH，求出EH＝3，HF＝5，最后由勾股定理求出AE＝4，AB＝4即可． 【解答】解：如图，延长BE到点F，使得EF＝BE，连接AF， ∵AE⊥BD， ∴△BAF是等腰三角形， ∴AB＝AF，∠F＝∠ABD，BE＝EF＝8， ∵CD＝BD， ∴∠CBD＝∠C＝2∠ABD， 过点A作AH∥BC，交BF于点H， ∴∠CBD＝∠AHD＝2∠ABD＝2∠F， ∴HF＝HA， ∵AH∥BC， ∴∠CBD＝∠AHD，∠C＝∠DAH， ∴∠AHD＝∠DAH， ∴DH＝DA， ∵CD＝BD， ∴AC＝BH， ∴EH＝BH﹣BE＝AC﹣BE＝11﹣8＝3， ∴HF＝HA＝EF﹣EH＝8﹣3＝5， 在Rt△AEH中，由勾股定理得：AE4， 在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，属于中等题型． 16．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，，BC＝1，P为DC边上一点，将△PAD沿PA折叠，得到△PAE，点E，F关于AC对称，若EF＝1，则∠PAD的度数为 　15°或45°　 ． 【分析】连接AF，由AC垂直平分EF，得AF＝AE＝AD＝1，若EF＝1，则△AEF是等边三角形，所以∠FAE＝60°，∠CAF＝∠CAE＝30°，再分两种情况讨论，一是点E在AC上方，则∠PAD＝∠CAD﹣∠CAE＝30°，所以∠PAD∠DAE＝15°；二是点E在AC下方，则∠PAD＝∠CAD+∠CAE＝90°，所以∠PAD∠DAE＝45°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AF， ∵点E，F关于AC对称， ∴AC垂直平分EF， ∴AF＝AE＝AD＝1， 若EF＝1，则△AEF是等边三角形， ∴∠FAE＝60°， ∴∠CAF＝∠CAE∠FAE60°＝30°， 当点E在AC上方时，如图1，∠PAD＝∠CAD﹣∠CAE＝60°﹣30°＝30°， ∴∠PAD∠DAE30°＝15°； 当点E在AC下方时，如图2，∠PAD＝∠CAD+∠CAE＝60°+30°＝90°， ∴∠PAD∠DAE90°＝45°， 故答案为：15°或45°． 【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质等知识，解题时应注意分类讨论，求出所有符合题意的结果． 三、解答题（共9小题，86分） 17．（9分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题： （1）化简：； （2）化简：． 【分析】（1）根据题目中的例子，可以将所求式子化简； （2）根据式子的特点，先分母有理化，再化简即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．四边形ABDE是平行四边形，DE交AC于点F，连接CE．求证：四边形AECD是矩形． 【分析】由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，再由平行四边形的性质得∠DAE＝∠ADB＝90°，AE＝BD＝CD，AE∥BC，然后由矩形的判定即可得出结论． 【解答】证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BC，AE＝BD＝CD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 19．（9分）要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材？（精确到0.1m） 【分析】由BD垂直于AC，得到三角形ABD与三角形BDC都为直角三角形，在由AD与BD，利用勾股定理求出AB的长，由BD与DC，利用勾股定理求出BC的长，由AB+AC+BC+BD表示所需钢材的米数，求出即可． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠BDA＝∠BDC＝90°， 在Rt△ABD中，BD＝2m，AD＝4m， 根据勾股定理得：AB2（m）， 在Rt△BDC中，BD＝2m，CD＝1.5m， 根据勾股定理得：BC2.5（m）， 则钢架所需的长度为AB+AC+BC+BD＝24+1.5+2+2.5＝210≈14.5（m）． 答：大约需要14.5m钢材． 【点评】此题考查了二次根式的应用，以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 20．（9分）如图，矩形ABCD中，点E是BC上的一点，连接AE，且AE＝BC． （1）尺规作图：过点D作AE的垂线交AE于点F，连接DE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，小育和小才猜测EF＝EC．于是他们进行了如下探究，他们的思路是先利用矩形的性质得到对边平行且相等，∠C＝90°，再根据条件进行等量代换证明△DFE≌△DCE，最后根据全等三角形的性质证得EF＝EC．请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝DC，∠C＝90°，AD∥BC， ∵BC＝AE， ∴　AD　 ①＝AE， ∴　∠AED　 ②＝∠ADE， ∵AD∥BC． ∴　∠ADE　 ③＝∠DEC， ∴∠DEC＝∠AED． 又∵DF⊥AE， ∴　∠DFE　 ④＝90°， ∴∠DFE＝∠C． 在△DFE和△DCE中 ∵， ∴△DFE≌△DCE（AAS）． ∴EF＝EC． 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可． （2）根据矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质填空即可． 【解答】（1）解：如图，DF即为所求． （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝DC，∠C＝90°，AD∥BC， ∵BC＝AE， ∴AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∴∠DEC＝∠AED． 又∵DF⊥AE， ∴∠DFE＝90°， ∴∠DFE＝∠C． 在△DFE和△DCE中， ∵， ∴△DFE≌△DCE（AAS）． ∴EF＝EC． 故答案为：①AD；②∠AED；③∠ADE；④∠DFE；⑤DE＝DE． 【点评】本题考查作图—复杂作图、矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（9分）观察下列等式：①；②；③． 解决下列问题： （1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子； （2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律； （3）利用上述结果计算：． 【分析】（1）利用题中等式的规律即可得到； （2）根据题目中式子的特点，找到规律得出第n个等式； （3）利用（2）的结论得出的规律，再裂项计算即可． 【解答】解：（1）∵①； ②； ③； ∴第⑤个式子是：； （2）第n个等式为； （3）原式＝111 1 ． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键． 22．（9分）如图，已知▱ABCD与▱EBFD的顶点A、E、F、C在同一条直线上． 求证：AE＝CF． 【分析】连接BD交AC于点O，即可得AO＝CO，EO＝FO，进而可推出结论． 【解答】证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD与四边形EBFD都是平行四边形， ∴AO＝CO，EO＝FO， ∴AO﹣EO＝CO﹣FO， 即AE＝CF． 【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解题关键． 23．（9分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝6千米，HB＝4.5千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝8，BC＝10，AB＝12，设AH＝x，求x的值． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设CA＝x，则AH＝x﹣0.9，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到结果． 【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为， 也可以表示为， ∴， 即a2+b2＝c2； （2）∵CA＝x， ∴AH＝x﹣4.5， 在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2， 即x2＝62+（x﹣4.5）2， 解得x＝6.25， 即CA＝6.25， CA﹣CH＝6.25﹣6＝0.25（千米）， 答：新路CH比原路CA少0.25千米； （3）设AH＝x，则BH＝12﹣x， 在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2， 在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， 即82﹣x2＝102﹣（12﹣x）2， 解得：． 【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 24．（9分）如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）当∠ABC＝90°时，G是EF的中点，联结DB，DG（如图2），请直接写出∠BDG的度数 （2）当∠ABC＝120°时，FG∥CE，且FG＝CE，分别联结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数． 【分析】（1）根据∠ABC＝90°，G是EF的中点可直接求得； （2）延长AB、FG交于H，连接HD．易证平行四边形AHFD为菱形，进而可得△ADH，△DHF为全等的等边三角形，再证明△BHD≌△GFD，所以可得∠BDH＝∠GDF，然后即可求得答案． 【解答】解：（1）连接GC、BG， ∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠BAF＝45°， ∵∠DCB＝90°，DF∥AB， ∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90° ∴△ECF为等腰直角三角形， ∵G为EF中点， ∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF， ∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC， ∴BE＝DC， ∵∠CEF＝∠GCF＝45°， ∴∠BEG＝∠DCG＝135°， 在△BEG与△DCG中， ， ∴△BEG≌△DCG（SAS）， ∴BG＝DG， ∵CG⊥EF， ∴∠DGC+∠DGA＝90°， 又∵∠DGC＝∠BGA， ∴∠BGA+∠DGA＝90°， ∴△DGB为等腰直角三角形， ∴∠BDG＝45°； （2）延长AB、FG交于H，连接HD． ∵AD∥GF，AB∥DF， ∴四边形AHFD为平行四边形， ∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°， ∴△DAF为等腰三角形， ∴AD＝DF， ∴CE＝CF， ∴平行四边形AHFD为菱形， ∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形， ∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°． ∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH， ∴BH＝GF． 在△BHD与△GFD中， ， ∴△BHD≌△GFD（SAS）， ∴∠BDH＝∠GDF， ∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°． 【点评】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为1cm/s，若射线AB，AD分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东45°方向画一条射线交矩形ABCD的边于点E，过点E作直线EF⊥PE交矩形ABCD的边于点F，连接PF，设△PEF的面积为y（cm2），点P运动的时间为x（s）．（线段可视为面积为0的三角形） （1）当点F与矩形ABCD顶点重合时，x 　1　 ； （2）求当E在线段AD上时，y关于x的函数解析式； （3）直接写出在整个运动过程中PF中点不动时，x的取值范围． 【分析】（1）证明△APE，△ECD都是等腰直角三角形，可得结论； （2）分三种情形：如图2中，当0＜x≤1时，过点F作FH⊥AD于点H．如图3中，当1＜x≤3时，如图4中，当3＜x≤4时，过点P作PT⊥AD于点T，分别求解即可； （3）分两种情形画出图形解决问题即可． 【解答】解：（1）如图1中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∵∠APE＝45°， ∴∠AEP＝∠APE＝45°， ∴AP＝AE， ∵PE⊥EF， ∴∠PEF＝90°， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∴DF＝DE＝3， ∴AP＝AE＝AD＝DE＝4﹣3＝1， ∴x＝1时，点F与矩形ABCD顶点C重合． 故答案为：1； （2）如图2中，当0＜x≤1时，过点F作FH⊥AD于点H． 由题意PEx，EF＝3， ∴y•PE•EFx×33x； 如图3中，当1＜x≤3时，PEx，EFDE（4﹣x）， ∴y•PE•EFx（4﹣x）＝﹣x2+4x； 如图4中，当3＜x≤4时，过点P作PT⊥AD于点T，则四边形ABPT是矩形， ∴PT＝AB＝3， ∵∠PET＝∠EPT＝45°， ∴PE＝3， ∵DE＝DF＝4﹣3﹣（x﹣3）＝4﹣x， ∴EFDE（4﹣x）， ∴y•PE•EF3（4﹣x）＝﹣3x+12． 综上所述，y． （3）如图5中，当1≤x≤3时，PF的中点Q是定点． 理由：过点Q作QT⊥BC于点T． ∵PB∥QT∥CF，PQ＝QF， ∴BT＝TC， ∴QT， ∵AP＝AE，DE＝DF， ∴AP+DF＝4， ∴PB+CF＝2， ∴QT＝1＝定值， ∴此时点Q是定点、 如图6中，当4≤x≤7时，同法可得PF的中点Q是定点． 综上所述，满足条件的x的值为1≤x≤3或4≤x≤7． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/1 9:57:42；用户：高青六中；邮箱：gq6z@xyh.com；学号：41618634 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$